運(yùn)算方法和運(yùn)算部件課件

1、第3章 運(yùn)算方法和運(yùn)算部件計(jì)算機(jī)組成原理2007.7.21計(jì)算機(jī)組成原理第3章 運(yùn)算方法和運(yùn)算部件數(shù)據(jù)是計(jì)算機(jī)處理的對(duì)象。從外部形式來看，計(jì)算機(jī)可處理數(shù)值、文字、圖、聲音、視頻，甚至各種模擬信息量。這些形式的信息，在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)內(nèi)部，主要表示成定點(diǎn)數(shù)（整數(shù)）、浮點(diǎn)數(shù)（實(shí)數(shù)）、邏輯數(shù)（布爾數(shù)）、字符、字符串等形式，并且都必須采用數(shù)字化編碼。在計(jì)算機(jī)中如何完成數(shù)據(jù)的各種運(yùn)算，如何通過硬件電路實(shí)現(xiàn)運(yùn)算，如何校驗(yàn)數(shù)據(jù)的正確性是本章討論的主要內(nèi)容。2007.7.22計(jì)算機(jī)組成原理本章要點(diǎn)：常用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制及其相互轉(zhuǎn)換數(shù)值數(shù)據(jù)的表示和運(yùn)算運(yùn)算部件浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)據(jù)校驗(yàn)2007.7.23計(jì)算機(jī)組成原理3.1 數(shù)字化

2、信息編碼 3.1.1 數(shù)字化信息編碼的概念目前，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用非常廣泛，遍及人類社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域，產(chǎn)生了巨大的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)影響。從用戶角度來看，計(jì)算機(jī)能夠處理數(shù)值、文字、聲音、圖畫、活動(dòng)圖像等。但是，在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，這些都不能直接由計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理和存儲(chǔ)，它們必須采取“特殊的表示形式”才能由計(jì)算機(jī)進(jìn)行加工處理。這種特殊的表示形式就是二進(jìn)制編碼形式，即采用二進(jìn)制編碼表示的數(shù)值、文字、圖畫、聲音和活動(dòng)圖像才能由計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理。所以，在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中所指的數(shù)據(jù)均是以二進(jìn)制編碼形式出現(xiàn)的。 2007.7.24計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)內(nèi)部處理的所有數(shù)據(jù)都是“數(shù)字化編碼”的二進(jìn)制數(shù)據(jù)。計(jì)算機(jī)的輸入設(shè)備（或接口芯片

3、）實(shí)現(xiàn)將現(xiàn)實(shí)世界中的媒體信息（模擬信號(hào)），如聲音、文字、圖畫、活動(dòng)圖像等轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)據(jù)（數(shù)字信號(hào)）。在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行處理、存儲(chǔ)和傳輸?shù)男畔⒉捎枚M(jìn)制進(jìn)行編碼的原因有以下幾點(diǎn)：（1）二進(jìn)制只有兩種基本狀態(tài)，使用有兩個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)的物理器件（如三極管）就可以表示二進(jìn)制數(shù)的每一位，而制造有兩個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)的物理器件要比制造有多個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)的物理器件容易得多。例如用高、低兩個(gè)電位，或用脈沖的有無，或脈沖的正、負(fù)極性等都可以方便、可靠地表示“0”和“1”；（2）二進(jìn)制的編碼、計(jì)數(shù)和運(yùn)算規(guī)則都很簡(jiǎn)單。可用開關(guān)電路實(shí)現(xiàn)，簡(jiǎn)便易行；（3）兩個(gè)符號(hào)“1”和“0”正好與邏輯命題的兩個(gè)值“真”和“假”相對(duì)應(yīng)，為計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)邏

4、輯運(yùn)算和程序中的邏輯判斷提供了便利的條件。2007.7.25計(jì)算機(jī)組成原理3.1.2 二進(jìn)制編碼和碼制轉(zhuǎn)化 在計(jì)算機(jī)里，常常需要將某一信息（輸入）變換為某一特定的代碼（輸出）。把二進(jìn)制碼按一定的規(guī)律編排，使每組代碼具有一特定的含義稱為二進(jìn)制編碼。例如，電報(bào)碼中用4位十進(jìn)制數(shù)字表示漢字，就是編碼的典型例子。 編碼是計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的基礎(chǔ)，而編碼的基礎(chǔ)是數(shù)制。數(shù)制是用于描述數(shù)字系統(tǒng)或體系結(jié)構(gòu)的一種方法。為了描述數(shù)的大小，人類采用進(jìn)位技術(shù)的方法，稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制，簡(jiǎn)稱“數(shù)制”。人們?cè)谌粘Ｉ钪校?xí)慣于用十進(jìn)制數(shù)，而在計(jì)算機(jī)中，多采用二進(jìn)制數(shù)，二進(jìn)制數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是其運(yùn)算規(guī)律簡(jiǎn)單且實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)的數(shù)字裝置簡(jiǎn)單。二進(jìn)制

5、數(shù)的缺點(diǎn)是人們對(duì)其使用時(shí)不習(xí)慣且當(dāng)二進(jìn)制位數(shù)較多時(shí)，書寫起來很麻煩，特別是在寫錯(cuò)了以后不易查找錯(cuò)誤，為此，書寫時(shí)常采用八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)。2007.7.26計(jì)算機(jī)組成原理為了區(qū)分這幾種進(jìn)制數(shù)，規(guī)定在數(shù)字的后面加字母D表示十進(jìn)制數(shù)，加字母B表示二進(jìn)制數(shù)，加字母O表示八進(jìn)制數(shù)，加字母H表示十六進(jìn)制數(shù)，十進(jìn)制數(shù)可以省略不加。例如：11D和11都表示是十進(jìn)制數(shù)。另外，也可以用基數(shù)作下標(biāo)表示，例如： （15）10或15表示十進(jìn)制數(shù)， （15）2表示二進(jìn)制數(shù)， （15）8表示八進(jìn)制數(shù)， （15）16表示十六進(jìn)制數(shù)。2007.7.27計(jì)算機(jī)組成原理對(duì)于任何進(jìn)制數(shù)，都有以下幾個(gè)基本特點(diǎn)。（1）基數(shù) 在某種數(shù)制

6、中，允許使用的數(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)，稱為這種數(shù)制的基數(shù)或基。例如：十進(jìn)制的基數(shù)為10，有十個(gè)數(shù)碼09；二進(jìn)制的基數(shù)為2，有兩個(gè)數(shù)碼0和1；八進(jìn)制的基數(shù)為8，有八個(gè)數(shù)碼07；十六進(jìn)制的基數(shù)為16，有十六個(gè)數(shù)碼09和A到F。（2）位權(quán) 任一種N進(jìn)制中,Ni 稱為第i位的權(quán)。例如十進(jìn)制數(shù)756中最高位的位權(quán)為102，中間位的位權(quán)為101，最低位的位權(quán)為100。（3）進(jìn)位 在同一位權(quán)上計(jì)數(shù)值達(dá)到基數(shù)時(shí)，就要進(jìn)入高一級(jí)的位權(quán)，這就是數(shù)制中的進(jìn)位?；鶖?shù)是不同數(shù)制的進(jìn)位條件。例如十進(jìn)制數(shù)是“逢十進(jìn)一”和“借一當(dāng)十”。2007.7.28計(jì)算機(jī)組成原理1幾種常用進(jìn)制（1）十進(jìn)制（Decimal）十進(jìn)制用09十個(gè)數(shù)字符

7、號(hào)，以一定的規(guī)律排列起來，表示數(shù)值的大小。相鄰位之間，低位逢十向高位進(jìn)一。它的基數(shù)為10,各位的系數(shù)Ki可以是09十個(gè)數(shù)字中任一個(gè)。各位的權(quán)為10i。因而，任意一個(gè)n位十進(jìn)制數(shù)Ni可表示為:例如：2007.7.29計(jì)算機(jī)組成原理2）二進(jìn)制(Binary)二進(jìn)制是數(shù)字電路中應(yīng)用最廣泛的計(jì)數(shù)制。因?yàn)樵跀?shù)字電路中通常只有高電平和低電平兩個(gè)狀態(tài)。這兩個(gè)狀態(tài)剛好可以用二進(jìn)制數(shù)中的兩個(gè)符號(hào)0和1來表示。它的運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單,在電路中易于實(shí)現(xiàn)。在二進(jìn)制中,相鄰位之間,低位逢二向高位進(jìn)一。它的基數(shù)為2,各位的系數(shù)Ki可以是0或1,各位的權(quán)為2i。因而任一個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)N2可表示為：例如:2007.7.210計(jì)算機(jī)

