全套電子課件：經濟數(shù)學

1、經濟數(shù)學Economic mathematics目 錄函數(shù) 1極限與連續(xù)2導數(shù)與微分3導數(shù)的應用4積分學及其應用5隨機變量及其數(shù)字特征數(shù)學軟件Mathematica應用隨機事件與概率線性代數(shù)初步89目 錄76第1章 函數(shù) 學習目標理解函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)定義域和值域的求法，了解分段函數(shù)的特點。掌握函數(shù)的基本性質和表示方法。熟練掌握六類基本初等函數(shù)的概念、表達式、圖形和性質 了解復合函數(shù)、初等函數(shù)的概念和性質，掌握復合函數(shù)的分解方法。了解常用經濟函數(shù)的概念及相關運算，會建立簡單的函數(shù)關系式。1.1 函數(shù)的概念1.1.1 函數(shù)的概念引例1 自由落體運動設物體下落的時間為 t，下落距離為 s，假

2、定開始下落的時刻 t0，那么 s 與 t 之間的依賴關系由給出，其中g為重力加速度在這個關系中，距離s隨著時間t的變化而變化其特點是，當下落的時間 t 取定一個值時，對應的距離 s 的值也就確定了引例2 醫(yī)師用藥醫(yī)師給兒童用藥和成年人不一樣，用藥量可由兒童的體重來確定要計算112歲的兒童的體重可用經驗公式 y2x7，其中 x 代表年齡（歲），y 代表體重（公斤），年齡確定了，相應的體重也就確定了函數(shù)的定義1.1 函數(shù)的概念定義1 設x，y是同一變化過程中的兩個變量，若當x取其變化范圍內任一值時，按照某種對應規(guī)則，總能唯一確定變量y的一個值與之對應，則稱y是x的函數(shù)，記作yf（x） x 叫做自變

3、量，y 叫做因變量X 的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x的值對應的y的值的集合叫做函數(shù)的值域當自變量 x 取數(shù)值 x0 時，因變量 y 按照對應法則 f 所對應的數(shù)值，稱為函數(shù) yf（x）在點 x0 處的函數(shù)值，記作yf（x0）。1.1 函數(shù)的概念例1.1 設 f(x)2x2-3，求 f(-1），f（x0）。例1.2 求函數(shù)的定義域。解解要使分式有意義，必須分母x2+2x-30，即x-3且x1，所以這個函數(shù)的定義域是(，3)(3，1)(1，)。求函數(shù)定義域時應遵守以下原則：（1）代數(shù)式中分母不能為零；（2）偶次根式內表達式非負；（3）基本初等函數(shù)要滿足各自的定義要求；（4）對于表示實際問題的解析

4、式，還應保證符合實際意義1.1 函數(shù)的概念1.1.2 函數(shù)的表示常用的函數(shù)表示方法有表格法、圖像法、解析法(1) 將自變量的值與對應的函數(shù)值列成表格以表示函數(shù)的方法叫表格法，如三角函數(shù)表、對數(shù)表及許多的財務報表等(2) 用圖像來表示自變量值與函數(shù)值的關系的方法叫圖像法，它的特點是較直觀(3) 用數(shù)學表達式表示自變量和因變量的對應關系的方法叫解析法，如ysinX，y2x+1等，它的特點是便于推理與演算分段函數(shù)引例3 乘座火車時，鐵路部門規(guī)定：隨身攜帶物品不超過20千克免費，超過20千克部分，每千克收費0.2元，超過50千克部分，再加收50，應如何計算攜帶物品所交的費用1.1 函數(shù)的概念設物品的重

5、量為x，應交費用為y，則有解對于分段函數(shù)，要注意以下幾點：（1）分段函數(shù)是由幾個公式合起來表示一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)。（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。（3）在處理問題時，對屬于某一段的自變量就應用該段的表達式。1.1 函數(shù)的概念1.1.3 反函數(shù)定義 如果已知y是x的函數(shù)，yf（x），則由它所確定的以y為自變量，x為因變量的函數(shù)x（y）就是yf（x）的反函數(shù)，而yf（x）稱為直接函數(shù)函數(shù)yf（x）的定義域和值域分別是其反函數(shù)yf1（x）的值域和定義域函數(shù)yf（x）和它的反函數(shù)yf1（x）的圖像關于直線yx對稱單調函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)與其反函數(shù)單調性相同例1.3 求函數(shù)yx2，x

