1-材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型-數(shù)學(xué)模型

1、計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)中的應(yīng)用第一章材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模實(shí)體：客觀存在的事物及其運(yùn)動(dòng)形態(tài)模型：對(duì)實(shí)體的特征及其變化規(guī)律的表示或抽象。一、數(shù)學(xué)模型的概念廣義：以相應(yīng)的客觀原型作為背景加以一級(jí)或多 級(jí)抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)式子、數(shù)學(xué)理論等。 如，牛頓三定律 狹義：反映特問(wèn)題或特定事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)。 如，人口增長(zhǎng)模型等。數(shù)學(xué)模型：利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系建立起來(lái)的符號(hào)系統(tǒng)2、數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類(lèi)模型的逼

2、真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)模型的分類(lèi)1）變量的性質(zhì)離散模型確定性模型線(xiàn)性模型單變量模型連續(xù)模型隨機(jī)性模型非線(xiàn)性模型多變量模型2）時(shí)間變化對(duì)模型的影響靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動(dòng)態(tài)模型參數(shù)時(shí)變模型3）模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)模型等。4）建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）初等模型、幾何模型、線(xiàn)性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。5）建

3、立數(shù)學(xué)模型的目的描述性模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度白箱模型：其內(nèi)在機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科問(wèn)題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等?；蚁淠Ｐ停浩鋬?nèi)在機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問(wèn)題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機(jī)理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等。3、數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到高度的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具。作用有助于深刻了解過(guò)程的性質(zhì)和過(guò)程變

4、量間的相互關(guān)系；探索改變工藝操作參數(shù)的效果，為工藝優(yōu)化提供手段；探討設(shè)備參數(shù)對(duì)生產(chǎn)的影響，為改進(jìn)設(shè)備提供依據(jù)；實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)過(guò)程判斷和過(guò)程的自動(dòng)控制。高效指導(dǎo)新工藝開(kāi)發(fā)過(guò)程估計(jì)過(guò)程的可行性規(guī)劃實(shí)驗(yàn)室規(guī)模實(shí)驗(yàn)為半工業(yè)實(shí)驗(yàn)及其放大提供參考和進(jìn)行評(píng)估4、數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)問(wèn)題求解相互促進(jìn)模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用Mathematical modeling 構(gòu)造刻畫(huà)客觀事物原型的數(shù)學(xué)模型并用以分析、研究和解決實(shí)際問(wèn)題的一種科學(xué)方法，是一種從無(wú)到有的創(chuàng)新活動(dòng)過(guò)程。二、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的

5、信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信息。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具）利用獲取的數(shù)

6、據(jù)資料，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（估計(jì)）對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差,則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)計(jì)算應(yīng)用方式因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而異數(shù)學(xué)建模思路例： 商人們?cè)鯓影踩^(guò)河問(wèn)題(智力游戲) 3名商人 3名隨從隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就搶貨逃跑。但是乘船渡河的方案由商人決定。商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程河小船(至多2人) 每一步，即船由此岸駛向彼岸或從彼岸駛回此岸，都要對(duì)船上的人員（商人、隨從

7、）及其人數(shù)作出決策。在保證安全的前提條件下（兩岸的隨從數(shù)不比商人多，包括船靠岸時(shí)），在有限步內(nèi)使所有人員全部過(guò)河。 用狀態(tài)表示某一岸的人員狀況，決策（變量）表示船上的人員狀況，可以找出狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律。 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在狀態(tài)的允許變化范圍內(nèi)（安全渡河條件），確定每一步的決策，達(dá)到渡河的目標(biāo)。問(wèn)題分析模型構(gòu)成xk：第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk：第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,，nsk=(xk , yk)：狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S ：安全渡河條件下的狀態(tài)集合uk：第k次渡船上的商人

8、數(shù)vk ：第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)：決策允許決策集合：uk, vk=0,1,2; k=1,2,nD=(u , v) u+v=1, 2狀態(tài)的數(shù)學(xué)表述：決策的數(shù)學(xué)表述： 安全狀態(tài)：商人們安全是指在兩岸都安全，故當(dāng)x=0,3時(shí)，y=0,1,2,3，而當(dāng)x=1,2時(shí),此岸要求xy,對(duì)岸要求3-x3-y,綜合即x=y (3,3)(3,2)(3,1)(2,2)(3,0)(0,3)(0,2)(1,1)(0,1)(3,2)(3,1)(2,2)(3,0)(0,3)(0,2)(1,1)(0,1)(0,0)模型構(gòu)成sk+1=sk dk +(-1)k因k為奇數(shù)時(shí)船從此岸駛向彼岸， k為偶數(shù)時(shí)船從彼

