全套電子課件：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)Economic mathematics目 錄函數(shù) 1極限與連續(xù)2導(dǎo)數(shù)與微分3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4積分學(xué)及其應(yīng)用5隨機(jī)變量及其數(shù)字特征數(shù)學(xué)軟件Mathematica應(yīng)用隨機(jī)事件與概率線性代數(shù)初步89目 錄76第1章 函數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)理解函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)定義域和值域的求法，了解分段函數(shù)的特點(diǎn)。掌握函數(shù)的基本性質(zhì)和表示方法。熟練掌握六類基本初等函數(shù)的概念、表達(dá)式、圖形和性質(zhì) 了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念和性質(zhì)，掌握復(fù)合函數(shù)的分解方法。了解常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)的概念及相關(guān)運(yùn)算，會(huì)建立簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系式。1.1 函數(shù)的概念1.1.1 函數(shù)的概念引例1 自由落體運(yùn)動(dòng)設(shè)物體下落的時(shí)間為 t，下落距離為 s，假

2、定開(kāi)始下落的時(shí)刻 t0，那么 s 與 t 之間的依賴關(guān)系由給出，其中g(shù)為重力加速度在這個(gè)關(guān)系中，距離s隨著時(shí)間t的變化而變化其特點(diǎn)是，當(dāng)下落的時(shí)間 t 取定一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的距離 s 的值也就確定了引例2 醫(yī)師用藥醫(yī)師給兒童用藥和成年人不一樣，用藥量可由兒童的體重來(lái)確定要計(jì)算112歲的兒童的體重可用經(jīng)驗(yàn)公式 y2x7，其中 x 代表年齡（歲），y 代表體重（公斤），年齡確定了，相應(yīng)的體重也就確定了函數(shù)的定義1.1 函數(shù)的概念定義1 設(shè)x，y是同一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量，若當(dāng)x取其變化范圍內(nèi)任一值時(shí)，按照某種對(duì)應(yīng)規(guī)則，總能唯一確定變量y的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作yf（x） x 叫做自變

3、量，y 叫做因變量X 的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x的值對(duì)應(yīng)的y的值的集合叫做函數(shù)的值域當(dāng)自變量 x 取數(shù)值 x0 時(shí)，因變量 y 按照對(duì)應(yīng)法則 f 所對(duì)應(yīng)的數(shù)值，稱為函數(shù) yf（x）在點(diǎn) x0 處的函數(shù)值，記作yf（x0）。1.1 函數(shù)的概念例1.1 設(shè) f(x)2x2-3，求 f(-1），f（x0）。例1.2 求函數(shù)的定義域。解解要使分式有意義，必須分母x2+2x-30，即x-3且x1，所以這個(gè)函數(shù)的定義域是(，3)(3，1)(1，)。求函數(shù)定義域時(shí)應(yīng)遵守以下原則：（1）代數(shù)式中分母不能為零；（2）偶次根式內(nèi)表達(dá)式非負(fù)；（3）基本初等函數(shù)要滿足各自的定義要求；（4）對(duì)于表示實(shí)際問(wèn)題的解析

4、式，還應(yīng)保證符合實(shí)際意義1.1 函數(shù)的概念1.1.2 函數(shù)的表示常用的函數(shù)表示方法有表格法、圖像法、解析法(1) 將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表格以表示函數(shù)的方法叫表格法，如三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表及許多的財(cái)務(wù)報(bào)表等(2) 用圖像來(lái)表示自變量值與函數(shù)值的關(guān)系的方法叫圖像法，它的特點(diǎn)是較直觀(3) 用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示自變量和因變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法叫解析法，如ysinX，y2x+1等，它的特點(diǎn)是便于推理與演算分段函數(shù)引例3 乘座火車時(shí)，鐵路部門規(guī)定：隨身攜帶物品不超過(guò)20千克免費(fèi)，超過(guò)20千克部分，每千克收費(fèi)0.2元，超過(guò)50千克部分，再加收50，應(yīng)如何計(jì)算攜帶物品所交的費(fèi)用1.1 函數(shù)的概念設(shè)物品的重

5、量為x，應(yīng)交費(fèi)用為y，則有解對(duì)于分段函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）分段函數(shù)是由幾個(gè)公式合起來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)。（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。（3）在處理問(wèn)題時(shí)，對(duì)屬于某一段的自變量就應(yīng)用該段的表達(dá)式。1.1 函數(shù)的概念1.1.3 反函數(shù)定義 如果已知y是x的函數(shù)，yf（x），則由它所確定的以y為自變量，x為因變量的函數(shù)x（y）就是yf（x）的反函數(shù)，而yf（x）稱為直接函數(shù)函數(shù)yf（x）的定義域和值域分別是其反函數(shù)yf1（x）的值域和定義域函數(shù)yf（x）和它的反函數(shù)yf1（x）的圖像關(guān)于直線yx對(duì)稱單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)與其反函數(shù)單調(diào)性相同例1.3 求函數(shù)yx2，x

