湖南師大附中2011-2012學(xué)年高二12月階段檢測數(shù)學(xué)(理)(共9頁)

1、湖南師大附中(fzhng)2011-2012學(xué)年高二12月階段檢測(jin c)數(shù)學(xué)（理）一、選擇題：本大題共8小題(xio t)，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.方程所表示的曲線是 （ ）A.雙曲線 B.橢圓 C.雙曲線的一部分 D.橢圓的一部分【解析】C2.已知，則向量的夾角為（ ） A B C D 【解析】C3. 如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn).若，則下列向量中與相等的向量是（ ）A. B.C. D.【解析】A4. 已知 ( )A4 B6 C8 D不存在【解析】 B5. 下列命題錯誤的是 （ ）A.對于命題p：若xy0，則x，y中至少有一個(gè)

2、為零，則是：若xy0，則x，y都不為零B.對于命題p：xR，使得x2x10，則方程x2xm0有實(shí)根”的逆否命題為“若方程x2xm0無實(shí)根，則m0”D.“x1”是“x23x20”的充分不必要條件【解析】 A6橢圓(tuyun)的長軸為，短軸為，將橢圓沿y軸折成一個(gè)(y )二面角，使得點(diǎn)在平面(pngmin)上的射影恰好為橢圓的右焦點(diǎn)，則該二面角的大小為（）.A. 75 B. 60 C. 45 D. 30【解析】B7已知點(diǎn)P的雙曲線的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且PF1F2的面積為2ac（c為雙曲線的半焦距），則雙曲線的離心率為（ ） A+lB C D【解析】A

3、D1ABCDA1C1B1P8. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點(diǎn)，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是 （ ）A. 直線 B. 圓 C. 雙曲線 D. 拋物線【解析】D二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上.9.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，2），則m的值是 . 【解析】-110若向量的夾角為，則的值為 【解析】，11.如果橢圓的弦被點(diǎn)(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是_.【解析(ji x)】12已知正三棱柱(lngzh)ABCA1B1C1的所有(suyu)棱長都相等,則

4、與平面所成角的余弦值為 【解析】13已知非零向量與滿足()=0且= eq f(1,2) ，則ABC的形狀為_【解析】等邊三角形14. 已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為.若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則實(shí)數(shù)等于 .解析：由題意可知：拋物線的準(zhǔn)線方程為，則點(diǎn)，雙曲線的左頂點(diǎn)為，所以直線的斜率為，由題意可知：.ACBMP15. 如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，設(shè)是底面內(nèi)一點(diǎn)，定義，其中分別是三棱錐、三棱錐、三棱錐的體積，若，且恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為 .解析：依題意可知，又恒成立，解得，或.故的最小值為1.三解答(jid)題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明

5、過程或演算步驟.16、已知命題(mng t)p：向量(xingling)=（1，1，）與向量=（-1，-1，）平行.命題q：方程表示雙曲線.若“”和“”都為真，求m的取值范圍.17.（本題滿分12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處的切線平行于直線，求值.（2）設(shè)函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）又4分（2）=，8分又在上單調(diào)遞增，在上恒成立即在上恒成立.令只要 12分18.（本小題滿分(mn fn)12分）如圖，已知平行四邊形ABCD和矩形(jxng)ABEFCDAACEF所在的平面(pngmin)互相垂直，. （1）求證：ACBF；（2）求二面角FBDA的余弦值；(3) 求點(diǎn)A到平

6、面FBD的距離. 因此以CD為x軸,CA為y軸,以CE為z軸建立空間坐標(biāo)系， 2分 （1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,0),F(0, ,),B(-1,0),6分（2）平面ABD的法向量 解出,cos=,所求二面角FBDA的余弦值為9分(3)點(diǎn)A到平面FBD的距離為d,. 12分19（本小題滿分13分） 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，傾斜角為的直線過點(diǎn). （）求該橢圓的方程； （）設(shè)橢圓(tuyun)的另一個(gè)焦點(diǎn)為，問拋物線上是否存在(cnzi)一點(diǎn)，使得(sh de)與關(guān)于直線對稱，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.解：（1）拋物線的

