微積分基礎(chǔ)數(shù)學(xué)2圖形曲率

1、第四節(jié)一、 曲線的漸近線二、 函數(shù)圖形的描繪機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、函數(shù)圖形與曲率 第四章 三、 弧微分四、 曲率及其計(jì)算公式無(wú)漸近線 .點(diǎn) M 與某一直線 L 的距離趨于 0,一、 曲線的漸近線定義 . 若曲線 C上的點(diǎn)M 沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),則稱直線 L 為曲線C 的漸近線 .例如, 雙曲線有漸近線但拋物線或?yàn)椤翱v坐標(biāo)差”機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例1. 求曲線的漸近線 .解:為水平漸近線;為垂直漸近線.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 斜漸近線斜漸近線若機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

2、 “縱坐標(biāo)差”例2. 求曲線的漸近線 .解:所以有鉛直漸近線及又因?yàn)榍€的斜漸近線 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 補(bǔ)充題 求笛卡兒葉形線的漸近線 . 解: 令 y = t x ,代入原方程得曲線的參數(shù)方程 :因所以笛卡兒葉形線有斜漸近線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 笛卡兒葉形線參數(shù)的幾何意義:圖形在第四象限圖形在第二象限圖形在第一象限點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、函數(shù)圖形的描繪步驟 :1. 確定函數(shù)的定義域 ,期性 ;2. 求并求出及3. 列表判別增減及凸性區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn) ;4. 求漸近線 ;5. 確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形

3、.為 0 和不存在的點(diǎn) ;并考察其對(duì)稱性及周機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3. 描繪的圖形.解: 1) 定義域?yàn)闊o(wú)對(duì)稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點(diǎn))(極小)4)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 描繪方程的圖形.解: 1)定義域?yàn)?) 求關(guān)鍵點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3) 判別曲線形態(tài)(極大)(極小)4) 求漸近線為鉛直漸近線無(wú)定義機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 又因即5) 求特殊點(diǎn)為斜漸近線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6）繪圖(極大)(極小)斜漸近線鉛直漸近線特殊點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 無(wú)定義例5. 描繪函數(shù)的圖形. 解: 1) 定

4、義域?yàn)閳D形對(duì)稱于 y 軸.2) 求關(guān)鍵點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3) 判別曲線形態(tài)(極大)(拐點(diǎn))(極大)(拐點(diǎn))為水平漸近線5) 作圖4) 求漸近線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、 弧微分設(shè)在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其圖形為 AB,弧長(zhǎng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則弧長(zhǎng)微分公式為或幾何意義:若曲線由參數(shù)方程表示:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、曲率及其計(jì)算公式在光滑弧上自點(diǎn) M 開始取弧段, 對(duì)應(yīng)切線定義：弧段 上的平均曲率點(diǎn) M 處的曲率機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 轉(zhuǎn)角為其長(zhǎng)為則彎曲度與轉(zhuǎn)角成正比，與弧長(zhǎng)成反比；例6. 求半徑為R 的圓上任意

5、點(diǎn)處的曲率 .解: 如圖所示 ,可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別: 直線上任意點(diǎn)處的曲率為 0 有曲率近似計(jì)算公式故曲率計(jì)算公式為又曲率K 的計(jì)算公式二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧則由機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明: (1) 若曲線由參數(shù)方程給出, 則(2) 在點(diǎn)M處曲線凹側(cè)的法線方向上，作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一圓，其半徑為稱此圓為曲率圓，R為曲率半徑。(3) 曲率中心坐標(biāo)D(,)的計(jì)算公式：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 我國(guó)鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,處

6、的曲率.說(shuō)明:鐵路轉(zhuǎn)彎時(shí)為保證行車平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 且 l R. 其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長(zhǎng)度, 離心力必須連續(xù)變化 ,因此鐵道的曲率應(yīng)連續(xù)變化 . 例2. 我國(guó)鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,且 l R. 處的曲率.其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長(zhǎng)度, 求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解:顯然例3. 求橢圓在何處曲率最大?解:故曲率為K 最大最小機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求駐點(diǎn): 設(shè)從而 K 取最大值 .這說(shuō)明橢圓在點(diǎn)處曲率機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值:最大.補(bǔ)充：擺線的產(chǎn)生半徑為 a 的圓周沿直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí) ,其上定點(diǎn) M 的軌跡即為擺線 .參數(shù)的幾何意義點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束