6、0， ）的反函數(shù)解 因為函數(shù)y x2 在區(qū)間0，）上單調遞增，所以存在反函數(shù)由y x2 解得x y，y0，于是yx2 的反函數(shù)為y x，x0， ）求反函數(shù)的步驟是從yf（x）中解出x，得到xf1（y），再將x和y互換即可1.1 函數(shù)的概念例1.4 求yx的反函數(shù)解 由yx得互換字母x，y得所求反函數(shù)為1.1.4 函數(shù)的性質1. 函數(shù)的奇偶性定義 設函數(shù)yf(x)的定義域D關于原點對稱，即xD-xD若f(-x)f(x)，xD，則稱f（x）為偶函數(shù)；若f(-x)-f(x)，xD，則稱f（x）為奇函數(shù)例如：yx，xR，是偶函數(shù)，其圖像如圖1.1所示；yx，xR，是奇函數(shù)，其圖像如圖1-2所示1.1

7、函數(shù)的概念圖1-1圖1-2偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關于原點對稱兩個偶函數(shù)之和、差、積、商仍是偶函數(shù)， 兩個奇函數(shù)之和、差仍是奇函數(shù)， 兩個奇函數(shù)之積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)之積、商是奇函數(shù)1.1 函數(shù)的概念例1.5 判斷下列函數(shù)的奇偶性解（）因為所以所以，所以即即是偶函數(shù)。2. 函數(shù)的周期性1.1 函數(shù)的概念定義3 給定函數(shù)yf（x），xD，若存在常數(shù)T使得xDxTD且f（xT）f（x），xD，則稱f（x）為周期函數(shù)，常數(shù)T稱為周期滿足條件的最小正數(shù)T稱為f（x）的最小正周期，通常所說的周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期例sinx，cosx是周期為的函數(shù)，tanx，cotx是周

8、期為的函數(shù)以T為周期的函數(shù)圖像沿x軸方向左右平移T的整數(shù)倍，圖像將重合3. 函數(shù)的單調性定義4 若對于區(qū)間I內任意兩點x，x，當xx 時，有f（x）f（x），則稱f（x）在I上單調增加（如圖1-3），區(qū)間I稱為單調遞增區(qū)間；若f（x）f（x），則稱f（x）在I上單調減少（如圖1-4），區(qū)間 I 稱為單調遞減區(qū)間單調增加與單調減少分別稱為遞增與遞減 單調遞增區(qū)間或單調遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)間。1.1 函數(shù)的概念圖1-3圖1-4.函數(shù)的有界性1.1 函數(shù)的概念定義 若存在正數(shù)M，使得在區(qū)間I上|f（x）| M，則稱f（x）在I上有界否則稱為無界例如函數(shù)ycosX在區(qū)間（ ， ）內有|cosX|，所以

9、函數(shù)ycos X在（ ， ）內是有界的1.2 初等函數(shù)1.2.1 基本初等函數(shù)常函數(shù)：yc（c為常數(shù)）。冪函數(shù)：yx（ 為常數(shù)）。指數(shù)函數(shù)：yax（a，且a，a為常數(shù)）。對數(shù)函數(shù)：ylogax（a，且a，a為常數(shù)）。三角函數(shù)：ysinx，ycosx，ytanx，ycotx。以上函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質列表，見P5表1.11.2.2 復合函數(shù)定義 設y是u的函數(shù)yf（u），u是x的函數(shù)u（x），如果u（x）的值域或其部分包含于yf（u）定義域中，則y通過中間變量u構成x的函數(shù)，稱為x的復合函數(shù)，記為yf（x），其中x是自變量，u是中間變量例1.6 設y2u，usin x，則由這兩個函數(shù)組成

10、的復合函數(shù)為y2sin x復合函數(shù)也可以由兩個以上的函數(shù)經過復合構成，例如，由函數(shù)ysin u，ue ， tan x復合后可得復合函數(shù)ysin etan x例1.7 函數(shù) 是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的？解設 ，則 是由函數(shù) 復合而成的復合函數(shù)。1.2.3 初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算和有限次復合運算而得到的， 并且能用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例如，等都是初等函數(shù)而不滿足有限次運算，1.2 初等函數(shù)不是一個解析式子表示，因此都不是初等函數(shù)。例1.8 設，試分析它的結構。解 函數(shù)可分解為1.2 初等函數(shù)1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經濟函數(shù)1.3.1 單利、復利與貼現(xiàn)1. 單利計

