第十三章 面板數(shù)據(jù)原理(共14頁)

1、PAGE PAGE 18面板(min bn)數(shù)據(jù)模型1面板(min bn)數(shù)據(jù)定義。時(shí)間序列數(shù)據(jù)或截面數(shù)據(jù)都是一維數(shù)據(jù)。例如時(shí)間序列數(shù)據(jù)是變量按時(shí)間得到(d do)的數(shù)據(jù)；截面數(shù)據(jù)是變量在截面空間上的數(shù)據(jù)。面板數(shù)據(jù)（panel data）也稱時(shí)間序列截面數(shù)據(jù)（time series and cross section data）或混合數(shù)據(jù)（pool data）。面板數(shù)據(jù)是同時(shí)在時(shí)間和截面空間上取得的二維數(shù)據(jù)。面板數(shù)據(jù)示意圖見圖1。面板數(shù)據(jù)從橫截面（cross section）上看，是由若干個(gè)體（entity, unit, individual）在某一時(shí)刻構(gòu)成的截面觀測值，從縱剖面（longit

2、udinal section）上看是一個(gè)時(shí)間序列。面板數(shù)據(jù)用雙下標(biāo)變量表示。例如yi t, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , TN表示面板數(shù)據(jù)中含有N個(gè)個(gè)體。T表示時(shí)間序列的最大長度。若固定t不變，yi ., ( i = 1, 2, , N)是橫截面上的N個(gè)隨機(jī)變量；若固定i不變，y. t, (t = 1, 2, , T)是縱剖面上的一個(gè)時(shí)間序列（個(gè)體）。圖1 N=7，T=50的面板數(shù)據(jù)示意圖例如1990-2000年30個(gè)省份的農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值數(shù)據(jù)。固定在某一年份上，它是由30個(gè)農(nóng)業(yè)總產(chǎn)總值數(shù)字組成的截面數(shù)據(jù)；固定在某一省份上，它是由11年農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值數(shù)據(jù)組成的一個(gè)時(shí)間序列。面板數(shù)

3、據(jù)由30個(gè)個(gè)體組成。共有330個(gè)觀測值。對于面板數(shù)據(jù)yi t, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T來說，如果從橫截面上看，每個(gè)變量都有觀測值，從縱剖面上看，每一期都有觀測值，則稱此面板數(shù)據(jù)為平衡面板數(shù)據(jù)（balanced panel data）。若在面板數(shù)據(jù)中丟失若干個(gè)觀測值，則稱此面板數(shù)據(jù)為非平衡面板數(shù)據(jù)（unbalanced panel data）。注意：EViwes 3.1、4.1、5.0既允許用平衡面板數(shù)據(jù)也允許用非平衡面板數(shù)據(jù)估計(jì)模型。例1（file:panel02）：1996-2002年中國東北、華北、華東(Hudng)15個(gè)省級(jí)地區(qū)的居民家庭人均消費(fèi)（不變價(jià)

4、格）和人均收入數(shù)據(jù)見表1和表2。數(shù)據(jù)是7年的，每一年都有15個(gè)數(shù)據(jù)，共105組觀測值。人均消費(fèi)和收入(shur)兩個(gè)面板數(shù)據(jù)都是平衡面板數(shù)據(jù)，各有15個(gè)個(gè)體。人均消費(fèi)和收入的面板數(shù)據(jù)從縱剖面觀察分別見圖2和圖3。從橫截面觀察分別見圖4和圖5。橫截面數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖的表現(xiàn)與觀測值順序有關(guān)。圖4和圖5中人均消費(fèi)和收入觀測值順序是按地區(qū)名的漢語拼音字母順序排序的。表1 1999-2002年中國(zhn u)東北、華北、華東15個(gè)省級(jí)地區(qū)的居民家庭人均消費(fèi)數(shù)據(jù)（不變價(jià)格）地區(qū)人均消費(fèi)1996199719981999200020012002CP-AH（安徽） 3282.466 3646.150 3777.41

5、0 3989.581 4203.555 4495.174 4784.364CP-BJ（北京） 5133.978 6203.048 6807.451 7453.757 8206.271 8654.433 10473.12CP-FJ（福建） 4011.775 4853.441 5197.041 5314.521 5522.762 6094.336 6665.005CP-HB（河北） 3197.339 3868.319 3896.778 4104.281 4361.555 4457.463 5120.485CP-HLJ（黑龍江） 2904.687 3077.989 3289.990 3596.839

