河南省鄭州、商丘市名師聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題

1、高三理科數(shù)學(xué)一.選擇題:已知集合A = log3l, B = x0 xa,若AB9則實數(shù)。的取值范圍是()3,+S)B. (3,+ 0）的焦點為F P是C上一點，若點P的縱坐標(biāo)為2,且IPFl= 2 ,則P =OA1B. 2C3D44.已知向量方,乙滿足lil=6, S=2, = U則向b夾角的大小等于OA. 30B. 45C. 60oD 120o已知雙曲線C: = 10O）的左、右焦點分別為FF過FI的直線/與雙曲線C的左支交于A，4 bB兩點.若AB = BF29 則AF2= OA. 4B. 6C. 8D 12如圖是某幾何體的三視圖，圖中小方格的邊長為1,則該幾何體的體積為（）C. 6D.

2、20T碳4測年法是由美國科學(xué)家馬丁 卡門與同事塞繆爾魯賓于1940年發(fā)現(xiàn)的一種測左含碳物質(zhì)年齡的 方法，在考古中有大量的應(yīng)用.其原理為：宇宙射線中的中子與氮14反應(yīng)產(chǎn)生碳14,而碳J4會發(fā)生衰變變成氮由此構(gòu)建一個核素平衡.空氣中的碳“4與氧反應(yīng)生成的二氧化碳被生物圈接收，活體生物體 內(nèi)的碳14和碳J2濃度比例是一龍的，只有當(dāng)生物死亡后，碳循環(huán)中斷.碳14會衰變并逐漸消失.放射性 元素的衰變滿足規(guī)律N = N.t （表示的是放射性元素在生物體中最初的含量NQ與經(jīng)過時間f后的含雖:N間的關(guān)系，其中幾=（T為半衰期）已知碳14的半衰期為5730年，NO = I .2x1（TJ 經(jīng)測量某 T地出上的生

3、物化石中碳-14含量為4XIoTJ據(jù)此推測該化石活體生物生活的年代距今約（結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù) Iog2 3 1.585） OA. 7650 年8890 年9082年10098 年給出下列四種圖象的變換方法：將圖象向右平移冬個單位長度：將圖彖向左平移冬個單位長度；44將圖象向左平移乜個單位長度；將圖象向右平移乜個單位長度.8 8利用上述變換中的某些方法，能由函數(shù)y = sin4x的圖象得到函數(shù)y = -2sin2Acos2.r的圖象的變換方法 是（）A. B.C. D.人利用雙耳可以判左聲源在什么方位，聽覺的這種特性叫做雙耳左位效應(yīng)（簡稱雙耳效應(yīng)）.根拯雙耳 的時差，可以確泄聲源P必在以雙耳

4、為左右焦點的一條雙曲線上.又若聲源P所在的雙曲線與它的漸近線 趨近，此時聲源P對于測聽者的方向偏角,就近似地由雙曲線的漸近線與虛軸所在直線的夾角來確左.- 般地，甲測聽者的左、右兩耳相距約為20cm,聲源P的聲波傳及甲的左、右兩耳的時間差為3 105s, 聲速為334ms,則聲源P對于甲的方向偏角Q的正弦值約為（）A. 0. 004B. 0. 04C. 0 . 005D. 0. 05在三棱錐P-ABC中，PA丄平而ABCf AC丄CB,其外接球的體積為36龍，若AC = x, BC = y,AP = z,則 + yz +乙Y的最大值為（）A. 36B. 32C. 24D. 12已知數(shù)列匕的前項

5、和為S“，且3Sll =64-all ,若rr=l（lzf # +町的實數(shù)“的取2 2 2 值范用是（）二、填空題:函數(shù)f（x） = xnx的圖象在點（e,（e）處的切線方程為.x + 2y-40,已知實數(shù)；V, y滿足約束條件x-y-l0,貝Jz = 2x + 3y的最大值為.2x-6y-3 0,某中學(xué)組隊到某村參加社會實踐活動，村長讓學(xué)生測量河流兩岸A B兩點間的距離.同學(xué)們各抒己 見，但李明想到一種測量方法，同學(xué)們一致認為很好.其方法是：在點A處垂直地面豎立一根竹竿，在竹 竿上取一點P ,使AP = a米，在P處測得從P看B的俯角為 .Il用 2 TOC o 1-5 h z 當(dāng)人和B在同

