三角形內(nèi)心的性質(zhì)及應(yīng)用教學(xué)課件

1、第十二章 三角形內(nèi)心的性質(zhì)及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】三角形的內(nèi)切圓的圓心簡稱為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心有下列有趣的性質(zhì)：性質(zhì)1：三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)性質(zhì)2：設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)為其內(nèi)心的充要條件是：到三邊的距離相等性質(zhì)3：設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，所在直線交的外接圓于為內(nèi)心的充要條件是：證明 如圖12-1，必要性：連，由，知充分性：由，即知平分由，有，即，而，從而，即平分，故為的內(nèi)心性質(zhì)4 設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，為的內(nèi)心的充要條件是：，證明 必要性顯然反正充分性：作的外接圓，與射線交于點(diǎn)，連，如圖12-1由，知又，在中，求得，則，故同樣地，即，由性質(zhì)3即證得結(jié)論成立性質(zhì)5 設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，為的內(nèi)心的充要條件是：，的外心均在的

2、外接圓上證明 必要性：如圖，設(shè)的內(nèi)心，的延長線分別交的外接圓于，于是由性質(zhì)3，知，因此，是的外心同理，分別是，的外心故必要性獲證充分性：又設(shè)為內(nèi)另一點(diǎn)，的外心，均在的外接圓上，由，知與重合同理與重合，與重合由于，分別是，的外心，知垂直平分線段，由此可知與重合，即為的內(nèi)心注 性質(zhì)5中，三個(gè)三角形，中有兩個(gè)的外心在的外接圓上即可性質(zhì)6 一條直線截三角形，把周長與面積分為對應(yīng)的兩部分：與，與此直線過三角形內(nèi)心的充要條件是證明 必要性：如圖12-3，設(shè)是的內(nèi)心，過的直線交于，交于記，內(nèi)切圓半徑為，則，由，有充分性：設(shè)直線把的周長與面積分為對應(yīng)的兩部分成等比，且與交于，與交，與的平分線交于記，到，的距離

3、為，到的距離為由得注意到，從而有，即，故為的內(nèi)心，即直線過內(nèi)心性質(zhì)7 設(shè)為的內(nèi)心，在，邊上的射影分別為，；內(nèi)切圓半徑為，令，則（1），；（2），；（3）證明 僅證（3）在中，類似地還有兩式，此三式相乘，即有，由此即證性質(zhì)8 設(shè)為的內(nèi)心，的平分線交于，交的外接圓于，則證明 如圖12-1，由及，有，亦有，性質(zhì)9 過內(nèi)心任作一直線，分別交，于及兩點(diǎn)，則或證明 如圖12-4，先看一般情形：設(shè)為上任意一點(diǎn)，直線分別交，于、，則當(dāng)為的內(nèi)心時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)及合比、等比定理，有，將上述三式代入式即證得結(jié)論性質(zhì)10 設(shè)的內(nèi)心為，內(nèi)一定在，上的射影分別為，當(dāng)與重合時(shí)，的值最小證明 設(shè)，顯然有是定值由柯西

4、不等式，有，故（定值）其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)成立，此時(shí)與重合對于內(nèi)切圓我們還有如下性質(zhì)：性質(zhì)11 三角形一內(nèi)（外）角平分線上的點(diǎn)為三角形一頂點(diǎn)的射影的充分必要條件是另一頂點(diǎn)關(guān)于內(nèi)切圓（旁切圓）的切點(diǎn)弦直線與這條角平分線的交點(diǎn)證明 如圖12-5，在中，內(nèi)切圓切邊、分別于點(diǎn)、，直線、為三條內(nèi)角平分線僅證直線上的點(diǎn)，有、三點(diǎn)共線充分性由、共線聯(lián)結(jié)，（當(dāng)在外時(shí)，為）于是，、四點(diǎn)共圓，即故必要性由，聯(lián)結(jié)，由，知、四點(diǎn)共圓，又為內(nèi)心，知，則注意到，在等腰中，故、三點(diǎn)共線同理，直線上的點(diǎn)，、三點(diǎn)共線直線上的點(diǎn)，、三點(diǎn)共線直線上的點(diǎn)，、三點(diǎn)共線直線上的點(diǎn)，、三點(diǎn)共線直線上的點(diǎn)，、三點(diǎn)共線推論 三角形的一條中位線

