2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第十一章　概率高考大題專項(六)　概率與統(tǒng)計

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI高考大題專項(六)概率與統(tǒng)計第十一章2022【考情分析】 一、考查范圍全面概率與統(tǒng)計解答題對知識點的考查較為全面,近五年的試題考點覆蓋了概率與統(tǒng)計必修與選修的各個章節(jié)內(nèi)容,考查了抽樣方法、統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計總體、回歸分析、相關(guān)系數(shù)的計算、獨立性檢驗、古典概型、條件概率、相互獨立事件的概率、獨立重復(fù)試驗的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識和基本方法.二、考查方向分散從近五年的高考試題來看,對概率與統(tǒng)計的考查主要有四個方面:一是統(tǒng)計與統(tǒng)計案例,其

2、中回歸分析、相關(guān)系數(shù)的計算、獨立性檢驗、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征是考查重點,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查;二是統(tǒng)計與概率分布的綜合,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、頻率、概率以及函數(shù)知識、概率分布列等知識交匯考查;三是期望與方差的綜合應(yīng)用,常與離散型隨機(jī)變量、概率、相互獨立事件、二項分布等知識交匯考查;四是以生活中的實際問題為背景將正態(tài)分布與隨機(jī)變量的期望和方差相結(jié)合綜合考查.三、考查難度穩(wěn)定高考對概率與統(tǒng)計解答題的考查難度穩(wěn)定,多年來都控制在中等或中等偏上一點的程度,解答題一般位于試卷的第18題或第19題的位置.近兩年有難度提升的趨勢,位置有所后調(diào)

3、.【典例剖析】 【例1】 某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類蔬菜.根據(jù)過去50周的資料顯示,該基地周光照量X(單位:小時)都在30小時以上,其中不足50小時的有5周,不低于50小時且不超過70小時的有35周,超過70小時的有10周.根據(jù)統(tǒng)計,該基地的西紅柿增加量y(單位:千克)與使用某種液體肥料的質(zhì)量x(單位:千克)之間的關(guān)系如圖所示.(1)依據(jù)上圖,是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系?請計算相關(guān)系數(shù)r并加以說明(精確到0.01).(若|r|0.75,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合)(2)蔬菜大棚對光照要求較大,某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀,但每周光照控制儀運行

4、臺數(shù)受周光照量X限制,并有如下關(guān)系:周光照量X/小時30X70光照控制儀運行臺數(shù)321若某臺光照控制儀運行,則該臺光照控制儀周利潤為3 000元;若某臺光照控制儀未運行,則該臺光照控制儀周虧損1 000元.以頻率作為概率,商家欲使周總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝光照控制儀多少臺?(2)記商家周總利潤為Y元,由條件可知至少需安裝1臺,最多安裝3臺光照控制儀.安裝1臺光照控制儀可獲得周總利潤3 000元.安裝2臺光照控制儀的情形:當(dāng)X70時,只有1臺光照控制儀運行,此時周總利潤Y=3 000-1 000=2 000(元),所以E(Y)=2 0000.2+6 0000.8=5 200(元).Y2 00

5、06 000P0.20.8Y1 0005 0009 000P0.20.70.1所以E(Y)=1 0000.2+5 0000.7+9 0000.1=4 600(元).綜上可知,為使商家周總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)該安裝2臺光照控制儀.對點訓(xùn)練1 近年來,隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展,共享經(jīng)濟(jì)覆蓋的范圍迅速擴(kuò)張,繼共享單車、共享汽車之后,共享房屋以“民宿”“農(nóng)家樂”等形式開始在很多平臺上線.某創(chuàng)業(yè)者計劃在某景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”,為了確定未來發(fā)展方向,此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近六家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天.得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表,x為收費標(biāo)準(zhǔn)(單位:元/日),t為入住天數(shù)(單位:天),以頻

