高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：4.1三角函數(shù)17

1、第四章 三角函數(shù)本章知識結(jié)構(gòu)圖角的概念任意角的三角函數(shù)的定義同角三角函數(shù)的關(guān)系三角函數(shù)弧度制弧長公式、扇形面積公式三角函數(shù)線同角三角函數(shù)的關(guān)系誘導(dǎo)公式和角、差角公式二倍角公式公式的變形、逆用、“1”的替換化簡、求值、證明（恒等變形）三角函數(shù)的 圖 象定義域奇偶性單調(diào)性周期性最值 對稱軸（正切函數(shù)除外）經(jīng)過函數(shù)圖象的最高（或低）點且垂直x軸的直線，對稱中心是正余弦函數(shù)圖象的零點，正切函數(shù)的對稱中心為( eq f(k,2)，0)（kZ）.正弦函數(shù)ysin x=余弦函數(shù)ycos x正切函數(shù)ytan xyAsin(x)b圖象可由正弦曲線經(jīng)過平移、伸縮得到，但要注意先平移后伸縮與先伸縮后平移不同；圖象也

2、可以用五點作圖法；用整體代換求單調(diào)區(qū)間（注意的符號）；最小正周期T eq f(2,| |)；對稱軸x eq f(2k1)2,2)，對稱中心為( eq f(k,)，b)（kZ）.值域圖象對稱性解三角形余弦定理面積正弦定理仰角、俯角、方位角實際應(yīng)用S eq f(1,2)ah eq f(1,2)absinC eq r(p(pa)(pb)(pc)（其中p eq f(abc,2)）解的個數(shù)的討論三角形形狀的判定第一節(jié) 三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式考綱解讀了解任意角弧度制的概念，能正確進行弧度與角度的互化理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出的正弦、余弦、

3、正切的誘導(dǎo)公式 ，會用三角函數(shù)線解決相關(guān)問題熟練運用同角三角函數(shù)函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和簡單恒等式的證明命題趨勢探究1一般以選擇題或填空題的形式進行考查2角的概念考查多結(jié)合函數(shù)的基礎(chǔ)知識3利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值是重要考點知識點精講一、基本概念（1）任意角角（弧度）（2）角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，就叫做第幾象限角，終邊在坐標(biāo)軸上的角不是象限角，稱之坐標(biāo)角（或象限界角、軸線角等）（3）弧度制度：半徑為的圓心角所對弧長為，則（弧度或rad）（4）與角（弧度）終邊相同的角的集合為，其意義在于的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈，終邊位置

4、不變注：弧度或rad可省略（5）兩制互化：一周角=（弧度），即1（弧度）故在進行兩制互化時，只需記憶，兩個換算單位即可：如：；（6）弧長公式：，扇形面積公式：注：關(guān)于扇形面積公式的記憶,可以采用類似三角形面積公式的方法，把扇形的弧長類比成三角形的底，半徑類比成三角形的高，則有，如圖4-1所示 圖 4-1二、任意角的三角函數(shù)1定義已知角終邊上的任一點（非原點O），則P到原點O的距離此定義是解直三角形內(nèi)銳角三角函數(shù)的推廣類比，對，鄰，斜，如圖4-2所示（斜）（對）圖 4-2（鄰）2單位圓中的三角函數(shù)線以為第二象限角為例角的終邊交單位圓于P，PM垂直軸于M， 的終邊或其反向延長線交單位圓切線AT于T

5、，如圖4-3所示，由于取為第二象限角，=MP0, =OM0, =AT0圖4-33三角函數(shù)象限符號與單調(diào)性在單位圓中，則：（1），即終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)即為的正弦值如圖4-4（a）所示，的特征為：（2），即終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)即為的余弦值如圖4-4（b）所示，的特征為：（3）如圖4-4（c）所示，的特征為：三、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：減減增增+ + -010-1（a）減減增增 + + 10-10（b）增增增增 + -00（c）圖 4-42 誘導(dǎo)公式（1）（2）奇偶性（3）奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一

