【2020高考數(shù)學】三角形中的最值問題解題指導一含答案

1、【2020年高考數(shù)學】三角形中的最值問題解題指導(一)第一篇 三角函數(shù)與解三角形 專題06三角形中的最值問題類型對應典例求三角形中角相關(guān)的最值問題典例1求三角形中 邊相關(guān)的最值問題典例2求三角形中面積相關(guān)的最值問題典例3求三角形中周長相關(guān)的最值問題典例4平面圖形中三角形面積的最值問題典例5求三角形中相關(guān)的 混合型的最值問題典例6求三角形中線段的最值問題典例7cosB cosC【典例1】【湖南省益陽市、湘潭市 2020屆高三9月調(diào)研考試】已知銳角三角形 ABC中，內(nèi)角A, B,C的對2ab邊分別為a,b,c,且三一b c(1)求角C的大小.(2)求函數(shù)y sin A sin B的值域.【思路引導

2、】一,2a b coSB_(1)由 利用正弦定理得 2sin AcosC sin B cosC sinCcosB ,根據(jù)兩角和的正弦公式及誘c cosC1導公式可得cosC 一，可求出C的值；(2)對函數(shù)的關(guān)系式進行恒等變換，利用兩角和與差的正弦公式及 2輔助角公式把函數(shù)的關(guān)系式變形成同一個角正弦型函數(shù)，進一步利用定義域求出函數(shù)的值域1 / 26【典例2】【2020屆海南省高三第二次聯(lián)合考試】 在ABC中，角A, B , C所對的邊分別是a , b , c ,且2a c 2bcosC .(1)求 sin A2c B 的值；(2)若b-73 ,求c a的取值范圍.【思路引導】(1)利用正弦定理邊

3、化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得cosB,進而求得B和A C ,代入求得結(jié)果；(2)利用正弦定理可將 c a表示為2sinC 2sin A,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為2sin C ,根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合C的范圍可求得結(jié)果.32 / 26【典例3】【山西省平遙中學 2020屆高三上學期11月質(zhì)檢】已知小BC的內(nèi)角A, B, C滿足sin Asin Bsin Csin Csin Bsin A sin B sin C(1)求角A；(2)若AABC的外接圓半徑為1,求BBC的面積S的最大值.【思路引導】(1)利用正弦定理將角化為邊可得a2 b2 c2 bc ,再由余弦

4、定理即可得A；a(2)由正弦te理 2r,可得a ,由基本不等式利用余弦te理可得b c bc 2bc bc bc ,從sinA1 . 一 一.而由S bscinA可得解.23 / 26【典例4】【2020屆河北省保定市高三上學期期末】urr已知 ABC的三個內(nèi)角 A, B, C所對的邊分別為a,b,c,設m (sin B,1 cosB) , n (2,0)._ 2 ur , r , _(1)右B ，求m與n的夾角 ；3(2)若|m1 1, b J3,求 ABC周長的最大值.【思路引導】 TOC o 1-5 h z ,2irirr(1)將B 代入可求得 m.根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算求得mn

5、,由數(shù)量積的定義即可求得 cos3進而得夾角(2)根據(jù) m 11及向量模的坐標表示，可求得b .再由余弦定理可得b2(a c).結(jié)合基本不等式即可求得4a c的最大值，即可求得周長的最大值；或由正弦定理，用角表示出a c,結(jié)合輔助角公式及角的取值范圍，即可求得a c的取值范圍，進而求得周長的最大值.4 / 26【典例5】【2020屆吉林省長春市東北師大附中等六校高三聯(lián)合模擬】如圖，在矩形 ABCD中，AB 1, BCJ3 ,點E、F分別在邊BC、CD上,EAB 06(1)求AE , AF (用表示)；(2)求EAF的面積S的最小值.【思路引導】(1)根據(jù)AB 1 , BC J3,分別在Rt A

6、BE和Rt ADF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出 AE和AF即可；.13S AE AF sin-(2)由條件知23 Q,然后根據(jù) 的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和3 2sin 23性質(zhì)求出S的最小值.5 / 26【典例6】【2020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(一)已知 VABC 中，內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,且(a c)sin C (a b)(sin A sin B).(1)求 B；(2)設b J3, VABC的面積為S,求2s sin2C的最大值.【思路引導】(1)用正弦定理化角為邊后，再用余弦定理可求得角B ;sin2cC的三角函數(shù),(2)用正弦定理把邊用角

7、表示，即a 2sin A, c 2sin C ,這樣2s sin2C acsin B2sin A 2sin C 手 sin2C,又 sinA sin(B C) sin(- C),2s sin2c 就表示為由三角函數(shù)恒等變換化為一個角的一個三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得最大值.6 / 26【典例7】【福建省寧德市2019-2020學年高三上學期第一次質(zhì)量檢查(期末 )ABC的內(nèi)角 A，B , C的對邊分別為a, b, c,且應b c J2a cosC , c 2J2 .(1)求 A;(2)若 ABC為銳角三角形， D為BC中點，求AD的取值范圍.【思路引導】(1)由正弦定理，將式子 72b