6、率作為各自的“入住率”,收費標(biāo)準(zhǔn)x與“入住率”y的散點圖如圖.x50100150200300400t906545302020(1)若從以上六家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查,記為“入住率”超過0.6的農(nóng)家樂的個數(shù),求的概率分布列.(3)若一年按365天計算,試估計收費標(biāo)準(zhǔn)為多少時,年銷售額L最大?(年銷售額L=365入住率收費標(biāo)準(zhǔn)x)題型二獨立性檢驗的綜合問題【例2】 某學(xué)校高二年級的第二學(xué)期,因某學(xué)科的任課教師王老師調(diào)動工作,于是更換了另一名教師趙老師繼任.第二學(xué)期結(jié)束后從全學(xué)年的該門課的學(xué)生考試成績中用隨機(jī)抽樣的方法抽取了容量為50的樣本,用莖葉圖表示如下:學(xué)校秉持均衡發(fā)展、素質(zhì)教育的辦

7、學(xué)理念,對教師的教學(xué)成績實行績效考核,績效考核方案規(guī)定:每個學(xué)期的學(xué)生成績中與其中位數(shù)相差在10范圍內(nèi)(含10)的為合格,此時相應(yīng)的給教師賦分為1分;與中位數(shù)之差大于10的為優(yōu)秀,此時相應(yīng)的給教師賦分為2分;與中位數(shù)之差小于-10的為不合格,此時相應(yīng)的給教師賦分為-1分.(1)問王老師和趙老師的教學(xué)績效考核成績的期望值哪個大?(2)是否有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生成績?nèi)〉脙?yōu)秀與更換老師有關(guān)”.P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解 (1)第一學(xué)期的數(shù)據(jù)為43,44,49,52,53,56,57,59,62,64,65,65,65,68,72,73,75,

8、76,78,83,84,87,88,93,95,其“中位數(shù)”為65,優(yōu)秀有8個,合格有12個,不合格有5個.王老師的教學(xué)績效考核成績X的分布列為第二學(xué)期的數(shù)據(jù)為44,49,52,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72,72,73,77,81,88,88,94,其“中位數(shù)”為65,優(yōu)秀有5個,合格有15個,不合格有5個,趙老師的教學(xué)績效考核成績Y的分布列為(2)由題意得: 第一學(xué)期第二學(xué)期合計優(yōu)秀8513非優(yōu)秀172037合計252550解題心得有關(guān)獨立性檢驗的問題的解題步驟:(1)作出22列聯(lián)表;(2)計算隨機(jī)變量K2的值;(3)查臨界值,檢驗

9、作答.對點訓(xùn)練2手機(jī)支付也稱為移動支付,是指允許用戶使用其移動終端(通常是手機(jī))對所消費的商品或服務(wù)進(jìn)行賬務(wù)支付的一種服務(wù)方式.隨著信息技術(shù)的發(fā)展,手機(jī)支付越來越成為人們喜歡的支付方式.某機(jī)構(gòu)對某地區(qū)年齡在15到75歲的人群“是否使用手機(jī)支付”的情況進(jìn)行了調(diào)查,隨機(jī)抽取了100人,其年齡頻率分布表和使用手機(jī)支付的人數(shù)如下所示:(年齡單位:歲)年齡段15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75頻率0.10.320.280.220.050.03使用人數(shù)828241221(1)若以45歲為分界點,根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的22列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001

10、的前提下認(rèn)為“使用手機(jī)支付”與年齡有關(guān)?(2)若從年齡在55,65),65,75的樣本中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行座談,記選中的4人中“使用手機(jī)支付”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):支付方式年齡低于45歲年齡不低于45歲使用手機(jī)支付不使用手機(jī)支付P(K2k0)0.0250.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828解 (1)由統(tǒng)計表可得,低于45歲人數(shù)為70人,不低于45歲人數(shù)為30人,可得列聯(lián)表如下:故可以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“使用手機(jī)支付”與年齡有關(guān).支付方式年齡低于45歲年齡不低于45歲使用手機(jī)支付6015不使用手機(jī)支付1

11、015題型三離散型隨機(jī)變量的分布列(多維探究)類型(一) 互斥事件、獨立事件的概率及分布列【例3】 隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代入“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試,要順利地拿到駕駛證,他需要通過四個科目的考試,其中科目二為場地考試.在一次報名中,每個學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(這5次考試機(jī)會中任何一次通過考試,就算順利通過,即進(jìn)入下一科目考試;若5次都沒有通過,則需重新報名),其中前2次參加科目二考試免費,若前2次都沒有通過,則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.某駕校對以往2 000個學(xué)員第1次參加科目二考試進(jìn)行了統(tǒng)計,得到下表:考試情況男學(xué)員女學(xué)員