11、算公式設初始本金為P元，銀行年利率為r第一年末的利息為Pr，本利和為第二年利息不計入本金，即本金為P，第二年末的利息仍為Pr，本利和為依此方法，第n年末的本利和Sn為(1.1)2. 復利計算公式設初始本金為P元，銀行年利率為r第一年末的本利和為第二年利息計入本金，第二年末的利息為，本利和為依此方法，第n年末的本利和Sn為（1.2）例1.9 設有初始本金2000元，銀行年儲蓄利率為試求：（）按單利計算，年末的本利和是多少？（）按復利計算，年末的本利和是多少？解（）本金P2000元，年利率r0.04，存期年，由單利計算公式（1.1）知（）由復利計算公式（1.2）知1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經濟函數(shù)1

12、.3 利息、貼現(xiàn)及常用經濟函數(shù)3. 貼現(xiàn)債券或其他票據(jù)的持有人，為了在票據(jù)到期以前獲得資金， 從票面金額中扣除未到期期間的利息后，得到所余金額的現(xiàn)金，這就是貼現(xiàn)假設未來n年復利年利率r不變，n年后到期價值R的票據(jù)現(xiàn)值為P，則由復利計算公式（1.2）可得例如，復利年利率為，年后到期價值是1000元的票據(jù)的現(xiàn)值為1.3.2 需求函數(shù)與供給函數(shù)1. 需求函數(shù)一種商品的市場需求量與消費群體的人數(shù)、收入、習慣及該商品的價格等諸多因素有關，為簡化問題的分析，我們只考慮商品價格對需求量的影響， 而其他因素暫時保持某種狀態(tài)不變，需求量犙可以看成價格犘的一元函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經濟函

13、數(shù)一般地，價格犘越高，需求量犙要下降；價格犘越低，需求量犙要上升，所以需求函數(shù)為價格犘的單調減少函數(shù)常見需求函數(shù)有以下幾種類型：（）線性需求函數(shù)均為常數(shù)；（）二次需求函數(shù)均為常數(shù)；（）指數(shù)需求函數(shù). 供給函數(shù)在市場經濟規(guī)律作用下，某種商品的市場供給量將依賴于該商品的價格高低， 價格上漲將刺激該商品的供給量增多，供給量S可以看成是價格P的函數(shù)， 稱為供給函數(shù)，記作1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經濟函數(shù). 市場均衡由于需求函數(shù)Q是單調減少函數(shù)，供給函數(shù)S是單調增加函數(shù)，若把需求與供給曲線畫在同一坐標系（如圖1-5），它們將相交于一點（P，Q）， 這里的P 就是供、需平衡的價格，叫做均衡價格，Q 就是均衡

14、數(shù)量，此時我們稱之為市場均衡例1.10 某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別是求該商品的市場均衡價格和市場均衡數(shù)量解 按市場均衡條件QS， 即25P102005P， 則P ， 此時Q 200165，即市場均衡價格為7，市場均衡數(shù)量為1651.3 利息、貼現(xiàn)及常用經濟函數(shù)1.3.3 成本、收入和利潤函數(shù)在生產和產品經營活動中，成本、收入和利潤這些經濟變量都與產品的產量或銷售量q密切相關，它們都可以看成q的函數(shù)，分別稱為總成本函數(shù)，記作CC（q）；收入函數(shù)，記作RR（q）；利潤函數(shù)，記作LL（q）1. 總成本函數(shù)總成本C由固定成本C 和可變成本C 兩部分組成固定成本C0 如廠房、設備、企業(yè)管理費等與產

15、量q無關可變成本C 如原材料費、勞動者工資等隨產量狇的變化而變化，即C C（q），這樣總成本CC C（q）平均成本，記作 ，其中C（q）是總成本.1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經濟函數(shù)2. 收入函數(shù)收入是指銷售某種商品所獲得的收入，又可分為總收入和平均收入設P為商品價格，q為商品的銷售量，則有總收入函數(shù)：平均收入函數(shù)：. 利潤函數(shù)生產一定數(shù)量的產品的總收入與總成本之差就是它的總利潤，記作其中q為產品數(shù)量它的平均利潤，記作1.3 利息、貼現(xiàn)及常用經濟函數(shù)例1.13 已知生產某種商品狇件時的總成本（單位：萬元）為 該商品每件售價是萬元，試求：（）該商品的利潤函數(shù)；（）生產10件該商品時的總利潤和平均利潤