8、組成原理（3）八進(jìn)制(Octal) 如果將一個(gè)數(shù)值較大的十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，不僅位數(shù)多，難以記憶，且不便書寫,易出錯(cuò)。因而除了二進(jìn)制外，常用的還有八進(jìn)制或十六進(jìn)制。八進(jìn)制中，各相鄰位之間，低位逢八向高位進(jìn)一。它的基數(shù)為8，各位的權(quán)為8i，各位的系數(shù)Ki可以是07八個(gè)數(shù)字中任意一個(gè)，因而任意一個(gè)n位八進(jìn)制數(shù)N8可表示為： 例如:2007.7.211計(jì)算機(jī)組成原理（4）十六進(jìn)制(Hexadecimal)十六進(jìn)制數(shù)中，各相鄰位之間，低位逢十六向高位進(jìn)一。它的基數(shù)為16，為了書寫和計(jì)算方便，在十六進(jìn)制數(shù)中，各位的系數(shù)Ki可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六個(gè)數(shù)字

9、符號(hào)中任一個(gè)。各位的權(quán)為16i, 因而任一個(gè)n位十六進(jìn)制數(shù)N16可表示為：例如：2007.7.212計(jì)算機(jī)組成原理 表3-1給出了上述四種進(jìn)制之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。表3-1 四種進(jìn)位制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)000000010010001101000101011001111000100110101011110011011110111101234567101112131415161701234567891011121314150123456789ABCDEF2007.7.213計(jì)算機(jī)組成原理2不同進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換（1）二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)當(dāng)二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六

10、進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)時(shí)，只要“按權(quán)展開”即可?！纠?-1】二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。 (10100.01)2=(124+023+122+021+020+02-1+12-2)10=(20.25)10【例3-2】八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。 (300.6)8=(382+081+080+68-1) 10=(192.75) 10【例3-3】十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。(3B.C)16= (3161+11160+1216-1) 10=(59.75) 10（2）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)2007.7.214計(jì)算機(jī)組成原理十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，因?yàn)檎麛?shù)部分和小數(shù)部分轉(zhuǎn)換的規(guī)則不同

11、，所以要將整數(shù)和小數(shù)部分分開進(jìn)行轉(zhuǎn)換。整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換規(guī)則是“除基取余，逆向取”。也就是說，用要轉(zhuǎn)換的十進(jìn)制整數(shù)去除以基數(shù)R，將得到的余數(shù)作為結(jié)果數(shù)據(jù)中各位的數(shù)字，直到余數(shù)為0為止。先得到的余數(shù)作為轉(zhuǎn)換后的最低位，最后得到的余數(shù)作為轉(zhuǎn)換后的最高位?！纠?-4】將十進(jìn)制整數(shù)835分別轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制和八進(jìn)制數(shù)。二進(jìn)制轉(zhuǎn)換： 104 8 834 1 13 8 8 8 低位 余數(shù) 高位 1 5 0 2 0 所以，(834) 10=(1502) 82007.7.215計(jì)算機(jī)組成原理二進(jìn)制轉(zhuǎn)換： 417 26 2 834 104 208 52 13 2 2 2 2 2 低位 余數(shù) 高位 0 0

12、1 0 0 0 3 6 1 0 2 2 2 2 0 1 1 1 所以，(834) 10=(1101000010) 2小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換規(guī)則是“乘基取整，正向取”。也就是說，用要轉(zhuǎn)換的十進(jìn)制小數(shù)去乘以基數(shù)R，將得到的乘積的整數(shù)部分作為結(jié)果數(shù)據(jù)中各位的數(shù)字，小數(shù)部分繼續(xù)與基數(shù)R相乘。以次類推，直到某一步乘積的小數(shù)部分為0或已得到希望的位數(shù)為止。最后，將先得到的整數(shù)部分作為轉(zhuǎn)換后的最高位，最后得到的整數(shù)部分作為轉(zhuǎn)換后的最低位。2007.7.216計(jì)算機(jī)組成原理【例3-5】將十進(jìn)制小數(shù)0.6875分別轉(zhuǎn)換成二、八進(jìn)制數(shù)。0.68752=1.375 1 高位0.3752=0.75 0 0.75

13、2=1.5 1 0.52=1.0 1 低位所以，(0.6875)10=(0.1011)20.68758=5.5 5 高位0.58=4.0 4 所以，(0.6875)10=(0.54)8 低位其它例題(略)2007.7.217計(jì)算機(jī)組成原理二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù) 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)的規(guī)則可以概括為“三位并一位”。即以小數(shù)點(diǎn)為基數(shù)，整數(shù)部分從右至左，每三位一組，最高位不足三位時(shí)，添0補(bǔ)足三位；小數(shù)部分從左至右，每三位一組，最低有效位不足三位時(shí)，添0補(bǔ)足三位。然后，將各組的三位二進(jìn)制數(shù)按22，21，20權(quán)展開后相加，得到一位八進(jìn)制數(shù)。 【例3-9】將（1000110.01101）2轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)

14、。 001 000 110 . 011 010 1 0 6 . 3 2 所以，（1000110.01101）2=（106.32）82007.7.218計(jì)算機(jī)組成原理二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)規(guī)則可概括為“四位并一位”。即以小數(shù)點(diǎn)為基數(shù)，整數(shù)部分從右至左，每四位一組，最高位不足四位時(shí)，添0補(bǔ)足四位；小數(shù)部分從左至右，每四位一組，最低有效位不足四位時(shí)，添0補(bǔ)足四位。然后，將各組的四位二進(jìn)制數(shù)按23，22，21，20權(quán)展開后相加，得到一位十六進(jìn)制數(shù)。【例3-10】將（10010111.11011）2轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。1001 0111 . 1101 1000 9 7 . D 8

15、 所以，（10010111.11011）2=（97.D8）16思考：計(jì)算機(jī)能夠直接識(shí)別運(yùn)算的是二進(jìn)制，那么計(jì)算機(jī)中還要采用八進(jìn)制、十六進(jìn)制的目的是什么？2007.7.219計(jì)算機(jī)組成原理3.2 常用的數(shù)據(jù)表示3.2.1 真值與機(jī)器數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，數(shù)據(jù)是以二進(jìn)制的形式存儲(chǔ)和運(yùn)算的，無論數(shù)值還是數(shù)的符號(hào)，都只能用0、1來表示。數(shù)的正負(fù)用高位字節(jié)的最高位來表示，定義為符號(hào)位，用“0”表示正數(shù)，“1”表示負(fù)數(shù)。例如，在機(jī)器中用8位二進(jìn)制表示一個(gè)數(shù)+42，其格式為： 00101010 符號(hào)位，“0”表示正而用8位二進(jìn)制表示一個(gè)數(shù)-53，其格式為： 10110101 符號(hào)位，“1”表示負(fù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，符號(hào)

16、和數(shù)字都用二進(jìn)制碼表示，兩者合在一起構(gòu)成數(shù)的機(jī)內(nèi)表示形式，稱為機(jī)器數(shù)，而它真正表示的帶有符號(hào)的數(shù)稱為這個(gè)機(jī)器數(shù)的真值。機(jī)器數(shù)又分為定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)。以上分析可見，在機(jī)器數(shù)中，用0、1取代了真值的正、負(fù)號(hào)。2007.7.220計(jì)算機(jī)組成原理3.2.2 數(shù)的機(jī)器碼表示整數(shù)又可分為無符號(hào)整數(shù)（不帶符號(hào)的整數(shù)）和整數(shù)（帶符號(hào)的整數(shù)）。無符號(hào)整數(shù)中，所有二進(jìn)制位全部用來表示數(shù)的大小，有符號(hào)整數(shù)用最高位表示數(shù)的正負(fù)號(hào)，其他位表示數(shù)的大小。無符號(hào)數(shù)在計(jì)算機(jī)中通常有三種表示方法。(1)位數(shù)不等的二進(jìn)制碼。(2)BCD碼。BCD碼的表示形式一般又有兩種：壓縮BCD碼和非壓縮BCD碼。前者每位BCD碼用4位二進(jìn)制表

