【VIP專享】能控性與能觀性課件

1、第 10 講 能控性和能觀測性Controllability & Observability課程要求: 能控性和能觀性的定義 能控性和能觀性的判據(jù) 能控和能觀規(guī)范型 對偶原理10.1 能控性和能觀性的定義x1,x2, xnu1u2upy1y2yq能控性研究系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)是否可由輸入影響能觀性研究系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)是否可由輸出反映例子狀態(tài)可由輸入影響狀態(tài)不能由輸出完全反映14-5u2-6y能控不能觀若在一個(gè)有限時(shí)間間隔內(nèi)施加一個(gè)無約束的控制向量u，使得系統(tǒng)由初始狀態(tài)x0轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，則稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻是能控的。系統(tǒng)能控性若系統(tǒng)在任意時(shí)刻的所有狀態(tài)都是能控的，稱此系統(tǒng)完全能控。x1x2PP1P2Pn若系統(tǒng)的

2、初始狀態(tài)x0在有限時(shí)間內(nèi)可由輸出的測量值確定，則稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻是能觀測的。系統(tǒng)能觀性若系統(tǒng)在任意初始時(shí)刻都能觀測，稱此系統(tǒng)完全能觀。10 .2 能控性判據(jù)格拉姆（Gram） 矩陣判據(jù)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)為完全能控的充分必要條件為，存在時(shí)刻t10,使得如下定義的矩陣為非奇異。Jrgen Pedersen Gram (June 27, 1850 April 29, 1916)丹麥數(shù)學(xué)家。 應(yīng)用：如果向量是隨機(jī)變量，所得格拉姆矩陣是協(xié)方差矩陣。 在量子化學(xué)中，一組基向量的格拉姆矩陣是重疊矩陣（Overlap matrix）。 在控制論，可控性格拉姆矩陣（controllability Grami

3、an）與可觀測性格拉姆矩陣（observability Gramian）確定了線性系統(tǒng)的性質(zhì)。 在有限元方法中，格拉姆矩陣出現(xiàn)在從有限維空間逼近函數(shù)時(shí)；格拉姆矩陣的元素是有限維子空間的基函數(shù)的內(nèi)積GramSchmidt正交化 PBH秩判據(jù)LTI系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為:狀態(tài)矩陣的任意特征值都滿足rankA-I | B=n秩判據(jù)對n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為例 考查如下系統(tǒng)的能控性故此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。特征值規(guī)范型判據(jù)若線性系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A具有相異特征值，則系統(tǒng)能控的充要條件為，系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換，A陣變換成為對角標(biāo)準(zhǔn)型后，對應(yīng)的B陣不包含元素全為0的行。若線性系統(tǒng)的

4、狀態(tài)矩陣A具有重特征值，且對應(yīng)于每個(gè)重特征值只有一個(gè)約當(dāng)塊，則系統(tǒng)完全能控的充要條件為:系統(tǒng)化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型后，與每個(gè)約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的B陣中的行的元素不全為零。不能控能控不能控狀態(tài)圖1 1ub2b1可以為零不能為零注意：狀態(tài)矩陣A為對角型但含有相同元素狀態(tài)矩陣A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形有兩個(gè)約當(dāng)塊的特征值相同不能應(yīng)用約當(dāng)判據(jù)不能控討論：線性系統(tǒng)經(jīng)過線性非奇異變換后，狀態(tài)能控性保持不變輸出完全能控若在有限時(shí)間內(nèi)，存在適當(dāng)?shù)目刂苪，使得系統(tǒng)能從任意的初始輸出y（t0)轉(zhuǎn)移到任意指定的最終輸出y(t1),則稱系統(tǒng)是輸出完全能控的。系統(tǒng)輸出完全能控的充分必要條件是rankCB CAB CA2B CAn-1B=q

5、q為輸出向量維數(shù)10.3 能觀性判據(jù)格拉姆（Gram） 矩陣判據(jù)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)為完全能觀的充分必要條件為，存在時(shí)刻t10,使得如下定義的矩陣為非奇異。模態(tài)判據(jù)LTI系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀的充要條件: 狀態(tài)矩陣的任意特征值都滿足秩判據(jù)對n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀的充分必要條件為例約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)若線性系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A具有相異特征值，則系統(tǒng)能觀的充必條件為:系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換，A陣變換成為對角標(biāo)準(zhǔn)型后，對應(yīng)的C陣不包含元素全為0的列。若線性系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A具有重特征值，且對應(yīng)于每個(gè)重特征值只有一個(gè)約當(dāng)塊，則系統(tǒng)完全能觀的充要條件為:系統(tǒng)化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型后，與每個(gè)約當(dāng)塊第一列對應(yīng)的C陣中的列的