6、 3890.580 4159.087 4493.535CP-JL（吉林） 2833.321 3286.432 3477.560 3736.408 4077.961 4281.560 4998.874CP-JS（江蘇） 3712.260 4457.788 4918.944 5076.910 5317.862 5488.829 6091.331CP-JX（江西） 2714.124 3136.873 3234.465 3531.775 3612.722 3914.080 4544.775CP-LN（遼寧） 3237.275 3608.060 3918.167 4046.582 4360.420 46

7、54.420 5402.063CP-NMG（內(nèi)蒙古） 2572.342 2901.722 3127.633 3475.942 3877.345 4170.596 4850.180CP-SD（山東） 3440.684 3930.574 4168.974 4546.878 5011.976 5159.538 5635.770CP-SH（上海） 6193.333 6634.183 6866.410 8125.803 8651.893 9336.100 10411.94CP-SX（山西） 2813.336 3131.629 3314.097 3507.008 3793.908 4131.273 478

8、7.561CP-TJ（天津） 4293.220 5047.672 5498.503 5916.613 6145.622 6904.368 7220.843CP-ZJ（浙江） 5342.234 6002.082 6236.640 6600.749 6950.713 7968.327 8792.210資料來源：中國統(tǒng)計(jì)年鑒1997-2003。表2 1999-2002年中國東北、華北、華東15個(gè)省級(jí)地區(qū)的居民家庭人均收入數(shù)據(jù)（不變價(jià)格）地區(qū)人均收入1996199719981999200020012002IP-AH（安徽） 4106.251 4540.247 4770.470 5178.528 525

9、6.753 5640.597 6093.333IP-BJ（北京） 6569.901 7419.905 8273.418 9127.992 9999.700 11229.66 12692.38IP-FJ（福建） 4884.731 6040.944 6505.145 6922.109 7279.393 8422.573 9235.538IP-HB（河北） 4148.282 4790.986 5167.317 5468.940 5678.195 5955.045 6747.152IP-HLJ（黑龍江） 3518.497 3918.314 4251.494 4747.045 4997.843 5382

10、.808 6143.565IP-JL（吉林） 3549.935 4041.061 4240.565 4571.439 4878.296 5271.925 6291.618IP-JS（江蘇） 4744.547 5668.830 6054.175 6624.316 6793.437 7316.567 8243.589IP-JX（江西） 3487.269 3991.490 4209.327 4787.606 5088.315 5533.688 6329.311IP-LN（遼寧） 3899.194 4382.250 4649.789 4968.164 5363.153 5797.010 6597.08

11、8IP-NMG（內(nèi)蒙古） 3189.414 3774.804 4383.706 4780.090 5063.228 5502.873 6038.922IP-SD（山東） 4461.934 5049.407 5412.555 5849.909 6477.016 6975.521 7668.036IP-SH（上海） 7489.451 8209.037 8773.100 10770.09 11432.20 12883.46 13183.88IP-SX（山西） 3431.594 3869.952 4156.927 4360.050 4546.785 5401.854 6335.732IP-TJ（天津）

12、 5474.963 6409.690 7146.271 7734.914 8173.193 8852.470 9375.060IP-ZJ（浙江） 6446.515 7158.288 7860.341 8530.314 9187.287 10485.64 11822.00資料來源：中國統(tǒng)計(jì)年鑒1997-2003。 圖2 15個(gè)省級(jí)地區(qū)(dq)的人均消費(fèi)序列（縱剖面） 圖3 15個(gè)省級(jí)地區(qū)(dq)的人均收入序列（file:4panel02） 圖4 15個(gè)省級(jí)地區(qū)(dq)的人均消費(fèi)散點(diǎn)圖 圖5 15個(gè)省級(jí)地區(qū)的人均收入散點(diǎn)圖（7個(gè)橫截面疊加）(每條連線表示同一年度15個(gè)地區(qū)的消費(fèi)值) (每條連線表示