17、示，1個(gè)字節(jié)（8位二進(jìn)制）表示2位BCD碼，如10010011B表示二進(jìn)制數(shù)93；后者每位BCD碼用1個(gè)字節(jié)表示，高4位總是0000，低4位的00001001表示09。(3)ASCII碼（American Standard Code for Information Interchange，ASCII），美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼。該編碼已被國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織ISO采納，作為國(guó)際通用的信息標(biāo)準(zhǔn)交換代碼。ASCII碼表示與非壓縮BCD碼表示很相似，低4位完全相同，都是用00001001表示09；差別僅在高4位，ASCII碼不是0000，而是0011。ASCII碼包含52個(gè)大、小寫英文字母，10個(gè)十進(jìn)制數(shù)字字符

18、，32個(gè)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、特殊號(hào)，還有34個(gè)不可顯示打印的控制字符編碼，一共是128個(gè)編碼。2007.7.221計(jì)算機(jī)組成原理3.2.3 定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)表示當(dāng)所要處理的數(shù)含有小數(shù)部分時(shí)，就有一個(gè)如何表示小數(shù)點(diǎn)的問題。在計(jì)算機(jī)中并不用某個(gè)二進(jìn)制位來表示小數(shù)點(diǎn)，而是隱含規(guī)定小數(shù)點(diǎn)的位置。若約定小數(shù)點(diǎn)的位置是固定的，這就是定點(diǎn)表示法；若給定小數(shù)點(diǎn)的位置是可以變動(dòng)的，則成為浮點(diǎn)表示法。他們不但關(guān)系到小數(shù)點(diǎn)的問題，而且關(guān)系到數(shù)的表示范圍和精度。1定點(diǎn)數(shù)計(jì)算機(jī)處理的數(shù)據(jù)不僅有符號(hào)，而且大量的數(shù)據(jù)帶有小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)不占有二進(jìn)制一位而是隱含在機(jī)器數(shù)里某個(gè)固定位置上。通常采取兩種簡(jiǎn)單的約定：一種是約定所有機(jī)器數(shù)

19、的小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置隱含在機(jī)器數(shù)的最低位之后，叫定點(diǎn)整數(shù)。如 小數(shù)點(diǎn)位置另一種約定所有機(jī)器數(shù)的小數(shù)點(diǎn)隱含在符號(hào)位之后、有效部分最高位之前，叫定點(diǎn)小數(shù)，如： 小數(shù)點(diǎn)位置定點(diǎn)整數(shù)和定點(diǎn)小數(shù)在計(jì)算機(jī)中的表示形式?jīng)]什么區(qū)別，其小數(shù)點(diǎn)完全靠事先約定而隱含在不同位置。10011001010110012007.7.222計(jì)算機(jī)組成原理2. 浮點(diǎn)數(shù)當(dāng)要處理的數(shù)是既有整數(shù)又有小數(shù)的混合小數(shù)時(shí)，采用定點(diǎn)數(shù)格式很不方便。為此，人們一般都采用浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。浮點(diǎn)數(shù)與科學(xué)計(jì)數(shù)法相似，把一個(gè)二進(jìn)制數(shù)通過移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)位置表示成階碼和尾數(shù)兩部分：其中：EN的階碼，是有符號(hào)的整數(shù)； SN的尾數(shù)，是數(shù)值的有效數(shù)字部分，一般規(guī)定取二進(jìn)

20、制定點(diǎn)小數(shù)形式。如：(101.1101)2=2+30.1011101，(0.01011101)2=2-11011101浮點(diǎn)數(shù)的格式如下：2007.7.223計(jì)算機(jī)組成原理浮點(diǎn)數(shù)由階碼和尾數(shù)兩部分組成，底數(shù)2在機(jī)器數(shù)中不出現(xiàn)，是隱含的。其中，階碼一般用補(bǔ)碼定點(diǎn)整數(shù)表示，尾數(shù)一般用補(bǔ)碼或原碼定點(diǎn)小數(shù)表示。為保證不損失有效數(shù)字，一般還對(duì)尾數(shù)進(jìn)行規(guī)格化處理，即保證尾數(shù)的最高位是1，實(shí)際大小通過階碼進(jìn)行調(diào)整。后面3.4節(jié)將對(duì)浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行詳細(xì)介紹。思考：計(jì)算機(jī)中引入浮點(diǎn)數(shù)的目的是什么？2007.7.224計(jì)算機(jī)組成原理3.3 二進(jìn)制數(shù)值數(shù)據(jù)的編碼與運(yùn)算算法3.3.1 原碼、反碼、補(bǔ)碼的定義1原碼對(duì)于無符號(hào)數(shù)

21、，原碼是一種用數(shù)值本身表示的二進(jìn)制編碼。對(duì)于有符號(hào)數(shù)，原碼是一種以符號(hào)和數(shù)值表示的二進(jìn)制編碼。有符號(hào)數(shù)的原碼編碼規(guī)則是：用最高位表示符號(hào)，整數(shù)用0表示，負(fù)數(shù)用1表示。其他位表示該數(shù)的絕對(duì)值。例如：X=(+105) X原=(01101001)2Y=(-105) Y原=(11101001)2注意：0的原碼有兩種，即 +0原=(00000000)2，-0原=(10000000)2結(jié)論：正數(shù)的原碼是它本身，負(fù)數(shù)的原碼是真值取絕對(duì)值后，在最高位（左端）補(bǔ)“1”。2007.7.225計(jì)算機(jī)組成原理2反碼反碼使用得較少，它只是補(bǔ)碼得一種過渡。對(duì)于無符號(hào)數(shù)，反碼是一種用對(duì)數(shù)值按位取反表示的二進(jìn)制編碼。對(duì)于有符

22、號(hào)數(shù)，反碼是一種用符號(hào)位和對(duì)數(shù)值按位取反表示的二進(jìn)制編碼。有符號(hào)數(shù)的反碼編碼規(guī)則是：用最高位表示符號(hào)，正數(shù)用0表示，負(fù)數(shù)用1表示。正數(shù)的反碼是其原碼本身，負(fù)數(shù)反碼的數(shù)值部分是原碼的數(shù)值部分按位取反。例如：+65原=(01000001)2 +65反=(01000001)2-65原=(11000001)2 65反=(00111110)2注意：0的反碼有兩種，即 +0反=(00000000)2，-0反=(11111111)2 。結(jié)論：正數(shù)的反碼與其原碼相同，負(fù)數(shù)的反碼是符號(hào)位不變，其余各位按位取反。2007.7.226計(jì)算機(jī)組成原理3補(bǔ)碼補(bǔ)碼是計(jì)算機(jī)處理有符號(hào)數(shù)的運(yùn)算常用的一種方法。對(duì)于無符號(hào)數(shù)，補(bǔ)

23、碼是一種用對(duì)數(shù)值按位取反并加1表示的二進(jìn)制編碼。對(duì)于有符號(hào)數(shù)，補(bǔ)碼是一種用符號(hào)和對(duì)數(shù)值按位取反并加1表示的二進(jìn)制編碼。對(duì)于n位計(jì)算機(jī)，某數(shù)x的補(bǔ)碼定義為：結(jié)論：正數(shù)的補(bǔ)碼等于正數(shù)本身，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于模（即2n）減去它的絕對(duì)值，即符號(hào)位1不變，數(shù)值部分是原碼的數(shù)值部分按位取反并加1。2007.7.227計(jì)算機(jī)組成原理3補(bǔ)碼補(bǔ)碼是計(jì)算機(jī)處理有符號(hào)數(shù)的運(yùn)算常用的一種方法。對(duì)于無符號(hào)數(shù)，補(bǔ)碼是一種用對(duì)數(shù)值按位取反并加1表示的二進(jìn)制編碼。對(duì)于有符號(hào)數(shù)，補(bǔ)碼是一種用符號(hào)和對(duì)數(shù)值按位取反并加1表示的二進(jìn)制編碼。對(duì)于n位計(jì)算機(jī)，某數(shù)x的補(bǔ)碼定義為：結(jié)論：正數(shù)的補(bǔ)碼等于正數(shù)本身，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于模（即2n）減去它