6、0， ）的反函數(shù)解 因?yàn)楹瘮?shù)y x2 在區(qū)間0，）上單調(diào)遞增，所以存在反函數(shù)由y x2 解得x y，y0，于是yx2 的反函數(shù)為y x，x0， ）求反函數(shù)的步驟是從yf（x）中解出x，得到xf1（y），再將x和y互換即可1.1 函數(shù)的概念例1.4 求yx的反函數(shù)解 由yx得互換字母x，y得所求反函數(shù)為1.1.4 函數(shù)的性質(zhì)1. 函數(shù)的奇偶性定義 設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即xD-xD若f(-x)f(x)，xD，則稱f（x）為偶函數(shù)；若f(-x)-f(x)，xD，則稱f（x）為奇函數(shù)例如：yx，xR，是偶函數(shù)，其圖像如圖1.1所示；yx，xR，是奇函數(shù)，其圖像如圖1-2所示1.1

7、函數(shù)的概念圖1-1圖1-2偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱兩個(gè)偶函數(shù)之和、差、積、商仍是偶函數(shù)， 兩個(gè)奇函數(shù)之和、差仍是奇函數(shù)， 兩個(gè)奇函數(shù)之積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)之積、商是奇函數(shù)1.1 函數(shù)的概念例1.5 判斷下列函數(shù)的奇偶性解（）因?yàn)樗运?，所以即即是偶函?shù)。2. 函數(shù)的周期性1.1 函數(shù)的概念定義3 給定函數(shù)yf（x），xD，若存在常數(shù)T使得xDxTD且f（xT）f（x），xD，則稱f（x）為周期函數(shù)，常數(shù)T稱為周期滿足條件的最小正數(shù)T稱為f（x）的最小正周期，通常所說(shuō)的周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期例sinx，cosx是周期為的函數(shù)，tanx，cotx是周

8、期為的函數(shù)以T為周期的函數(shù)圖像沿x軸方向左右平移T的整數(shù)倍，圖像將重合3. 函數(shù)的單調(diào)性定義4 若對(duì)于區(qū)間I內(nèi)任意兩點(diǎn)x，x，當(dāng)xx 時(shí)，有f（x）f（x），則稱f（x）在I上單調(diào)增加（如圖1-3），區(qū)間I稱為單調(diào)遞增區(qū)間；若f（x）f（x），則稱f（x）在I上單調(diào)減少（如圖1-4），區(qū)間 I 稱為單調(diào)遞減區(qū)間單調(diào)增加與單調(diào)減少分別稱為遞增與遞減 單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間。1.1 函數(shù)的概念圖1-3圖1-4.函數(shù)的有界性1.1 函數(shù)的概念定義 若存在正數(shù)M，使得在區(qū)間I上|f（x）| M，則稱f（x）在I上有界否則稱為無(wú)界例如函數(shù)ycosX在區(qū)間（ ， ）內(nèi)有|cosX|，所以

9、函數(shù)ycos X在（ ， ）內(nèi)是有界的1.2 初等函數(shù)1.2.1 基本初等函數(shù)常函數(shù)：yc（c為常數(shù)）。冪函數(shù)：yx（ 為常數(shù)）。指數(shù)函數(shù)：yax（a，且a，a為常數(shù)）。對(duì)數(shù)函數(shù)：ylogax（a，且a，a為常數(shù)）。三角函數(shù)：ysinx，ycosx，ytanx，ycotx。以上函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)列表，見(jiàn)P5表1.11.2.2 復(fù)合函數(shù)定義 設(shè)y是u的函數(shù)yf（u），u是x的函數(shù)u（x），如果u（x）的值域或其部分包含于yf（u）定義域中，則y通過(guò)中間變量u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為x的復(fù)合函數(shù)，記為yf（x），其中x是自變量，u是中間變量例1.6 設(shè)y2u，usin x，則由這兩個(gè)函數(shù)組成

10、的復(fù)合函數(shù)為y2sin x復(fù)合函數(shù)也可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成，例如，由函數(shù)ysin u，ue ， tan x復(fù)合后可得復(fù)合函數(shù)ysin etan x例1.7 函數(shù) 是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的？解設(shè) ，則 是由函數(shù) 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。1.2.3 初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算而得到的， 并且能用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例如，等都是初等函數(shù)而不滿足有限次運(yùn)算，1.2 初等函數(shù)不是一個(gè)解析式子表示，因此都不是初等函數(shù)。例1.8 設(shè)，試分析它的結(jié)構(gòu)。解 函數(shù)可分解為1.2 初等函數(shù)1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)1.3.1 單利、復(fù)利與貼現(xiàn)1. 單利計(jì)