12、第1次考科目二人數(shù)1 200800第1次通過科目二人數(shù)960600第1次未通過科目二人數(shù)240200若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過科目二考試的概率,且每人每次是否通過科目二考試相互獨立.現(xiàn)有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試,在本次報名中,若這對夫妻參加科目二考試的原則為:通過科目二考試或者用完所有機(jī)會為止.(1)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率;(2)若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過,記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為X元,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解題心得使用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言

13、描述解答過程是解答這類問題并得分的根本保證.引進(jìn)字母表示事件可使得事件的描述簡單而準(zhǔn)確,使得問題描述有條理,不會有遺漏,也不會重復(fù).類型(二) 超幾何分布【例4】 某市為了解本市1萬名小學(xué)生的普通話水平,在全市范圍內(nèi)進(jìn)行了普通話測試,測試后對每個小學(xué)生的普通話測試成績進(jìn)行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)總體(這1萬名小學(xué)生普通話測試成績)服從正態(tài)分布N(69,49).(1)從這1萬名小學(xué)生中任意抽取1名小學(xué)生,求這名小學(xué)生的普通話測試成績在(62,90內(nèi)的概率;(2)現(xiàn)在從總體中隨機(jī)抽取12名小學(xué)生的普通話測試成績,對應(yīng)的數(shù)據(jù)如下:50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.從這12個數(shù)

14、據(jù)中隨機(jī)選取4個,記X表示大于總體平均分的個數(shù),求X的方差.參考數(shù)據(jù):若YN(,2),則P(-Y+)0.682 7,P(-2Y+2)0.954 5,P(-3Y+3)0.997 3.解題心得判斷一個隨機(jī)變量是否服從超幾何分布,關(guān)鍵是要看隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布的特征:不放回抽樣;一個總體(共有N個)內(nèi)含有兩種不同的事物A(有M個),B(有N-M個),任取n個,其中恰有X個A.符合以上特征即可斷定隨機(jī)變量服從超幾何分布.滿足超幾何分布模型的事件的總體都是由較明顯的兩部分組成,如男生,女生;正品,次品;優(yōu),劣等.類型(三)古典概型及分布列的綜合【例5】 1995年聯(lián)合國教科文組織把每年4月23日確

15、定為“世界讀書日”,為提升學(xué)生的文化素養(yǎng),養(yǎng)成多讀書、讀好書的文化生活習(xí)慣,某中學(xué)開展圖書源流活動,讓圖書發(fā)揮它的最大價值,該校某班圖書角有文學(xué)名著類圖書5本,學(xué)科輔導(dǎo)書類圖書3本,其他類圖書2本,共10本不同的圖書,該班班委會從圖書角的10本不同的圖書中隨機(jī)挑選3本不同的圖書參加學(xué)校的圖書漂流活動.(1)求選出的三本圖書來自兩個不同類別的概率;(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的3本圖書中,文學(xué)名著類本數(shù)與學(xué)科輔導(dǎo)類本數(shù)差的絕對值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解題心得利用古典概型求解分布列的概率一定要注意事件的等可能性以及事件的組成,若涉及排列、組合求解基本事件的個數(shù),則需分清元素有序與無序,分

16、清排列還是組合,做到不重不漏.類型(四)二項分布【例6】某興趣小組在科學(xué)館的帕斯卡三角儀器前進(jìn)行探究實驗.如圖所示,每次使一個實心小球從帕斯卡三角儀器的頂部入口落下,當(dāng)它在依次碰到每層的菱形擋板時,會等可能地向左或者向右落下,在最底層的7個出口處各放置一個容器接住小球,該小組連續(xù)進(jìn)行200次試驗,并統(tǒng)計容器中的小球個數(shù)得到柱狀圖:(1)用該實驗來估測小球落入4號容器的概率,若估測結(jié)果的誤差小于5%,則稱該實驗是成功的.試問:該興趣小組進(jìn)行的實驗是否成功?(2)再取3個小球進(jìn)行試驗,設(shè)其中落入4號容器的小球個數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(計算時采用概率的理論值).解題心得對于實際問題中的隨機(jī)