24、的絕對(duì)值，即符號(hào)位1不變，數(shù)值部分是原碼的數(shù)值部分按位取反并加1。2007.7.228計(jì)算機(jī)組成原理4三種碼制的比較（1）對(duì)于正數(shù)它們都等于真值本身，而對(duì)于負(fù)數(shù)各有不同的表示；（2）原碼和反碼各有兩種零的表示法，而補(bǔ)碼具有唯一的零。3.3.2 補(bǔ)碼加、減運(yùn)算規(guī)則在計(jì)算機(jī)中可進(jìn)行兩種運(yùn)算：算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算。算術(shù)運(yùn)算時(shí)，參與運(yùn)算的二進(jìn)制數(shù)碼表示的是數(shù)值大小。常見的算術(shù)運(yùn)算有加、減、乘、除、乘方、開方等。一般計(jì)算機(jī)中都提供了加、減、乘、除指令，其他更復(fù)雜的算術(shù)運(yùn)算要利用算術(shù)變換成基本的四則運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。從硬件實(shí)現(xiàn)的角度看，各種算術(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)是加、減運(yùn)算。對(duì)于補(bǔ)碼機(jī)，加法運(yùn)算又是基礎(chǔ)的基礎(chǔ)。補(bǔ)碼的加減

25、法運(yùn)算規(guī)則：XY補(bǔ)= X補(bǔ)+Y補(bǔ)其中，X、Y為正、負(fù)數(shù)均可。該式說明，無論加法還是減法運(yùn)算，都可由補(bǔ)碼的加運(yùn)算實(shí)現(xiàn)，運(yùn)算結(jié)果（和或差）也以補(bǔ)碼表示。若運(yùn)算結(jié)果不產(chǎn)生溢出，且最高位（符號(hào)位）為0，則表示結(jié)果為正數(shù)，最高位為1，則結(jié)果為負(fù)數(shù)。 2007.7.229計(jì)算機(jī)組成原理3.3.3 補(bǔ)碼加減法運(yùn)算部件根據(jù)上節(jié)所述，對(duì)于減法運(yùn)算,因?yàn)閄-Y補(bǔ)=X+（-Y）補(bǔ)=X補(bǔ)+-Y補(bǔ)，所以計(jì)算時(shí)，可以先求出-Y的補(bǔ)碼，然后再進(jìn)行加法運(yùn)算，這樣在用邏輯電路實(shí)現(xiàn)減法運(yùn)算時(shí)，可以只考慮用加法電路，而不必設(shè)置減法電路。實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼加減運(yùn)算電路如圖3-1所示。圖3-12007.7.230計(jì)算機(jī)組成原理在圖3-1中，被加

26、數(shù)（或被減數(shù)）X和加數(shù)（或減數(shù)）Y分別存放在A寄存器和B寄存器中。當(dāng)執(zhí)行加法運(yùn)算時(shí)，執(zhí)行X補(bǔ)+Y補(bǔ)，將X補(bǔ)和Y補(bǔ)從A寄存器和B寄存器送到加法器的兩個(gè)輸入端。當(dāng)執(zhí)行減法運(yùn)算時(shí)，執(zhí)行Y補(bǔ)的各位取反（即01,10）,然后在最低位加1，即可得-Y補(bǔ)。假設(shè)Y=0.0011，則-Y的真值應(yīng)等于-0.0011。根據(jù)上述方法，先取Y數(shù)中的各位的反值，得1.1100，然后在最低位加1，即1.1100+0.0001=1.1101。該值正好是-Y的補(bǔ)碼。在邏輯電路中。ALU由多個(gè)全加器及其他電路組成。每個(gè)全加器有三個(gè)輸入端，其中一個(gè)接收從低位來的進(jìn)位信號(hào)，而最低位恰好沒有進(jìn)位信號(hào)輸入，因此可用來作為“+1”信號(hào)，于

27、是可歸納出以下控制信號(hào)：2007.7.231計(jì)算機(jī)組成原理（1）當(dāng)執(zhí)行加法時(shí)，應(yīng)提供的控制信號(hào)有：AALU,BALU（從B寄存器的各觸發(fā)器的“1”端輸出），ALUA。（2）當(dāng)執(zhí)行減法時(shí)，應(yīng)提供的控制信號(hào)有：ALU,BALU(從寄存器的各觸發(fā)器的“”端輸出)，ALU+1，ALUA。其中，ALU+操作可以與加法操作同時(shí)進(jìn)行，所以總共只需要進(jìn)行一次加法運(yùn)算。當(dāng)前大部分計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)為64位，一般其符號(hào)位取1位，數(shù)值部分取61位。ALU和寄存器也都為64位，最高位產(chǎn)生的進(jìn)位自動(dòng)丟棄，滿足補(bǔ)碼定義中有關(guān)“mod 2”的運(yùn)算規(guī)則，不必另行處理。這在運(yùn)算結(jié)果不超出機(jī)器能表示的數(shù)的范圍時(shí)，結(jié)果是正確的。超出機(jī)器數(shù)

28、范圍的情況稱之為溢出。思考：計(jì)算機(jī)采用補(bǔ)碼數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的原因是什么？2007.7.232計(jì)算機(jī)組成原理3.3.4 定點(diǎn)原碼一位乘法運(yùn)算大家熟知的筆算乘法運(yùn)算是將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換成移位和加法運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)的。但是如果讓計(jì)算機(jī)按筆算乘法運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算就會(huì)凸現(xiàn)以下主要缺點(diǎn)：(1)四個(gè)位積一次相加，機(jī)器難以實(shí)現(xiàn)；(2)位積長(zhǎng)度增加1倍，浪費(fèi)硬件資源。下面對(duì)筆算乘法運(yùn)算進(jìn)行改進(jìn)：將 ABA0.10110.1A0.00A0.001A0.0001A0.1A0.00A0.001(A0.1A)0.1(A0.1(0A0.1(A0.1A)0.1(A0.1(0A0.1(A0.1(A0)2-1(A2-1(0A2-1(A2-1

29、(A+0)2007.7.233計(jì)算機(jī)組成原理以上運(yùn)算過程如下（被加數(shù)為0.1101）：部分積乘 數(shù)0.0000 + 0.1101 10110.1101 0.0110 + 0.1101 10111101 1.0011 0.1001 + 0.0000 11011110 0.1001 0.0100 + 0.1110 11101111 1.0001 0.1000 11111111 2007.7.234計(jì)算機(jī)組成原理上式的運(yùn)算過程步驟可歸為如下幾點(diǎn)：(1)乘法運(yùn)算可用移位運(yùn)算和加法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)，當(dāng)4位數(shù)乘4位數(shù)時(shí)，需要作4次移位運(yùn)算和4次加法運(yùn)算；(2)由乘數(shù)的末位值決定乘數(shù)是否與部分積相加，然后右移1位，

30、形成新的部分積；同時(shí)乘數(shù)也右移1位，由次低位作為末位值，空出的最高位為部分積的最低位。(3)每次作加法時(shí)，被乘數(shù)僅僅與原部分積的高位相加，其低位被移至乘數(shù)所空出的高位位置。2007.7.235計(jì)算機(jī)組成原理對(duì)于原碼的乘法，原碼與真值只差一個(gè)符號(hào)，符號(hào)可以通過兩個(gè)符號(hào)的異或求得：000 011 101 110以小數(shù)為例：設(shè)x原 x0 x1 x2 xn設(shè)y原 y0 y1 y2 yn則x原y原 x0y0 (0.x0 x1 x2 xn)(0.y0 y1 y2 yn)記：x*0.x0 x1 x2 xn，y*0.y0 y1 y2 yn原碼一位乘法運(yùn)算規(guī)則：(1)乘積的符號(hào)由兩原碼符號(hào)的異或運(yùn)算結(jié)果決定；(

31、2)乘積的數(shù)值部分由兩數(shù)絕對(duì)值相乘，其通式為：x*y*2-1(y1x*+2-1(y2x*+2-1(y3x*+2-1(+2-1(yn-1x*+2-1(yn+0)令zi表示第i次部分積，則上式可表示成遞推公式：z00z12-1(ynx*z0)z22-1(yn-1x*z1)zi2-1(yn-i+1x*zi-1)zn2-1(y1x*zn-1)2007.7.236計(jì)算機(jī)組成原理3.3.5 定點(diǎn)原碼乘法運(yùn)算部件在計(jì)算機(jī)內(nèi)實(shí)現(xiàn)原碼乘法的邏輯框圖如圖3-2所示。其中三個(gè)寄存器A，B，C分別存放部分積、被乘數(shù)和乘數(shù)，ALU主要完成加法運(yùn)算，移位寄存器對(duì)求和結(jié)果移位，生成新的部分積，計(jì)數(shù)器記錄移位次數(shù)。運(yùn)算方法描