9、岸駛回此岸，狀態(tài)s隨決策d變化規(guī)律(狀態(tài)轉(zhuǎn)移律)是：求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達(dá) sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題狀態(tài)轉(zhuǎn)移律模型求解xy3322110 圖解法狀態(tài)s=(x,y) ：16個(gè)格點(diǎn) 10個(gè) 點(diǎn)允許決策：移動(dòng)1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法。d1d11允許狀態(tài)：S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2？討論與練習(xí)：還有沒(méi)有其他安全渡河方案？如果有，請(qǐng)用圖解法給出方案。請(qǐng)寫(xiě)出安全渡河方案：每一次決策的策略和此

10、岸的狀態(tài)。例：d1(u,v):d1(0,2), S2(3,1)?？紤]4名商人各帶一隨從的情況？安全過(guò)河問(wèn)題 4名商人 4名隨從4名商人帶著4名隨從來(lái)到河邊準(zhǔn)備渡河。河邊有一小船，每次渡河時(shí)，小船最多能坐3人。隨從密約, 在河的任何一岸, 只要隨從的人數(shù)比商人多, 就搶貨逃跑。但是，乘船渡河的方案由商人決定。河小船(至多3人)請(qǐng)建立商人安全渡河的數(shù)學(xué)模型，給出至少兩種安全渡河方案? 并制定最佳的渡河方案，也就是渡河次數(shù)最少的方案。例3：金屬中空位形成能建模研究1）建模準(zhǔn)備 金屬中空位研究的重要性，研究空位缺陷的形成能。 高能粒子對(duì)材料性能的影響，尤其是反應(yīng)堆的金屬材料在高能粒子的輻射作用下，性質(zhì)

11、如何變化，如何保證其安全運(yùn)行？ 固體受輻射后產(chǎn)生三種效應(yīng)： 電離、蛻變和離位(產(chǎn)生空位和填隙粒子)，其中離位是金屬中最主要的輻照效應(yīng)。例3：金屬中空位形成能建模研究A2L13I空位形成的模型1形成空位2蒸發(fā)3形成填隙原子例3：金屬中空位形成能建模研究2）建模假設(shè)與模型構(gòu)造a. 金屬材料為晶體，晶體為面心立方結(jié)構(gòu)，原子間的交互作用限于最近鄰；b. 空位的形成能定義為：從晶體內(nèi)部取出一個(gè)原子放到晶體表面所需的能量；c. 為不顯著影響晶體表面的形狀，取出的晶體放在晶體表面的臺(tái)階處。例3：金屬中空位形成能建模研究3）模型求解和模型分析 面心立方體（配位數(shù)為12）取出離子要割斷12個(gè)鍵，而在表面臺(tái)階處放

12、置一個(gè)原子，要形成6個(gè)鍵，因此凈效應(yīng)為割斷6個(gè)鍵，其能量?jī)粜?yīng)等于晶體的結(jié)合能。 結(jié)論：空位形成能與結(jié)合能間有密切的關(guān)系。例3：金屬中空位形成能建模研究4）模型檢驗(yàn)結(jié)合能愈大，熔點(diǎn)愈高，則空位形成能愈大。結(jié)論基本符合實(shí)驗(yàn)事實(shí)。 實(shí)際空位形成能只有結(jié)合能的1/21/4（？）未考慮金屬鍵的特征和空位周?chē)拥奈灰啤?重新建模。(1) 從內(nèi)部取出正離子的情況從晶體點(diǎn)陣中取出一個(gè)正離子，設(shè)所帶正電荷均勻散布于晶體中以抵消它的價(jià)電子，使整個(gè)晶體仍保持電中性，形成穴位靜電效應(yīng)。對(duì)于單價(jià)金屬，空位的靜電效應(yīng)，即空位的附加電荷為-Ze(Z=-1)，引起導(dǎo)帶電子的屏蔽效應(yīng)。達(dá)到平衡后，空位周?chē)槐Ａ艟植康母蓴_電