16、；（）生產40件該商品時的總利潤例1.14 已知某種商品的成本函數(shù)為 ，銷售單價定為11元件，試求該商品的盈虧平衡點，并說明隨產量q變化時的盈虧情況本章小結 一、本章主要內容及學習要點1. 函數(shù)的概念2. 函數(shù)的基本性質3. 反函數(shù)和復合函數(shù)4. 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)5. 經濟函數(shù)二、重點與難點1. 重點2. 難點Thank You !經濟數(shù)學Economic mathematics第2章 極限與連續(xù)學習目標了解極限的描述性定義，左右極限的定義握極限四則運算法則，熟練使用兩個重要極限了解無窮小的定義及性質，了解無窮小與無窮大的關系，會利用其求極限理解并會利用無窮小的比較求極限方法了解函數(shù)連續(xù)

17、的定義，會判斷函數(shù)在一點的連續(xù)性了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質，會求函數(shù)的間斷點2.1 極限2.1.1 數(shù)列的極限1. 極限的概念圖2.12.1 極限圖2.2圖2.3定義 設有數(shù)列an，當n無限增大時， an無限接近于某個確定的常數(shù) ，那么 就稱為數(shù)列 an的極限，記作此時，也稱數(shù)列 an收斂于 ，否則稱數(shù)列沒有極限，或稱數(shù)列發(fā)散2.1 極限2. 數(shù)列極限的性質性質 若數(shù)列收斂，則其極限值必唯一性質 若數(shù)列收斂，則它必有界性質 單調有界數(shù)列必有極限2.1.2 函數(shù)的極限1. x 的情形定義 如果當x無限增大時，函數(shù)（x）無限地接近于某一個確定的常數(shù) ， 則稱 為函數(shù)（x）當x 時的極限，記作例2.

18、1 判斷當x 時， 的極限情況解 如圖2.4為的圖像，可以看出，當和x 時，圖像無限接近于零，所以即x 2.1 極限圖2.4定理當x 時，函數(shù)（x）的極限存在的充分必要條件是當x 時和x 時函數(shù)（x）的極限都存在而且相等，即2. xx0 的情形定義設函數(shù)(x)在x0 的左右兩側有定義， 如果當x無限接近x0 時， 函數(shù)值(x)無限接近于某一確定的常數(shù) ，則稱 是函數(shù)(x)當xx0 時的極限，記作2.1 極限定義 當x從x0左側（或右側）無限接近于x0 時，函數(shù)(x)無限地趨于某一確定的常數(shù) ，則稱 時，函數(shù)(x)的左(右)極限為 ，記作例2.2 求當x時，函數(shù)（x）x的極限解 如圖2.5所示，

19、當x從的左右兩側接近于時，對應的函數(shù)值從數(shù)值兩側無限接近于，因此圖2.5圖2.62.1 極限例2.3當x1時，函數(shù)(x)的極限情況解 如圖2.6所示，x無限接近于時，(x)的函數(shù)值從數(shù)值4的兩側無限接近于4，即例2.4 設函數(shù)解 如圖2.7所示，當x從的右側接近于時，函數(shù)值（x）接近于數(shù)值，即 當x從的左側接近于時，函數(shù)值(x)接近于數(shù)值-1，關于函數(shù)(x)在一點處極限存在有如下定理:定理2.1 極限圖2.7圖2.82.1 極限例2.5設函數(shù)問當x時，(x)的極限是否存在？若存在是多少？解如圖2.8所示，當x從的左側接近于時，有；當x從的右側接近于時，有存在的定理知，函數(shù)(x)在x時極限存在，

20、根據(jù)極限在一點處2.1.3 函數(shù)極限的性質性質 （唯一性）如果函數(shù)(x)的極限存在，則極限值唯一性質 （夾逼定理）設函數(shù)(x)，g(x) ，h(x)在x0的左右兩側滿足條件：則2.1 極限2.1.4 函數(shù)極限的四則運算法則定理 如果則例2.6 求解例2.7 求解2.1 極限例2.8 求解習題2.1 見課本P21。2.2 兩個重要極限與無窮小、無窮大2.2.1 兩個重要極限1. 重要極限注意，第 重要極限形式為形式，為了強調其形式，可形象記為其中方框 代表同一變量。例2.9解2.2 兩個重要極限與無窮小、無窮大例2.10解例2.11解例2.12解2.2 兩個重要極限與無窮小、無窮大例2.13解2

