南京備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)(大題培優(yōu)易錯試卷)

1、一、旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1. (1)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,過點0作直線EF_LBD,交 AD于點E,交BC于點F,連接BE、DF,且BE平分N ABD.求證：四邊形BFDE是菱形：直接寫出NEBF的度數(shù)：把中菱形BFDE進行分離研究，如圖，點G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連 接GD, H為GD的中點，連接FH并延長，交ED于點J,連接IJ、IH、IF、IG.試探究線段 IH與FH之間滿足的關(guān)系，并說明理由：把中矩形ABCD進行特殊化探究，如圖，當(dāng)矩形ABCD滿足AB=AD時，點E是對角 線AC上一點，連接DE、EF、DF,使 DEF是

2、等腰直角三角形，DF交AC于點G.請直接寫 出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)詳見解析：60. (2) IH=y/3FH; (3) EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】(1)由 DOE合 8OF,推出0=0匕/08 = 0。，推出四邊形E8FD是平行四邊形， 再證明EB=ED即可.先證明N 480=2/4)8,推出N 4)8 = 30。，延長即可解決問題.IH=FH-只要證明是等邊三角形即可.(3)結(jié)論：EG2=AG2+CE2.如圖3中，將 A0G繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到 DCM,先證 明 DEG DEM,再證明 ECM是直角三角形即可解決問題.【詳解】(1)證

3、明：如圖1中，四邊形48co是矩形,/. Dll BC, OB=OD,：.Z EDO = N FBO,& DOE 80F 中，/EDO=/FBOOD=OBNEOD=/BOF， OOE合 BOF,：.EO=OF9 V OB=OD.：.四邊形EBFD是平行四邊形，EFBD. O8=OD,EB=ED,四邊形EBFD是菱形.; 8E平分N ABD., N ABE=N EBD,EB=ED,：.Z 8D = Z EDB,：.Z ABD=2N 408,N ABD+N ADB=90NAD8=30, NABD=60,/. Z ABE=A EBO=N OBF= 30：.Z EBF= 60.(2)結(jié)論：IH= 73

4、 FH.理由：如圖2中，延長8E到M,使得EM=E/,連接MJ.:四邊形EBFD是菱形,Z 8=60%. EB=BF=ED, DEW BF, 4JDH=4 FGH,在 DH/A GHF 中，ZDHG=ZGHF DH=GH ,ZJDH=ZFGH: & DH攔 GHF,：.DJ=FG. JH=HF9：.EJ=BG=EM=BI,：.BE=IM=BF,Z MEJ=N 8 = 60, M日是等邊三角形，. MJ=EM=NI, Z M=Z 8=60 在48/1和仆MJI中，BI=MJ/B=/M ,BF=IM .: & B/a mji,：.IJ=IF, Z BFI=N MU, *. HJ=HF,：.IHJF

5、, Z BFI+N 8/5=120,J Z MIJ+N 8/F=120,/. NF=60, F是等邊三角形,在 RtZUHF 中,/ Z IHF=90 N /田=60,/. Z F/H=30,/. IH=y/3FH.(3)結(jié)論：EG2=AG2CE2.理由：如圖3中，將aADG繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到 DCM,.4任。四點共圓，/. Z EDF=N D4E=45, Z 4OC=90, N4DF+N EOC=45,N ADF=N CDM,：.Z CDM+Z CDE=45=Z EDG,在仆DEM和4 DEG中，DE=DENEDG=/EDM ,DG=DM .: & DEG 4 DEM,：.GE=EM

6、,Z DCM=N D4G=N 48=45, AG=CM.：.Z ECM=90：.EC2-CM2 = EM2.I EG=EM, AG=CMf：.GE2=AG2+CE2.【點睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定 和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會轉(zhuǎn) 化的思想思考問題.2.請認真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題:（1）探究1：如圖1,在等腰直角三角形A8C中，NAC8 = 9（y，BC = a,將邊A8繞點8 順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段8D,連接CD求證：BCD的面積為?，/.（提示：過點。作8c2邊上的高

7、OE,可證ABCw &BDE）（2）探究2：如圖2,在一般的中，NAC3 = 90，BC = a,將邊八8繞點8順 時針旋轉(zhuǎn)90得到線段8D,連接CD請用含。的式子表示8CQ的面積，并說明理由.（3）探究3：如圖3,在等腰三角形48c中，A3 = AC, BC = a,將邊A8繞點8順時針 旋轉(zhuǎn)90得到線段BD,連接CD試探究用含。的式子表示BCZ）的面積，要有探究過 程.【答案】（1）詳見解析：（2） 8CQ的而積為1理由詳見解析；（3） 38的而 2積為.4【解析】【分析】（1）如圖1,過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E,由垂直的性質(zhì)就可以得出 ABCw aBDE,就有DE = B