6、一水平而上時（如圖1）,測得AB=米；當(dāng)人和B不在同一水平而上（A和色在同一水平而上）時（如圖2）,利用測角儀測得乙PAB = 0,此時，可測得AB=米.已知曲線C: + ylyl=h點P（m）為曲線C上任意一點，若點A（-2J）, B（4,-2）,則ZB4而積的最大值為.三、解答題：在數(shù)列中，al=, a,lan,+1 （ N）.（1）求數(shù)列的通項公式：（2）令bll = allall,求數(shù)列$的前“項和S”.Dlz,在厶ABC中，角A，B , C的對邊分別為, b C ,且sin（A + B） = csin2（1）求角A的大??；（2）若角B為鈍角，求?的取值范圍C在ZVlOB中，6B =

7、23, ZOAB = 60以。為原點，O力的方向為X軸的正方向，建立平而直角 坐標(biāo)系XOy ,設(shè)A在X軸的上方，C為AAOB外接圓的圓心.（1）求圓C的方程；（2）求圓C在點B處的切線方程；是否存在點q,使得AB = 2 ?若存在，求岀點A的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底而為直角梯形，平而PAD丄平而ABCD, ADIlBC、AZ)丄CD，且 AD = 2BC = 2CD = 4. PA = PD = 2 屁 AD. AB 的中點分別是 O, G.求證：Go丄平而POCX求二而角D PG O的余弦值.21.已知橢圓E：r +Cr= ah0)的右焦點為F,短軸長等于

8、焦距，且經(jīng)過點P(OJ).(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與交于A, B兩點，若以AB為直徑的圓與y軸交于點M ,且IMAl = IMBI,求直線/的方程22.已知函數(shù)/(x) = -lnx + 2(tR).討論函數(shù)/(x)的極值；設(shè)(X) = f(x) + 2cnx + x,若g(x)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍. 參考答案：高三理科數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細則B 由Iog3x,得OVX3,即 A = x 13.又B = *0vx 1 2 2I + y y + IC V +x所以Xy + yz + zx + +=工 +)廠 + 廠=36 ,2 2 2當(dāng)上且僅當(dāng)x

9、= y = z = 2y3時，等號成立.故選A.11. C 當(dāng)川=1 時，3q=64-q,解得=16： 當(dāng)n2時,3S=64-綣和 33S-=64-兩式相減,得3zr=.1即= 則數(shù)列d“是首項為16、公比為f的等比數(shù)列,即各項依次為6 4, h -114, ，所以 qc* = 1 * “ = 1，Cly = 1664結(jié)合tnf + a,得 , 3;T + rt 92 2 2-aa-222 TOC o 1-5 h z /r3a ，22-a,解得-a故選B.4-a -e = O.，4- T畫出可行域(如圖陰影部分廠當(dāng)直線2*-過點A(T時,Z取得最大值，所以ZnUX =23 + 3l = -.I

10、IlaA一 EQ ZPBA =由= tan,得AB = - tan a cos(-0)ABtan a APB = -a,2ZPBA =由正弦左理，得一Sin- + tz-7AB解得AB =a cos aCoS(Q _0)3 曲線 C 是由+ y2=l(xO, y0).4一 y2 = I(X O. y V 0)4以及r-= l(xO)三部分構(gòu)成(如圖所示)，4I AB I= 7(4 + 2)7+ (-2-I)2 =45=35 ,且過 AB 的直線方程為 x+2y = 0 ,22并且直線x + 2y = 0為雙曲線= 1和罕一 y2 = 1的漸近線，44設(shè)過點P且與直線x + 2y = 0平行的直

11、線方程為x+2y + t = 0,兀2由圖知，當(dāng)直線x + 2y + r = 0(-22= 0之間的距離，所以最大距離d = 學(xué)，55所以APAB面積的最大值為丄X 3x 舉 =3血.25解：(1)因為Cl a = a -a . (n N*),所以=1,陥an又5=1,所以數(shù)列 是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以=H .所以an =-(nNt).(2)由(1)得bs _ 1 72( + 1) H /1 + 118解：,所以sinC = CCOS- t2B + c(1)因為sin(A + B) = csin_- 2由正弦定理,得SmASinC = SinCcos-. 由OVCS 得SinCH

12、0, 2Sin-CoS- = Cos-,A ( Jr A因為尹|陀，所以SnI廠所以歸所以A氣(2)由B為鈍角，得0C32解得OC 丄 + 迺 j = 2Sin CSinC22 tan C 22SinC故？的取值范圍是(2,+s).C19解：(1)如圖，設(shè)OB的中點為連接CH ,則CH丄OB.由正弦左理，得圓C的半徑為R =釜r探=2.由ZQAB = 60。，得ZOCH = 60.所以ICHI=I,又IOHl=L 所以C(3j), 所以圓C的方程為(x-3)2+(y-l)2=4.(2)直線BC的斜率為肚1-03-23 所以圓C在點B處的切線的斜率為3 ,故圓C在點B處的切線方程為y = 3(x