11、算公式設(shè)初始本金為P元，銀行年利率為r第一年末的利息為Pr，本利和為第二年利息不計(jì)入本金，即本金為P，第二年末的利息仍為Pr，本利和為依此方法，第n年末的本利和Sn為(1.1)2. 復(fù)利計(jì)算公式設(shè)初始本金為P元，銀行年利率為r第一年末的本利和為第二年利息計(jì)入本金，第二年末的利息為，本利和為依此方法，第n年末的本利和Sn為（1.2）例1.9 設(shè)有初始本金2000元，銀行年儲(chǔ)蓄利率為試求：（）按單利計(jì)算，年末的本利和是多少？（）按復(fù)利計(jì)算，年末的本利和是多少？解（）本金P2000元，年利率r0.04，存期年，由單利計(jì)算公式（1.1）知（）由復(fù)利計(jì)算公式（1.2）知1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)1

12、.3 利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)3. 貼現(xiàn)債券或其他票據(jù)的持有人，為了在票據(jù)到期以前獲得資金， 從票面金額中扣除未到期期間的利息后，得到所余金額的現(xiàn)金，這就是貼現(xiàn)假設(shè)未來(lái)n年復(fù)利年利率r不變，n年后到期價(jià)值R的票據(jù)現(xiàn)值為P，則由復(fù)利計(jì)算公式（1.2）可得例如，復(fù)利年利率為，年后到期價(jià)值是1000元的票據(jù)的現(xiàn)值為1.3.2 需求函數(shù)與供給函數(shù)1. 需求函數(shù)一種商品的市場(chǎng)需求量與消費(fèi)群體的人數(shù)、收入、習(xí)慣及該商品的價(jià)格等諸多因素有關(guān)，為簡(jiǎn)化問(wèn)題的分析，我們只考慮商品價(jià)格對(duì)需求量的影響， 而其他因素暫時(shí)保持某種狀態(tài)不變，需求量犙可以看成價(jià)格犘的一元函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函

13、數(shù)一般地，價(jià)格犘越高，需求量犙要下降；價(jià)格犘越低，需求量犙要上升，所以需求函數(shù)為價(jià)格犘的單調(diào)減少函數(shù)常見(jiàn)需求函數(shù)有以下幾種類型：（）線性需求函數(shù)均為常數(shù)；（）二次需求函數(shù)均為常數(shù)；（）指數(shù)需求函數(shù). 供給函數(shù)在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)規(guī)律作用下，某種商品的市場(chǎng)供給量將依賴于該商品的價(jià)格高低， 價(jià)格上漲將刺激該商品的供給量增多，供給量S可以看成是價(jià)格P的函數(shù)， 稱為供給函數(shù)，記作1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù). 市場(chǎng)均衡由于需求函數(shù)Q是單調(diào)減少函數(shù)，供給函數(shù)S是單調(diào)增加函數(shù)，若把需求與供給曲線畫在同一坐標(biāo)系（如圖1-5），它們將相交于一點(diǎn)（P，Q）， 這里的P 就是供、需平衡的價(jià)格，叫做均衡價(jià)格，Q 就是均衡

14、數(shù)量，此時(shí)我們稱之為市場(chǎng)均衡例1.10 某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別是求該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和市場(chǎng)均衡數(shù)量解 按市場(chǎng)均衡條件QS， 即25P102005P， 則P ， 此時(shí)Q 200165，即市場(chǎng)均衡價(jià)格為7，市場(chǎng)均衡數(shù)量為1651.3 利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)1.3.3 成本、收入和利潤(rùn)函數(shù)在生產(chǎn)和產(chǎn)品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，成本、收入和利潤(rùn)這些經(jīng)濟(jì)變量都與產(chǎn)品的產(chǎn)量或銷售量q密切相關(guān)，它們都可以看成q的函數(shù)，分別稱為總成本函數(shù)，記作CC（q）；收入函數(shù)，記作RR（q）；利潤(rùn)函數(shù)，記作LL（q）1. 總成本函數(shù)總成本C由固定成本C 和可變成本C 兩部分組成固定成本C0 如廠房、設(shè)備、企業(yè)管理費(fèi)等與產(chǎn)

15、量q無(wú)關(guān)可變成本C 如原材料費(fèi)、勞動(dòng)者工資等隨產(chǎn)量狇的變化而變化，即C C（q），這樣總成本CC C（q）平均成本，記作 ，其中C（q）是總成本.1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)2. 收入函數(shù)收入是指銷售某種商品所獲得的收入，又可分為總收入和平均收入設(shè)P為商品價(jià)格，q為商品的銷售量，則有總收入函數(shù)：平均收入函數(shù)：. 利潤(rùn)函數(shù)生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品的總收入與總成本之差就是它的總利潤(rùn)，記作其中q為產(chǎn)品數(shù)量它的平均利潤(rùn)，記作1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)例1.13 已知生產(chǎn)某種商品狇件時(shí)的總成本（單位：萬(wàn)元）為 該商品每件售價(jià)是萬(wàn)元，試求：（）該商品的利潤(rùn)函數(shù)；（）生產(chǎn)10件該商品時(shí)的總利潤(rùn)和平均利潤(rùn)