8、C = a.進而由三角形的而積公式得出結(jié)論；（2）如圖2,過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E,由垂直的性質(zhì)就可以得出ABCw aBDE,就有DE = BC = a.進而由三角形的而積公式得出結(jié)論；（3）如圖3,過點A作AF_LBC與F,過點D作DE_LBC的延長線于點E,由等腰三角形 的性質(zhì)可以得出BF = gBC,由條件可以得出.ArBw zBED就可以得出BF=DE,由 三角形的面積公式就可以得出結(jié)論.【詳解】(1)如圖1，過點D作DELCB交CB的延長線于E, /BED = NACB = 90，由旋轉(zhuǎn)知，AB = AD, /ABD = 90 , /. NABC + BE = 90

9、 ,NA + /ABC = 90， NN = DBE , 在ABC和.BDE中，ZCB = /BED 在aAFB和BED中， NAFB = /E AFAB = NEBD ,AB = BD .AFB2 aBED(AAS),BF = DE = a, 2vS Kr. =iBC-DE = lia-a = -!-a2,BCD 22 24nBCD的面積為? a?.4【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性 質(zhì)、三角形的面枳等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握和靈活運用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.3.平而上，R3 ABC與直徑為CE的半圓0如

10、圖1擺放，Z B = 90, AC=2CE = m, BC =n,半圓O交BC邊于點D,將半圓。繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點D隨半圓O旋轉(zhuǎn)且Z ECD始終等于N ACB,旋轉(zhuǎn)角記為a (0a180)(2)試判斷：旋轉(zhuǎn)過程中也的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明： AE(3)若m = 10, n = 8,當(dāng)a = N ACB時，求線段BD的長：(4)若m = 6, n=4當(dāng)半圓。旋轉(zhuǎn)至與 ABC的邊相切時，直接寫出線段BD的 長.【答案】(1)90, g； (2)無變化；(3) U*： (4) BD=2jfU 或獨三.253【解析】r 17試題分析：(1)根據(jù)直徑的性質(zhì)，由。日I 48得= 即

11、可解決問題.求出 CB CA8D、即可解決問題.(2)只要證明 ACE- BCD即可.(3)求出A8、AE,利用88即可解決問題.(4)分類討論：如圖5中，當(dāng)a=90。時，半圓與47相切，如圖6中，當(dāng) a=90+N4CB時，半圓與8c相切，分別求出8。即可.試題解析：(1)解：如圖1中，當(dāng)a=0時，連接則 TOC o 1-5 h z 。oCE CD 111 Z CDE=90. / Z CDE=Z 8=90, /. DEW AB,：. =-.BC=n9 ：. CD=-ll .故答 AC CB 22案為 90。， n.2 HYPERLINK l bookmark0 o Current Docume

12、nt 33b如圖 2 中，當(dāng) a=180時，BD=BC+CD=-n, AE=ACCE=-m,：. =.故答案為22AE m(2)如圖 3 中，： NACB=N DCE, ：. Z ACE=A BCD. CD BC nCE AC m, A ACE- BCD,BD _ BCAE AC m（3）如圖 4 中，當(dāng) a=N4CB 時.在 48C 中，：4C=10, 8c=8,/. AB=yjC2-BC2 =6-在 R3 48E 中，:48=6, 8E=BC-CE=3，iBO 8c/. AEylAB2 + BE2 = 762 +32 =3 75 ,由（2）可知 4CE 8CD,.二 弁=千AlL ACBD

13、 8-37510 *8。二上叵.故答案為心叵.（4） / m=6, *4忘，CE=3, CD=2 日 AB= yjcABC =2* 如圖 5 中，當(dāng) a=90。 時，半圓與 AC 相切.在 RSD8c 中，BD= JbC? + CD? = J（4回 + （2應(yīng)）2 =2 曬 如圖6中，當(dāng)a=9（T+N4C8時，半圓與8c相切，作EM于 M.NM=NC8M=N8CE=90,.,.四邊形8CEM是矩形，.,.BM=EC = 3, ME = B ：.AM=S, AE= Jam2 + ME? =，由（2）可知 = 21, BD= .AE 33故答案為2M或迎三.點睛：本題考查了圓的有關(guān)知識，相似三角形

14、的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，正確畫出 圖形是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會分類討論的思想，本題綜合性比較強，屬于中考壓軸題.4.已知正方形48C。中，E為對角線8D上一點，過E點作EFJL8。交8c于F,連接OF, G 為DF中點，連接EG, CG.(1)求證：EG=CG； 將圖中4 8EF繞8點逆時針旋轉(zhuǎn)45。,如圖所示，取DF中點G,連接EG,CG.問中的 結(jié)論是否仍然成立?若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)將圖中4 8EF繞8點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是 否仍然成立?通過觀察你還能得出什么結(jié)論(均不要求證明).【答案】解：(1)CG=EG(1)中結(jié)

