概率論及數(shù)理統(tǒng)計課程練習計算題

1、-. z. 三、解答題1設(shè)對于事件、有，求、至少出現(xiàn)一個的概率。解：由于從而由性質(zhì)4知，又由概率定義知，所以 ，從而由概率的加法公式得2設(shè)有10件產(chǎn)品，其中有3件次品,從中任意抽取5件，問其中恰有2件次品的概率是多少？ 解：設(shè)表示：任意抽取的5件中恰有2件次品。則。5件產(chǎn)品中恰有2件次品的取法共有種，即。于是所求概率為 /3一批產(chǎn)品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個有放回。求：1第二次取出的是次品的概率；2兩次都取到正品的概率；3第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：設(shè)表示：第次取出的是正品=1，2，則 1第二次取到次品的概率為 2兩次都取到正品的概率為3第一次取到正品，第二

2、次取到次品的概率為4一批產(chǎn)品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個不放回。求：1至少取到一個正品的概率；2第二次取到次品的概率；3恰有一次取到次品的概率。解：設(shè)表示：第次取出的是正品=1，2，則1至少取到一個正品的概率2第二次取到次品的概率為3恰有一次取到次品的概率為 5一批產(chǎn)品共有10件正品2件次品，從中任取兩件，求：1兩件都是正品的概率； 2恰有一件次品的概率；3至少取到一件次品的概率。解：設(shè)表示：取出的兩件都是正品是正品；表示：取出的兩件恰有一件次品；表示：取出的兩件至少取到一件次品；則1兩件都是正品的概率2恰有一件次品的概率3至少取到一件次品的概率6一工人照看三臺機床，在一小

3、時，甲機床需要照看的概率是0.6，乙機床和丙機床需要照看的概率分別是0.5和0.8。求在一小時中，1沒有一臺機床需要照看的概率； 2至少有一臺機床不需要照看的概率。解：設(shè)表示：沒有一臺機床需要照看；表示：至少有一臺機床不需要照看；表示：第臺機床需要照看=1，2，3。則；。 7在*城市中發(fā)行三種報紙、，經(jīng)調(diào)查，訂閱報的有50%，訂閱報的有30%，訂閱報的有20%，同時訂閱及報的有10%，同時訂閱及報的有8%，同時訂閱及報的有5%，同時訂閱、報的有3%，試求以下事件的概率： 1只訂閱及報；2恰好訂閱兩種報紙。 解：128一盒子中黑球、紅球、白球各占50%、30%、20%，從中任取一球，結(jié)果不是紅球

4、，求：1取到的是白球的概率；2取到的是黑球的概率。解：設(shè)分別表示：取到的是黑球、紅球、白球=1，2，3，則問題1化為求；問題2化為求。由題意兩兩互不相容，所以，1。因此由條件概率公式得29工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%，現(xiàn)從由的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，求：該產(chǎn)品是次品的概率；假設(shè)取到的是次品，則該產(chǎn)品是工廠的概率。解：設(shè)表示取到的產(chǎn)品是次品；取到的產(chǎn)品是工廠的；取到的產(chǎn)品是工廠的。則 取到的產(chǎn)品是次品的概率為2假設(shè)取到的是次品，則該產(chǎn)品是工廠的概率為 10有兩個口袋，甲袋中盛有4個白球，2個黑球；乙袋中盛有2個白球，4個黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再從乙袋中取

5、出一球，求從乙袋中取出的是白球的概率。解：設(shè)表示：由甲袋取出的球是白球；表示：由甲袋取出的球是黑球； 表示：從乙袋取出的球是白球。則 11設(shè)有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中1/2是第一家工廠生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)1/4，又知第一、二、三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別有2%、4%、5%的次品，現(xiàn)從箱中任取一件產(chǎn)品，求：1取到的是次品的概率；2假設(shè)取到的是次品,它是第一家工廠生產(chǎn)的概率。 解：設(shè)事件表示：取到的產(chǎn)品是次品；事件表示：取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的。 則，且，兩兩互不相容，由全概率公式得2由貝葉斯公式得=12三家工廠生產(chǎn)同一批產(chǎn)品，各工廠的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的40%、25%、35%，其產(chǎn)品的不