16、；（）生產(chǎn)40件該商品時(shí)的總利潤(rùn)例1.14 已知某種商品的成本函數(shù)為 ，銷售單價(jià)定為11元件，試求該商品的盈虧平衡點(diǎn)，并說(shuō)明隨產(chǎn)量q變化時(shí)的盈虧情況本章小結(jié) 一、本章主要內(nèi)容及學(xué)習(xí)要點(diǎn)1. 函數(shù)的概念2. 函數(shù)的基本性質(zhì)3. 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)4. 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)5. 經(jīng)濟(jì)函數(shù)二、重點(diǎn)與難點(diǎn)1. 重點(diǎn)2. 難點(diǎn)Thank You !經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)Economic mathematics第2章 極限與連續(xù)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解極限的描述性定義，左右極限的定義握極限四則運(yùn)算法則，熟練使用兩個(gè)重要極限了解無(wú)窮小的定義及性質(zhì)，了解無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，會(huì)利用其求極限理解并會(huì)利用無(wú)窮小的比較求極限方法了解函數(shù)連續(xù)

17、的定義，會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)2.1 極限2.1.1 數(shù)列的極限1. 極限的概念圖2.12.1 極限圖2.2圖2.3定義 設(shè)有數(shù)列an，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)， an無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù) ，那么 就稱為數(shù)列 an的極限，記作此時(shí)，也稱數(shù)列 an收斂于 ，否則稱數(shù)列沒(méi)有極限，或稱數(shù)列發(fā)散2.1 極限2. 數(shù)列極限的性質(zhì)性質(zhì) 若數(shù)列收斂，則其極限值必唯一性質(zhì) 若數(shù)列收斂，則它必有界性質(zhì) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限2.1.2 函數(shù)的極限1. x 的情形定義 如果當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)（x）無(wú)限地接近于某一個(gè)確定的常數(shù) ， 則稱 為函數(shù)（x）當(dāng)x 時(shí)的極限，記作例2.

18、1 判斷當(dāng)x 時(shí)， 的極限情況解 如圖2.4為的圖像，可以看出，當(dāng)和x 時(shí)，圖像無(wú)限接近于零，所以即x 2.1 極限圖2.4定理當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)（x）的極限存在的充分必要條件是當(dāng)x 時(shí)和x 時(shí)函數(shù)（x）的極限都存在而且相等，即2. xx0 的情形定義設(shè)函數(shù)(x)在x0 的左右兩側(cè)有定義， 如果當(dāng)x無(wú)限接近x0 時(shí)， 函數(shù)值(x)無(wú)限接近于某一確定的常數(shù) ，則稱 是函數(shù)(x)當(dāng)xx0 時(shí)的極限，記作2.1 極限定義 當(dāng)x從x0左側(cè)（或右側(cè)）無(wú)限接近于x0 時(shí)，函數(shù)(x)無(wú)限地趨于某一確定的常數(shù) ，則稱 時(shí)，函數(shù)(x)的左(右)極限為 ，記作例2.2 求當(dāng)x時(shí)，函數(shù)（x）x的極限解 如圖2.5所示，

19、當(dāng)x從的左右兩側(cè)接近于時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從數(shù)值兩側(cè)無(wú)限接近于，因此圖2.5圖2.62.1 極限例2.3當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)(x)的極限情況解 如圖2.6所示，x無(wú)限接近于時(shí)，(x)的函數(shù)值從數(shù)值4的兩側(cè)無(wú)限接近于4，即例2.4 設(shè)函數(shù)解 如圖2.7所示，當(dāng)x從的右側(cè)接近于時(shí)，函數(shù)值（x）接近于數(shù)值，即 當(dāng)x從的左側(cè)接近于時(shí)，函數(shù)值(x)接近于數(shù)值-1，關(guān)于函數(shù)(x)在一點(diǎn)處極限存在有如下定理:定理2.1 極限圖2.7圖2.82.1 極限例2.5設(shè)函數(shù)問(wèn)當(dāng)x時(shí)，(x)的極限是否存在？若存在是多少？解如圖2.8所示，當(dāng)x從的左側(cè)接近于時(shí)，有；當(dāng)x從的右側(cè)接近于時(shí)，有存在的定理知，函數(shù)(x)在x時(shí)極限存在，