6、寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可 例如（1）,因為，所以，即，（2），因為，所以，即，簡而言之即“奇變偶不變，符號看象限”題型歸納及思路提示題型53 終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別思路提示終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角例41終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合為（ ）A B C D 評注 終邊在軸的

7、角的集合，公差為，取初始角；終邊在軸的角的集合，公差為，取初始角例42 請表示終邊落在圖4-5中陰影部分的角的集合分析 本題是關(guān)于區(qū)域角的表示問題，需要借助終邊相同角的集合表示知識求解，只需要把握區(qū)域角初始角的范圍和終邊相同角的集合的公差的大小即可順利求解(a) (b) (c) (d) 圖 4-5評注 任一角與其終邊相同的角，都可以表示成與整數(shù)個周角的和，正確理解終邊相同的角的集合中元素組成等差數(shù)列，公差為，即集合的周期概念，是解決本題的關(guān)鍵變式1設(shè)集合Meq blcrc (avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(xf(k,2)18045，kZ)，Neq blcrc(avs4a

8、lco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(k,4)18045，kZ)，那么()AMN B NMCMN DMN例43 下列命題中正確的是（ ）第一象限角是銳角第二象限角是鈍角，是第一、二象限角，是第四象限角，也叫負銳角題型54 等分角的象限問題思路提示 先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）的象限分布圖示例44 是第二象限角，是第 象限角評注 對于是第幾象限角的問題，做選填題以記住圖示最為便捷，解法三是一種只要答案的特值方法；解法一能準(zhǔn)確找出的分布對于是第幾象限角可使用象限分布圖示的規(guī)律，如圖4-8所示，那么對于“是第幾象限角”的象限分布圖示規(guī)律是什么？

9、只需要把第一個象限平均分成部分，并從軸正向起，逆時針依次標(biāo)注1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，則數(shù)字（終邊所在象限）所在象限即為終邊所在象限例如：的象限分布圖示如圖4-8所示，若為第一象限角，則為第一、二、三象限角變式1 若是第二象限角，則是第 象限角；若是第二象限角，則的取值范圍是 題型55 弧長與扇形面積公式的計算思路提示熟記弧長公式：l|r，扇形面積公式：S扇形eq f(1,2)lreq f(1,2)|r2（弧度制）掌握簡單三角形，特別是直角三角形的解法例45 有一周長為4的扇形，求該扇形面積的最大值和相應(yīng)圓心角的大小變式1 扇形OAB的圓心角OAB=1（弧度），則=（）A

10、 B C D 2變式2 扇形OAB，其圓心角OAB=，其面積與其內(nèi)切圓面積之比為 題型56 三角函數(shù)定義題思路提示任意角的正弦、余弦、正切的定義；誘導(dǎo)公式；理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系例46 角終邊上一點，則=（ ）A B C 5 D5+變式1 已知角終邊上一點，則=（ ）A2 B-2 C2 D 變式2 已知角終邊上一點，則= 變式3 已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊在直線上，則=（ ）A B C D 題型57 三角函數(shù)線及其應(yīng)用思路提示正確作出單位圓中正弦、余弦、正切的三角函數(shù)線利用三角函數(shù)線證明三角公式例47 證明（1）（2）（3）評注 用單位圓中的三角函數(shù)線證明誘導(dǎo)

11、公式是新課標(biāo)的要求，必須掌握，重點在在（1）證明中易得，相除得，在（2）證明 中易得，相除得角與的終邊關(guān)于終邊（即軸）對稱，角與的終邊關(guān)于終邊所在的直線軸對稱一般地，角,的終邊關(guān)于終邊所在直線軸對稱二利用三角函數(shù)線比較大小例48 ，比較的大小變式1 求證：（1）當(dāng)角的終邊靠近軸時，及；（2）當(dāng)角的終邊靠近軸時，及；變式2 （1）為任意角，求證：；（2），比較的大小變式3 比較大?。?）（2）（3）變式4 ，則（）A B C D 三、利用三角函數(shù)線求解特殊三角方程例49 利用單位圓中的三角函數(shù)線求解下列三角方程：（1）；（2）；（3）評注（1） ，；（2）當(dāng)時，方程在有兩解四、利用三角函數(shù)線求解