6、合格率依次為0.05、0.04、和0.02?，F(xiàn)從出廠的產(chǎn)品中任取一件，求：1恰好取到不合格品的概率； 2假設(shè)取到的是不合格品，它是第二家工廠生產(chǎn)的概率。 解：設(shè)事件表示：取到的產(chǎn)品是不合格品；事件表示：取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的。 則，且，兩兩互不相容，由全概率公式得1 2由貝葉斯公式得= 13有朋友遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機的概率分別為3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火車、輪船、汽車、飛機遲到的概率分別為1/4、1/3、1/12、1/8。求：( 1 ) 此人來遲的概率；( 2 ) 假設(shè)來遲了，此人乘火車來的概率。 解：設(shè)事件表示：此人來遲了；事件分別表示：此人乘火車、輪船、

7、汽車、飛機來，4。則，且，兩兩互不相容1由全概率公式得 2由貝葉斯公式得=14有兩箱同類零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今從兩箱中任選一箱，然后從該箱中任取零件兩次，每次取一只有放回，試求：1第一次取到的是一等品的概率；2兩次都取到一等品的概率。解：設(shè)表示：取到第箱零件；表示：第次取到的是一等品；則12 15設(shè)一電路由三個相互獨立且串聯(lián)的電子元件構(gòu)成，它們分別以0.03、0.04、0.06的概率被損壞而發(fā)生斷路，求電路發(fā)生斷路的概率。 解：設(shè)表示：第個電子元件被損壞=1，2，3，則有；。依題意所求概率為16甲、乙兩人各自同時向敵機射擊，甲擊中敵機的概率為0

8、.8，乙擊中敵機的概率為0.5，求以下事件的概率：( 1 ) 敵機被擊中；2甲擊中乙擊不中；3乙擊中甲擊不中。解：設(shè)事件表示：甲擊中敵機；事件表示：乙擊中敵機；事件表示：敵機被擊中。則 123 17，求。 解：由于所以18設(shè)，求。解：由于，而，故 。 19設(shè)事件、相互獨立，。求：1； 2 。解：由即 解得所以 20設(shè)、為隨機事件，且，求：1；2 。解：12 21設(shè)事件、相互獨立，求：1； 2。解：由條件即 解得，所以1222設(shè)事件相互獨立，試證明：1事件相互獨立；2事件相互獨立；3事件相互獨立。證明：1欲證明相互獨立，只需證即可。而所以事件相互獨立。同理2由于所以事件相互獨立。3由于所以事件相

9、互獨立。23假設(shè)，證明事件相互獨立。證明：由于，且，所以從而有故由獨立性定義知，事件相互獨立。第二章 隨機變量及其分布三、解答題1設(shè)的概率分布為 0 1 2 1/3 1/6 1/2 求：1的分布函數(shù)； 2、。解：1；。 2從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，假定在各個交通崗遇到紅綠信號燈的事件是相互獨立的，且概率都相等。設(shè)*表示途中遇到紅燈的次數(shù)，求*的分布律、分布函數(shù)。解：由題意知服從二項分布，從而 ； ； 即的概率分布列為 0 1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8 由分布函數(shù)定義 3從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，假定在各個交通崗遇到紅綠信號燈的事件是相互獨立的，且概率都

10、是2/5。設(shè)*表示途中遇到紅燈的次數(shù)，求*的分布律、分布函數(shù)。解：由題意知服從二項分布，從而即的概率分布列為 0 1 2 3 27/125 54/125 36/125 8/125 由分布函數(shù)定義得4一臺設(shè)備有三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率分別為0.10，0.20，0.30，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求的概率分布。解：設(shè)：表示：部件需要調(diào)整。；故的概率分布列為 0 1 2 3 0.504 0.398 0.092 0.006 5*種型號的雷管在一定刺激下發(fā)火率為4/5，今獨立重復地作刺激試驗，直到發(fā)火為止，則消耗的雷管數(shù)是一離散型隨機變量，求的概率