5、，與平行于此中位線的邊的一端點(diǎn)處的內(nèi)（外）角平線及另一端點(diǎn)關(guān)于內(nèi)（旁）切圓的切點(diǎn)弦直線，這三條直線相交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)為與中位線對應(yīng)的頂點(diǎn)在這條內(nèi)（外）交平分線上的射影事實(shí)上，若設(shè)為的中點(diǎn)，則，且，有為等腰三角形，從而知與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，即為中為線如圖12-5，、在中位線上，、在中位線上，、在中位線上、均為三條直線的交點(diǎn)注 在上述性質(zhì)11及推論中，旁心的情形留給讀者推證性質(zhì)12 設(shè)的內(nèi)切圓（旁內(nèi)圓）分別切、邊于點(diǎn)、，設(shè)是延長線上一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)在線上證明 如圖12-6，過點(diǎn)用交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則聯(lián)結(jié)、充分性當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，注意到、及、分別四點(diǎn)共圓，有，即知為等腰三角形注意

6、到，知為的中點(diǎn)又，故知為中點(diǎn)必要性當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則知為的中點(diǎn)由，知，即有，亦有注意到、及、分別四點(diǎn)共圓，有，于是、三點(diǎn)共線故點(diǎn)在直線上注 若為延長線一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，則的充要條件是點(diǎn)在上事實(shí)上，過作分別交于，交于，如圖12-6充分性若在上時(shí)，則知為的切線由，有同理從而又由平行線性質(zhì)，有即，亦即從而必要性當(dāng)，由旁切圓性質(zhì)（第十六章性質(zhì)7）知為的旁切圓的切點(diǎn)由位似形性質(zhì)知為的旁切圓點(diǎn)，故在上性質(zhì)13 設(shè)的內(nèi)切圓分別切、邊于點(diǎn)、，為劣弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)作內(nèi)切圓的切線與所在直線交于點(diǎn)，則、三點(diǎn)共線的充要條件是、三點(diǎn)共線證法1 充分性當(dāng)、共線時(shí)，如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，則聯(lián)結(jié)、，則即又公用，有，即有聯(lián)結(jié)，則，知、四

7、點(diǎn)共圓又、四點(diǎn)共圓，從而、五點(diǎn)共圓于是，即由、可知，、三點(diǎn)共線必要性當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)，如圖12-7，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，則類似于充分性證明，由，得、四點(diǎn)共圓，又、四點(diǎn)共圓，即有，有故、三點(diǎn)共線證法2 應(yīng)用定差冪線定理，并注意，則、三點(diǎn)共線、三點(diǎn)共線由及，既有而式式故、三點(diǎn)共線、三點(diǎn)共線【典型例題與基本方法】例1 如圖12-8，是的內(nèi)心，是的內(nèi)心，是的內(nèi)心，若的讀數(shù)為整數(shù)，求的最小度數(shù)解 由性質(zhì)4，知故當(dāng)時(shí)，的最小度數(shù)為例2 如圖12-9，設(shè)點(diǎn)是的邊的中點(diǎn)，是其內(nèi)心，是邊上的高，為直線為的交點(diǎn)求證：等于內(nèi)切圓半徑證明 設(shè)為內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)，連，設(shè)，則，由，有又，即再由（注意），及，有，故注（1）此例的逆命