32、述如下：在機(jī)器內(nèi)多個(gè)數(shù)據(jù)一般不能同時(shí)相加，一次加法操作只能求出兩數(shù)之和，因此每求得一個(gè)相加數(shù)，就與上次部分積相加。AALU,BALU信號(hào)控制A、B兩個(gè)寄存器的數(shù)送運(yùn)算器ALU進(jìn)行相加。人工計(jì)算時(shí)，相加數(shù)逐次向左偏移一位，由于最后的乘積位數(shù)是乘數(shù)（或被乘數(shù)）的兩倍，如按此法在機(jī)器中運(yùn)算，加法器也需增到兩倍。觀察計(jì)算過程很容易發(fā)現(xiàn)，在求本次部分積時(shí)，前一次部分積的最低位，不再參與運(yùn)算，因此可將前一次部分積的最低位右移一位，移入寄存器C中，相加數(shù)可直送而不必偏移，于是用N位加法器就可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)N數(shù)相乘。2007.7.237計(jì)算機(jī)組成原理部分積右移時(shí)，乘數(shù)寄存器C同時(shí)右移一位（由C/2C信號(hào)實(shí)現(xiàn)），這樣

33、可以用乘數(shù)寄存器的最低位來控制相加數(shù)（取被乘數(shù)或零），同時(shí)乘數(shù)寄存器的最高位可接收部分積右移出來的一位，因此，完成乘法運(yùn)算后，A寄存器中保存乘積的高位部分，乘數(shù)寄存器中保存乘積的低位部分。 圖3-2 2007.7.238計(jì)算機(jī)組成原理3.3.4 定點(diǎn)補(bǔ)碼一位乘法運(yùn)算設(shè)被乘數(shù)x補(bǔ) x0 .x1 x2 xn，乘數(shù)y補(bǔ) y0 .y1 y2 yn1當(dāng)乘數(shù)y為正數(shù)時(shí)x補(bǔ)x0 .x1 x2 xn2 + x = 2n+1 + x（mod 2）y補(bǔ)0.y1 y2 yny則 x補(bǔ)y補(bǔ)x補(bǔ)y(2n+1+x)y2n+1y + xy由于y0.y1 y2 yn，則，且是一個(gè)大于或等于1的正整數(shù)，根據(jù)模運(yùn)算的性質(zhì)，2n+

34、1y=2（mod 2），故：x補(bǔ)y補(bǔ)2n+1y+xy2+xyxy補(bǔ)即xy補(bǔ)x補(bǔ)y補(bǔ)x補(bǔ)y 2007.7.239計(jì)算機(jī)組成原理當(dāng)乘數(shù)y為正數(shù)時(shí)，可按原碼的規(guī)則運(yùn)算。運(yùn)用遞推公式： z0補(bǔ)0z1補(bǔ)2-1(ynx補(bǔ)z0補(bǔ))z2補(bǔ)2-1(yn-1x補(bǔ)z1補(bǔ))zi補(bǔ)2-1(yn-i+1x補(bǔ)zi-1補(bǔ))zn補(bǔ)2-1(y1x補(bǔ)zn-1補(bǔ)) xy補(bǔ)zn補(bǔ)2007.7.240計(jì)算機(jī)組成原理2當(dāng)乘數(shù)y為負(fù)數(shù)時(shí)x補(bǔ)x0 .x1 x2 xny補(bǔ)1.y1 y2 yn2y（mod 2）則 yy補(bǔ)21.y1 y2 yn20.y1 y2 yn1xyx(0.y1 y2 yn1)x(0.y1 y2 yn)x故xy補(bǔ)x(0.y1

35、y2 yn)x補(bǔ)-x補(bǔ)由此可得，當(dāng)乘數(shù)y為負(fù)數(shù)時(shí)，把乘數(shù)的補(bǔ)碼y補(bǔ)去掉符號(hào)位，當(dāng)成一個(gè)正數(shù)與x補(bǔ)相乘，然后再加上一個(gè)-x補(bǔ)進(jìn)行校正，運(yùn)用遞推公式表示時(shí)：z0補(bǔ)0z1補(bǔ)2-1(ynx補(bǔ)z0補(bǔ))z2補(bǔ)2-1(yn-1x補(bǔ)z1補(bǔ))zi補(bǔ)2-1(yn-i+1x補(bǔ)zi-1補(bǔ))zn補(bǔ)2-1(y1x補(bǔ)zn-1補(bǔ))xy補(bǔ)zn補(bǔ)-x補(bǔ)比較上述兩組遞推式子，乘數(shù)為負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼乘法與乘數(shù)為正數(shù)時(shí)完全類似，只需最后加上一項(xiàng)校正項(xiàng)-x補(bǔ)即可。2007.7.241計(jì)算機(jī)組成原理思考：結(jié)合定點(diǎn)原碼一位乘法運(yùn)算的邏輯電路圖，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出定點(diǎn)補(bǔ)碼一位乘法運(yùn)算的邏輯電路圖。2007.7.242計(jì)算機(jī)組成原理3.3.5 定點(diǎn)原碼一位除法

36、運(yùn)算通過分析，可以得出筆算除法的特點(diǎn)：(1)每次上商0或1靠心算；(2)每做一次減法，余數(shù)不動(dòng)，低位補(bǔ)0，再減去右移后的除數(shù)；(3)商的符號(hào)單獨(dú)處理。如果讓計(jì)算機(jī)按筆算除法運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算就會(huì)凸現(xiàn)以下主要缺點(diǎn)：(1)機(jī)器不能“心算”上商，必須靠比較（做減法判斷符號(hào)位）；(2)用左移余數(shù)代替右移除數(shù)后，得到的余數(shù)不是真正的余數(shù)；(3)上商的寫入順序問題，應(yīng)寫入寄存器的最低位，然后左移；2007.7.243計(jì)算機(jī)組成原理以小數(shù)為例：設(shè)x原 x0 .x1 x2 xny原 y0 .y1 y2 ynx/y原 (x0y0)(0.x1 x2 xn/0.y1 y2 yn)記x*0.x1 x2 xny*0.y

37、1 y2 yn小數(shù)點(diǎn)定點(diǎn)除法對(duì)被除數(shù)和除數(shù)有一定的約束：0|被除數(shù)|除數(shù)|同時(shí)應(yīng)避免除數(shù)或被除數(shù)為0。下面對(duì)恢復(fù)余數(shù)法和加減交替法作簡(jiǎn)單介紹。2007.7.244計(jì)算機(jī)組成原理1恢復(fù)余數(shù)法特點(diǎn)：當(dāng)余數(shù)為負(fù)時(shí)，需加上除數(shù)，恢復(fù)成原余數(shù)。2加減交替法恢復(fù)余數(shù)法有一個(gè)明顯的缺點(diǎn)，當(dāng)某一次-Y的查值為負(fù)是，要多一次Y恢復(fù)余數(shù)的操作，降低了執(zhí)行速度，又使控制線路變得復(fù)雜，因此計(jì)算機(jī)中普遍采用加減交替法來實(shí)現(xiàn)除法運(yùn)算。加減交替法實(shí)現(xiàn)原理如下：當(dāng)余數(shù)Ri0時(shí)，上商“1”，再對(duì)Ri左移一位后減除數(shù)，即2Ri-y*；當(dāng)余數(shù)Ri1/R。一般機(jī)器規(guī)定，若基為2并用補(bǔ)碼表示尾數(shù)，則規(guī)格化數(shù)的標(biāo)志為：“尾數(shù)的符號(hào)位和數(shù)

38、值部分最高位具有不同的代碼”。這種規(guī)定簡(jiǎn)化了補(bǔ)碼表示時(shí)規(guī)格化數(shù)的判斷過程，但使得（-1/2）被排除在規(guī)格化數(shù)的范圍之外。按照一般的理解，（-1/2）應(yīng)該是規(guī)格化尾數(shù)形式，但因?yàn)槠渚幋a形式為1.100，符號(hào)位和數(shù)值部分最高位相同，所以按照對(duì)補(bǔ)碼表示的尾數(shù)的特殊規(guī)定，它不是規(guī)格化數(shù)。因?yàn)檠a(bǔ)碼可以表示最小負(fù)數(shù)-1，所以遇到這種情況時(shí)，可將尾數(shù)（-1/2）擴(kuò)大到原來的2倍，即將尾數(shù)變?yōu)?1，而使階碼減1。2007.7.255計(jì)算機(jī)組成原理規(guī)格化操作有兩種：“左規(guī)”和“右規(guī)”。若采用變形補(bǔ)碼表示尾數(shù)，則當(dāng)結(jié)果的尾數(shù)出現(xiàn)11.1xx.x或00.0 xx.x的形式時(shí)，需將尾數(shù)左移，階減1，直到尾數(shù)為規(guī)格化數(shù)