20、根據(jù)極限在一點(diǎn)處2.1.3 函數(shù)極限的性質(zhì)性質(zhì) （唯一性）如果函數(shù)(x)的極限存在，則極限值唯一性質(zhì) （夾逼定理）設(shè)函數(shù)(x)，g(x) ，h(x)在x0的左右兩側(cè)滿足條件：則2.1 極限2.1.4 函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則定理 如果則例2.6 求解例2.7 求解2.1 極限例2.8 求解習(xí)題2.1 見(jiàn)課本P21。2.2 兩個(gè)重要極限與無(wú)窮小、無(wú)窮大2.2.1 兩個(gè)重要極限1. 重要極限注意，第 重要極限形式為形式，為了強(qiáng)調(diào)其形式，可形象記為其中方框 代表同一變量。例2.9解2.2 兩個(gè)重要極限與無(wú)窮小、無(wú)窮大例2.10解例2.11解例2.12解2.2 兩個(gè)重要極限與無(wú)窮小、無(wú)窮大例2.13解2

21、 重要極限重要極限 的形式是類型，為了強(qiáng)調(diào)其形式，我們也可將它表示為其中方框 表示同一變量2.2 兩個(gè)重要極限與無(wú)窮小、無(wú)窮大例2.14解例2.15解例2.16解2.2 兩個(gè)重要極限與無(wú)窮小、無(wú)窮大2.2.2 無(wú)窮小量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮?。? 無(wú)窮小的定義定義 以零為極限的變量稱為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小，常用希臘字母， 來(lái)表示無(wú)窮小關(guān)于無(wú)窮小一定要注意以下幾點(diǎn)：（）談無(wú)窮小一定離不開(kāi)自變量的變化趨勢(shì)（）不能把無(wú)窮小混同于一個(gè)非常小的數(shù)，但零是唯一可以作為無(wú)窮小的常數(shù)，因?yàn)閘im0例2.19 自變量狓在怎樣的變化過(guò)程中，下列函數(shù)為無(wú)窮?。ǎ┮?yàn)榻猓詘 時(shí)是無(wú)窮小2.2 兩個(gè)重要極限與無(wú)窮小、無(wú)窮大（）

22、因?yàn)椋ǎ┮驗(yàn)椋ǎ┮驗(yàn)?無(wú)窮小的性質(zhì)性質(zhì) 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小性質(zhì) 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小例2.20解因?yàn)槭怯薪绾瘮?shù)，所以2.2 兩個(gè)重要極限與無(wú)窮小、無(wú)窮大推論 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小性質(zhì) 有限個(gè)無(wú)窮小的積是無(wú)窮小2.2.3 無(wú)窮大量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮大）定義 在自變量狓的某個(gè)變化過(guò)程中， 若相應(yīng)函數(shù)值的絕對(duì)值|（x）| 無(wú)限增大，則稱（x）為該自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大，記作（x） 例如，是x時(shí)的無(wú)窮大，可記為無(wú)窮大要注意以下幾點(diǎn)（）談無(wú)窮大不能離開(kāi)自變量的變化趨勢(shì)（）不能將無(wú)窮大與非常大的常數(shù)混為一談（）借用（x） ，并不表示（x）的極限存在，事實(shí)上（x）的極限不存

23、在2.2 兩個(gè)重要極限與無(wú)窮小、無(wú)窮大2.2.4 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理 在自變量的同一個(gè)變化過(guò)程中， 無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小， 除常數(shù)零外的無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大例如，當(dāng)x時(shí)，x是無(wú)窮小，則當(dāng)x時(shí)， 為無(wú)窮大又例如，當(dāng)x 時(shí)，x 是無(wú)窮大，則當(dāng)x 時(shí)， 是無(wú)窮小2.2.5 無(wú)窮小的比較定義 設(shè) 和 是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小，即lim=0，lim=02.2 兩個(gè)重要極限與無(wú)窮小、無(wú)窮大定理 設(shè)、 是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小，且有 ， ，若（或無(wú)窮大），則例2.21 求下列極限：2.2 兩個(gè)重要極限與無(wú)窮小、無(wú)窮大解2.3 函數(shù)的連續(xù)性2.3.1 函數(shù)連續(xù)的定義定義 設(shè)xxx 是自變量的增量，y（x

24、）（x）是函數(shù)的增量，函數(shù)y(x）在x 的左右兩側(cè)（含x 點(diǎn)）有定義，當(dāng)自變量的改變量x趨于零時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)改變量y也趨于零，即則稱y(x）在點(diǎn)x 處連續(xù)函數(shù)（x）在點(diǎn)x 處連續(xù)必須滿足以下個(gè)條件：例2.22 若（x）x，證明y（x）在x處連續(xù)證明2.3 函數(shù)的連續(xù)性而，所以函數(shù)在x處連續(xù)例2.23 設(shè)某城市出租車白天的收費(fèi)（單位：元）x與路程（單位：）狓之間的關(guān)系為討論函數(shù)(x)在x處是否連續(xù)解2.3 函數(shù)的連續(xù)性故函數(shù)(x)在x處連續(xù)2.3.2 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)函數(shù)(x), g(x)在點(diǎn)x 處連續(xù)，則有以下性質(zhì)性質(zhì) (x) g(x)在x 處連續(xù)性質(zhì) (x) g(x)在x