8、題也是成立的，即若，則、共線（2）在圖12-9，還可推證有如下結(jié)論：直線平分；設(shè)的內(nèi)切圓切于，切于，則與直線的交點(diǎn)的直線上；設(shè)直線交于，即為直徑端點(diǎn)，直線交于，則；的外心為的中點(diǎn)這些結(jié)論的證明可參見筆者著作走向國際數(shù)學(xué)奧林匹克的平面幾何試題詮釋（下冊），哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社2007年元月出版例3 如圖12-10，設(shè)的外接圓的半徑為，內(nèi)心為，的外角平分線交于證明：（1）；（2）證明（1）連并延長交于，則為的中點(diǎn)連，由，則知，均為正三角形由性質(zhì)3知，即知為過點(diǎn)，四點(diǎn)的圓的圓心，且半徑為，從而此圓與為等圓延長交于，由題設(shè)條件可證，三點(diǎn)共線于是，而，故，由此即有（2）連，由性質(zhì)3知，又，從而，故又（其

9、中）即證例4 如圖12-11，在中，的平分線交的外接圓于，分別為的外心，內(nèi)心求證：證明 連接并延長交于，連，則，因?yàn)榈膬?nèi)心，由性質(zhì)8知于是從而，故【解題思維策略分析】1注意到內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)例5 如圖12-12，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，又設(shè)，分別是及的內(nèi)心證明：，交于一點(diǎn)證明 過向三邊作垂線，垂足分別為，連，易知，；，；，分別四點(diǎn)共圓，則同理，由條件，知，亦即由，知即，亦即設(shè)交于，交于，則由角平分線性質(zhì)，有，即，故，重合，從而，交于一點(diǎn)例6 如圖12-13，設(shè)三角形的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為，其外心、內(nèi)心分別為，若，則證明 連并延長交于，作直徑，連，設(shè)切于，連，則在和中，由，知，從而，即由性質(zhì)3，

10、知，所以將兩端延長交于，則由相交弦定理，得故例7 如圖12-14，在中，有一個(gè)圓內(nèi)切于的外接圓，并且與，分別相切于，求證：線段的中點(diǎn)是的內(nèi)心證明 設(shè)的延長線交于，則在上連，由，有 作兩圓連心線交于，則 +并注意到，有再作的直徑，可知，從而，即有比較，注意到，故由性質(zhì)3，即知為的內(nèi)心另證 顯然，的中點(diǎn)，圓心，的中點(diǎn)都在的平分線上，若設(shè)，的半徑為，則設(shè)直線交于，且的半徑為，則，即由，知，由，知，即證例8 的的平分線與的外接圓交于，是的內(nèi)心，是邊的中點(diǎn)，是關(guān)于的對稱點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)在圓內(nèi)），延長與外接圓相交于點(diǎn)試證：在，三條線段中，必有一條線段是另兩條線段之和證明 如圖12-15，不妨設(shè)在上，即證連，注意到

11、共底的三個(gè)三角形面積，即由，及在上，且，知令，則，于是，注意到性質(zhì)3，知，從而由式即得例9 如圖12-16，在中，是外心，是內(nèi)心，邊上的點(diǎn)與邊上的點(diǎn)使求證：，證明 連并延長交的外接圓于，連，由為內(nèi)心，知又，則由平分，且，則從而知與的兩組對邊分別垂直，且它們都是銳角，因此，由正弦定理，有，又的度數(shù)=的度數(shù)=，從而，即有由性質(zhì)3知，從而又，則由，得，從而知通過旋轉(zhuǎn)和平移可使用兩個(gè)三角形重合，故，2注意過內(nèi)心的直線的性質(zhì)例10 如圖12-17，在中，是斜邊上的高，連接的內(nèi)心與的內(nèi)心的直線，分別與邊交于，邊交于，與的面積分別記為與求證：證明 設(shè)與交于，由性質(zhì)9可得，此兩式可變?yōu)?，由，有，即由，即由，?/p>

