統(tǒng)計(jì)專(zhuān)塊復(fù)習(xí)

1、統(tǒng)計(jì)專(zhuān)塊復(fù)習(xí)排列與組合1.排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)/、同兀素中取出按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同兀素中取出 m個(gè)兀素的一個(gè)排列組合的m(m n)個(gè)兀素合成一組，叫做從 n個(gè)不向兀素中取出 m個(gè)兀素的一個(gè)組合定義2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(mn, m, nC N )個(gè)兒素的所用/、同排列的個(gè)數(shù)從n個(gè)不向兀素中取出m(m/xD. j或 4x版c 1 . . 一一一 .(2)右x2 n的展開(kāi)式中含 x的項(xiàng)為第6項(xiàng)，設(shè)(1 3x)n= a0+ax+a2x2+ anxn,則 xa1 + a2 + an的值為.(3)若(a + x)(1 +

2、x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次哥項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a =.(2019 包頭模擬)已知(2x1)5 = a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a,則 |a0|+|a”+ |a5| TOC o 1-5 h z =()A.1B.243C.121D.122.若(x+2+m)9= ao+a(x+1)+a2(x+1)2+ a9(x+1)9,且(ao+a2+ a8)2一(a1 + a3121,則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系+ a9)2=39,則實(shí)數(shù)m的值為.已知(1+3x)n的展開(kāi)式中，后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于數(shù)最大白項(xiàng)為.考點(diǎn)三二項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用典例精析設(shè) aCZ,且 0Wav13,若 512 018 +a

3、 能被 13整除，則 a=()A.0B.1C.11D.121.使得多項(xiàng)式81x4 + 108x3+ 54x2+ 12x+ 1能被5整除的最小自然數(shù) 乂為（）A.1B.2C.3D.4古典概型與幾何概型考點(diǎn)一古典概型典例精析（1）（2018全國(guó)卷n ）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，如30 = 7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）1A.丘B(yǎng).114C.1151 D.18（2）（2019武漢調(diào)研）將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次,得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a和b,則方程ax2+ bx+

4、1 = 0有實(shí)數(shù)解的概率是（7A.3619C.365D.18考點(diǎn)二幾何概型類(lèi)型（一）與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型例1 （2019濮陽(yáng)模擬）在6,9內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù) m,設(shè) f(x) = x2+ mx + m,則函數(shù) f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)的概率等于（2A.行11D/類(lèi)型（二）與面積有關(guān)的幾何概型個(gè)正六邊形， 若在正六邊形內(nèi)任例2 （1）（2018濰坊*II擬）如圖，六邊形ABCDEF是取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在圖中陰影部分的概率是（2）（2019洛陽(yáng)聯(lián)考）如圖，圓Cx軸圍成的區(qū)域記為M（圖中陰影部4）:x2+y2= /內(nèi)的正弦曲線 y=sin x與分）,隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A,則點(diǎn)/八A落在區(qū)域M內(nèi)的概

5、率是（）A.4B.4兀兀 y-一前n丁 ?C.類(lèi)型（三）與體積有關(guān)的幾何概型例3已知在四棱錐 P-ABCD中,PA，底面 ABCD,底面 ABCD是正方形，RA=AB =2,現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn) 2,O,則四棱錐 O -ABCD的體積不小于4的概率為3類(lèi)型（四）與角度有關(guān)的幾何概型例4如圖，四邊形 ABCD為矩形，AB=J3, BC=1,以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧 CF,在/ DAB內(nèi)任作射線 AP,則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為離散型隨機(jī)變量及其分布列3.常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布列（1）兩點(diǎn)分布列X01P1 pp若隨機(jī)變量X的分布列具有左表的形式，則稱(chēng) X服從兩點(diǎn)

6、分布？，并稱(chēng)p=PX=1為成功概率.（2）超幾何分布列.在含有M件次品的k n kN件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P（X=k）=CMCN M,k=0,1,2,，m,其中m =_mm,.M 七 一n 一吁且.nW_N，_M .N.,.一一 n,.M.一N _N_.PcMcN 1 0AcMcN MCmCni-mCnCnCn考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)1.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為則q的值為(A.12.離散型隨機(jī)變量 X15 則p 2x0).p A(2)條件概率的性質(zhì)非負(fù)性：0WP(B|A)W 1 ；可加性：如果 B和C是兩個(gè)互斥事件，則 P(B U C|A)= P(BA)

7、+ P(C|A).相互獨(dú)立事件(1)對(duì)于事件A, B,若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱(chēng)事件 A, B是相互 獨(dú)立事件.(2)若P(AB) = P(A)P(B),則A與B相互獨(dú)立.(3)若A與B相互獨(dú)立，則 A與B, A與B, A與B也都相互獨(dú)立.(4)若A與B相互獨(dú)立，則 P(B|A)= P(B),P(AB)= P(B|A)P(A) = P(A)P(B).一般地，如果事件 A1, A2,，An(n2, nCN*)相互獨(dú)立，那么這 n個(gè)事件同時(shí)發(fā) 生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2An) = P(A1)P(A2)P(An).互斥事件與相互獨(dú)立事件的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)(1)相

8、同點(diǎn)：二者都是描述兩個(gè)事件間的關(guān)系；(2)不同點(diǎn)：互斥事件強(qiáng)調(diào)兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，即 P(AB) = 0,相互獨(dú)立事件則強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：每次試驗(yàn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生 (2)二項(xiàng)分布：一般地，在 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件 A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗(yàn) 中事件A發(fā)生的概率為 p,則事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=cnpk(1 p)k, k = 0,1,2,

