高中數(shù)學題型全面歸納（教師版）：2.8函數(shù)的圖像11

1、第八節(jié)函數(shù)的圖像考綱解讀1.掌握描繪函數(shù)圖像的兩種基本方法直接描點法（列表描點）和圖像變換法.2.會利用函數(shù)圖像進一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程和不等式中的問題.3.會用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，分析解決數(shù)學問題.命題趨勢探究基本初等函數(shù)的圖像是高考中的重要考點之一，是用來研究其他圖像問題的基礎(chǔ)，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具.解決此類問題的重要思路是要利用函數(shù)性質(zhì)與圖像之間的對應關(guān)系去比照，如定義域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點等.高考中總是以幾類基本初等函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)來考查函數(shù)圖像，往往結(jié)合函數(shù)行之一并考察，題型主要是選擇題與填空題，考查的形式主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換（平移變換、對稱變換）

2、以及靈活地應用圖像解題，屬于每年必考內(nèi)容之一知識點精講一、掌握基本初等函數(shù)的圖像（1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)；（3）反比例函數(shù)；（4）指數(shù)函數(shù)；（5）對數(shù)函數(shù)；（6）三角函數(shù).二、函數(shù)圖像作法1.直接畫確定定義域；化簡解析式；考察性質(zhì)：奇偶性（或其他對稱性）、單調(diào)性、周期性、凹凸性；特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；特殊線（對稱軸、漸近線等）. 2.圖像的變換（1）平移變換函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向左平移個單位得到的；函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向右平移個單位得到的；函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向上平移個單位得到的；函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向下平移個單位得到的；（2）對稱變換i:函數(shù)

3、與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱； ii:函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；iii: 函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點對稱；i:若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則對定義域內(nèi)的任意都有或（實質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線對稱的兩點連線的中點橫坐標為，即為常數(shù)）； ii: 若函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，則對定義域內(nèi)的任意都有的圖像是將函數(shù)的圖像保留軸上方的部分不變，將軸下方的部分關(guān)于軸對稱翻折上來得到的（如圖2-21（a）和圖2-21（b）所示的圖像是將函數(shù)的圖像只保留軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于軸對稱得到函數(shù)左邊的圖像即函數(shù)是一個偶函數(shù)（如圖2-21（c）所示）.注：的圖像先保留原來在軸上方的圖像，做出軸下方的圖像關(guān)于軸對稱圖形

4、，然后擦去軸下方的圖像得到；而的圖像是先保留在軸右方的圖像，擦去軸左方的圖像，然后做出軸右方的圖像關(guān)于軸的對稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.函數(shù)與的圖像關(guān)于對稱.（3）伸縮變換的圖像，可將的圖像上的每一點的縱坐標伸長或縮短到原來的倍得到.的圖像，可將的圖像上的每一點的橫坐標伸長或縮短到原來的倍得到.題型歸納及思路提示題型31 由式選圖（識圖）思路提示利用函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點等）排除錯誤選項，從而篩選出正確答案例2.70 函數(shù)的圖像大致是（）分析觀察四個選項給出的圖像，區(qū)別在于函數(shù)零點的個數(shù)及單調(diào)性不同.解析解法一：當時，函數(shù)單調(diào)遞增，同時函數(shù)單調(diào)遞增，故

5、函數(shù)在上單調(diào)遞增，排除；當時，存在兩個零點，所以排除選項.故選.解法二：如圖2-22所示，有圖像可知，函數(shù)與函數(shù)的交點有3個，說明函數(shù)的零點有3個，故排除選項；當時，成立，即，故排除選項，故選.變式1 函數(shù)的圖像是（）分析 通過函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性判斷函數(shù)圖像。解析 因為函數(shù)為偶函數(shù)，故排除B、D，由值域為，排除C，故選A。變式2 在同一坐標系中畫出函數(shù)的圖像，可能正確的是（）解析 對于選項A，由對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像知，直線不滿足，故選項A不正確；對于選項B，由對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像知，直線不滿足，故選項B不正確；對于選項C，由對數(shù)函數(shù)的圖像知，由指數(shù)函數(shù)的圖像知，故矛盾，