7、焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，2分 3分又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為， 得上交點(diǎn)為， 4分由代入得，解得或（舍去），從而 6分 該橢圓的方程為該橢圓的方程為 7分（2） 傾斜角為的直線過點(diǎn)， 直線的方程為，即，8分由（1）知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)與關(guān)于直線對稱，9分則得 10分 解得，即 又滿足，故點(diǎn)在拋物線上. 12分所以拋物線上存在一點(diǎn)，使得與關(guān)于直線對稱.13分20.（本小題滿分13分）如下圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬20 m，要求通行車輛限高5 m，隧道全長2.5 km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個(gè)橢圓lh20m05m3m（1）若最大拱高h(yuǎn)為6 m

8、，則隧道(sudo)設(shè)計(jì)的拱寬l是多少(dusho)？（2）若要使隧道上方半橢圓部分(b fen)的土方工程量最小，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高.）（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個(gè)點(diǎn)M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點(diǎn)為支點(diǎn)，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個(gè)梯形，若 =30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價(jià)與梯形頂部單位面積鋼板造價(jià)相同且為定值，試確定M、N的位置以及的值，使總造價(jià)最少.解：（1）如下圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（10， 2）在橢圓上，lh20m05m3mxyo

9、P令橢圓方程為+=1.將b=h-3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=，此時(shí)=2a=,因此隧道的拱寬約為 m. （2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢圓的面積最小即可由橢圓方程+=1，得+=1.因?yàn)?，即ab40，所以半橢圓面積S=. 當(dāng)S取最小值時(shí)，有=，得a=10，b=.此時(shí)(c sh)l=2a=20， h=b+3=+3故當(dāng)拱高為(+3)m、拱寬為20m時(shí)，隧道(sudo)上方半橢圓部分的土方工程量最小 （3）根據(jù)(gnj)題意設(shè)要使總造價(jià)最低，只要梯形的兩腰長與上底長之和最短即可，令這個(gè)和為，則，的幾何意義是點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（15,2）的

10、距離和的兩倍，答：，總造價(jià)最小.21.已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓x2y210 x200相切.過點(diǎn)P(4,0)作斜率為eq f(1,4)的直線，使得和G交于A，B兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C，并且點(diǎn)P在線段AB上，又滿足|PA|PB|PC|2.(1)求雙曲線G的漸近線的方程；(2)求雙曲線G的方程；(3)橢圓S的中心在原點(diǎn)，它的短軸是G的實(shí)軸.如果S中垂直于的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分AB，若P（x,y）（y0）為橢圓上一點(diǎn)，求當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為ykx，則由漸近線與圓x2y210 x200相切可得eq f(|5k|,r(k2

11、1)eq r(5)，所以keq f(1,2)，即雙曲線G的漸近線的方程為yeq f(1,2)x. 3分(2)由(1)可設(shè)雙曲線G的方程為x24y2m，把直線的方程yeq f(1,4)(x4)代入雙曲線方程，整理得3x28x164m0，則xAxBeq f(8,3)，xAxBeq f(164m,3).(*)|PA|PB|PC|2，P、A、B、C共線且P在線段AB上，(xPxA)(xBxP)(xPxC)2，即(xB4)(4xA)16，整理(zhngl)得4(xAxB)xAxB320.將(*)代入上式得m28，雙曲線的方程(fngchng)為eq f(x2,28)eq f(y2,7)1. 7分(3)由

12、題可設(shè)橢圓(tuyun)S的方程為eq f(x2,28)eq f(y2,a2)1(a2eq r(7)，設(shè)垂直于的平行弦的兩端點(diǎn)分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為P(x0，y0)，則eq f(xoal(2,1),28)eq f(yoal(2,1),a2)1，eq f(xoal(2,2),28)eq f(yoal(2,2),a2)1，兩式作差得eq f(x1x2)(x1x2),28)eq f(y1y2)(y1y2),a2)0.由于eq f(y1y2,x1x2)4，x1x22x0，y1y22y0，所以eq f(x0,28)eq f(4y0,a2)0，所以，垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線eq f(x,28)eq f(4y,a2)0截在橢圓S內(nèi)的部分.又由已知，這個(gè)軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，所以eq f(a2,112)eq f(1,2)，即a256，故橢圓S的方程為eq f(x2,28)eq f(y2,56)1. 11分 由題意知滿足條件的P