21、 重要極限重要極限 的形式是類型，為了強調其形式，我們也可將它表示為其中方框 表示同一變量2.2 兩個重要極限與無窮小、無窮大例2.14解例2.15解例2.16解2.2 兩個重要極限與無窮小、無窮大2.2.2 無窮小量（簡稱無窮?。? 無窮小的定義定義 以零為極限的變量稱為無窮小量，簡稱無窮小，常用希臘字母， 來表示無窮小關于無窮小一定要注意以下幾點：（）談無窮小一定離不開自變量的變化趨勢（）不能把無窮小混同于一個非常小的數(shù)，但零是唯一可以作為無窮小的常數(shù)，因為lim0例2.19 自變量狓在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無窮小（）因為解，所以x 時是無窮小2.2 兩個重要極限與無窮小、無窮大（）

22、因為（）因為（）因為 無窮小的性質性質 有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小性質 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小例2.20解因為是有界函數(shù)，所以2.2 兩個重要極限與無窮小、無窮大推論 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小性質 有限個無窮小的積是無窮小2.2.3 無窮大量（簡稱無窮大）定義 在自變量狓的某個變化過程中， 若相應函數(shù)值的絕對值|（x）| 無限增大，則稱（x）為該自變量變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大，記作（x） 例如，是x時的無窮大，可記為無窮大要注意以下幾點（）談無窮大不能離開自變量的變化趨勢（）不能將無窮大與非常大的常數(shù)混為一談（）借用（x） ，并不表示（x）的極限存在，事實上（x）的極限不存

23、在2.2 兩個重要極限與無窮小、無窮大2.2.4 無窮小與無窮大的關系定理 在自變量的同一個變化過程中， 無窮大的倒數(shù)是無窮小， 除常數(shù)零外的無窮小的倒數(shù)是無窮大例如，當x時，x是無窮小，則當x時， 為無窮大又例如，當x 時，x 是無窮大，則當x 時， 是無窮小2.2.5 無窮小的比較定義 設 和 是同一變化過程中的無窮小，即lim=0，lim=02.2 兩個重要極限與無窮小、無窮大定理 設、 是同一變化過程中的無窮小，且有 ， ，若（或無窮大），則例2.21 求下列極限：2.2 兩個重要極限與無窮小、無窮大解2.3 函數(shù)的連續(xù)性2.3.1 函數(shù)連續(xù)的定義定義 設xxx 是自變量的增量，y（x

24、）（x）是函數(shù)的增量，函數(shù)y(x）在x 的左右兩側（含x 點）有定義，當自變量的改變量x趨于零時，相應的函數(shù)改變量y也趨于零，即則稱y(x）在點x 處連續(xù)函數(shù)（x）在點x 處連續(xù)必須滿足以下個條件：例2.22 若（x）x，證明y（x）在x處連續(xù)證明2.3 函數(shù)的連續(xù)性而，所以函數(shù)在x處連續(xù)例2.23 設某城市出租車白天的收費（單位：元）x與路程（單位：）狓之間的關系為討論函數(shù)(x)在x處是否連續(xù)解2.3 函數(shù)的連續(xù)性故函數(shù)(x)在x處連續(xù)2.3.2 連續(xù)函數(shù)的運算 連續(xù)函數(shù)的四則運算設函數(shù)(x), g(x)在點x 處連續(xù)，則有以下性質性質 (x) g(x)在x 處連續(xù)性質 (x) g(x)在x

25、 處連續(xù)性質 若處連續(xù)2.3 函數(shù)的連續(xù)性 復合函數(shù)的連續(xù)性定理 設函數(shù)ug（x）在xx 處連續(xù)，y(u)在u g(x0)處連續(xù)，則復合函數(shù)y g（x）在x 點處連續(xù)例2.24解例2.25解2.3 函數(shù)的連續(xù)性例2.26解例2.27解在求連續(xù)的復合函數(shù)極限時，極限符號與函數(shù)符號可交換次序，即2.3 函數(shù)的連續(xù)性2.3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質性質（有界定理） 若(x)在a，b上連續(xù)，則(x)在a，b上有界性質（最值定理） 若(x)在a，b上連續(xù)，則(x)在a，b上必能取得最大值和最小值性質（介值定理） 若(x)在a，b上連續(xù)，且最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任意實數(shù)C（m