13、同一年度15個(gè)地區(qū)的收入值)用CP表示消費(fèi)，IP表示收入。AH, BJ, FJ, HB, HLJ, JL, JS, JX, LN, NMG, SD, SH, SX, TJ, ZJ分別表示安徽省、北京市、福建省、河北省、黑龍江省、吉林省、江蘇省、江西省、遼寧省、內(nèi)蒙古自治區(qū)、山東省、上海市、山西省、天津市、浙江省。15個(gè)地區(qū)7年人均消費(fèi)對收入的面板數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖見圖6和圖7。圖6中每一種符號(hào)代表一個(gè)省級(jí)地區(qū)的7個(gè)觀測點(diǎn)組成的時(shí)間序列。相當(dāng)于觀察15個(gè)時(shí)間序列。圖7中每一種符號(hào)代表一個(gè)年度的截面散點(diǎn)圖（共7個(gè)截面）。相當(dāng)于觀察7個(gè)截面散點(diǎn)圖的疊加。圖6 用15個(gè)時(shí)間序列(xli)表示的人均消費(fèi)對收入的

14、面板數(shù)據(jù)圖7 用7個(gè)截面(jimin)表示的人均消費(fèi)對收入的面板數(shù)據(jù)（7個(gè)截面疊加） 為了觀察得更清楚一些(yxi)，圖8給出北京和內(nèi)蒙古1996-2002年消費(fèi)對收入散點(diǎn)圖。從圖中可以看出，無論是從收入還是從消費(fèi)看內(nèi)蒙古的水平都低于北京市。內(nèi)蒙古2002年的收入與消費(fèi)規(guī)模還不如北京市1996年的大。圖9給出該15個(gè)省級(jí)地區(qū)1996和2002年的消費(fèi)對收入散點(diǎn)圖?？梢?年之后15個(gè)地區(qū)的消費(fèi)和收入都有了相應(yīng)的提高。 圖8 北京和內(nèi)蒙古1996-2002年消費(fèi)對收入時(shí)序圖 圖9 1996和2002年15個(gè)地區(qū)的消費(fèi)對收入散點(diǎn)圖2面板(min bn)數(shù)據(jù)的估計(jì)。用面板數(shù)據(jù)建立的模型通常有3種。即混

15、合估計(jì)(gj)模型、固定效應(yīng)模型和隨機(jī)效應(yīng)模型。2.1 混合估計(jì)(gj)模型。如果從時(shí)間上看，不同個(gè)體之間不存在顯著性差異；從截面上看，不同截面之間也不存在顯著性差異，那么就可以直接把面板數(shù)據(jù)混合在一起用普通最小二乘法（OLS）估計(jì)參數(shù)。如果從時(shí)間和截面看模型截距都不為零，且是一個(gè)相同的常數(shù)，以二變量模型為例，則建立如下模型， yit = +1 xit +it, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (1) 和1不隨i，t變化。稱模型(1)為混合估計(jì)模型。以例1中15個(gè)地區(qū)1996和2002年數(shù)據(jù)建立關(guān)于消費(fèi)的混合估計(jì)模型，得結(jié)果如下：圖10 EViwes估計(jì)方法：在打開工

16、作文件窗口的基礎(chǔ)上，點(diǎn)擊主功能菜單中的Objects鍵，選New Object功能，從而打開New Object（新對象）選擇窗。在Type of Object選擇區(qū)選擇Pool（混合數(shù)據(jù)庫），點(diǎn)擊OK鍵，從而打開Pool（混合數(shù)據(jù)）窗口。在窗口中輸入15個(gè)地區(qū)標(biāo)識(shí)AH（安徽）、BJ（北京）、ZJ（浙江）。工具欄中點(diǎn)擊Sheet鍵，從而打開Series List（列寫序列名）窗口，定義變量CP?和IP?，點(diǎn)擊OK鍵，Pool（混合或合并數(shù)據(jù)庫）窗口顯示面板數(shù)據(jù)。在Pool窗口的工具欄中點(diǎn)擊Estimate鍵，打開Pooled Estimation（混合估計(jì)）窗口如下圖。圖11在Dependen

17、t Variable（相依變量）選擇窗填入CP?；在Common coefficients（系數(shù)相同）選擇窗填入IP?；Cross section specific coefficients（截面系數(shù)不同）選擇窗保持(boch)空白；在Intercept（截距項(xiàng)）選擇窗點(diǎn)擊(din j)Common；在Weighting（權(quán)數(shù)(qunsh)）選擇窗點(diǎn)擊No weighting。點(diǎn)擊Pooled Estimation（混合估計(jì)）窗口中的OK鍵。得輸出結(jié)果如圖10。相應(yīng)表達(dá)式是= 129.6313 +0.7587 IPit (2.0) (79.7) R2 = 0.98, SSEr = 482458