6、選項C不正確，故選D。變式3 函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖像可能是（）解析 對于選項A，由二次函數(shù)圖像知，得， ，故對數(shù)函數(shù)的圖像單調(diào)遞減，故選項A不正確；對于選項B，由二次函數(shù)圖像知，故對函數(shù)的圖像單調(diào)遞減，故選項B不正確；對于選項C，由二次函數(shù)的圖像單調(diào)遞增，故選項C不正確；對于選項D，由二次函數(shù)圖像知，故對數(shù)函數(shù)的圖像單調(diào)遞減，故選D。變式4已知函數(shù)，則的圖像大致為（ ）解析 函數(shù)的定義域應滿足且，得，故排除選項D。又恒成立（經(jīng)典不等式），那么函數(shù)的值域為，故選B。題型32 函數(shù)圖像的應用思路提示1利用函數(shù)圖像判斷方程解的個數(shù).由題設(shè)條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解的

7、個數(shù).例2.71函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）解析令可得.設(shè)，在同一坐標系下分別畫出函數(shù)的圖像，如圖2-23所示.可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)一定有2個交點，因此函數(shù)有2個零點.故選.變式1 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是解析 圖像法，如圖2-69所示，單調(diào)遞減且值域為（0，1，單調(diào)遞增且值域為，若 有兩個不同的實跟，則實數(shù)的取值范圍是（0，1）。變式2 直線與曲線有4個交點，則的取值范圍是解析 是偶函數(shù)，函數(shù)圖像如圖2-70所示，直線與曲線有4個交點，則滿足，所以，故的取值范圍為（1，）。變式3 函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（） 解析 由已知,所以其頂點為(2,1),又可知點(

8、2,1)位于f(x)=2lnx圖像的下方,如圖2-71所示,故函數(shù)f(x)=2lnx的圖像與函數(shù)的圖像有2個交點,故選B變式4 設(shè)定義域為的函數(shù)，則關(guān)于的方程有7個不同實數(shù)解的充要條件是（）分析 用圖示法解本題，即對函數(shù)的圖像加以分析，即可得到所給方程有7個不同實數(shù)解的充要條件。解析 作出的圖像，如圖2-72所示，設(shè)，那么欲使原方程有7個解，則方程的兩根，這是因為 時，方程有4個實數(shù)解；當時有3個實數(shù)解。由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，故選C。評注：本題很好地體現(xiàn)了函數(shù)圖像對解題的作用，若有8個不同的實數(shù)解，令，方程必有兩根 ，故，故選A。變式5 設(shè)定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程有7個不同實數(shù)解，

9、則解析 作出函數(shù)的圖像，如圖2-73所示，令，原方程變形為，若原方程有7個不同的實數(shù)解，則 ，則，即或6，當時，解得或4，滿足題意； 當時，解得或9，不滿足題意，故。思路提示2 利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值范圍.先作出所研究對象的圖像，求出它們的交點，根據(jù)題意結(jié)合圖像寫出答案例2.72設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是（）分析作出函數(shù)與的圖像，由圖像得不等式的解集.解析作出函數(shù)與的圖像，如圖2-24所示，得所對應的的取值范圍是，故選.變式1 (2010新課標全國卷理24)設(shè)函數(shù)若不等式的解集非空，求的取值范圍.解析 函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖像如圖2-74所示,可知,當且僅當時,函

10、數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=ax有交點,故不等式的解集是非空時,a的取值范圍是變式2 已知函數(shù)若不等式，則實數(shù)的取值范圍是 （ ）A、 B、 C、 D、解析 作出函數(shù)的圖像,如圖2-75所示,函數(shù)在R上單調(diào)遞增,由得,即,故選C.變式3 （2012福建理15）對于實數(shù)和，定義運算“*”：*= ，設(shè)*，且關(guān)于的方程恰有3個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是 .解析 根據(jù)新定義寫出f(x)的解析式,數(shù)形結(jié)合求出m的取值,再根據(jù)函數(shù)的圖像和方程的根等條件求解,由定義知,作出函數(shù)f(x)的圖像,如圖2-76所示.由圖可知,當時,恰有3個互不相等的實數(shù)根不妨設(shè),則是方程(2x-1)x=m = 1 * G

11、B3 的負實根, 是方程-x(x-1)=m = 2 * GB3 的兩不等實根,由 = 2 * GB3 知, =m,又,所以令則,當上為增函數(shù),所以變式4已知函數(shù)若互不相等，且則的取值范圍是 （ ）A、 B、 C、 D、解析 f(x)的圖像如圖2-77所示,不妨設(shè)abc,則且0a1b0)的圖像交點的橫坐標互為倒數(shù),解析 求出與函數(shù)圖像交點的橫坐標,利用基本不等式求解,由題意得,所以,所以,因為,當,即時取得等號,所以的最小值為,故選B 最 有 效 訓 練 題1、若點在圖像上，則下列點中也在此圖像上的是 （ ）A、 B、 C、 D、2、為得到函數(shù)的圖像，可將函數(shù)的圖像上所有點的 （ ）A、縱坐標縮

