直線的兩點(diǎn)式方程、直線的一般式方程題型全歸納

1、直線的兩點(diǎn)式方程、直線的一般式方程題型全歸納【知識梳理】1.直線的兩點(diǎn)式與截距式方程兩點(diǎn)式截距式條件P1(x1, y1)和 P2(x2, y2)其中xwx2, ywy2在x軸上截距a,在y軸上截距b圖形1仁方程yy1xx1y2 一 yx2 x1b=1適用范圍不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過原_ 在的直線2.直線與二元一次方程的關(guān)系(1)在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都可以用一個(gè)關(guān)于x, y的二元一次方程表示.(2)每個(gè)關(guān)于x, y的二元一次方程都表示一條直線.3.直線的一般式方程的定義我們把關(guān)于x,y的二元一次方程 Ax+ By+C=0(其中A,B不同日為0)叫做直

2、線的一般式方程， 簡稱一般式.【?？碱}型】題型一、利用兩點(diǎn)式求直線方程【例1】三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是 A(-1,0), B(3, 1), 0(1,3),求三角形三邊所在直線的方程.【類題通法】求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線 不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程.(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤.在記憶和使 用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1. (1)若直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2, 1), B(2,7),則直線l的方程為 .(2)

3、若點(diǎn)P(3, m)在過點(diǎn)A(2, 1), B(3,4)的直線上，則 m =.題型二、直線的截距式方程及應(yīng)用例2 直線l過點(diǎn)P(4 2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于 A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn). 3(1)當(dāng)4AOB的周長為12時(shí)，求直線l的方程.(2)當(dāng)4AOB的面積為6時(shí)，求直線l的方程.【類題通法】用截距式方程解決問題的優(yōu)點(diǎn)及注意事項(xiàng)(1)由截距式方程可直接確定直線與x軸和y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此用截距式畫直線比較方便.(2)在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長等問題時(shí)，經(jīng)常使用截距式.(3)但當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，有一個(gè)截距不存在；當(dāng)直線通過原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)截距均為零.在這兩種

4、情況下都不能用截距式，故解決問題過程中要注意分類討論.【對點(diǎn)訓(xùn)練】2.求經(jīng)過點(diǎn)A(-2,2),并且和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是1的直線方程.題型三、直線方程的一般式應(yīng)用【例3】(1)已知直線li： 2x+(m+1)y + 4=0與直線 mx+3y 2=0平行，求 m的值；(2)當(dāng) a 為何值時(shí)，直線 li： (a+2)x+(1a)y1 = 0與直線 6 (a1)x+(2a +3)y + 2= 0互相垂直?【類題通法】,直線 11： A1x+ B1y+C1=0,直線 12： A2X+ B2y+C2=0,(1)若 11 川2? A1B2 A2B1 = 0 且 B1C2B2C1 w 0(或 A1C2

5、 A2C 10).(2)若 1_L12? A1A2+B1B2=0.(3)若 11 與 12重合？ A1B2 A2B1 = 0 且 B1C2B2C1=0(或 A1C2A2C1=0).與直線 Ax+By+C=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+ By + m=0, (mwC),與直線 Ax+By+C= 0垂直的直線方程可設(shè)為 Bx-Ay+ m= 0.【對點(diǎn)訓(xùn)練】. (1)求與直線3x+ 4y+1=0平行且過點(diǎn)(1,2)的直線1的方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)且與直線2x+ y10=0垂直的直線1的方程.【練習(xí)反饋】1 ,直線xy=1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為()3 4A. 1B. - 1C. 7D. -

6、7AD，2.直線3x2y=4的截距式方程是()X-y=4 1 13 2C.3xTr XD.4+=1.直線l過點(diǎn)(一1,2)和點(diǎn)(2,5),則直線l的方程為 .斜率為2,且經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)的直線的一般式方程為 .三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 A(0, 5), B(-3,3), C(2,0),求直線AB和直線AC的方程.參考答案【例1】由兩點(diǎn)式，直線 AB所在直線方程為:y一( 一 1 x一 3,即 x+ 4y + 1 = 0.0一(一 1)一 1 一 3同理，直線BC所在直線方程為:y-3x-1=,即 2x+y-5= 0.-1 -3 3-1直線AC所在直線方程為:y-3x-1=,即 3x-2y+3=0.