13、-23),即切線方程為3-y-6 = 0.r+松+ 1當(dāng)直線AB的斜率存在時，由(23,), 可設(shè)直線AB的方程為y = Zr(x-23),即kx-y-2 = 0, 則圓心C到直線AB的距離為 =A-3-l-2l = +11由A在X軸的上方及(2),可得RvO或RJL因此k =-不適合題意，應(yīng)舍去.3當(dāng)直線AB的斜率不存在時，AB丄X軸，此時O, C, A三點共線， 顯然IABl=2,此時A(23,2).綜上，存在點A(23,2),使得IABI = 2.20.(1)證明：連接OB, BD，易證四邊形OBCD為正方形，所以BD丄OC.因為AD, AB的中點分別是O, G ,所以GO/BD，所以G

14、o丄OC,因為PA = Pr, AD的中點是0,所以PO丄AD.因為平而PAD丄平面ABCD,平而PAD平而ABcD = AD , PoU平SiPAD,所以PO丄平 ABCD.又GO, OCU平而ABCD,所以PolGO, POdOC,又因為OCcPO = O,所以Go丄平而POC(2)解：由(1)知OB, OD, OP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-Ayz .因為AD = 2BC = 2CD = 4. PA = PD = 2近,所以 Po = OAOB = OB = OD = 2,則點 P(Oo 2), D(O20), O(0,0,0), C(220), Ga-1,0)所以CS =

15、 (HO),萬乙= (1,-3,0), 而= (1,-1,一2)由(1)知Po丄OC、GOdOC,又 PoCGo = O、PO, GoU 平而 PGO,所以O(shè)C丄平而PGO、所以O(shè)C = (2,2,0)為平而PGO的一個法向量;又設(shè)平而PGf)的法向雖:為川=(x,y,z),亠/1丄PG,由仁 .H 丄 DG、 PG = X y 2z = 0,n DG = X- 3y = 0,兀=3”所以 cosOCj)=OCnOCn(2,2,0)(3丄1)_2辰22H H由圖知二而角B-PD-C為銳角,所以二而角。的余弦值為晉.21.解：(1)由橢圓E經(jīng)過點P(O,1),得b = li由短軸長等于焦距，得2

16、b = 2c,則c = l, 所以a = b2+c2 =12+12 =2 .2故橢圓E的方程為+ y2 = l.2(2)設(shè)直線/的方程為x = ry+l(rO), A(xl,), B(x2,y2).由= J 得(/+2)+2(y 1 = O ,f+2y-=2,、八X2 +2y2 =2,?/ 1由題意，得(),且 y + y2 =-，一丁Wt + 2t I 2設(shè)M(Ojf),線段A3的中點為N(A0Jb)，則b =如子1 = f呂，Ao =Zo + 1 = Pit+ 1t由 MA = MB,得 MN 丄 AB,即一一 = 一1,解得 W = -t1 + 2由 A4丄M3,得MXMB = xlx2

17、 + (y1 U)(-Ii)= (, +1)(飴+ l) + ()l -)()5-)=(尸 +l)j,2 + (/一 )() +y2) + w2 + l = O.即(r+l)-+fr- j-+- +1 = 0, f r+2 I t2 + 2J r+2 t2+l)解得r = l,所以直線/的方程為x = y + ,即 -1 = 0或兀 +一1 = 0.C1C I 22.解：(1) /(羽的泄義域為(0,+oo),廣(Q = 一二一= -%,對 XJr當(dāng)ano時，20, x0,則2a + x0,則/(x)v,故/(x)在(0,+s)上單涮遞減，無極值；當(dāng) d0 時，令 f(x) -2d;令 ff(

18、x) 0, W0 x)上單調(diào)遞減，所以/()x = -2處取得極大值l-ln(-2),無極小值.(2)由題意，g(x) = /(x) + 2tlnx + x =-nx + 2 + 2aInx + x = (2a-1)Inx +x + 2XXg(x)的泄義域為(0,+8),r 、 2。一1 2(if + (2 l)x 2“ (X l)(x + 2) Cg(X) =- + 1 =.= (X 0)X XXJr若CO,則當(dāng)Xe(0,1)時，g(x)v,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng) XW(I,Ho)時，g(x)0, g(x)在(l,-z)上單調(diào)遞增，所以g(x)至多有兩個零點，不合題意：若 U = -t 則 Xe(O,*o), ,(x) 0 (僅 g,(l) = 0).g()在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以g(x)至多有一個零點，不合題意:若一丄VdV0,則OV-2aO, g(x)在(0,-2), (l,*o)上單涮遞增;當(dāng) XW (-2, 1)時，g,(x) 0, g(x