17、變量X,如果能夠斷定它服從二項分布B(n,p),則其概率、均值與方差可直接利用公式(k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟記二項分布的相關(guān)公式,可以避免煩瑣的運算過程,提高運算速度和準(zhǔn)確度.對點訓(xùn)練3某發(fā)電廠新引進(jìn)4臺發(fā)電機(jī),已知每臺發(fā)電機(jī)一個月中至多出現(xiàn)1次故障,且每臺發(fā)電機(jī)是否出現(xiàn)故障是相互獨立的,出現(xiàn)故障時需1名工人進(jìn)行維修,每臺發(fā)電機(jī)出現(xiàn)故障的概率為 .(1)若一個月中出現(xiàn)故障的發(fā)電機(jī)臺數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X);(2)該發(fā)電廠至少有多少名工人,才能保證每臺發(fā)電機(jī)在任何時刻同時出現(xiàn)故障時,能及時進(jìn)行維修的概率不少于90%?

18、(3)已知一名工人每月只有維修1臺發(fā)電機(jī)的能力,每臺發(fā)電機(jī)不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修,就使該廠產(chǎn)生2萬元的利潤,否則將不產(chǎn)生利潤,若該發(fā)電廠現(xiàn)有2名工人,要使求該發(fā)電廠每月獲利的均值不少于6萬元,則該發(fā)電廠每月需支付給每位工人的工資最多為多少萬元?題型四樣本的均值、方差與正態(tài)分布的綜合【例7】 某學(xué)校高二年級舉行了由全體學(xué)生參加的一分鐘跳繩比賽,計分規(guī)則如下表:每分鐘跳繩個數(shù)145,155)155,165)165,175)175,185)185,+)得分1617181920(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生跳繩個數(shù)中,任意抽取2人的跳繩個數(shù),求兩人得分之和小于35分的概率;(用最簡分?jǐn)?shù)表示)(2

19、)若該校高二年級共有2 000名學(xué)生,所有學(xué)生的一分鐘跳繩個數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(,2),其中2225,為樣本平均數(shù)的估計值(同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點值作代表).利用所得的正態(tài)分布模型,解決以下問題: 年級組為了解學(xué)生的體質(zhì),隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的跳繩個數(shù)作為一個樣本,繪制了如下樣本頻率分布直方圖.()估計每分鐘跳繩164個以上的人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));()若在全年級所有學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,每分鐘跳繩在179個以上的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(,2),則P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)

20、0.997 3.解 (1)設(shè)“兩人得分之和小于35分”為事件A,則事件A包括以下四種情況:兩人得分均為16分;兩人中一人16分,一人17分;兩人中一人16分,一人18分;兩人均17分.由頻率分布直方圖可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,解題心得解決正態(tài)分布有關(guān)的問題,在理解,2意義的情況下,記清正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于x=對稱的鐘形曲線,很多問題都是利用圖象的對稱性解決的.對點訓(xùn)練4在某市高中某學(xué)科競賽中,某一個區(qū)4 000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示.(1)求這4 000名考生的競賽平均成績 (同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表);(3)如果用該區(qū)參賽考生成績

21、的情況來估計全市的參賽考生的成績情況,現(xiàn)從全市參賽考生中隨機(jī)抽取4名考生,記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為,求P(3).(精確到0.001)zN(,2),則P(-z+)0.682 7,P(-2z+2)0.954 5;0.841 3540.501.解 (1)由題意知: 中間值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1(2)依題意z服從正態(tài)分布N(,2),其中= =70.5,2=S2=204.75,=14.31,z服從正態(tài)分布N(,2)=N(70.5,14.312),而P(-z+)=P(56.19z84.81)0.682 7,競賽成績超過84.81分的人數(shù)估計為0.1

22、58 654 000=634.6人635.(3)全市競賽考生成績不超過84.81分的概率為1-0.158 65=0.841 35.而B(4,0.841 35),P(3)=1-P(=4)=1- 0.841 3541-0.501=0.499.題型五概率與分布列與其他知識總合交匯【例8】 (2019全國1,理21)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認(rèn)

23、為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和,一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)=0.5,=0.8.()證明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)為等比數(shù)列;()