13、勢(shì)(Vp)。設(shè)導(dǎo)帶的電子濃度為n，靜電能的增加等于nVp的體積積分：式中：r表示積分元到空位中心的距離 R表示積分區(qū)域的半徑。(1-1)RP根據(jù)電子屏蔽模型：Vp與Z應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系式中：N0(Em)表示晶體導(dǎo)帶在費(fèi)米能級(jí)Em處的能態(tài)密度。從式(1-1)和(1-2)中消去積分，可得：(1-2)(1-3)對(duì)于自由電子：這里C是一個(gè)常數(shù)，將式(1-4)、(1-5)代入(1-3)，則：(1-4)(1-5)(1-6)2) 正離子放在表面臺(tái)階由于自由電子氣的膨脹，造成費(fèi)米能的下降。式中：N為晶體中的原子數(shù)，V為晶體的總體積。由式(1-5)，即：(1-7)若體積膨脹了V，費(fèi)米能級(jí)的變化Em 。對(duì)式(1-7)兩邊

14、取微分，由模型可知，V等于一個(gè)原子體積，V/V就等于1/N;而自由電子的平均動(dòng)能為(3/5)EM,，因此總的費(fèi)米能變化為：對(duì)式(1-7)兩邊取微分，得：(1-8)(1-9)因此，在此模型下，即考慮取出原子后的內(nèi)部能量變化E1和放置在臺(tái)階上的能量變化E2后，E1和E2相加就等于空位的形成能：(1-10)重新建模結(jié)果： E= Em金屬Uf/eV(淬火)Uf/eV（正電子湮滅）Uf/eV（中位值）Uf/eV（計(jì)算值）Cu1.271.291.280.8-1.0Ag1.101.161.130.6-0.92Au0.940.970.950.6-0.77 空位形成能（實(shí)驗(yàn)值與理論值的對(duì)照）例3：金屬中空位形成

15、能建模研究415若考慮到空位周?chē)脑勇杂兴神Y，可能降低能量，因而有第三項(xiàng)E3，比如對(duì)銅的估計(jì)值為。這樣，E1、E2、E3三項(xiàng)的迭加就近似等于實(shí)驗(yàn)值。金屬Uf/eV(淬火)Uf/eV（正電子湮滅）Uf/eV（最佳值）Uf/eV（計(jì)算值）Cu1.271.291.280.8-1.0+0.3Ag1.101.161.130.6-0.92Au0.940.970.950.6-0.77例3：金屬中空位形成能建模研究5）模型應(yīng)用根據(jù)模型可求解空位濃度：式中：c為平衡狀態(tài)下的空位深度； Uf為空位形成能； Sf為形成一個(gè)空位改變了周?chē)诱駝?dòng)所引起的擾動(dòng)熵； k為玻爾茲曼常數(shù)； T為熱力學(xué)溫度。(1-11) 數(shù)

16、學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律，建立的模型通常具有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。三、數(shù)學(xué)建模的方法測(cè)試分析將對(duì)象看作“黑箱”, 內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，可以測(cè)量系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型，并確定模型參數(shù)。系統(tǒng)辨識(shí)。機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究 (Case Studies)來(lái)學(xué)習(xí)。 如：量綱分析方法、變分法、層次分析法、概率分布等二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)。數(shù)學(xué)建模的方法數(shù)學(xué)建模的方法4、數(shù)據(jù)分析方法2、理論分析法3、類(lèi)比方法1、模擬方法機(jī)理分析測(cè)試分析1、模擬方法 模型

17、的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量關(guān)系及求解卻相當(dāng)麻煩。 如果有另一種系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與其相同，而且構(gòu)造出的模型相似，就可以把后一種模型看成是原來(lái)模型的模擬，而對(duì)后一個(gè)模型去分析或?qū)嶒?yàn)并求得其結(jié)果。 模擬方法：通過(guò)在實(shí)驗(yàn)室中設(shè)計(jì)和制作出與某自然現(xiàn)象或過(guò)程(即原型)相似的模型來(lái)間接地研究原型的形態(tài)、特點(diǎn)和規(guī)律性的方法。 模擬的基本思想：建立一個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，這個(gè)模型包含所研究系統(tǒng)的主要特點(diǎn)通過(guò)對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪\(yùn)行，獲得所要研究系統(tǒng)的必要信息 模擬特點(diǎn)：可對(duì)已事過(guò)境遷的自然現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，可將研究對(duì)象放大或縮小并在短時(shí)間內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)，可使人在某些特殊實(shí)驗(yàn)中趨利避害。模擬的方法：物理模擬和數(shù)學(xué)模擬物理模擬：