15、論沒有發(fā)生變化,即EG二CG.證明：連接AG,過G點作MNJLAD于M,與EF的延長線交于N點.在a DAG與a DCG中，AD=CD, Z ADG=Z CDG, DG=DG, DAG合 DCG./. AG=CG.在a DMG與4 FNG中，Z DGM=Z FGN, FG=DG, Z MDG=Z NFG,/. DMG2 FNG.MG=NG在矩形AENM中,AM=EN.在 RtA AMG 與 RtA ENG 中，AM=EN, MG=NG,/. AMG合 ENG./. AG=EGJ EG=CG.(1)中的結(jié)論仍然成立.【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=E

16、G.（2）結(jié)論仍然成立，連接AG,過G點作MN_LAD于M,與EF的延長線交于N點：再證明仆DAG合 DCG,得出AG=CG：再證出 DMG2 FNG,得至lj MG=NG：再證明 AMG ENG,得出AG=EG；最后證出CG=EG.（3）結(jié)論依然成立.還知道EGJ_CG;試題解析：解：（1）證明：在RS FCD中，.G為DF的中點，:.CG=-FD ,2同理，在 RtA DEF 中，EG = ：FD , CG=EG；（2） （1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG；連接AG,過G點作MNLAD于M,與EF的延長線交于N點，如圖所示:在 DAG與aDCG中，TAD=CD, Z ADG=Z CDG,

17、DC=DC, /. DAG合 DCG,/. AG=CG,在aDMG與 FNG中，N DGM二N FGN, DG=FG, N MDG=N NFG,. DMGW FNG, MG二NG,在矩形AENM中,AM=EN.，在 RtA AMG 與 RtA ENG 中，AM=EN, MG=NG,/. AMG級 a ENG,/. AG=EG,/. EG=CG,(3) (1)中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG且EGJ_CG。過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N,如圖 所示：由于G為FD中點，易證4CDG級4MFG,得到CD二FM,又因為 BE=EF,易證NEFM:NEBC,

18、則 EFM合 EBC, Z FEM=Z BEC, EM=ECZ FEC+Z BEC=90,/. Z FEC+Z FEM=90,即N MEC=90%MEC是等腰直角三角形，G為CM中點,EG=CG, EGCGO【點睛】本題解題關(guān)鍵是作出輔助線，且利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大。5.如圖，在Q48CD 中，A8=10cm, 8c=4cm, N BCD=120。, CE BCD AB E. 點P從A點出發(fā)，沿48方向以Icm/s的速度運動，連接CP,將 PCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn) 60。，使CE與CB重合，得到QCB,連接PQ.(1)求證：4PCQ是

19、等邊三角形：(2)如圖，當(dāng)點P在線段E8上運動時，APSQ的周長是否存在最小值？若存在，求出APSQ周長的最小值；若不存在，請說明理由：(3)如圖，當(dāng)點P在射線AM上運動時，是否存在以點P、B、Q為頂點的直角三角 形？若存在，求出此時t的值：若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析：（2）存在，理由見解析：（3） t為2s或者14s.【解析】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明 PCEW QCB,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三 角形的判定證明即可：（2）利用平行四邊形的性質(zhì)證得 BCE為等邊三角形，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 PBQ的周長為4+CP,然后垂線段最短可由直角三角形的性質(zhì)求解

20、即可；（3）根據(jù)點的移動的距離，分類討論求解即可.詳解：（1）二旋轉(zhuǎn): & PCE合 & QCB.CP=CQ, NPCE ;NQCB,/ Z BCD=120 CE 平分NBCD,/. Z PCQ=60,Z PCE +Z QCE=Z QCB+Z QCE=60%“PCQ為等邊三角形.（2）存在,/ CE 平分N BCD,. Z BCE=60,在平行四邊形ABCD中，,ABH CD, Z ABC=180 - 120o=60. BCE為等邊三角形. BE=CB=4.1旋轉(zhuǎn)a PCE級& QCB, EP=BQ,Ca pbq=pb+bq+pq=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CP.CPJ_AB時， PB

21、Q周長最小當(dāng) CP JLAB 時，CP=BCsin60= 2c/. a PBQ周長最小為4+2（3）當(dāng)點B與點P重合時，P,B,Q不能構(gòu)成三角形當(dāng)0V6時，由旋轉(zhuǎn)可知，Z CPE=Z CQB,Z CPQ=Z CPB+Z BPQ=60則：N BPQ+N CQB=60,又 Z QPB+Z PQC+Z CQB+N PBQ=180Z CBQ=180o-60o-60o=60. Z QBP=60% Z BPQ所以 AP=AE-EP=6-4=2所以 t = 2+l = 2s當(dāng)6ct90。，所以不存在當(dāng)t10時，由旋轉(zhuǎn)得：Z PBQ=60由（1）得NCPQ=60。. Z BPQ=Z CPQ+Z BPC=600