25、 處連續(xù)性質(zhì) 若處連續(xù)2.3 函數(shù)的連續(xù)性 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理 設(shè)函數(shù)ug（x）在xx 處連續(xù)，y(u)在u g(x0)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y g（x）在x 點(diǎn)處連續(xù)例2.24解例2.25解2.3 函數(shù)的連續(xù)性例2.26解例2.27解在求連續(xù)的復(fù)合函數(shù)極限時(shí)，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可交換次序，即2.3 函數(shù)的連續(xù)性2.3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)（有界定理） 若(x)在a，b上連續(xù)，則(x)在a，b上有界性質(zhì)（最值定理） 若(x)在a，b上連續(xù)，則(x)在a，b上必能取得最大值和最小值性質(zhì)（介值定理） 若(x)在a，b上連續(xù)，且最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任意實(shí)數(shù)C（m

26、C M），必定存在點(diǎn) （a，b），使得（）C2.3.4 函數(shù)的間斷點(diǎn)定義 如果函數(shù)(x)在x0處不連續(xù)，則稱點(diǎn)x0為(x)的一個(gè)間斷點(diǎn)根據(jù)連續(xù)的定義，有下列三種情況之一的點(diǎn)x 即為函數(shù)(x)的間斷點(diǎn)：（）在點(diǎn)x0處， (x)無(wú)定義；（）在點(diǎn)x0處， (x)的極限不存在；（）在點(diǎn)x0處有定義，且有極限，但2.3 函數(shù)的連續(xù)性例2.28解 因?yàn)樽?、右極限存在但不相等所以 x為(x)的跳躍間斷點(diǎn)例2.29的間斷點(diǎn)解 (x)在x處無(wú)定義，所以x是(x)的間斷點(diǎn)而所以 x是(x)的可去間斷點(diǎn)2.3 函數(shù)的連續(xù)性例 討論處間斷點(diǎn)的類別解 因?yàn)槔膺M(jìn)一步可知，當(dāng)x時(shí)，在和之間振蕩，所以x是的振蕩間斷點(diǎn)本章小

27、結(jié)一、本章主要內(nèi)容及學(xué)習(xí)要點(diǎn) 極限的概念 無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念 連續(xù)的概念 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型的判定 極限的計(jì)算方法 求函數(shù)連續(xù)區(qū)間的方法二、重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn) 難點(diǎn)Thank You !經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)Economic mathematics第8章 隨機(jī)變量及其數(shù)字特征學(xué)習(xí)目標(biāo)了解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量、分布函數(shù)的概念和性質(zhì)掌握利用概率分布列、概率密度及分布函數(shù)計(jì)算有關(guān)事件概率的方法預(yù)測(cè)離散或連續(xù)變化的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變化的狀況及其發(fā)生的可能性熟練掌握正態(tài)分布的概率計(jì)算，會(huì)查正態(tài)分布表理解數(shù)學(xué)期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念，了解期望、方差的性質(zhì)，掌握求隨機(jī)變量期望、方差的方法會(huì)利用隨機(jī)變量的期望

28、和方差解答經(jīng)濟(jì)生活中的相關(guān)案例掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等概率分布及它們的期望與方差掌握求隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的方法8.1 隨機(jī)變量例8.1 在10件同類型產(chǎn)品中，有件次品，現(xiàn)任取兩件，用一個(gè)變量X表示“兩件中的次品數(shù)”，X的取值是隨機(jī)的，可能的取值為， 顯然“X”表示次品數(shù)為零，它與事件“取出兩件中沒(méi)有次品”是等價(jià)的由此可知，“X”等價(jià)于“恰好有件次品”，“X”等價(jià)于“恰好有兩件次品”于是由古典概型可求得此結(jié)果可以統(tǒng)一寫成8.1 隨機(jī)變量例 某選手射擊的命中率為P，現(xiàn)射擊次，命中次數(shù)用Y表示，它的取值是隨機(jī)的，可能的取值有，顯然“Yi”等價(jià)于“次射擊中，