18、 對(duì)實(shí)際系統(tǒng)及其過(guò)程用功能相似的實(shí)物系統(tǒng)去模仿。例如，軍事演習(xí)、船艇實(shí)驗(yàn)、沙盤(pán)作業(yè)等。 物理模擬通?；ㄙM(fèi)較大、周期較長(zhǎng)，且在物理模型上改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和系數(shù)都較困難。而且，許多系統(tǒng)無(wú)法進(jìn)行物理模擬，如社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等。 在實(shí)際問(wèn)題中，面對(duì)一些帶隨機(jī)因素的復(fù)雜系統(tǒng)，用分析方法建模常常需要作許多簡(jiǎn)化假設(shè)，與面臨的實(shí)際問(wèn)題可能相差甚遠(yuǎn)，以致解答根本無(wú)法應(yīng)用。這時(shí)，計(jì)算機(jī)模擬幾乎成為唯一的選擇。 在一定的假設(shè)條件下，運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算模擬系統(tǒng)的運(yùn)行，稱(chēng)為數(shù)學(xué)模擬?，F(xiàn)代的數(shù)學(xué)模擬都是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，稱(chēng)為計(jì)算機(jī)模擬。計(jì)算機(jī)模擬可以反復(fù)進(jìn)行，改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系數(shù)都比較容易。數(shù)學(xué)模擬在我方某前沿防守地域，敵人

19、以一個(gè)炮排（含兩門(mén)火炮）為單位對(duì)我方進(jìn)行干擾和破壞為躲避我方打擊，敵方對(duì)其陣地進(jìn)行了偽裝并經(jīng)常變換射擊地點(diǎn) 經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn)，我方指揮所對(duì)敵方目標(biāo)的指示有50是準(zhǔn)確的，而我方火力單位，在指示正確時(shí)，有1/3的射擊效果能毀傷敵人一門(mén)火炮，有1/6的射擊效果能全部消滅敵人 現(xiàn)在希望能用某種方式把我方將要對(duì)敵人實(shí)施的20次打擊結(jié)果顯現(xiàn)出來(lái)，確定有效射擊的比率及毀傷敵方火炮的平均值。分析：這是一個(gè)概率問(wèn)題，可以通過(guò)理論計(jì)算得到相應(yīng)的概率和期望值.但這樣只能給出作戰(zhàn)行動(dòng)的最終靜態(tài)結(jié)果，而顯示不出作戰(zhàn)行動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程. 為了能顯示我方20次射擊的過(guò)程，現(xiàn)采用模擬的方式。例1：炮彈有效打擊的模擬 需要模擬出以

20、下兩件事： (1). 問(wèn)題分析2 當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況1 觀察所對(duì)目標(biāo)的指示正確與否模擬試驗(yàn)有兩種結(jié)果，每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率都是1/2 因此，可用投擲一枚硬幣的方式予以確定，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)為指示正確，反之為不正確。 模擬試驗(yàn)有三種結(jié)果： 毀傷一門(mén)火炮的可能性為1/3(即2/6)； 毀傷兩門(mén)的可能性為1/6； 沒(méi)能毀傷敵火炮的可能性為1/2(即3/6)。 可用投擲骰子的方法來(lái)確定：如果出現(xiàn)的是、三個(gè)點(diǎn)：則認(rèn)為沒(méi)能擊中敵人；如果出現(xiàn)的是、點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人一門(mén)火炮；若出現(xiàn)的是點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人兩門(mén)火炮。(2). 符號(hào)假設(shè)i：模擬的打擊次數(shù)； k1：沒(méi)擊中敵人火炮的射擊總數(shù)；