18、8, t0.05 (103) = 1.9915個(gè)省級(jí)地區(qū)的人均支出平均占收入的76%。如果從時(shí)間和截面上看模型截距都為零，就可以建立不含截距項(xiàng)的（ = 0）的混合估計(jì)模型。以二變量模型為例，建立混合估計(jì)模型如下， yit = 1 xit +it, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (2)對于本例，因?yàn)樯鲜街械慕鼐囗?xiàng)有顯著性（t = 2.0 t0.05 (103) = 1.99），所以建立截距項(xiàng)為零的混合估計(jì)模型是不合適的。EViwes估計(jì)方法：在Pooled Estimation（混合估計(jì)）對話框中Intercept（截距項(xiàng)）選擇窗中選None，其余選項(xiàng)同上。2.2 固

19、定效應(yīng)模型。在面板數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖中，如果對于不同的截面或不同的時(shí)間序列，模型的截距是不同的，則可以采用在模型中加虛擬變量的方法估計(jì)回歸參數(shù)，稱此種模型為固定效應(yīng)模型（fixed effects regression model）。固定效應(yīng)模型分為3種類型，即個(gè)體固定效應(yīng)模型（entity fixed effects regression model）、時(shí)刻固定效應(yīng)模型（time fixed effects regression model）和時(shí)刻個(gè)體固定效應(yīng)模型（time and entity fixed effects regression model）。下面分別介紹。（1）個(gè)體固定效應(yīng)模型。個(gè)

20、體固定效應(yīng)模型(mxng)就是對于不同的個(gè)體有不同截距的模型。如果對于不同的時(shí)間序列（個(gè)體）截距是不同的，但是對于不同的橫截面，模型的截距沒有顯著性變化，那么就應(yīng)該建立個(gè)體固定效應(yīng)模型，表示如下， yit = 1 xit +1 W1 + 2 W2 + +N WN +it, t = 1, 2, , T (3)其中(qzhng)Wi =it, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T，表示(biosh)隨機(jī)誤差項(xiàng)。yit, xit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T分別表示被解釋變量和解釋變量。模型（3）或者表示為 y1t = 1 +1 x1t +1t, i

21、 = 1（對于第1個(gè)個(gè)體，或時(shí)間序列），t = 1, 2, , T y2t = 2 +1 x2t +2 t, i = 2（對于第2個(gè)個(gè)體，或時(shí)間序列），t = 1, 2, , T yN t = N +1 xN t + N t, i = N（對于第N個(gè)個(gè)體，或時(shí)間序列），t = 1, 2, , T寫成矩陣形式，y1 = (1 x1)+1 = 1 + x1 +1yN = (1 xN)+N = N + xN +N上式中yi，i，i，xi都是N1階列向量。為標(biāo)量。當(dāng)模型中含有k個(gè)解釋變量時(shí)，為k1階列向量。進(jìn)一步寫成矩陣形式，= + + 上式中的元素1，0都是T1階列向量。 面板數(shù)據(jù)模型用OLS方法估

22、計(jì)時(shí)應(yīng)滿足如下5個(gè)假定條件：（1）E(it|xi1, xi2, , xiT, i) = 0。以xi1, xi2, , xiT, i為條件的it的期望等于零。（2）(xi1, xi2, , xiT), ( yi1, yi2, , yiT), i = 1, 2, , N分別來自于同一個(gè)聯(lián)合分布總體，并相互獨(dú)立。（3）(xit, it)具有非零的有限值4階矩。（4）解釋變量之間不存在完全共線性。（5）Cov(it is|xit,xis, i) = 0, t s。在固定效應(yīng)模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)it在時(shí)間上是非自相關(guān)的。其中xit代表一個(gè)或多個(gè)解釋變量。對模型（1）進(jìn)行(jnxng)OLS估計(jì)，全部參數(shù)估計(jì)