22、+N BPC,而N BPC0,/. Z BPQ60/. Z BPQ=90 從而NBCP=30,. BP=BC=4所以 AP二 14cm所以t=14s綜上所述：t為2s或者14s時，符合題意。點睛：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)圖形變化的應(yīng)用，結(jié)合平行四邊形、等邊三角形、全等三角形 的判定與性質(zhì)，進行解答即可，注意分類討論思想的應(yīng)用，比較困難.6.在AAOB中，C, D分別是OA, OB邊上的點，將 OCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到 0CD.（1）如圖1,若NAOB=90。，OA=OB, C, D分別為OA, OB的中點，證明：AOBD，； ACUBD：（2）如圖2,若 AOB為任意三角形且NAOB=B, CDII

23、 AB, AC與BD交于點E,猜想 NAEB=8是否成立？請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）成立，理由見解析【解析】試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OU, OD=OD, Z AOC=Z BOD證出OC=OD由SAS證明 AOC經(jīng) BOD得出對應(yīng)邊相等即可:由全等三角形的性質(zhì)得出N OAU=N OBA,又由對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得出Z BEA=90,即可得出結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OU, OD=ODS Z AOC=Z BODS由平行線得出比例式OC OD0Cl OA,得出 B = y 證明 AOC8C=3,即可得到結(jié)論：（2）根據(jù)兇8c是等高底三角形，8c是等底，

24、得至ljAD=8C,再由A/T8c與ZL48C關(guān)于 直線8c對稱，得到N4DC=90,由重心的性質(zhì)，得至lj 8c=280.設(shè)8D=x,則4D=8C=2x, CD=3x ,由勾股定理得4C=JT?x,即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況討論即可：當(dāng)A8=Jl8C時，再分兩種情況討論；當(dāng)AC=& 8c時，再分兩種情況討論即可.詳解：（1）是.理由如下：如圖1，過點A作A。，直線CB于點D, A4DC為直角三角形，Z ADC=90.1丁 NACB=300, 46, Z. 4。二 一心3,2/. 4。=8c=3,即&48C是等高底三角形.(2)如圖2, / M8C是“等高底”三角形,8c是“等底“，.AD

25、=8C, A48c 與 M8C 關(guān)于直線 8c 對稱，/. AADC=90.丁點8是A44C的重心,BC=2BD.設(shè) BD=xf 貝I AD=BC=2x. ：. CD=3x , 由勾股定理得47= JfJx,AC _ yfl3x _ V13 = = BC 2x 2(3)當(dāng) 48=8c 時，I .如圖3,作AE_L于點& DFJ_4C于點F.“等高底M8C的等底”為8C, /1/2,/i與，2之間的距離為2, AB= 72 8C,?. BC=AE=2. AB=2 應(yīng),.8E=2,即EC=4, 4C= 26.V M8C繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到A/VBC,./8G45。. 設(shè) DF=CF=x

26、 .df AE 1/1/2, Z 4CE=N DAF,：.=一,即 AF=2x.AF CE 22AC=3x=2下,可得 x=/5 ,CD= JJx：73II.如圖4,此時A48c是等腰直角三角形，,/ MBC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到M B C, MCD是等腰直角三角形，c。二&q2vL/1Z za c 1M4.當(dāng)JJ8C時，I.如圖5,此時ABC是等腰直角三角形.,/ MBC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到A/T BC,.ACJJi, /. CD=AB=BC=2.處B C 1IB5n.如圖6,作AEJJi于點&貝IJAE=8C.4C=&8C=&4, /. Z ACE=n5：.LABC繞

27、點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到LA BC時, 點A在直線A上，.AGI/2,即直線AC與/2無交點.綜上所述：CD的值為工加，2加，2.點睛：本題是幾何變換-旋轉(zhuǎn)綜合題.考查了重心的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及閱讀 理解能力.解題的關(guān)鍵是對新概念”等高底三角形的理解.8.如圖，在平面直角坐標系中，0為坐標原點，點A的坐標為（5, 0）,菱形OABC的頂點B, C在第一象限，tanNAOC=一,將菱形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角aAOC)3得到菱形FADE (點0的對應(yīng)點為點F) , EF與0C交于點G,連結(jié)AG.(1)求點B的坐標；(2)當(dāng)0G=4時，求AG的長：(3)求證：GA平分NOGE：(4)連結(jié)BD并延長交X軸于點P,當(dāng)點P的坐標為(12, 0)時，求點G的坐標.【答案】4);而：(3) (2二).7 7【解析】 試題分析：如圖1，過點B作BHJ_x軸于點H,由已知可得NBAHNCOA,在RSAB