12、短到原來的橫坐標不變，再向右平移1個單位長度.B、縱坐標縮短到原來的橫坐標不變，再向左平移1個單位長度.C、橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再向左平移1個單位長度.D、橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再向右平移1個單位長度.3、函數(shù)的圖像如圖226所示，則函數(shù)的圖像大致是 （ ）4、函數(shù)與的圖像關(guān)于 （ ） A、直線對稱 B、軸對稱 C、軸對稱 D、原點對稱5、若函數(shù)滿足，且時，.則函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為 （ ）A、3 B、4 C、6 D、86、函數(shù)與函數(shù)的圖像分別如圖227（）（）所示.則函數(shù)的圖像可能是 （ ）圖 2-277、把函數(shù)的圖像向左平移1個單位長度得到函數(shù) 的圖像

13、.8、指數(shù)函數(shù)的圖像如圖228所示，則二次函數(shù)的頂點的橫坐標取值范圍是 . 9、若則函數(shù)的零點為，的零點為，則的取值范圍是 10、若直角坐標平面內(nèi)的兩點滿足條件： eq oac(,1)都在函數(shù)的圖像上； eq oac(,2)關(guān)于原點對稱，則稱函數(shù)對是函數(shù)的一對“友好點對”（點對于看作同一對“友好點對”）.已知函數(shù)，則此函數(shù)的“友好點對”有 對.11、作出下列函數(shù)的圖像. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)12、已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）求得取值范圍，使得方程有4個不等實根.最有效訓練題111.D 解析 由題意也在函數(shù)圖像上,故選D.2.A 解析 ,將函數(shù)的圖

14、像縱坐標縮短到原來的,橫坐標不變,再向右平移1個單位長度得到,故選A.3.C 解析 由f(x)圖像先減后增,在x=1處取極小值,及為減函數(shù)知, ,故選C.4.D 解析 若函數(shù)y=xlnx過點,則函數(shù)y=xln(-x)過點,故函數(shù)y=xlnx與函數(shù)y=xln(-x)關(guān)于原點對稱,故選D.5.C 解析 本題考查周期函數(shù)圖像與偶函數(shù),對數(shù)函數(shù)圖像,在同一直角坐標系中于y軸右側(cè)作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)的圖像,如圖2-79所示,得3個交點,再由兩個函數(shù)都是偶函數(shù)可知,在y軸左側(cè)也有3個交點,故兩個函數(shù)的圖像共有6個交點,故選C.6.A 解析 從f(x),g(x)圖像可知它們分別為偶函數(shù),奇函數(shù).故f(

15、x)g(x)是奇函數(shù),排除B,由g(x)圖像不過(0,0)得f(x)g(x)圖像也不過(0,0),排除C,D,故選A.7. 解析 由題意得所求解析式為8. 解析 由圖可知函數(shù)是減函數(shù),所以,而二次函數(shù)的頂點的橫坐標為,所以,即二次函數(shù)的頂點的橫坐標取值范圍為.9.解析 依題意令,函數(shù)圖像如圖2-80所示,函數(shù)與函數(shù)圖像的交點的橫坐標為m,函數(shù)與函數(shù)的圖像交點的橫坐標為n.且函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱,且直線y=x與直線y=-x+4互相垂直,聯(lián)立,解得交點坐標為(2,2),所以m+n=4(m,n0),(當且僅當m=n時取=),但0m0的部分圖像有兩個交點,故此函數(shù)的友好點對有2對11.解

16、析 (1)化簡解析式 ,作出其圖像,如圖2-82(a)所示(2)因為,先作出的圖像,將其圖像向右平移一個單位,再向上平移一個單位即得的圖像,如圖2-82(b)所示. (3)先作出的圖像,再將其圖像向下平移一個單位,保留x軸上方的部分,將x軸下方的圖像翻折到x軸上方,即得的圖像,如圖2-82(c)所示.(4)先作出的圖像,保留的部分,再關(guān)于y軸對稱得到圖像,然后右移一個單位,即得的圖像,如圖2-82(d)所示. (5),其圖像如圖2-82(e)所示.(6)作出的圖像,保留圖像中的部分,加上的圖像中x0的部分關(guān)于y軸的對稱部分,即得的圖像如圖2-82(f)所示.(7)偶函數(shù)變形為,其圖像如圖2-82(g)實線部分所示12.解析 (1) f(x)eq blcrc (avs4alco1(x221x1，或x3，,x2