9、，n,則稱(chēng)隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布，記作 XB(n, p),并稱(chēng)p為成功概率.判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)：，1是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；，2隨機(jī)變量是否為某事件在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) .考點(diǎn)一條件概率典例精析(1)(2019合肥*II擬)將三顆骰子各擲一次，記事件 A為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”，B為“至少出現(xiàn)一個(gè) 6點(diǎn)”，則條件概率 P(A|B)=, P(B|A)=.(2)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件 A= 取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件 B =取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則 P(BR) =.考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件的概率典例精析(1)設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使

10、用某種設(shè)備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立，則同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率為(2)某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8,且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率為 .變式發(fā)散.(變?cè)O(shè)問(wèn))保持本例(2)條件不變，則該選手恰好回答了5個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率為.(變?cè)O(shè)問(wèn))保持本例(2)條件不變，則該選手回答了 5個(gè)問(wèn)題(5個(gè)問(wèn)題必須全部回答)就結(jié) 束的概率為.考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布典例精析九節(jié)蝦的真身是虎斑

11、蝦，蝦身上有一深一淺的橫向紋路，煮熟后有明顯的九 節(jié)白色花紋，肉味鮮美.某酒店購(gòu)進(jìn)一批九節(jié)蝦，并隨機(jī)抽取了40只統(tǒng)計(jì)質(zhì)量，得到的結(jié)果如下表所示：質(zhì)里/g5,15)15,25)25,35)35,45)45,55數(shù)量4121185(1)若購(gòu)進(jìn)這批九節(jié)蝦 35 000 g,且同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，試估計(jì)這批九節(jié)蝦的數(shù)量(所得結(jié)果保留整數(shù))；(2)以頻率估計(jì)概率，若在本次購(gòu)買(mǎi)的九節(jié)蝦中隨機(jī)挑選4只，記質(zhì)量在5,25)間的九節(jié)蝦的數(shù)量為X,求X的分布列.離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布、基礎(chǔ)知識(shí)1.均值1期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.,2 E X是一個(gè)實(shí)數(shù)，由 X的分布

12、列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，X是可變的，可取不同值，而 EX是不變的，它描述 X取值的平均狀態(tài).,3 E X = Xipi+ X2P2+xnpn直接給出了 E X的求法，即隨機(jī)變量取值與 相應(yīng)概率分別相乘后相加.方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：XX1X2XiXnPP1P2PiPnn則(Xi E(X)2描述了 Xi(i=1,2,，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度.而D(X) =(xi-E(X)2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.稱(chēng)D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱(chēng)其算術(shù)平方根Vd X為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.1隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)

13、定與波動(dòng)、集中與離散的程度.D X越大，表明平均偏離程度越大，X的取值越分散.反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近.,2方差也是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定是非負(fù).兩個(gè)特殊分布的期望與方差分布期望力差兩點(diǎn)分布E(X)=pD(X)=p(1-p)二項(xiàng)分布E(X) = npD(X)=np(1-p).正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線的特點(diǎn)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=科對(duì)稱(chēng)；1曲線在x=科處達(dá)到峰值 一產(chǎn)；oy 2兀曲線與x軸之間的面積為1;當(dāng)b一定時(shí)，曲線的位置由科確定，曲線隨著 科的變化而沿x軸平移；當(dāng)科一定時(shí)，曲線的形狀由(T確定，b越小，曲線越“瘦高”，表示總

14、體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)P(口(KXW 葉 3 = 0.682 6; P(廠 2 o XW 葉 2 6=0.954 4; P(廠 3o X 葉 3 6=0.997 4.二、常用結(jié)論若丫=2*+腦 其中a, b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則(1)E(k) = k, D(k)=0,其中 k 為常數(shù)；(2)E(aX+ b)= aE(X)+b, D(aX + b) = a2D(X);(3)E(X + X2)=E(X1)+ E(X2);(4)D(X)=E(X2) (E(X)2;(5)若 X1, X2相互獨(dú)立，則 E(X1 X2)=E(X1) E(X

15、2).(6)若XN(w, ct),則X的均值與方差分別為：E(X)=叢D(X)=(2.考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值與方差典例精析為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷(xiāo)活動(dòng)滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為 1；1小時(shí)以上且不超過(guò) 2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為 士女;4 62 3兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò) 3小時(shí).(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量乙(單位：元)，求E的分布列

16、與數(shù)學(xué)期望 E(E),方差 D(E).考點(diǎn)二二項(xiàng)分布的均值與方差典例精析(2019成都檢測(cè))某部門(mén)為了解一企業(yè)在生產(chǎn)過(guò)程中的用水量情況，對(duì)其每天 的用水量做了記錄， 得到了大量該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從這些統(tǒng)計(jì) 7 3 1數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖(單位：噸).一o J o V 7若用水量不低于95噸，則稱(chēng)這一天的用水量超標(biāo) 9 5 7 8 9(1)從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取 3個(gè)，求至多有1天的用水量超標(biāo)的概率；(2)以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，估計(jì)該企業(yè)未來(lái)3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，記隨機(jī)變量 X為未來(lái)這3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，求 X的分布列、數(shù)學(xué)期望 和方差.考點(diǎn)三均值與方差在決策中的應(yīng)用典例精析(2018全國(guó)卷I )某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱 200件，每一箱產(chǎn)品在交 付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為 p(0p )P(Y 此B.P(XW