振動(dòng)方程為課件

1、14-1 多自由度體系的自由振動(dòng)1. 剛度法振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程解的形式為將上式代入振動(dòng)方程，得若得到非零解，則展開(kāi)形式為（a）解行列式，得到n個(gè)體系的自振頻率令將代入式（a），得由此可求出第 i 振型（b）式（b）是一組齊次方程，只能確定主振型的形狀，但不能確定它的振幅。振型的標(biāo)準(zhǔn)化方法：1）規(guī)定某個(gè)元素的值，如第一個(gè)元素等于1，或者 最大的一個(gè)元素等于12）規(guī)定主振型滿足下式振型的正交性： 例14-1 試求圖示剛架的自振頻率和振型。設(shè)橫梁的變形忽略不計(jì)，層間剛度系數(shù)和質(zhì)量如圖所示。解 （1）求自振頻率剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為頻率方程為展開(kāi)，得用試算法求得方程的三個(gè)根為因此，三個(gè)自振頻率為進(jìn)

2、一步求得（2）求振型令Y311，解得將代入振型方程，得令Y321，解得將代入振型方程，得令Y331，解得將代入振型方程，得剛度法振動(dòng)方程為由得令，得故頻率方程為2 柔度法展開(kāi)為相應(yīng)的振型方程為例 142 試用柔度法重做例141。解 （1）求自振頻率由各層的剛度系數(shù)得到各層柔度系數(shù),即單位層間力引起的層間位移。為：柔度矩陣為頻率方程為展開(kāi)，得解得因此，三個(gè)自振頻率為（2）求主振型將求得的分別代入振型方程，得到三個(gè)振型。振動(dòng)方程為簡(jiǎn)諧荷載若14-3 多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)1 n個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)在平穩(wěn)階段，各質(zhì)點(diǎn)也作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即代入振動(dòng)方程，整理后，得令若D00，則討論故,當(dāng)荷載頻

3、率與其中任意一個(gè)自振頻率相等時(shí),都可能出現(xiàn)共振現(xiàn)象，因此，對(duì)n個(gè)自由度體系，存在n個(gè)共振區(qū)。振動(dòng)方程將位移向量按振型分解代入振動(dòng)方程，并前乘YT令F(t)= YTFP（t）廣義荷載向量振動(dòng)方程變?yōu)? 多自由度體系在一般荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)分別為質(zhì)點(diǎn)的幾何坐標(biāo)和正則坐標(biāo)(組合系數(shù))由于M*、K*都是對(duì)角陣，方程已經(jīng)解偶，即同理，令則振型分解法由杜哈梅積分，得初始條件為代入初始條件，得 例 14-4 已知結(jié)構(gòu)的頻率和振型，試求圖示結(jié)構(gòu)在突加荷載FP1作用下的位移和彎矩。解 （1） 主振型矩陣（2）建立坐標(biāo)變化關(guān)系（3）求廣義質(zhì)量（4）求廣義荷載（5）求正則坐標(biāo)（6）求質(zhì)點(diǎn)位移質(zhì)點(diǎn)1的位移時(shí)程曲線實(shí)線：

4、虛線：（7）求彎矩振動(dòng)過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)所受的荷載與慣性力之和為截面1的彎矩為截面1彎矩時(shí)程曲線實(shí)線：虛線：只考慮第一振型 （8）討論 由于第一和第二主振型分量并不是同時(shí)達(dá)到最大值，因此不能簡(jiǎn)單地把兩分量的最大值相加。第二主振型分量的影響比第一主振型分量的影響要小的多。 階次愈高的振型分量的影響愈小，通?？梢杂?jì)算前23個(gè)低階振型的影響，就可以得到滿意的結(jié)果。 按無(wú)限自由度體系計(jì)算可以了解近似計(jì)算方法的應(yīng)用范圍和精確程度。將無(wú)限自由度體系簡(jiǎn)化為有限自由度體系進(jìn)行計(jì)算，是不完整的。 對(duì)某種類型的結(jié)構(gòu)，直接按無(wú)限自由度體系計(jì)算也有方便之處。14-4 無(wú)限自由度體系的自由振動(dòng) 在無(wú)限自由度體系的動(dòng)力計(jì)算中，時(shí)

