微積分8-12010常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)

1、證明:見P220，9見P220，10第八章 無窮級(jí)數(shù)* 常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)* 函數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù).1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)可知：一個(gè)數(shù)可以由無限個(gè)數(shù)相加而得到；反之，無限個(gè)數(shù)相加卻不一定能表示一個(gè)確定的數(shù).例如：一、引言（“一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”）問題：在什么情況下無限個(gè)數(shù)相加表示一個(gè)確定的數(shù)？如何求這個(gè)數(shù)? 二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 級(jí)數(shù)的定義: 給定數(shù)列則由這個(gè)數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式稱為常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)，記為其中， un叫一般項(xiàng)（通項(xiàng)）在什么情況下無限個(gè)數(shù)相加可表示一個(gè)確定的數(shù)？如何求這個(gè)數(shù)?均為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).1-1對(duì)應(yīng)稱數(shù)列定義1：記為:又則故定義2:由定義知:收斂收斂發(fā)散發(fā)散(

2、此時(shí)無限個(gè)數(shù)相加 表示一個(gè)確定的數(shù) ).設(shè)數(shù)列為若數(shù)列 收斂于S,則稱級(jí)數(shù)收斂例1解例2 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))的收斂性. 級(jí)數(shù)收斂 級(jí)數(shù)發(fā)散 級(jí)數(shù)發(fā)散 級(jí)數(shù)發(fā)散 綜上且收斂時(shí)，有記住此結(jié)論解例3 判別無窮級(jí)數(shù)的收斂性.解：例4記住結(jié)論:等比級(jí)數(shù):調(diào)和級(jí)數(shù):發(fā)散.若級(jí)數(shù)收斂，則余項(xiàng):且2. 當(dāng)級(jí)數(shù) 求其和S.收斂時(shí), -求得級(jí)數(shù)和的近似值.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的兩個(gè)基本問題:-求得級(jí)數(shù)和的精確值.1. 判別級(jí)數(shù)的斂散性.例5 若級(jí)數(shù)收斂，則有=（ ）（余項(xiàng)）分析：因0三、基本性質(zhì)即：收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減后仍收斂。注意：性質(zhì)1、若收斂于S，則亦收斂，且收斂于kS容易證明： 與有相同的斂散性!發(fā)散;

3、發(fā)不定證明：同時(shí)收斂，同時(shí)發(fā)散；又設(shè)級(jí)數(shù)去掉 的前k項(xiàng)得級(jí)數(shù):設(shè)類似可證明，添加有限項(xiàng)，也不改變級(jí)數(shù)的斂散性。證明：略性質(zhì)4 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來的和.注：收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂. 收斂. 發(fā)散推論 如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原來級(jí)數(shù)也發(fā)散.去掉括號(hào):四、收斂的必要條件證明：.收斂的必要條件！由該定理知：若必發(fā)散。即(即收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)必為無窮小量!)例： 調(diào)和級(jí)數(shù)即:發(fā)散。收斂的充分條件！注意: 一般項(xiàng)極限為零是級(jí)數(shù)收斂的必要條件， 但不是充分條件！收斂。思考題:1.為什么? 2. 判定無窮級(jí)數(shù) 的斂散性。判別下列常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性: (1) (2)用定

4、義(部分和數(shù)列)很難判定級(jí)數(shù)的斂散性.第八章第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂法三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判斂法（重點(diǎn)?。┮弧⒄?xiàng)級(jí)數(shù)及其判斂法定義:則稱該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).定理1：正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂即1.比較判別法 設(shè) 和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 則有如下結(jié)論：定理2：(1) 如果級(jí)數(shù) 收斂，則級(jí)數(shù) 必收斂。(2) 如果級(jí)數(shù) 發(fā)散，則級(jí)數(shù) 必發(fā)散。（大的收斂，小的必收斂）（小的發(fā)散，大的必發(fā)散）證明: . 例1. 判別級(jí)數(shù) 的斂散性解：而 是收斂的，由比較判別法知： 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂。放大 該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),(2) 解:判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 .練習(xí):(1) 解:收斂;收斂;解

5、由圖可知:記住此結(jié)論由P級(jí)數(shù)可明顯看到：正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂取決于其一般項(xiàng)趨于0的快慢程度！（即速度）這正是比較判別法的本質(zhì)!解：縮小 注意: 估計(jì)其為收斂時(shí),則將一般項(xiàng)放大.估計(jì)其為發(fā)散時(shí),則將一般項(xiàng)縮小.但放大與縮小都要適當(dāng)!.放縮法用比較判別法： （一般形式） （1）由觀察初步估計(jì)級(jí)數(shù)的斂散性； （2）對(duì)一般項(xiàng)進(jìn)行放縮。說明：一般項(xiàng)的“放縮”是比較麻煩的！ 所以需對(duì)比較判別法進(jìn)行改進(jìn)。后面引入可避免“放縮”過程的 比較判別法的極限形式。完補(bǔ)充：重要參考級(jí)數(shù): 幾何級(jí)數(shù), P -級(jí)數(shù), 調(diào)和級(jí)數(shù). 1. 由于無窮級(jí)數(shù)有限項(xiàng)的變化不改變其斂散性。故定理2的條件：沒必要從第一項(xiàng)開始成立，即可改為：

6、關(guān)于定理?xiàng)l件的進(jìn)一步討論: 2. 根據(jù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，條件 沒必要這么嚴(yán)格，也可有所改動(dòng)。即可改為：(N為自然數(shù)) 設(shè) 和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且可找到正數(shù) k 和自然數(shù) N，推論1：(1) 如果級(jí)數(shù) 收斂，則級(jí)數(shù) 收斂。(2) 如果級(jí)數(shù) 發(fā)散，則級(jí)數(shù) 發(fā)散。按上述討論，改變后的定理2：（比較判別法的一般形式）大的收斂，小的必收斂。小的發(fā)散，大的必發(fā)散。思考題: 3. 判定無窮級(jí)數(shù) 的斂散性。另解：（見教材P218，例5）例4 判定常數(shù)無窮級(jí)數(shù)斂散性的方法與步驟：（目前）1. 一般項(xiàng)的極限是否為0。2. 若一般項(xiàng)的極限為0，看是否可利用已知級(jí)數(shù)和性質(zhì)來處理。 否則，處理部分和 ，通過代數(shù)恒等變形等方法注意：大多數(shù)情況下，求部分和的函數(shù)表達(dá)式非常困難 故需另尋判斂法。得到