39、形式為止。這個(gè)過程稱為“左規(guī)”；當(dāng)浮點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果的尾數(shù)出現(xiàn)01.xx.x或10.xx.x的形式時(shí)，并不一定溢出，應(yīng)先將它右移1位，階碼加1，然后再判斷階碼是否溢出，這個(gè)過程稱為“右規(guī)”。如下表所示32位浮點(diǎn)數(shù)格式，任意一個(gè)數(shù)表示為浮點(diǎn)數(shù)時(shí)，必須確定數(shù)的符號(hào)S、尾數(shù)M和階碼E，要規(guī)定它們各自所用的位數(shù)、編碼方式和所在的位置。而基數(shù)R與定點(diǎn)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置一樣是默認(rèn)的，不需要存儲(chǔ)。每種計(jì)算機(jī)的浮點(diǎn)數(shù)表示格式各不相同。0 1 7 8 3117位：7位移碼表示的階碼E（偏置常數(shù)=64）831位：6位16進(jìn)制原碼小數(shù)表示的尾數(shù)M數(shù)符S階碼E尾數(shù)M2007.7.256計(jì)算機(jī)組成原理因?yàn)樵a和移碼都是對(duì)稱的，故

40、該浮點(diǎn)格式的范圍是對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱的。如圖3-4所示。 圖3-4 浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍在上圖中，數(shù)軸上有5個(gè)區(qū)間的數(shù)不能用該浮點(diǎn)數(shù)表示。這些區(qū)間稱為溢出區(qū)，接近0的區(qū)間為下溢區(qū)，向無窮大方向延伸的區(qū)間為上溢區(qū)。（1）比-(1-2-24)2127還小的負(fù)數(shù)區(qū)間是負(fù)上溢區(qū)；（2）比- 2-129還大的負(fù)數(shù)區(qū)間是負(fù)下溢區(qū)；（3）零（4）比2-129還小的正數(shù)區(qū)間是正下溢區(qū)；（5）比(1-2-24)2127還大的正數(shù)區(qū)間是正上溢區(qū)；2007.7.257計(jì)算機(jī)組成原理使用浮點(diǎn)數(shù)雖然范圍擴(kuò)大了，但并沒有能表示更多的數(shù)，實(shí)際上只是這些數(shù)在數(shù)軸上朝正負(fù)兩個(gè)方向在更大的范圍內(nèi)散開。也就是說浮點(diǎn)數(shù)在數(shù)軸上的分布變稀疏了。

41、定點(diǎn)數(shù)分布是等距且緊密的，而浮點(diǎn)數(shù)分布是不等距且稀疏的，越遠(yuǎn)離原點(diǎn)越稀疏，如圖3-5所示 圖3-5 浮點(diǎn)數(shù)的密度在浮點(diǎn)數(shù)總位數(shù)不變的情況下，其階碼位數(shù)越多，則尾數(shù)位數(shù)（有效位數(shù)）越少。即：表示的數(shù)范圍越大，則精度越差（數(shù)變稀疏）。既增加范圍又增加精度的唯一辦法就是使用更多的位。所以，大多數(shù)計(jì)算機(jī)都至少提供單精度和雙精度兩種浮點(diǎn)數(shù)格式。浮點(diǎn)數(shù)表示的數(shù)的范圍和精度除了與階碼位數(shù)和有效位數(shù)有關(guān)系以外，基數(shù)的大小對(duì)范圍和精度也有影響，基數(shù)越大，則范圍越大，但精度變低（數(shù)變得更稀疏）。所以，對(duì)一種固定格式的浮點(diǎn)數(shù)而言，更大的基能給出更大的表示范圍，但是以犧牲精度為代價(jià)的。2007.7.258計(jì)算機(jī)組成原

42、理3. IEEE754浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)已有標(biāo)準(zhǔn)化的表示方法。被廣泛采用的浮點(diǎn)數(shù)編碼標(biāo)準(zhǔn)是IEEE754標(biāo)準(zhǔn)。在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中，提供了32位單精度和64位雙精度兩種格式，如圖3-6所示。另外，還提供了單、雙精度兩種格式的擴(kuò)展形式。2007.7.259計(jì)算機(jī)組成原理單精度格式：1位符號(hào)，8位階碼，23位尾數(shù)；雙精度格式：1位符號(hào)，11位階碼，52位尾數(shù)；格式中，基數(shù)隱含為2；階碼用移碼表示，偏置常數(shù)并不是通常n位移碼所用的2n-1，而是（2n-1-1），即分別為127和1023；尾數(shù)用原碼表示，利用基數(shù)為2的規(guī)格化數(shù)中的尾數(shù)第一位總為1的特點(diǎn)，在尾數(shù)中缺省了第一位的1，因而單精度格式的23位尾數(shù)實(shí)際上

43、表示了24位有效數(shù)字。雙精度格式的52位尾數(shù)實(shí)際上表示了53位有效數(shù)字。 2007.7.260計(jì)算機(jī)組成原理3.4.2 浮點(diǎn)數(shù)的加減法運(yùn)算設(shè)有兩浮點(diǎn)數(shù)X，Y實(shí)現(xiàn)XY運(yùn)算，其中：XMx2EX ； Y=MY2EY。均為規(guī)格化數(shù)。執(zhí)行以下五步完成運(yùn)算。第1步：對(duì)階對(duì)階的目的就是使X和Y的階碼相等，以提供尾數(shù)相加減的可能性。階碼的比較是通過兩階碼的減法來實(shí)現(xiàn)，統(tǒng)一取大的階碼，小階碼的尾數(shù)按兩階碼的差值決定右移的數(shù)量?？梢员硎緸椋篍= Ex - Ey 若E0，則EbEy，ExEy，MxMx2Ex-Ey。若E0， 則EbEx，EyEx，MyMy2Ey-Ex。對(duì)階使得原數(shù)中較大的階碼成為兩數(shù)的公共階碼。小階

44、碼的尾數(shù)右移時(shí)應(yīng)注意：（1）原碼形式的尾數(shù)右移時(shí)，符號(hào)位不參加移位，數(shù)值位右移，空出位補(bǔ)0。補(bǔ)碼形式的尾數(shù)右移時(shí)，符號(hào)位與數(shù)值位一起右移，空出位填補(bǔ)符號(hào)位的值。（2）尾數(shù)的右移，使得尾數(shù)中原來|E |位有效位移出。移出的這些位不要丟掉，應(yīng)保留，并且參加后 續(xù)運(yùn)算。這對(duì)運(yùn)算結(jié)果的精確度有一定影響。這些保留的多余的位數(shù)又稱為警戒位。2007.7.261計(jì)算機(jī)組成原理第2步：尾數(shù)加減完成上一步操作、將兩數(shù)的階碼調(diào)整一致后，就可以實(shí)現(xiàn)尾數(shù)的加、減運(yùn)算:MbMx My至此，已完成浮點(diǎn)數(shù)加、減法運(yùn)算的基本操作。但是，求得的浮點(diǎn)數(shù)結(jié)果的形式不能保證一定是規(guī)格化的，而且對(duì)結(jié)果的溢出情況也需進(jìn)行討論。因此，浮點(diǎn)

45、數(shù)的加、減法運(yùn)算進(jìn)入結(jié)果的后處理階段。第3步：尾數(shù)規(guī)格化假設(shè)浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)用補(bǔ)碼表示，且加、減運(yùn)算時(shí)采用雙符號(hào)位，則規(guī)格化形式的尾數(shù)應(yīng)是如下形式：尾數(shù)為正數(shù)時(shí)：001xxx。其中，高位的00為雙符號(hào)位，其后的1為最高數(shù)值位的值，再后面的數(shù)值位的值可以是任意值，這里用x表示。尾數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)：110 xxx。其中，高位的11為雙符號(hào)位，其后的0為最高數(shù)值位的值，再后面的數(shù)值位的值可以是任意值，這里用x表示。2007.7.262計(jì)算機(jī)組成原理尾數(shù)違反規(guī)格化的情況有以下兩種可能：（1）尾數(shù)加、減法運(yùn)算中產(chǎn)生溢出。表現(xiàn)為尾數(shù)中符號(hào)位的異常。正溢出時(shí)，符號(hào)位為01。負(fù)溢出時(shí)，符號(hào)位為10。規(guī)格化采取的方法是：