5、間和位置坐標(biāo)都是獨(dú)立變量。振動(dòng)方程是偏微分方程。等截面梁彎曲時(shí)的靜力平衡方程為在自由振動(dòng)時(shí)，唯一的荷載就是慣性力，即因此，等截面梁彎曲時(shí)的自由振動(dòng)方程為用分離變量法求解，令代入振動(dòng)方程，并整理得左邊是x的函數(shù)，右邊是t的函數(shù)。因此，兩邊都與x、t無(wú)關(guān)。故得兩個(gè)常微分方程兩個(gè)方程的解分別為則，振動(dòng)方程的解為C1C4由邊界條件確定例 14-5 試求等截面簡(jiǎn)支梁的自振頻率和主振型。右邊：振幅曲線簡(jiǎn)化為解：邊界條件引入振幅曲線左邊：得：令系數(shù)行列式=0得故這樣就得到了無(wú)限多個(gè)自振頻率和對(duì)應(yīng)的振型曲線14-5 無(wú)限自由度體系自由振動(dòng)的常微分方程求解器解法 等截面兩彎曲時(shí)的自由振動(dòng)偏微分方程為n=1：表示

6、下段結(jié)果；n=2：表示上段結(jié)果。令代入振動(dòng)方程，得邊界條件頂部（x=0）：彎矩=0、剪力=0中部（x=H2）：水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力都連續(xù)底部（x=H）：水平位移=0、轉(zhuǎn)角=0將特征值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的非線性O(shè)DE問(wèn)題首先，利用區(qū)域映射技巧作坐標(biāo)變換于是有這個(gè)變化將兩段區(qū)間影射為標(biāo)準(zhǔn)的單位區(qū)間0，1微分方程變?yōu)檫吔鐥l件變?yōu)轫敳浚▁=0，=0）：自由中部（x=H2，=1）：連續(xù)底部（x=H，=0）：固定微分方程已變成常微分方程組特征值問(wèn)題利用平凡的ODE技巧和等價(jià)的ODE技巧將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的非線性O(shè)DE問(wèn)題.建議平凡的ODE，即取振型歸一化條件為分段考慮并利用坐標(biāo)變換，有利用等價(jià)ODE技巧將該

7、積分轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的ODE問(wèn)題.這樣，就形成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的非線性常微分方程組，可直接利用標(biāo)準(zhǔn)的ODE求解器的非線性功能求解。利用COLSYS求解的計(jì)算步驟如下：設(shè)要求解前N個(gè)特征值（1）設(shè)初始解（2）對(duì)第k（k=1，2，MN振型求正交化的初始解其中（4）用COLSYS求解如下的一個(gè)一階線性O(shè)DE問(wèn)題然后，求出（5）回到第（2）步作第k+1步求解。例 14-6 圖示變截面柱，計(jì)算數(shù)據(jù)如下：1（下）段：2（上）段：其中s為一比例系數(shù)。計(jì)算s=1.0, 0.5, 0.1三種情況。解：前5個(gè)自振頻率在下表中給出，相應(yīng)的振型如圖所示。 is1.00.50.11234514.84493.028260.48251

8、0.443843.78616.85694.856259.862510.264843.83719.21897.537258.939510.003843.906例14-6的自振頻率計(jì)算結(jié)果表明： （1）當(dāng)上下段的質(zhì)量比和剛度比變?。磗變?。r(shí)，基本頻率變大；但高階頻率不一定如此。 （2）在三種情況中，s=0.1時(shí)的振型在頂部位移很大（注意上下部的位移比），通常這種現(xiàn)象稱為鞭梢效應(yīng)；當(dāng)s更小時(shí)，鞭梢效應(yīng)將更嚴(yán)重。 一個(gè)無(wú)阻尼的彈性體系自由振動(dòng)時(shí)，在任一時(shí)刻的總能量（應(yīng)變能與動(dòng)能之和）保持不變。14-6 近似法求自振頻率1 能量法求第一頻率瑞利（Rayleigh）法理論基礎(chǔ)：能量守恒原理 例 具有分