11、分布。解：的可能取值為1，2，。記表示第次試驗雷管發(fā)火則表示第次試驗雷管不發(fā)火從而得 依次類推，得消耗的雷管數(shù)的概率分布為6設(shè)隨機變量的概率密度為，求：1系數(shù)；2的分布函數(shù)；3落在區(qū)間的概率。解：連續(xù)型隨機變量的概率密度必須滿足歸一性，因此由歸一性及定義可求出系數(shù)及的分布函數(shù)，至于3可由的分布函數(shù)求得。1由歸一性，解得。2由連續(xù)型隨機變量的定義知的分布函數(shù)為當時，=0；當時，當時，故的分布函數(shù)為3所求概率為 7設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為求：1系數(shù)； 2落在區(qū)間1，1中的概率； 3隨機變量的概率密度。提示：為反正切函數(shù)解：1由，解得。故得23所求概率密度為8設(shè)隨機變量的概率分布為，以表示對的三次獨立

12、重復觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，試確定常數(shù)，并求概率。解：由歸一性所以=2。即 所以，從而 =9在*公共汽車站甲、乙、丙三人分別獨立地等1，2，3路汽車，設(shè)每個人等車時間單位：分鐘均服從0，5上的均勻分布，求三人中至少有兩個人等車時間不超過2分鐘的概率。解 ：設(shè)表示每個人等車時間，且服從0，5上的均勻分布，其概率分布為 又設(shè)表示等車時間不超過2分鐘的人數(shù)，則，所求概率為 10在電源電壓不超過200，200240和超過240伏的三種情況下，*種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2,假定電源電壓，試求： 提示：該電子元件被損壞的概率電子元件被損壞時，電源電壓在200240伏的概率。 解：設(shè)

13、：電源電壓不超過200伏；：電源電壓在200240伏；：電源電壓超過240伏；：電子元件被塤壞。 由于，所以由題設(shè),所以由全概率公式由條件概率公式11一個盒子中有三只乒乓球，分別標有數(shù)字1，2，2。現(xiàn)從袋中任意取球二次，每次取一只有放回，以、分別表示第一次、第二次取得球上標有的數(shù)字。求：1和的聯(lián)合概率分布；2關(guān)于和邊緣分布； 3和是否相互獨立？為什么？解：1的所有可能取值為(1，1)、(1，2)、 (2，1)、(2，2)。于是，的概率分布表為1 2 1 1/9 2/9 2 2/9 4/9 2關(guān)于和的邊緣概率分布分別為 1 2 1 2 1/3 2/3 1/3 2/33和相互獨立。因為有12一袋中

14、裝有3個球，分別標有1、2、3，從這袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用、分別表示第一次、第二次取得的球上的，試求：1隨機向量的概率分布；2關(guān)于和關(guān)于的邊緣概率分布；3和是否相互獨立？為什么？解：1的取值為，由概率乘法公式可得同理可得 此外事件，都是不可能事件，所以,于是，的概率分布表為 1 2 3 1 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 2關(guān)于的邊緣概率分布 1 2 3 1/3 1/3 1/3 關(guān)于的邊緣概率分布 1 2 3 1/3 1/3 1/3 3和不相互獨立，由于。 13一口袋中裝有四只球，分別標有數(shù)字1，1，2，3。現(xiàn)從袋中任取一球后不放回，再從袋

15、中任取一球，以、分別表示第一次、第二次取得球上標有的數(shù)字。求：1和的聯(lián)合概率分布及關(guān)于和關(guān)于邊緣分布；2與是否獨立？為什么？解：1，的概率分布表為 1 2 3 1 1/6 1/6 1/6 2 1/6 0 1/12 3 1/6 1/12 0的邊緣概率分布為 1 2 3 1/2 1/4 1/4的邊緣概率分布為 1 2 3 1/2 1/4 1/42與不獨立，由于14設(shè)為由拋物線和所圍成區(qū)域，在區(qū)域上服從均勻分布，試求：1的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度；2判定隨機變量與是否相互獨立。解：如下圖，的面積為因此均勻分布定義得的聯(lián)合概率密度為 1 而所以關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布密度分別為2由于，故隨機變量與不相互