29、恰有i次命中”（i，），由于各次試驗(yàn)都是獨(dú)立進(jìn)行的，由伯努利概型公式得上面兩個(gè)例子中的X，Y具有下列特征：（）取值是隨機(jī)的，事前并不知道取到哪一個(gè)值（）所取的每一個(gè)值，都相應(yīng)于某一隨機(jī)現(xiàn)象（）所取的每個(gè)值的概率大小是確定的8.1 隨機(jī)變量8.1.1 隨機(jī)變量的定義一般地，如果一個(gè)變量，它的取值隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化著，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果確定后，它所取的值也就相應(yīng)的確定，這種變量稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量可用大寫英文字母X、Y、Z、（或希臘字母，）表示 隨機(jī)變量與一般變量的區(qū)別：8.1.2 隨機(jī)變量的分類 離散型隨機(jī)變量定義 若隨機(jī)變量X的所有可能取值是可以一一列舉出來(lái)的（即取值是有限個(gè)或可列個(gè)），則稱X為

30、離散型隨機(jī)變量該離散型隨機(jī)變量X的所有取值為x，x，xn，并且X取各個(gè)可能值的概率分別為8.1 隨機(jī)變量稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列或分布為清楚起見(jiàn)，X 及其分布列也可以用表格的形式表示分布列具有以下兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì) Pk k，n性質(zhì) 連續(xù)型隨機(jī)變量定義 設(shè)隨機(jī)變量 X，如果存在非負(fù)函數(shù)f（x）（ x ），使得對(duì)任意實(shí)數(shù)ab，有8.1 隨機(jī)變量（即取值可包括某實(shí)數(shù)區(qū)間的全部值）則稱 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f（x）為 X 的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或分布密度概率密度有下列性質(zhì)性質(zhì) f（x）（因?yàn)楦怕什荒苄∮诹悖?；性質(zhì)例8.3 若為隨機(jī)變量X的密度函數(shù)，試求系數(shù)k解根據(jù)概率密度函

31、數(shù)的性質(zhì)，可得所以 k/8.2 分布函數(shù)8.2.1 分布函數(shù)的定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱函數(shù)F（x）P（Xx）為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記作XF（x）對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，若它的概率分布是PkP（Xxk），（k，），則X的分布函數(shù)為對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度為f（x），則它的分布函數(shù)為即分布函數(shù)是概率密度的變上限的定積分由微分知識(shí)可得：F（x）f（x）8.2 分布函數(shù)分布函數(shù)具有如下性質(zhì)性質(zhì) F（x）（因?yàn)镕（x）就是某種概率）性質(zhì) F（x）單調(diào)不減函數(shù)，且性質(zhì)或8.2 分布函數(shù)8.2.2 分布函數(shù)的計(jì)算例8.4 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為求X的分布函數(shù)解 當(dāng)x時(shí)，因?yàn)槭录x，所以F（x）當(dāng)

32、x時(shí)，有當(dāng)x時(shí)，有8.2 分布函數(shù)當(dāng)x時(shí)，有故X的分布函數(shù)為例8.5 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)F（x）.8.2 分布函數(shù)解 由分布函數(shù)定義可得：當(dāng)xa時(shí)，f（x），故F（x）當(dāng)axb時(shí)，故當(dāng)bx時(shí)，f（x），故故X的分布函數(shù)為8.2 分布函數(shù)求 P（X） P（ X） 密度函數(shù)（x）解 由分布函數(shù)定義： P(0.2X0.8）F(0.8）F(0.5）0.408F（x）是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系得8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布8.3.1 幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布 兩點(diǎn)分布（分布）若隨機(jī)變量X只取，兩個(gè)值，且則稱X服從兩點(diǎn)分布或者稱分布 二項(xiàng)分布隨機(jī)變量X的概率分布為其

33、中p，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)n，P的二項(xiàng)分布，記作XB（n，P）8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布 泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X取值為，其相應(yīng)的概率分布為：其中 為參數(shù)（ ），則稱X服從泊松分布，記作P（）例8.7 假設(shè)人進(jìn)入一家服裝店，每個(gè)人購(gòu)買的概率均為0.3，而且彼此相互獨(dú)立，求：（）人中兩個(gè)人購(gòu)買的概率是多少？（）人中至少兩個(gè)人購(gòu)買的概率是多少？（）人中至多兩個(gè)人購(gòu)買的概率是多少？解 設(shè)X為人中購(gòu)買服裝的人數(shù)，則X服從n，P0.3的二項(xiàng)分布8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布（）人中人購(gòu)買的概率，即X的概率，由二項(xiàng)分布的概率公式得（）人中至少有人購(gòu)買的概率是包括X和X的概率，即（）人中至多有二人購(gòu)買的概

34、率包括X，X，X的概率，即8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布例8.8 電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)X為隨機(jī)變量，設(shè)XP(4)，求一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)（）恰好為次的概率；（）不超過(guò)一次的概率解 這里的 ，故當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布可以用泊松分布近似，有其中np，也就是說(shuō)，泊松分布可以看做是一個(gè)概率很小的事件在大量試驗(yàn)中出現(xiàn)次數(shù)的概率分布實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n10，P0.時(shí)，就可以用上述的近似公式8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布8.3.2 幾種常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 均勻分布如果隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從a，b上的均勻分布，記作U（a，b）例8.9 設(shè)隨機(jī)變量X服從a，b上的均勻分布，求P（cXd）