21、k2：擊中敵人一門(mén)火炮的射擊總數(shù)；k3：擊中敵人兩門(mén)火炮的射擊總數(shù)E：有效射擊比率； E1：20次射擊平均每次毀傷敵人的火炮數(shù)(3). 模擬框圖初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1骰子點(diǎn)數(shù)?k1=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k1+1i20?E=(k2+k3)/20 E1=0*k1/20+1*k2/20+2*k3/20停止硬幣正面?YNNY1，2，34，56投擲硬幣的計(jì)算機(jī)模擬1、產(chǎn)生服從均勻分布U（0，1）的隨機(jī)數(shù)R12、將區(qū)間0，1兩等分： 若 ，則對(duì)應(yīng)硬幣正面 若 ，則對(duì)應(yīng)硬幣反面擲骰子的計(jì)算機(jī)模擬1、產(chǎn)生服從均勻分布U（0，1）的隨機(jī)數(shù)R22、將區(qū)間0，1

22、六等份： 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為1 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為2 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為3 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為4 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為5 若 ，則對(duì)應(yīng)骰子點(diǎn)數(shù)為6(4). 模擬結(jié)果從以上模擬結(jié)果可計(jì)算出： E= (5). 理論計(jì)算(6). 結(jié)果比較雖然模擬結(jié)果與理論計(jì)算不完全一致，但它卻能更加真實(shí)地表達(dá)實(shí)際戰(zhàn)斗動(dòng)態(tài)過(guò)程 蒙特卡洛方法基本原理：首先建立一定的隨機(jī)過(guò)程或模型，使其參數(shù)等于問(wèn)題的解；然后通過(guò)對(duì)模型或過(guò)程的觀察來(lái)計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征；最后給出所求問(wèn)題的近似值，并可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)方差來(lái)判斷解的精度。 蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是一種應(yīng)用隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的方法此方法對(duì)研究的

23、系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)觀察抽樣，通過(guò)對(duì)樣本值的觀察統(tǒng)計(jì)，求得所研究系統(tǒng)的某些參數(shù) 的計(jì)算向靶投飛鏢模擬落在陰影區(qū)的點(diǎn)數(shù)為Nc, 落在靶上的總點(diǎn)數(shù)為Ns, 則命中率為：則：生成隨機(jī)數(shù)（x,y）0,r. 若x2+y2=r2,則認(rèn)為落在陰影內(nèi)。r構(gòu)造模擬（概率）模型 模型的相關(guān)變量是所求問(wèn)題的解.隨機(jī)抽樣 通過(guò)具有概率分布的模擬隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬隨機(jī)現(xiàn)象估計(jì)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量比值：統(tǒng)計(jì)量（N0）/統(tǒng)計(jì)量（N1）統(tǒng)計(jì)量精度：均值或方差散點(diǎn)圖：均值或方差變化幅度蒙特卡洛方法模擬基本步驟等離子噴涂工藝表面形貌研究: MC基于一定的初始顆粒分布，利用MC模擬涂層的三維形貌。方法：在基體表面劃分有限個(gè)網(wǎng)絡(luò)單元，各單元中記錄下不同類(lèi)

24、型的顆粒數(shù)，然后利用隨機(jī)模型在各單元內(nèi)產(chǎn)生足夠充分的顆粒數(shù)。50個(gè)ZrO2顆粒與50個(gè)Ni顆粒在基體表面的初始分布情況。假設(shè)在噴涂時(shí)，涂層沉積過(guò)程中，仍滿(mǎn)足相同的分布規(guī)律，即其在空間的分布函數(shù)一定。等離子噴涂工藝表面形貌研究模擬更多顆粒沉積在基體表面的三維形貌，用MC模型生成隨機(jī)的網(wǎng)格行號(hào)和列號(hào)Grandom-i random-j，然后將其中的顆粒數(shù)與原有網(wǎng)絡(luò)疊加。等離子噴涂工藝表面形貌研究若將基體表面劃分為NN個(gè)網(wǎng)格，則每進(jìn)行一次隨機(jī)操作，均將生成NN個(gè)隨機(jī)網(wǎng)格號(hào)并依次與原有網(wǎng)格疊加。每次隨機(jī)的網(wǎng)格行號(hào)random-i 與列號(hào)random-j在0,N范圍內(nèi)滿(mǎn)足均勻分布規(guī)律，以保證各網(wǎng)格所載入