12、，即又是的內(nèi)心，易得從而于是，故例11 如圖12-18，在中，為垂足，過的內(nèi)心和的內(nèi)心的直線啊交于交于若，則證明 設(shè)，由性質(zhì)9及正弦定理，有，將，代入上述兩式，得又，即有而，則，亦即因，知，從而，則，即有，又，故注 例10，例11的證法見孫哲先生的文章三角形內(nèi)心的一個(gè)性質(zhì)與三道幾何名題的新證（中學(xué)數(shù)學(xué)1999年第6期）3注意內(nèi)切圓(旁切圓性質(zhì)的應(yīng)用)例12 設(shè)、分別為內(nèi)切圓與邊、的切點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，以為直徑的圓分別交、于點(diǎn)、證明：證明 如圖12-19，由題設(shè)知、分別為、在角平分線、上的射影，由性質(zhì)11知，、均在內(nèi)切圓的切點(diǎn)弦所在直線上又由性質(zhì)12知，、三點(diǎn)共線延長、交于點(diǎn)則為的垂心，即

13、知在直線上，又由垂心性質(zhì)11知為的內(nèi)心，有，即得同理于是例13 已知的中線交其內(nèi)切圓于點(diǎn)，分別過、且平行于的直線交圓于點(diǎn)、分別交于、證明：證明 如圖12-20，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，分別切、于點(diǎn)、，直線交于點(diǎn)，則由性質(zhì)12知點(diǎn)在直線上設(shè)過點(diǎn)、的兩條切線交于點(diǎn)，則由性質(zhì)13知，、三點(diǎn)共線由調(diào)和點(diǎn)列性質(zhì)5后的推論8知設(shè)直線交于點(diǎn)，由知注意到等腰梯形中為其對角線，兩底的公垂線為從而再注意到、式，即知識(shí)的中點(diǎn)因此，是的中點(diǎn)故，即有例14 設(shè)是頂點(diǎn)所對旁切圓的圓心，該旁切圓與邊切于點(diǎn)，與直線、分別切于點(diǎn)、，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)設(shè)是直線與的交點(diǎn)，是直線與的交點(diǎn)證明：是線段的中點(diǎn)證明 如圖12-21，由性質(zhì)

14、11及其推論，知，設(shè)直線分別交、于、，則為的中位線從而關(guān)于直線與對稱，關(guān)于直線與對稱，于是注意到，故【模擬實(shí)戰(zhàn)】習(xí)題A1已知與相交于、兩點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，延長交于求證：是的內(nèi)心2在中，是斜邊上的高，分別是和的內(nèi)心求證：3設(shè)的內(nèi)切圓與、邊分別切于點(diǎn)、，射線、分別交于點(diǎn)、試證：四邊形與的面積相等4在梯形中，對角線與相交于記、的內(nèi)切線半徑依次為、，且求證：5在凸四邊形中，且，垂足為設(shè)為的內(nèi)心，為邊的中點(diǎn)求證：，且6設(shè)為的內(nèi)心，是從向，所作垂線的垂足三角形證明：7已知是等腰的底上的高，有，延長到，使，過點(diǎn)作的垂線，垂足為求證：點(diǎn)是的內(nèi)心8設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓的半徑，內(nèi)心為，延長交外接圓于求證：9在中，的平分線交邊及三角形的外接圓于，是的內(nèi)心求證：（1）；（2）10為的內(nèi)心，且，分別為，的外心求證：與有相同的外心習(xí)題B1在中，的平分線分別交外接圓于點(diǎn)，求證：2四邊形內(nèi)接圓，的內(nèi)心依次記為，證明：是矩形3在銳角中，的平分線延長后分別與的外接圓交于，直線與，的外角平分線相交于，與此類似求證：（1）的面積是六邊形的2倍；（2）的面積至少是面積的4倍4的，的內(nèi)角平分線分別與外接圓交于，證明：的面積大于或等于的面積5設(shè)為的內(nèi)心，點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)若，求6設(shè)是的內(nèi)心，并設(shè)的內(nèi)切圓與三邊，分別相切于點(diǎn)，過點(diǎn)平行