46、尾數(shù)右移一位，階碼加1。這種規(guī)格化就是右規(guī)?？梢员硎緸椋篗bMb*2-1，EbEb+1。（2）尾數(shù)的絕對(duì)值小于二進(jìn)制的0.1。補(bǔ)碼形式的尾數(shù)表現(xiàn)為最高數(shù)值位與符號(hào)位同值。 此時(shí)，規(guī)格化采取的方法是：符號(hào)位不動(dòng)，數(shù)值位逐次左移，階碼逐次減1，直到滿足規(guī)格化形式的尾數(shù)，即最高數(shù)值位與符號(hào)位不同值為止。這種規(guī)格化就是左規(guī)。可以表示為：MbMb*2k，EbEb-k。2007.7.263計(jì)算機(jī)組成原理第4步：尾數(shù)的舍入處理在第2步和第3步的右規(guī)中都可能產(chǎn)生警戒位，為提高數(shù)據(jù)的計(jì)算精度，需要對(duì)結(jié)果尾數(shù)進(jìn)行舍入處理。常用的舍入方法有多種，每種方法都有各自的優(yōu)點(diǎn)，要根據(jù)實(shí)際條件進(jìn)行比較和選擇。（1） 0舍1入

47、法這是一種比較簡(jiǎn)單的舍入方法，相似于十進(jìn)制中的四舍五入法。警戒位中的最高位為1時(shí)，就在尾數(shù)末尾加1，警戒位中的最高位為0時(shí)，舍去所有的警戒位。這種方法的最大誤差為2-(n+1)，n為有效尾數(shù)位數(shù)。（2）恒置1法這是一種簡(jiǎn)單易行的舍入方法，又稱馮諾依曼舍入法。舍入規(guī)則是：不論警戒位為何值，尾數(shù)的有效最低位恒置1。恒置1法產(chǎn)生的最大誤差為2-n，n為有效尾數(shù)位數(shù)。（3）恒舍法恒舍法對(duì)尾數(shù)的處理是最簡(jiǎn)單的，無論警戒位的值是多少，都舍去。尾數(shù)的結(jié)果就取其有效的n位的值。對(duì)正數(shù)或負(fù)數(shù)來說，都是一種趨向原點(diǎn)的舍入，所以，又稱為趨向零舍入(Round toward zero)。2007.7.264計(jì)算機(jī)組成

48、原理第5步：檢查階碼是否溢出階碼溢出表示浮點(diǎn)數(shù)溢出。在規(guī)格化和舍人時(shí)都可能發(fā)生溢出，若階碼正常，加/減運(yùn)算正常結(jié)束。若階碼下溢，則置運(yùn)算結(jié)果為機(jī)器零，若上溢，則置溢出標(biāo)志。規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算流程如圖3-7所示。圖3-7 規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算流程(見下頁）2007.7.265計(jì)算機(jī)組成原理2007.7.266計(jì)算機(jī)組成原理【例3-20】 兩浮點(diǎn)數(shù)相加，求X+Y。解：X和Y在機(jī)器中的浮點(diǎn)補(bǔ)碼表示形式為(雙符號(hào)位)： 階符 階碼 數(shù)符 尾數(shù) X： 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 Y： 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0計(jì)算過程：（1）對(duì)階操作階差

49、E=EX補(bǔ)+-EY補(bǔ)=00010+11100=11110X階碼小，MX右移2位，保留階碼E=00100。MX補(bǔ)=00 00 110 110 11下劃線上的數(shù)是右移出去而保留的附加位。（2）尾數(shù)相加MX補(bǔ)+MY補(bǔ)=0000110110 11+1101010100=1110001010 11（3）規(guī)格化操作左規(guī)，移1位，結(jié)果=1100010101 10；階碼-1，E=00011。2007.7.267計(jì)算機(jī)組成原理（4）舍入附加位最高位為1，在所得結(jié)果的最低位+1，得到新結(jié)果：M補(bǔ)=1100010110，M=0.11101010。（5）判溢出階碼符號(hào)位為00，故不溢出，最終結(jié)果為：X+Y=2011(

50、011101010) 思考：結(jié)合實(shí)例，請(qǐng)總結(jié)浮點(diǎn)運(yùn)算的階碼采用移碼的優(yōu)點(diǎn)有那些？2007.7.268計(jì)算機(jī)組成原理3.4.3 浮點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算兩浮點(diǎn)數(shù)相乘，其乘積的階碼為相乘兩數(shù)階碼之和，其尾數(shù)應(yīng)為相乘兩數(shù)的尾數(shù)之積。兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)相除，商的階碼為被除數(shù)的階碼減去除數(shù)的階碼得到的差，尾數(shù)為被除數(shù)的尾數(shù)除數(shù)的尾數(shù)所得的商。參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)都為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。乘除運(yùn)算都有可能出現(xiàn)結(jié)果不滿足規(guī)格化要求的問題，因此也必須進(jìn)行規(guī)格化、舍入和判溢出等操作。規(guī)格化時(shí)要修改階碼。1浮點(diǎn)數(shù)的階碼運(yùn)算 階碼運(yùn)算需要檢查結(jié)果是否溢出。在計(jì)算機(jī)中，階碼通常用補(bǔ)碼或移碼形式表示。補(bǔ)碼運(yùn)算規(guī)則已在前面說明。這里討論移碼的運(yùn)算規(guī)

51、則和判定溢出的方法。2007.7.269計(jì)算機(jī)組成原理當(dāng)階碼由1位符號(hào)位和n位數(shù)據(jù)組成時(shí)，其移碼的定義為：X移=2n+X （2nX2n ）按此定義，則有:X移+Y移=2n+X+2n+Y =2n+(2n+(X+Y) =2n+X+Y移即直接用移碼實(shí)現(xiàn)求階碼之和時(shí)，結(jié)果的最高位多加了個(gè)1，要得到移碼形式的結(jié)果，需對(duì)結(jié)果的符號(hào)取反。 根據(jù)補(bǔ)碼定義： Y補(bǔ)=2n+1+Y mod 2n+1對(duì)同一個(gè)數(shù)值，移碼和補(bǔ)碼的數(shù)值位完全相同，而符號(hào)位正好相反。因此求階碼和(移碼表示)可用如下方式完成：X移+Y補(bǔ)=2n+X+2n+1+Y =2n+1+(2n+(X+Y) =X+Y移 mod 2n+1同理有 X移+Y補(bǔ)=X

52、Y移。2007.7.270計(jì)算機(jī)組成原理2浮點(diǎn)乘法運(yùn)算步驟下面舉例說明浮點(diǎn)乘法的運(yùn)算步驟?！纠?-21】 階碼4位(移碼)，尾數(shù)8位(補(bǔ)碼，含1符號(hào)位)，階碼以2為底。運(yùn)算結(jié)果仍取8位尾數(shù)。 設(shè)：X2501110011，Y23(01110010)X，Y為真值，此處階碼用十進(jìn)制表示，尾數(shù)用二進(jìn)制表示。運(yùn)算過程中階碼取雙符號(hào)位。（1）求乘積的階碼。乘積的階碼為兩數(shù)階碼之和。 EX+EY移=EX移+EY補(bǔ)00011+0001100110（2）尾數(shù)相乘。用定點(diǎn)數(shù)相乘的辦法，此處僅列出結(jié)果，不進(jìn)行詳細(xì)計(jì)算。 XY補(bǔ)= 1.0011001 1001010 （尾數(shù)部分） 高位部分 低位部分2007.7.27

53、1計(jì)算機(jī)組成原理（3）規(guī)格化處理。本例尾數(shù)已規(guī)格化，不需要再處理。如未規(guī)格化，需左規(guī)。（4）舍入。尾數(shù)(乘積)低位部分的最高為1，需要舍入，在乘積高位部分的最低位加1因此 XY補(bǔ)10011010 (尾數(shù)部分)（5）判溢出。階碼未溢出，故結(jié)果為正確。 XY： 0110 10011010階碼(移碼) 尾數(shù)(補(bǔ)碼) XY=2-2（0.1100110）說明：浮點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算步驟與乘法運(yùn)算類似，也分求商的階碼、尾數(shù)相除、規(guī)格化、舍入判溢出5個(gè)步驟，不再詳細(xì)討論。3浮點(diǎn)運(yùn)算部件通常由階碼運(yùn)算部件和尾數(shù)運(yùn)算部件組成，其各自的結(jié)構(gòu)與定點(diǎn)運(yùn)算部件相似。但階碼部分僅執(zhí)行加減法運(yùn)算。其尾數(shù)部分則執(zhí)行加減乘除運(yùn)算，左規(guī)