23、量都是無偏的和一致的。模型的自由度是N T 1N。 當(dāng)模型(mxng)含有k個(gè)解釋(jish)變量，且N很大，相對較小時(shí)，因?yàn)槟Ｐ椭泻衚 + N個(gè)被估參數(shù)，一般軟件執(zhí)行OLS運(yùn)算很困難。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件中是采用一種特殊處理方式進(jìn)行OLS估計(jì)。估計(jì)原理是，先用每個(gè)變量減其組內(nèi)均值，把數(shù)據(jù)中心化（entity-demeaned），然后用變換的數(shù)據(jù)先估計(jì)個(gè)體固定效應(yīng)模型的回歸系數(shù)（不包括截距項(xiàng)），然后利用組內(nèi)均值等式計(jì)算截距項(xiàng)。這種方法計(jì)算起來速度快。具體分3步如下。（1）首先把變量中心化（entity-demeaned）。仍以單解釋變量模型（3）為例，則有 = i + 1+, i = 1, 2,

24、 , N (4)其中=，=，=, i = 1, 2, , N。公式(1)、(4)相減得， (yit -) = 1(xit -) + (it -) (5)令(yit -) =，(xit -) =，(it -) =，上式寫為 = 1+ (6)用OLS法估計(jì)（1）、（6）式中的1，結(jié)果是一樣的，但是用（6）式估計(jì)，可以減少被估參數(shù)個(gè)數(shù)。（2）用OLS法估計(jì)回歸參數(shù)（不包括截距項(xiàng)，即固定效應(yīng)）。 在k個(gè)解釋變量條件下，把用向量形式表示，則利用中心化數(shù)據(jù)，按OLS法估計(jì)公式計(jì)算個(gè)體固定效應(yīng)模型中回歸參數(shù)估計(jì)量的方差協(xié)方差矩陣估計(jì)式如下，() = ()-1 (7)其中=，是相對于的殘差向量。（3）計(jì)算回歸

25、模型截距項(xiàng)，即固定效應(yīng)參數(shù)i。=- (8)以例1（file:panel02）為例得到的個(gè)體固定效應(yīng)模型估計(jì)結(jié)果如下：注意：個(gè)體固定效應(yīng)模型的EViwes輸出(shch)結(jié)果中沒有公共截距項(xiàng)。圖12EViwes估計(jì)(gj)方法：在EViwes的Pooled Estimation對話框中Intercept選項(xiàng)中選(zhng xun)Fixed effects。其余選項(xiàng)同上。注意：（1）EViwes輸出結(jié)果中沒有給出描述個(gè)體效應(yīng)的截距項(xiàng)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差和t值。不認(rèn)為截距項(xiàng)是模型中的重要參數(shù)。（2）當(dāng)對個(gè)體固定效應(yīng)模型選擇加權(quán)估計(jì)時(shí)，輸出結(jié)果將給出加權(quán)估計(jì)和非加權(quán)估計(jì)兩種統(tǒng)計(jì)量評價(jià)結(jié)果。（3）點(diǎn)擊View

26、選Residuals/Table, Graphs, Covariance Matrix, Correlation Matrix功能可以分別得到按個(gè)體計(jì)算的殘差序列表，殘差序列圖，殘差序列的方差協(xié)方差矩陣，殘差序列的相關(guān)系數(shù)矩陣。從結(jié)果看，北京、上海、浙江是消費(fèi)函數(shù)截距（自發(fā)消費(fèi)）最大的3個(gè)地區(qū)。相對于混合估計(jì)模型來說，是否有必要建立個(gè)體固定效應(yīng)模型可以通過F檢驗(yàn)來完成。原假設(shè)H0：不同個(gè)體的模型截距項(xiàng)相同（建立混合估計(jì)模型）。備擇假設(shè)(jish)H1：不同個(gè)體(gt)的模型截距項(xiàng)不同（建立個(gè)體固定效應(yīng)模型）。F統(tǒng)計(jì)(tngj)量定義為：F= (9)其中SSEr，SSEu分別表示約束模型（混合估