26、C M），必定存在點 （a，b），使得（）C2.3.4 函數(shù)的間斷點定義 如果函數(shù)(x)在x0處不連續(xù)，則稱點x0為(x)的一個間斷點根據(jù)連續(xù)的定義，有下列三種情況之一的點x 即為函數(shù)(x)的間斷點：（）在點x0處， (x)無定義；（）在點x0處， (x)的極限不存在；（）在點x0處有定義，且有極限，但2.3 函數(shù)的連續(xù)性例2.28解 因為左、右極限存在但不相等所以 x為(x)的跳躍間斷點例2.29的間斷點解 (x)在x處無定義，所以x是(x)的間斷點而所以 x是(x)的可去間斷點2.3 函數(shù)的連續(xù)性例 討論處間斷點的類別解 因為例解進一步可知，當x時，在和之間振蕩，所以x是的振蕩間斷點本章小

27、結一、本章主要內容及學習要點 極限的概念 無窮小與無窮大的概念 連續(xù)的概念 函數(shù)的間斷點及其類型的判定 極限的計算方法 求函數(shù)連續(xù)區(qū)間的方法二、重點與難點 重點 難點Thank You !經濟數(shù)學Economic mathematics第8章 隨機變量及其數(shù)字特征學習目標了解隨機變量、離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量、分布函數(shù)的概念和性質掌握利用概率分布列、概率密度及分布函數(shù)計算有關事件概率的方法預測離散或連續(xù)變化的經濟現(xiàn)象變化的狀況及其發(fā)生的可能性熟練掌握正態(tài)分布的概率計算，會查正態(tài)分布表理解數(shù)學期望、方差與標準差的概念，了解期望、方差的性質，掌握求隨機變量期望、方差的方法會利用隨機變量的期望

28、和方差解答經濟生活中的相關案例掌握兩點分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等概率分布及它們的期望與方差掌握求隨機變量函數(shù)數(shù)學期望的方法8.1 隨機變量例8.1 在10件同類型產品中，有件次品，現(xiàn)任取兩件，用一個變量X表示“兩件中的次品數(shù)”，X的取值是隨機的，可能的取值為， 顯然“X”表示次品數(shù)為零，它與事件“取出兩件中沒有次品”是等價的由此可知，“X”等價于“恰好有件次品”，“X”等價于“恰好有兩件次品”于是由古典概型可求得此結果可以統(tǒng)一寫成8.1 隨機變量例 某選手射擊的命中率為P，現(xiàn)射擊次，命中次數(shù)用Y表示，它的取值是隨機的，可能的取值有，顯然“Yi”等價于“次射擊中，

29、恰有i次命中”（i，），由于各次試驗都是獨立進行的，由伯努利概型公式得上面兩個例子中的X，Y具有下列特征：（）取值是隨機的，事前并不知道取到哪一個值（）所取的每一個值，都相應于某一隨機現(xiàn)象（）所取的每個值的概率大小是確定的8.1 隨機變量8.1.1 隨機變量的定義一般地，如果一個變量，它的取值隨著試驗結果的不同而變化著，當試驗結果確定后，它所取的值也就相應的確定，這種變量稱為隨機變量隨機變量可用大寫英文字母X、Y、Z、（或希臘字母，）表示 隨機變量與一般變量的區(qū)別：8.1.2 隨機變量的分類 離散型隨機變量定義 若隨機變量X的所有可能取值是可以一一列舉出來的（即取值是有限個或可列個），則稱X為

30、離散型隨機變量該離散型隨機變量X的所有取值為x，x，xn，并且X取各個可能值的概率分別為8.1 隨機變量稱上式為離散型隨機變量X的概率分布，簡稱分布列或分布為清楚起見，X 及其分布列也可以用表格的形式表示分布列具有以下兩個性質性質 Pk k，n性質 連續(xù)型隨機變量定義 設隨機變量 X，如果存在非負函數(shù)f（x）（ x ），使得對任意實數(shù)ab，有8.1 隨機變量（即取值可包括某實數(shù)區(qū)間的全部值）則稱 X 為連續(xù)型隨機變量，稱f（x）為 X 的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或分布密度概率密度有下列性質性質 f（x）（因為概率不能小于零）；性質例8.3 若為隨機變量X的密度函數(shù)，試求系數(shù)k解根據(jù)概率密度函