9、布質(zhì)量的等截面梁，自由振動(dòng)時(shí)，位移可表示為梁的彎曲應(yīng)變能為位移表示式對(duì)時(shí)間微分，得速度表達(dá)式為最大值為最大值為梁的動(dòng)能為位移和應(yīng)變能為零，體系的總能量為Tmax速度和動(dòng)能為零，體系的總能量為Vmax由能量守恒原理，可得由此得到計(jì)算頻率的公式若梁上還有集中質(zhì)量mi，計(jì)算公式為 如果Y（x）是第i振型，則得到的就是第i頻率的精確解取某個(gè)靜荷載下的位移曲線作為Y（x）。這時(shí)，應(yīng)變能可用荷載作的功來(lái)代替，即頻率計(jì)算公式為：取結(jié)構(gòu)自重的變形曲線作為Y（x）。例 14-7 試求等截面簡(jiǎn)支梁的第一頻率解 （1）將拋物線作為Y（x）。（2）將均布荷載作用下的位移曲線作為Y（x）。（3）將正弦曲線作為Y（x）。

10、（4）討論。 正弦曲線是第一主振型的精確解，因此由它求得的是第一頻率的精確解。根據(jù)均布荷載作用下的撓度曲線求得的結(jié)果具有很高的精度。例 14-8 試求圖14-15所示楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)梁的截面寬度b=1，截面高度為直線變化：解單位長(zhǎng)度質(zhì)量截面慣性矩設(shè)位移形狀函數(shù)為代入頻率計(jì)算公式，得精確解為誤差為3%理論基礎(chǔ)：哈密頓（W.R.Hamilton)原理在所有可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中,精確解使駐值得哈密頓泛函駐值Y(x)是滿足邊界條件的任意可能位移函數(shù)2.能量法求最初幾個(gè)頻率瑞利-里茲（Rayleigh-Ritz）法瑞利-里茲（Rayleigh-Ritz）法的具體步驟:(1)將體系的自由度折減為n個(gè)自

11、由度,位移函數(shù)表示為:n個(gè)可能的位移函數(shù);a:待定系數(shù)。（2）將位移函數(shù)代入哈密頓泛函，得令得應(yīng)用駐值條件得寫(xiě)成矩陣形式令系數(shù)行列式為零，即可求得最初幾個(gè)自振頻率的近似值。 例 14-9 試求等截面懸臂梁的最初幾個(gè)頻率。設(shè)可能位移為解其中（1）第一次近似得駐值條件為令得（2）第二次近似解得令則，第一、二頻率的近似值(誤差為0.48%）(誤差為58%）這里第一頻率的精度已大為提高。 例 14-10 試用集中質(zhì)量法去等截面簡(jiǎn)支梁的自振頻率。解3 集中質(zhì)量法 例 14-11 試求框架的最低頻率。解讀者可自行驗(yàn)證，對(duì)稱振型的頻率大于反對(duì)稱振型的頻率14-7 矩陣位移法求剛架的自振頻率1 單元的泛函將剛

12、架分成有限個(gè)單元，任一單元的哈密頓泛函為剛架的泛函根據(jù)剛架泛函為駐值的條件，求的非零解，得到剛架頻率可用單元的結(jié)點(diǎn)位移表示單元的結(jié)點(diǎn)位移幅值為桿件的位移幅值函數(shù)可表示為形狀函數(shù)列陣其中單元的剛度矩陣單元的質(zhì)量矩陣對(duì)單元泛函疊加，得將EP改用剛架的結(jié)點(diǎn)位移幅值來(lái)表示。2 剛架的泛函應(yīng)用駐值條件，得頻率方程為3 駐值條件和頻率方程頻率方程為精確解為誤差為1.6% 例14-12 試求梁的自振頻率。解 （1）對(duì)稱振型取半邊結(jié)構(gòu)作為一個(gè)單元，只有一個(gè)待定的結(jié)點(diǎn)位移。將半邊結(jié)構(gòu)分為兩個(gè)單元待定的結(jié)點(diǎn)位移幅值為 駐值條件為令系數(shù)行列式為零，求得三個(gè)頻率及其誤差如下：（2）反對(duì)稱振型取半邊結(jié)構(gòu)，分成兩個(gè)單元，得另外三個(gè)頻率例 14-13 試用矩陣位移法從做例14-11解總剛度矩陣及總質(zhì)量矩陣 待定的結(jié)點(diǎn)位移幅值為駐值條件為對(duì)稱振動(dòng)時(shí)，得求得反對(duì)稱振動(dòng)時(shí)，得其中頻率方程為求得按從大到小的順序重新排列14-8 用求解器