27、計(jì)模型）和非約束模型（個(gè)體固定效應(yīng)模型）的殘差平方和。非約束模型比約束模型多了N-1個(gè)被估參數(shù)。（混合估計(jì)模型給出公共截距項(xiàng)。）注意：當(dāng)模型中含有k個(gè)解釋變量時(shí)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的分母自由度是NT-N-k。 用上例計(jì)算，已知SSEr = 4824588，SSEu = 2270386，F(xiàn)= 7.15F0.05(14, 89) = 1.81因?yàn)镕= 7.15 F0.05(14, 89) = 1.81，所以，拒絕原假設(shè)。結(jié)論是應(yīng)該建立個(gè)體固定效應(yīng)模型。（2）隨機(jī)效應(yīng)模型在固定效應(yīng)模型中采用虛擬變量的原因是解釋被解釋變量的信息不夠完整。也可以通過對誤差項(xiàng)的分解來描述這種信息的缺失。 yit = + 1 xit

28、 + it (14)其中誤差項(xiàng)在時(shí)間上和截面上都是相關(guān)的，用3個(gè)分量表示如下。it = ui + vt + wit (15)其中ui N(0, u2)表示截面隨機(jī)誤差分量；vt N(0, v2)表示時(shí)間隨機(jī)誤差分量；wit N(0, w2)表示混和隨機(jī)誤差分量。同時(shí)還假定ui，vt，wit之間互不相關(guān)，各自分別不存在截面自相關(guān)、時(shí)間自相關(guān)和混和自相關(guān)。上述模型稱為隨機(jī)效應(yīng)模型。隨機(jī)效應(yīng)模型和固定效應(yīng)模型比較，相當(dāng)于把固定效應(yīng)模型中的截距項(xiàng)看成兩個(gè)隨機(jī)變量。一個(gè)是截面隨機(jī)誤差項(xiàng)（ui），一個(gè)是時(shí)間隨機(jī)誤差項(xiàng)（vt）。如果這兩個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)都服從正態(tài)分布，對模型估計(jì)時(shí)就能夠節(jié)省自由度，因?yàn)榇藯l件下只

29、需要估計(jì)兩個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)的均值和方差。假定固定效應(yīng)模型中的截距項(xiàng)包括了截面隨機(jī)誤差項(xiàng)和時(shí)間隨機(jī)誤差項(xiàng)的平均效應(yīng)，而且對均值的離差分別是ui和vt，固定效應(yīng)模型就變成了隨機(jī)效應(yīng)模型。為了容易理解，先假定模型中只存在截面隨機(jī)誤差項(xiàng)ui，不存在時(shí)間隨機(jī)誤差分量（vt）， yit = + 1 xit + (wit+ ui) = + 1 xit +it (16)截面隨機(jī)誤差項(xiàng)ui是屬于第個(gè)個(gè)體的隨機(jī)波動(dòng)分量，并在整個(gè)時(shí)間范圍(t = 1,2, , T)保持不變。隨機(jī)誤差項(xiàng)ui, wit應(yīng)滿足如下條件：E(ui) =0, E(wit) = 0E(wit 2) = w2, E(ui 2)= u2,E(wit

30、uj) =0, 包括(boku)所有的i, t, j。E(wit wjs) =0, i j, t sE(ui uj) =0, i j因?yàn)?yn wi)根據(jù)上式有it = wit+ ui所以這種隨機(jī)效應(yīng)模型又稱為(chn wi)誤差分量模型（error component model）。有結(jié)論，E(it ) = E(wit +uj) = 0,(16)式，yit = + 1 xit + (wit+ ui)，也可以寫成yit = ( + ui) + 1 xit + wit。服從正態(tài)分布的截距項(xiàng)的均值效應(yīng)u被包含在回歸函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)中。E(it 2) = E(wit +uj)2 = w2 +u2,E(i

31、t is) = E(wit+ ui)(wis+ ui) = E(wit wis + ui wis + wit ui + ui2) =u2, t s 令i = (i1, i2, iT)則 = E(ii) = =w2 I(TT) +u2 1(T1) 1(T1) 其中I(TT)是(TT)階單位陣，1(T1)是(T1)階列向量。因?yàn)榈趇期與j期觀測值是相互獨(dú)立的，所以NT個(gè)觀測值所對應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與協(xié)方差矩陣V是V = = = INN 其中INN表示由(T1)階列向量為元素構(gòu)成的單位陣，其中每一個(gè)元素1或0都是(T1)階列向量。表示科羅內(nèi)克積（Kronecker product）。其運(yùn)算規(guī)則是 ANKB =檢驗(yàn)個(gè)體隨機(jī)效應(yīng)的原假設(shè)與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是H0：u2 = 0。（混合估計(jì)模