31、數(shù)的性質，可得所以 k/8.2 分布函數(shù)8.2.1 分布函數(shù)的定義設X是一個隨機變量，稱函數(shù)F（x）P（Xx）為隨機變量X的分布函數(shù)，記作XF（x）對于離散型隨機變量X，若它的概率分布是PkP（Xxk），（k，），則X的分布函數(shù)為對于連續(xù)型隨機變量X，其概率密度為f（x），則它的分布函數(shù)為即分布函數(shù)是概率密度的變上限的定積分由微分知識可得：F（x）f（x）8.2 分布函數(shù)分布函數(shù)具有如下性質性質 F（x）（因為F（x）就是某種概率）性質 F（x）單調不減函數(shù)，且性質或8.2 分布函數(shù)8.2.2 分布函數(shù)的計算例8.4 設隨機變量X的分布列為求X的分布函數(shù)解 當x時，因為事件Xx，所以F（x）當

32、x時，有當x時，有8.2 分布函數(shù)當x時，有故X的分布函數(shù)為例8.5 設隨機變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)F（x）.8.2 分布函數(shù)解 由分布函數(shù)定義可得：當xa時，f（x），故F（x）當axb時，故當bx時，f（x），故故X的分布函數(shù)為8.2 分布函數(shù)求 P（X） P（ X） 密度函數(shù)（x）解 由分布函數(shù)定義： P(0.2X0.8）F(0.8）F(0.5）0.408F（x）是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)分布函數(shù)與概率密度的關系得8.3 幾種常見隨機變量的分布8.3.1 幾種常見離散型隨機變量的分布 兩點分布（分布）若隨機變量X只取，兩個值，且則稱X服從兩點分布或者稱分布 二項分布隨機變量X的概率分布為其

33、中p，則稱隨機變量X服從參數(shù)n，P的二項分布，記作XB（n，P）8.3 幾種常見隨機變量的分布 泊松分布設隨機變量X取值為，其相應的概率分布為：其中 為參數(shù)（ ），則稱X服從泊松分布，記作P（）例8.7 假設人進入一家服裝店，每個人購買的概率均為0.3，而且彼此相互獨立，求：（）人中兩個人購買的概率是多少？（）人中至少兩個人購買的概率是多少？（）人中至多兩個人購買的概率是多少？解 設X為人中購買服裝的人數(shù)，則X服從n，P0.3的二項分布8.3 幾種常見隨機變量的分布（）人中人購買的概率，即X的概率，由二項分布的概率公式得（）人中至少有人購買的概率是包括X和X的概率，即（）人中至多有二人購買的概

34、率包括X，X，X的概率，即8.3 幾種常見隨機變量的分布例8.8 電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X為隨機變量，設XP(4)，求一分鐘內呼叫次數(shù)（）恰好為次的概率；（）不超過一次的概率解 這里的 ，故當n很大，p很小時，二項分布可以用泊松分布近似，有其中np，也就是說，泊松分布可以看做是一個概率很小的事件在大量試驗中出現(xiàn)次數(shù)的概率分布實際計算中，當n10，P0.時，就可以用上述的近似公式8.3 幾種常見隨機變量的分布8.3.2 幾種常見連續(xù)型隨機變量的分布 均勻分布如果隨機變量X的概率密度為則稱X服從a，b上的均勻分布，記作U（a，b）例8.9 設隨機變量X服從a，b上的均勻分布，求P（cXd）

35、，其中acdb解8.3 幾種常見隨機變量的分布例.10 某城市某一個交通路口紅燈的時間長度為50，某汽車在路口等候的時間長度為一個隨機變量設其服從均勻分布，求該車等候時間在1030的概率是多少？解 設X為該車在路口等待的時間長度，由題意X服從區(qū)間0,50上的均勻分布： 正態(tài)分布若隨機變量X的概率密度函數(shù)為其中，（ ）都是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)， 正態(tài)分布，記作8.3 幾種常見隨機變量的分布特別地，當，時，X的概率密度函數(shù)為（ x），這時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布，記做X N（，）標準正態(tài)分布的密度函數(shù)是偶函數(shù)： 其函數(shù)圖形關于y軸對稱，如圖8.1所示圖.8.3 幾種常見隨機變量的分布利用微積