12、特殊三角不等式例410利用單位圓，求使下列不等式成立 的角的集合（1）；（2）；（3）分析 這是一些較簡單的三角函數(shù)不等式，在單位圓中，利用三角函數(shù)線作出滿足不等式的角所在的區(qū)域，由此寫出不等式的解集評注 解簡單的三角不等式，可借助于單位圓中的三角函數(shù)線，先在內(nèi)找出符合條件的角，再利用終邊相同的角的表達式寫出符合條件的所有角的集合，借助關(guān)于單位圓中的三角函數(shù)線，還可以比較三角函數(shù)值的大小例411利用單位圓解下列三角不等式：（1）；（2）；（3）；（4）若，則則（）A B C D 評注 三角函數(shù)線的應(yīng)用(1)證明 三角公式；(2)比較大小；(3)解三角方程；(4)求解三角不等式變式1 已知函數(shù),

13、則的取值范圍（）A B C D 題型58 象限符號與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值思路提示正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負；余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負；正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負例412（1）若，則的取值范圍是 ；（2）= ；變式1 是為第一、二象限的（ ）A充分而不必要條件 B 必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件變式2 ，,是第 象限角，是第 象限角變式3 若，則的取值范圍是 變式4 已知，則是第（ ）象限角A一或三 B 二或三 C三或四 D一或四變式5 若為第二象限角，則的符號為 變式6 若點在第三象限，則角的終邊在第 象限角

14、變式7 函數(shù)的值域為 題型59 同角求值-條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的思路提示若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值若無象限條件，一般“弦化切”例413 （1）已知，= , = （2）已知=2，1 ,= , = 2 = ,3 ,（3）已知，1 = ；2 評注 本題給出同角求值的幾種基本題型（1）及（2）中的1體現(xiàn)了有象限條件的任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的本質(zhì)聯(lián)系（只多了一個象限符號）；（2）中的2體現(xiàn)了無象限條件弦化切的解題策略（3）中無象限條件，表示函數(shù)在處取得極小值，導(dǎo)數(shù)，故有更簡便做法： 如已知，則= 答案為-1，與本題（3）同

15、理可解變式1 若=2，則=（ ）A B3 C D-3變式2 當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則= ；例414 已知時，則=（ ）A B C D- 變式1 已知，則=（ ）A B C D 變式2 已知，則=（ ）A B C D 題型60 誘導(dǎo)求值與變形思路提示（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)（2）通過等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)（3）等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化例415 求下列各式的值（1）； （2）； （3）評注 利用誘導(dǎo)公式化簡或求值，可以參照口決“負角化正角，大角化小角，化為銳角，再計算比較”變式1 若

16、，且，則= ；變式2 若，則=（ ）A B C D 變式3 若,則tan 100的值為（ ）A B C D變式4 coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)eq f(1,3)，則sineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)()A.eq f(1,3) B.eq f(2r(2),3) C.eq f(1,3) D.eq f(2r(2),3) 最有效訓(xùn)練題17（限時45分鐘）1 的值為（ ）A B C D 2已知點落在角的終邊上，且，則的值為（ ）A B C D 3若角的終邊落在直線上，則（ ）A 2 B C 1 D 04coseq blc(rc)(avs4alco

17、1(f(,12)eq f(1,3)，則sineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)()A.eq f(1,3) B.eq f(2r(2),3) C.eq f(1,3) D.eq f(2r(2),3)5已知，對于任意角均成立若，則=（ ）A B C D 6已知，則=（ ）A B C D 7已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點，且，則= 8已知是第四象限角，且sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,5)，則taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_9如圖4-23所示，已知正方形的邊長為1，以為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于，然后以為圓心，長為半徑畫弧，交的延長