6、元素不全為零。能觀注意：狀態(tài)矩陣A為對角陣但含有相同元素狀態(tài)矩陣A約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型有兩個(gè)約當(dāng)塊的特征值相同不能應(yīng)用約當(dāng)判據(jù)不能觀魯?shù)婪蚩柭≧udolf Emil Kalman），匈牙利裔美國數(shù)學(xué)家，1930年出生于布達(dá)佩斯。 1953年MIT獲得電機(jī)工程學(xué)士，翌年碩士學(xué)位。1957年于哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位1964年至1971年任職斯坦福大學(xué)。1971-1992佛羅里達(dá)大學(xué)數(shù)學(xué)系統(tǒng)理論中心主任。1972起任瑞士蘇黎 世聯(lián)邦理工學(xué)院數(shù)學(xué)系統(tǒng)理論中心主任直至退休。2009年獲美國國家科學(xué)獎?wù)隆.S. National Academy of Sciences, the American Natio

7、nal Academy of Engineering, and the American Academy of Arts and Sciences. Kalman 濾波 卡爾曼濾波是一種高效率的遞歸濾波器(自回歸濾波器), 它能夠從一系列的不完全及包含噪聲的測量中，估計(jì)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。 卡爾曼在NASA埃姆斯研究中心訪問時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的方法對于解決阿波羅計(jì)劃的軌道預(yù)測很有用，后來阿波羅飛船的導(dǎo)航電腦便使用了這種濾波器。 In late November 1958, not long after coming to RIAS, Kalman was returning by train to Bal

8、timore from a visit to Princeton. At around 11 P.M., the train was halted for about an hour just outside Baltimore. It was late, he was tired, and he had a headache. While he was trapped there on the train for that hour, an idea occurred to him: Why not apply the notion of state variables to the Wie

9、nerKolmogorov filtering problem? He was too tired to think much more about it that evening, but it marked the beginning of a great exercise to do just that. He read through Loeves book on probability theory and equated expectation with projection. That proved to be pivotal in the derivation of the K

10、alman filter. In 1985, Kalman was awarded the Kyoto Prize, considered by some to be the Japanese equivalent of the Nobel Prize. On his visit to Japan to accept the prize, he related to the press an epigram that he had first seen in a pub in Colorado Springs in 1962, and it had made an impression on

11、him. It said:Little people discuss other peopleAverage people discuss eventsBig people discuss ideas2008 National Medal of Science to Dr. Rudolf E. Kalman, Swiss Federal Institute of Technology, for his fundamental contributions to modern system theory, which provided rigorous mathematical tools for

12、 engineering, econometrics, and statistics, and in particular for his invention of the Kalman filter, which was critical to achieving the Moon landings and creating the Global Positioning System and which has facilitated the use of computers in control and communications technology 2009.10.710.4 能控-

13、能觀規(guī)范型能控和能觀規(guī)范型是指適當(dāng)選擇狀態(tài)空間的基底，對系統(tǒng)進(jìn)行線性變換，把狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式化為標(biāo)準(zhǔn)形式。能控標(biāo)準(zhǔn)型若系統(tǒng)是能控的，則必存在一非奇異變換，可將其變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。能觀標(biāo)準(zhǔn)型若系統(tǒng)是能觀測的，則存在非奇異變換，將系統(tǒng)變成能觀標(biāo)準(zhǔn)型。討論對單輸入-單輸出系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)空間變換為能控或者能觀標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，其表示方法是唯一的。10.5 對偶原理對偶系統(tǒng)BAuyC-ATBTCTvzw對偶原理系統(tǒng)的能控性等價(jià)于對偶系統(tǒng)的能觀性系統(tǒng)的能觀性等價(jià)于對偶系統(tǒng)的能控性狀態(tài)觀測估計(jì)狀態(tài)控制10.6 定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 結(jié)構(gòu)分解的實(shí)質(zhì)是將不完全能控/能觀系統(tǒng)區(qū)分為能控和不能控,能觀和不能觀部分,以深入了解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征,揭示狀態(tài)空間和輸入-輸出描述之間的關(guān)系.按能控性的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解對不完全能控n維多輸入-多輸出LTI系統(tǒng),通過引入線形非奇異變換,可使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)能控性結(jié)構(gòu)分解.BcC1AcA12A22C2uy按能觀測性的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解對不完全能觀測多輸入多輸出LTI系統(tǒng),通過引入線性非奇異變換,可使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)按能觀測性的結(jié)構(gòu)分