35、，其中acdb解8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布例.10 某城市某一個(gè)交通路口紅燈的時(shí)間長(zhǎng)度為50，某汽車在路口等候的時(shí)間長(zhǎng)度為一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)其服從均勻分布，求該車等候時(shí)間在1030的概率是多少？解 設(shè)X為該車在路口等待的時(shí)間長(zhǎng)度，由題意X服從區(qū)間0,50上的均勻分布： 正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為其中，（ ）都是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)， 正態(tài)分布，記作8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布特別地，當(dāng)，時(shí)，X的概率密度函數(shù)為（ x），這時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記做X N（，）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)是偶函數(shù)： 其函數(shù)圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖8.1所示圖.8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布利用微積

36、分的知識(shí)可知道正態(tài)分布的概率函數(shù)的性質(zhì)（）f（x）以x 為對(duì)稱軸，并在x 處達(dá)到最大，最大值為（）當(dāng)x 時(shí)，f（x），即f（x）以x軸為漸近線（）用求導(dǎo)的方法可以證明，x 為f（x）的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且 為拐點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離（）若固定 而改變 的值，則正態(tài)分布曲線沿著 x 軸平行移動(dòng)而不改變形狀，可見(jiàn)曲線的位置完全由參數(shù) 決定；若固定 而改變 的值，則當(dāng) 越小圖形變得越陡峭；反之，則越平緩，因此 的值刻畫了隨機(jī)變量取值的分散程度，即 越小，取值分散程度越?。?越大，取值的分散程度越大，如圖8.2所示8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布圖8.28.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布 正態(tài)分布的概率計(jì)算（）標(biāo)

37、準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算設(shè)X N（，）， 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)（x），可計(jì)算隨機(jī)變量X 在任一區(qū)間上取值的概率為了計(jì)算的方便，書中附表（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表）已給出了隨機(jī)變量X在區(qū)間（ ，x（X）上取值的概率，并記作（x），即上式的幾何意義就是圖8.3中陰影部分的面積即 P（aXb）（b）（a）8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布圖8.38.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表時(shí)，有一下幾種情況（）因表中x的取值范圍為0.3，3.09，因此，當(dāng)x 0.3， 3.09 時(shí)，可直接查表，對(duì)于x 3.09 ，?。▁）（）（x）（x）（）P（XB）P（Xb）（b）（）P（Xa）P（Xa）（a）（）

38、P（a Xb）（b）（a）（）P（|X|b）P（|X|b）（b）（b）（b）-1例8.11 隨機(jī)變量X N（，），求：8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布（）P（X1.65）（ 1.65 ）0.9505（）P（ 1.65 X2.09）（ 2.09 ）（ 1.65 ）0.9817 0.9505 0.0312（）P（X 2.09 ）P（X 2.09 ）1（ 2.09 ） 0.9817 0.0183（）P（X2）（2）1（2）1097720.0228（）P（X0.09）（ 0.09 ）（ 0.09 ）0.5359（）P（|X|1.96）2（ 1.96 ）1 0.9500解 查附表：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表得：（

39、）一般正態(tài)分布的概率計(jì)算正態(tài)分布N（，）均可以化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（，）計(jì)算可以證明，對(duì)正態(tài)分布X N（，），有8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布例8.12 已知某車間工人完成某道工序的時(shí)間X服從N（10，3），求：（）從該車間工人中任選一個(gè)工人，求完成該道工序的時(shí)間至少為min的概率；（）為了保證生產(chǎn)的連續(xù)進(jìn)行，要求95 的概率保證該道工序上工人完成工作時(shí)間不超過(guò)15min，這一要求能否得到保證？解 根據(jù)題設(shè)，X N（ 10，3 ）8.3 幾種常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布即從該車間工人中任選一人，其完成該道工序的時(shí)間至少min的概率為.8413；此處用到（3.33）由以上計(jì)算可知，能夠以95 的概率保證該道工序上工人完成工作時(shí)間不超過(guò)15min，也就是可以保證生產(chǎn)連續(xù)進(jìn)行8.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征8.4.1 數(shù)學(xué)期望 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義 離散型隨機(jī)變量X的可能取值xk（k，n）與其相應(yīng)的概率pk的乘積之和，稱為X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值，記作E（X），即例8.13 設(shè)X的概率分布為求 E（x），E（X），E（X）8.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征解 連續(xù)性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f（x），若積分收斂，則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作E（X），即8.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征例8.14 設(shè)隨機(jī)變量X服從