25、的信息與初始信息總體上相一致，即符合相同的質(zhì)量、直徑等分布規(guī)律。模擬結(jié)果例2：鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布根據(jù)一定比例，采用模具將環(huán)氧樹(shù)脂制備成同樣結(jié)構(gòu)的模型，并加工出同樣結(jié)構(gòu)的裂紋。放入恒溫箱，對(duì)其在凍結(jié)溫度下加載，并在載荷不變的條件下緩慢冷卻到室溫卸載；在平面偏整光場(chǎng)或圓偏振光下觀察，環(huán)氧樹(shù)脂中將出現(xiàn)一定分布的條紋，用照相法將條紋記錄下來(lái)并確定條紋級(jí)數(shù)計(jì)算應(yīng)力；根據(jù)相似原理、材料等確定比例系數(shù)，將計(jì)算出的應(yīng)力換算為鋼鐵材料中的應(yīng)力，獲得裂紋尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布 通過(guò)彈塑性力學(xué)和斷裂力學(xué)計(jì)算，但求解復(fù)雜；可以借助于實(shí)驗(yàn)光測(cè)力學(xué)的手段來(lái)完成分析。2、理論分析法例1：在煉鋼滲

26、碳工藝過(guò)程中通過(guò)平衡理論找出： 控制參量與爐氣碳勢(shì)間的關(guān)系(？) 應(yīng)用自然科學(xué)中的定理和定律，對(duì)研究對(duì)象的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立研究對(duì)象數(shù)學(xué)模型。序號(hào)CO2體積分?jǐn)?shù)( co2) %碳勢(shì)Cc%10.810.6320.620.7230.510.7840.380.8550.310.9560.211.11甲醇加煤油氣氛的滲碳工藝中，爐氣碳勢(shì)與CO2含量的關(guān)系。理論分析鋼在爐氣中發(fā)生如下反應(yīng)：CFe + CO2 = 2 CO式中：CFe為鋼中的碳。根據(jù)化學(xué)反應(yīng)平衡原理，可以求出該反應(yīng)的平衡常數(shù)K：式中：c為碳在奧氏體中的活度； c=wc/wc(A), wc(A)為奧氏體中飽和碳含量，Wc

27、為奧氏體中的實(shí)際； Pco和Pco2為平衡時(shí)co和co2的分壓。 通過(guò)理論推導(dǎo)，將相關(guān)參數(shù)代入即可求得碳勢(shì)與爐氣CO、CO2含量及溫度的關(guān)系。理論推導(dǎo)與演算根據(jù)上述理論推導(dǎo)的結(jié)果和實(shí)際數(shù)據(jù)建立模型：式中：P為總壓，設(shè)P=1atm; c為碳在奧氏體中的活度；c=wc/wc(A), wc(A)為奧氏體中飽和碳含量，Wc為奧氏體中的實(shí)際碳含量； Pco和Pco2為平衡時(shí)co和co2的分壓； co和 co2平衡時(shí)co和co2的體積分?jǐn)?shù)。根據(jù)上述理論推導(dǎo)的結(jié)果和實(shí)際數(shù)據(jù)建立模型：式中：Cc表示平衡碳濃度，即爐氣碳勢(shì); Cc(A)表示加熱溫度T時(shí)奧氏體中的飽和碳濃度； 在溫度一定時(shí)，K和Cc(A)為常數(shù)，

28、如不考慮CO及其它因素的影響，將co等視為常數(shù)，可得出：式中：A為常數(shù)對(duì)取對(duì)數(shù)，得：令lgCc=Y, lg co2=x,系數(shù)為b，可得： 利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，得到回歸方程： 將參數(shù)進(jìn)行還原，即得到碳勢(shì)控制的單參數(shù)數(shù)學(xué)模型為：例2：雙層玻璃的功效一般北方建筑的窗戶(hù)玻璃為雙層玻璃，若玻璃的厚度為d，空氣層的厚度為l. 試建立數(shù)學(xué)模型描述熱量通過(guò)窗戶(hù)的傳導(dǎo)過(guò)程，并將雙層玻璃窗與同樣多材料做成的單層玻璃窗(厚度為2d)的熱量傳導(dǎo)進(jìn)行對(duì)比，給出熱量損失的定量分析。墻lT1dTaTbT2 熱傳導(dǎo)方向墻墻T12dT2 熱傳導(dǎo)方向墻模型假設(shè)熱量的傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流。即假定窗戶(hù)的密封性能很好，兩層玻璃之間的空氣不流動(dòng)。室內(nèi)溫度T1和室外溫度T2保持不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程已處于穩(wěn)定狀態(tài)，即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向，單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱量保持不變。玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)。qx為x方向的熱