7、0-3 -1-1【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.答案:(1)x= 2 (2)-2【例2解(1)設(shè)直線l的方程為x ya+b=1(a 0, b0),由題意知，a + b+ a + b =12.又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P(4 2),3所以，+ 2=1,即 5a2- 32a+48 = 0, 3a ba1 = 4, 解得b1= 3,所以直線l的方程為3x+4y-12=0或 15x+ 8y-36 = 0.(2)設(shè)直線l的方程為a+，=1(a0, b0),4 2由題意知，ab=12,端+ 0=1,消去 b,得 a -6a+ 8=0,a1 = 4,a2= 2,解得b1= 3,屹=6,所以直線l的方程為3x+4y12=0或3x+y6

8、=0.【對點(diǎn)訓(xùn)練】2.解：設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別是 a、b,1則有 S= 21a b|=1.設(shè)直線的方程是x+b=1.+、，口222a，直線過點(diǎn)(-2,2),代入直線萬程得b=1,即b = E2a2-ab =a+2=立.當(dāng)空一=2時(shí)，化簡得a2+a+2=0,方程無解;a+22當(dāng)= 2時(shí),a+2化簡得a2-a-2=0,a= 1, a= 2, 解得f或5b=- 2, b= 1.直線方程是十1七=1 或2+1=1,即 2x+ y+2= 0 或 x+2y-2= 0.【例 3解(1)法一：由 11： 2x+(m+1)y+4 = 0.12： mx+3y2=0.當(dāng)m=0時(shí)，顯然11與12不平行.當(dāng)

9、mw 0 時(shí)，11 /12,m+ 1豐3解得m=2或m= 3. . .m的值為2或3.法二：令 2X3=m(m+1),解得 m=3 或 m=2.當(dāng) m=3 時(shí)，11： x-y+2 = 0, 12： 3x-3y+2 = 0,顯然11與12不重合,11 /12.同理當(dāng) m = 2 時(shí)，11： 2x+ 3y+4=0, 12： 2x+3y-2=0,11與12不重合，卜/小,，m的值為2或一3.(2)法一：由題意，直線11112,若1 a=0,即a=1時(shí)，直線11： 3x1 = 0與直線12： 5y+2=0,顯然垂直.一若2a+3=0,即a= 2時(shí)，直線11： x+5y2=0與直線12： 5x- 4=0

10、不垂直.a+2a1若1 aw0,且2a+30,則直線11,12的斜率k1,k2都存在，k1= ,k2=-,當(dāng)11,12時(shí),1-a2a+ 3k1 k2= - 1,即(一 )(1 -aa-12a+3)=-1,所以 a= - 1.綜上可知，當(dāng) 2=1或2= 1時(shí)，直線l1l2.法二：由直線l山2,所以(a + 2)( a 1) + (1 a)(2a + 3) = 0,解得a=蟲.將a= 十代入方程，均滿足題意.故當(dāng)a=1或a= 1時(shí)，直線I1H2.【對點(diǎn)訓(xùn)練】3.解：(1)法一：設(shè)直線l的斜率為k,3,.1 與直線 3x+ 4y+1=0 平行，k= -4.又J經(jīng)過點(diǎn)(1,2),可得所求直線方程為y-

11、2 =3rr4(xi),即 3x+4y11 = 0.法二：設(shè)與直線3x+4y+1 = 0平行的直線l的方程為3x+4y+m=0. 1經(jīng)過點(diǎn)(1,2),3X 1+4X2+m=0,解得 m=- 11.，所求直線方程為3x+4y11 = 0.(2)法一：設(shè)直線l的斜率為k.直線l與直線2x+ y10=0垂直，-k ( 2) = 1,1kq.又.J經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),1 一所求直線l的萬程為y-1=2(x- 2),即x2y=0.法二：設(shè)與直線2x+y10=0垂直的直線方程為 x-2y+m = 0.直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),-2-2X1 + m=0,.m= 0.，所求直線l的方程為x-2y=0.【練習(xí)反饋】.解析：選B 直線在x軸上截距為3,在y軸上截距為-4,因此截距之和為-1.解析：選D 求直線方程的截距式，必須把方程化為:+ y=1的形式，即右邊為1,左邊是和的形式.a dy一 2 x 一 f 一 1 .解析：由題意直線過兩點(diǎn)，由直線的兩點(diǎn)式方程可得： = ,整理得x-y+3=0.5-2 21答案：x-y+3 = 0.解析：由直線點(diǎn)斜式方程可得y-3 = 2(x-1),化成一般式為 2x-y+ 1