36、分的知識可知道正態(tài)分布的概率函數(shù)的性質（）f（x）以x 為對稱軸，并在x 處達到最大，最大值為（）當x 時，f（x），即f（x）以x軸為漸近線（）用求導的方法可以證明，x 為f（x）的兩個拐點的橫坐標，且 為拐點到對稱軸的距離（）若固定 而改變 的值，則正態(tài)分布曲線沿著 x 軸平行移動而不改變形狀，可見曲線的位置完全由參數(shù) 決定；若固定 而改變 的值，則當 越小圖形變得越陡峭；反之，則越平緩，因此 的值刻畫了隨機變量取值的分散程度，即 越小，取值分散程度越小； 越大，取值的分散程度越大，如圖8.2所示8.3 幾種常見隨機變量的分布圖8.28.3 幾種常見隨機變量的分布 正態(tài)分布的概率計算（）標

37、準正態(tài)分布的概率計算設X N（，）， 由標準正態(tài)分布的密度函數(shù)（x），可計算隨機變量X 在任一區(qū)間上取值的概率為了計算的方便，書中附表（標準正態(tài)分布數(shù)值表）已給出了隨機變量X在區(qū)間（ ，x（X）上取值的概率，并記作（x），即上式的幾何意義就是圖8.3中陰影部分的面積即 P（aXb）（b）（a）8.3 幾種常見隨機變量的分布圖8.38.3 幾種常見隨機變量的分布用標準正態(tài)分布函數(shù)值表時，有一下幾種情況（）因表中x的取值范圍為0.3，3.09，因此，當x 0.3， 3.09 時，可直接查表，對于x 3.09 ，取（x）（）（x）（x）（）P（XB）P（Xb）（b）（）P（Xa）P（Xa）（a）（）

38、P（a Xb）（b）（a）（）P（|X|b）P（|X|b）（b）（b）（b）-1例8.11 隨機變量X N（，），求：8.3 幾種常見隨機變量的分布（）P（X1.65）（ 1.65 ）0.9505（）P（ 1.65 X2.09）（ 2.09 ）（ 1.65 ）0.9817 0.9505 0.0312（）P（X 2.09 ）P（X 2.09 ）1（ 2.09 ） 0.9817 0.0183（）P（X2）（2）1（2）1097720.0228（）P（X0.09）（ 0.09 ）（ 0.09 ）0.5359（）P（|X|1.96）2（ 1.96 ）1 0.9500解 查附表：標準正態(tài)分布數(shù)值表得：（

39、）一般正態(tài)分布的概率計算正態(tài)分布N（，）均可以化為標準正態(tài)分布N（，）計算可以證明，對正態(tài)分布X N（，），有8.3 幾種常見隨機變量的分布例8.12 已知某車間工人完成某道工序的時間X服從N（10，3），求：（）從該車間工人中任選一個工人，求完成該道工序的時間至少為min的概率；（）為了保證生產的連續(xù)進行，要求95 的概率保證該道工序上工人完成工作時間不超過15min，這一要求能否得到保證？解 根據(jù)題設，X N（ 10，3 ）8.3 幾種常見隨機變量的分布即從該車間工人中任選一人，其完成該道工序的時間至少min的概率為.8413；此處用到（3.33）由以上計算可知，能夠以95 的概率保證該道工序上工人完成工作時間不超過15min，也就是可以保證生產連續(xù)進行8.4 隨機變量的數(shù)字特征8.4.1 數(shù)學期望 離散型隨機變量的數(shù)學期望定義 離散型隨機變量X的可能取值xk（k，n）與其相應的概率pk的乘積之和，稱為X的數(shù)學期望，簡稱期望或均值，記作E（X），即例8.13 設X的概率分布為求 E（x），E（X），E（X）8.4 隨機變量的數(shù)字特征解 連續(xù)性隨機變量的數(shù)學期望設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f（x），若積分收斂，則稱為隨機變量X的數(shù)學期望，記作E（X），即8.4 隨機變量的數(shù)字特征例8.14 設隨機變量X服從