16、獨立。15設(shè)二維隨機變量，的概率分布為求：1隨機變量*的密度函數(shù)； 2概率。解：1時，=0；時，=故隨機變量的密度函數(shù)=216設(shè)隨機向量的概率密度為試求:1常數(shù)；2關(guān)于的邊緣概率密度。解：1由歸一性所以。 的聯(lián)合概率密度為 2關(guān)于的邊緣概率密度為即 同理可求得關(guān)于的邊緣分布密度為 17設(shè)隨機變量，具有概率密度，求1常數(shù)C；2邊緣分布密度。解：1由于，故 1=所以=1，即2，即，即 18設(shè)和相互獨立，下表列出了二維隨機變量(，)聯(lián)合分布律及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律的局部值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處。1/81/121/61解：1/121/87/241/21/121/87/241/21/61/47

17、/121第三章 隨機變量的數(shù)字特征三、解答題 1設(shè)隨機變量，求：常數(shù)；2；3。 解：1由歸一性 1=從而得，； 2=3由于=于是2設(shè)的分布密度為，求：數(shù)學期望和方差。解：=于是3隨機變量的分布列如下， 0 1 2 0.3 0.2 0.5 試求：1、；2；3的分布函數(shù)。解： 12經(jīng)計算得的概率分布列 0 0.8 0.2 3 4設(shè)的概率分布為求：和。解：由于在有限區(qū)間1，5上服從均勻分布，所以；又由于服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，所以=、， 因此由數(shù)學期望性質(zhì)2、性質(zhì)3及重要公式得。5、分別服從正態(tài)分布和，且與的相關(guān)系數(shù)，設(shè)，求： 1數(shù)學期望，方差；2與的相關(guān)系數(shù)。解：1由數(shù)學期望、方差的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)

18、的定義得2從而有與的相關(guān)系數(shù) 6設(shè)隨機變量、獨立同服從參數(shù)為泊松分布，求與的相關(guān)系數(shù)。解：由條件、獨立同服從參數(shù)為泊松分布，所以，因此 Cov于是與的相關(guān)系數(shù)7設(shè)一部機器一天發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時全天停頓工作，假設(shè)一周5個工作日無故障可獲利8萬元，發(fā)生一次故障仍獲利4萬元，發(fā)生兩次故障獲利0元，發(fā)生三次或三次以上要虧損2萬元，求一周期望利潤是多少。解：設(shè)表示生產(chǎn)利潤,表示每周發(fā)生故障的次數(shù)，則是的函數(shù)，而，其概率分布為可能取值為2，0，4，8。8設(shè)與獨立同分布，的概率分布為，又設(shè)，。求：1、；2隨機變量的協(xié)方差。解：1的概率分布為 1 2 3 1 1/9 2/9 2/9 2 0

19、 1/9 2/9 3 0 0 1/9 關(guān)于、的邊緣概率分布分別為 1 2 3 1/9 3/9 5/9 1 2 3 5/9 3/9 1/9從而得2 Cov()= 9游客乘電梯從低層到電視塔頂層觀光，電梯每個整點的第5分鐘、25分鐘、55分鐘從低層起行。假設(shè)一游客在早八點的第分鐘到達低層候梯處，且在0，60上均勻分布，求該游客等候時間的數(shù)學期望。解：在0，60上均勻分布，其概率分布為設(shè)表示游客等候電梯時間單位：分，則因此+第四章隨機變量及其分布三、解答題 1隨機變量的概率分布為 1 2 3 0.2 0.3 0.5 試利用切比雪夫不等式估計事件的概率。解：依題意，故由切比雪夫不等式知，所求事件的概率為第五章隨機變量及其分布三、解答題1設(shè)為的一個樣本，其中為未知參數(shù)，求的極大似然法估計量。 解：設(shè)為觀測值，則構(gòu)造似然函數(shù)令解得的極大似然估計量為2設(shè)總體的分布列為 1 0為的一個樣本，求