54、時(shí)有時(shí)需要左移多位。為加速移位過程，有的機(jī)器設(shè)置了可移動(dòng)多位的電路。2007.7.272計(jì)算機(jī)組成原理3.6數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)，在讀寫、存取和傳送的過程中可能產(chǎn)生錯(cuò)誤。為減少和避免這類錯(cuò)誤，一方面是精心設(shè)計(jì)各種電路，提高計(jì)算機(jī)硬件的可靠性；另一方面是在數(shù)據(jù)編碼上找出路，即采用某種編碼法，通過少量的附加電路，使之能發(fā)現(xiàn)某些錯(cuò)誤，甚至能確定出錯(cuò)位置，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)自動(dòng)改錯(cuò)的能力。數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼是一種常用的帶有發(fā)現(xiàn)某些錯(cuò)誤或自動(dòng)改錯(cuò)能力的數(shù)據(jù)編碼方法。它的實(shí)現(xiàn)原理，是加進(jìn)一些冗余碼，使合法數(shù)據(jù)編碼出現(xiàn)某些錯(cuò)誤時(shí)，就成為非法編碼。這樣，就可以通過檢測(cè)編碼的合法性來達(dá)到發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的目的。碼距是根據(jù)任意兩個(gè)

55、合法碼之間至少有幾個(gè)二進(jìn)制位不相同而確定的，僅有一位不同，稱其碼距為1。常用的數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼主要有奇偶校驗(yàn)碼、海明校驗(yàn)碼和循環(huán)冗余校驗(yàn)碼 2007.7.273計(jì)算機(jī)組成原理3.6.1 奇偶校驗(yàn)碼奇偶校驗(yàn)碼是一種開銷最小，能發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)代碼中一位錯(cuò)情況的編碼，常用于存儲(chǔ)器讀寫檢查，或ASCII字符傳送過程中的檢查。奇偶校驗(yàn)法的基本思想是通過在原數(shù)據(jù)信息中增加一位奇校驗(yàn)位（或偶校驗(yàn)位），然后將原數(shù)據(jù)和得到的奇（偶）校驗(yàn)位一起進(jìn)行存取或傳送，對(duì)存取后或在傳送的目標(biāo)部件得到的相應(yīng)數(shù)據(jù)和奇（偶）校驗(yàn)位，再進(jìn)行一次編碼，求出新的奇校驗(yàn)位（或偶校驗(yàn)位），最后根據(jù)得到的這個(gè)新的校驗(yàn)位的值，確定是否發(fā)生了錯(cuò)誤。奇偶校驗(yàn)

56、碼的實(shí)現(xiàn)原理如下：假設(shè)將數(shù)據(jù)B=bn-1bn-2.b1b0從源部件傳送至目標(biāo)部件。在終部件接收到的數(shù)據(jù)為B=bn-1bn-2.b1b0。為了判斷數(shù)據(jù)B在傳送中是否發(fā)生了錯(cuò)誤，可以按照如下步驟，通過最終得到的奇（偶）校驗(yàn)位P*來判斷是否發(fā)生了數(shù)據(jù)傳送錯(cuò)誤。2007.7.274計(jì)算機(jī)組成原理第1步：在源部件求出奇（偶）校驗(yàn)位P。若采用奇校驗(yàn)位，則P=bn-1bn-2 .b1b01。即：若B有奇數(shù)個(gè)1，則P取0，否則，P取1。若采用偶校驗(yàn)位，則P=bn-1bn-2 .b1b0。例如，若傳送的字符碼是：1000001，則增加奇校驗(yàn)位后的編碼為：11000001，而加上偶校驗(yàn)位后的編碼為：0100000

57、1。第2步：在目標(biāo)部件求出奇（偶）校驗(yàn)位P。若采用奇校驗(yàn)位，則P= bn-1bn-2.b1b01。若采用偶校驗(yàn)位，則P=bn-1bn-2 .b1b0。第3步：計(jì)算最終的校驗(yàn)位P*，并根據(jù)其值判斷有無奇偶錯(cuò)。P與B是一起從源部件傳到目標(biāo)部件的，假定P在目標(biāo)部件接受到的值為P，則采用異或操作P*=PP，對(duì)P和P進(jìn)行下列比較，確定有無奇偶錯(cuò)：(1)若P*=1，則表示目標(biāo)部件接受的數(shù)據(jù)有奇數(shù)位錯(cuò)。(2)若P*=0，則表示目標(biāo)部件接受的數(shù)據(jù)正確或有偶數(shù)個(gè)錯(cuò)。2007.7.275計(jì)算機(jī)組成原理在奇偶校驗(yàn)碼中，若兩個(gè)數(shù)據(jù)中有奇數(shù)位不同，則它們相應(yīng)的校驗(yàn)位就不同；若有偶數(shù)位不同，則雖校驗(yàn)位相同，但至少有兩位數(shù)

58、據(jù)位不同。因而任意兩個(gè)碼字之間至少有兩位不同，所以碼距d=2。因而只能發(fā)現(xiàn)奇數(shù)位出錯(cuò)，不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)位出錯(cuò)，而且也不能確定發(fā)生錯(cuò)誤的位置，因而不具有糾錯(cuò)能力。圖3-8 奇偶校驗(yàn)位的形成及校驗(yàn)2007.7.276計(jì)算機(jī)組成原理3.6.2 海明校驗(yàn)碼海明校驗(yàn)碼是由Richard Hamming于1950年提出的目前還被廣泛使用的一種數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼。它主要用于存儲(chǔ)器中數(shù)據(jù)存取校驗(yàn)。前面所述的奇偶校驗(yàn)碼對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)編碼生成一位校驗(yàn)位。因此這種校驗(yàn)碼檢錯(cuò)能力差，并且沒有糾錯(cuò)能力。如果將整個(gè)數(shù)據(jù)按某種規(guī)律分成若干組，對(duì)每組進(jìn)行相應(yīng)的奇偶檢測(cè)，就能提供多位檢錯(cuò)信息，從而對(duì)錯(cuò)誤位置進(jìn)行定位，并將其糾正。海明校驗(yàn)碼實(shí)質(zhì)

59、上就是一種多重奇偶校驗(yàn)碼。海明校驗(yàn)碼的處理過程與上面給出的一般過程一樣。最終進(jìn)行比較時(shí)，按位進(jìn)行異或操作，根據(jù)異或操作的結(jié)果，確定是否發(fā)生了差錯(cuò)。這種異或操作所得到的結(jié)果稱為故障字（syndrome word）。顯然，校驗(yàn)位和故障字的位數(shù)是相同的 2007.7.277計(jì)算機(jī)組成原理1. 校驗(yàn)位位數(shù)的確定假設(shè)校驗(yàn)位的個(gè)數(shù)為r。則它能表示2r個(gè)信息，用其中的一個(gè)信息指出“沒有錯(cuò)誤”，其余的2r-1個(gè)信息指出錯(cuò)誤發(fā)生在哪一位。然而錯(cuò)誤也可能發(fā)生在校驗(yàn)位，因此只有k2r-1-r個(gè)信息能用于糾正被傳送數(shù)據(jù)的位數(shù)，也就是說要滿足關(guān)系：2rk+r+1 (公式1) 如要能檢測(cè)與自動(dòng)校正一位錯(cuò)，并發(fā)現(xiàn)兩位錯(cuò)，此

60、時(shí)校驗(yàn)位的位數(shù)r和數(shù)據(jù)位的位數(shù)k是應(yīng)滿足下述關(guān)系：2r-1k+r (公式2)2007.7.278計(jì)算機(jī)組成原理2分組方式的確定數(shù)據(jù)位和校驗(yàn)位是一起被存儲(chǔ)的，通過將它們中的各位按某種方式排列為一個(gè)n+k的碼字，將該字中每一位的出錯(cuò)位置與故障字的數(shù)值建立關(guān)系，這樣就可通過故障字的值很快確定是該碼字中的哪一位發(fā)生了錯(cuò)誤，并能很容易地將其取反來糾正。根據(jù)上述基本思想，我們按以下規(guī)則來解釋各故障字的值。（1）如果故障字各位全部是0，則表示沒有發(fā)生錯(cuò)誤。（2）如果故障字中有且僅有一位為1，則表示校驗(yàn)位中有一位出錯(cuò)，不需要糾正。（3）如果故障字中多位為1，則表示有一個(gè)數(shù)據(jù)位出錯(cuò)，其在碼字中的出錯(cuò)位置由故障字