8、c J2a cosC中的邊化成角得到cosA ,從而求得A的值； 2(2)由(1)知a 可得C的范圍，再將b表示成關(guān)于tanC的函數(shù)，從而求得b的取值范圍47 / 26【針對訓練】1.1陜西省2019年高三第三次教學質(zhì)量檢測】在 ABC中，a、b、c分別是角 A、B、C的對邊，且(a b c)(a b c) 3ab.(1)求角C的值；(2)若c 2,且 ABC為銳角三角形，求 a b的取值范圍.2.【遼寧省葫蘆島市六校協(xié)作體2019-2020學年高三上學期11月月考】a,b,c分別為VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊.已知a sin A 4sin B 8sin A.(1)若 b 1,A ,求 si

9、n B ;6(2)已知C ,當VABC的面積取得最大值時，求 VABC的周長.33.【2019年云南省師范大學附屬中學高三上學期第一次月考】在 ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足bsin A acos B . 6(1)求角B的大?。?2)若D為AC的中點，且BD 1 ,求S abc的最大值.4.12020屆湖南省常德市高三上學期期末】aABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c已知ccosB bcosC .2cos A(1)求 A;(2)若a J3,求b c的最大值.5.12020屆江西省吉安市高三上學期期末】c cos A),rr在 ABC中，a , b , c分別是角

10、A, B , C的對邊，已知向量m (2cos C, b), n (1,acosC一 r r且 m n.(1)求角C的大小;8 / 26(2)若c擲，求ABC的周長的取值范圍.6.12020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(二 )如圖，在四邊形 ABCD中，A為銳角，2cos Asin( A C) J3sin C 6(1)求 A C ;11(2)設AABD、VCBD的外接圓半徑分別為 r1，R ,若一 一A 2m 恒成立，求實數(shù) m的最小值.DB7.在那BC中，角A, B, C的對邊分別為a,b,c.已知 2(tanA + tanB)=tan AcosBtan Bcos A(1)證明：a+

11、b=2c； (2)求cos C的最小值.【重慶市西南大學附屬中學校2019屆高三上學期第三次月考】1在 ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a , b, c ,已知b acosC - c .2(1)求角A；LUJ皿(2)若AB AC 3,求a的最小值.【吉林省吉林市普通中學 2019-2020學年度高三第二次調(diào)研測】已知 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, A 一,且滿足bcsin 2A 20cos B C 0. 2(1)求ABC的面積S ；c b(2)右a 4S，求一的最大值. b c.【湖南省長沙市瀏陽市第一中學2019-2020學年高三上學期第六次月考】., 一 .

12、A, . C - A、C已知BC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,且tan(asin 2bcos) acos 2222(1)求角B的值；(2)若3BC的面積為3由，設D為邊AC的中點，求線段 BD長的最小值.9 / 26. ABC 中，B 60o, AB 2, ABC 的面積為 23.(1)求 AC ;(2)若D為BC的中點，E,F分別為邊AB, AC上的點(不包括端點)，且 EDF 120，求 DEF面積的最小值.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品【參考答案部分】【典例1】【湖南省益陽市、湘潭市2020屆高三9月調(diào)研考試】 已知銳角三角形ABC中，內(nèi)角A

13、, B,C的對cosB cosC2ab邊分別為a,b,c,且芻一b c(1)求角C的大小.（2）求函數(shù)y sin A sin B的值域.【思路引導】一,2a b cosB_(1)由 利用正弦定理得 2sin AcosC sin BcosC sin C cosB ,根據(jù)兩角和的正弦公式及誘c cosC1 導公式可得cosC ,可求出C的值；(2)對函數(shù)的關(guān)系式進行恒等變換，利用兩角和與差的正弦公式及 2輔助角公式把函數(shù)的關(guān)系式變形成同一個角正弦型函數(shù)，進一步利用定義域求出函數(shù)的值域“,2a b cos B解：（1）由，c cosC利用正弦定理可得 2sin AcosC sin BcosC sin

14、CcosB ,可化為 2sin AcosC sin C B sin A,- TOC o 1-5 h z Q sin A0, cosCQC0, , C.23（2） ysin A sinBsin Asin -A3sin A - cosA -sin A 石sin A 一， 22610 / 26Q A B ,0 A A ,3262A , sin A -3,1 , y 3, , 3 .363622【典例2】【2020屆海南省高三第二次聯(lián)合考試】在ABC中，角A , B, C所對的邊分別是a, b, c ,且2a c 2bcosC .求sin AyC B的值；(2)若b J3,求c a的取值范圍.【思路引

15、導】(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得cosB,進而求得B和A C ,代入求得結(jié)果；(2)利用正弦定理可將 c a表示為2sinC 2sin A,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為2sin C ,根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合C的范圍可求得結(jié)果3解：(1)由正弦定理可得：2sin A sinC 2sin BcosCsin A sin B C2sin B Csin C 2sin B cosC 2cos Bsin C sin C2sin BcosC即 2cosBsinC sinCQC 0,Q B 0,.A C sin 2sinC 0B 一 32sin 3cosB2

16、3(2)由(1)知:sin Ba csin A sinCc 2sin C , a 2sin Ac a 2sin C 2sin A 2sin C 2sin B C 2sin C 2sin BcosC 2cos Bsin C11/262sin C 32sin C . 3 cosC sin C sin C ，,3cosC TOC o 1-5 h z 八一2八八2八Q AC0 CC,一3333 32sin C - 在點，即c a的取值范圍為底點3【典例3】【山西省平遙中學 2020屆高三上學期11月質(zhì)檢】sin Bsin A sin B sin Csin A sin B sin C已知AABC的內(nèi)角A

17、, B, C滿足sin C(1)求角A;(2)若AABC的外接圓半徑為1,求BBC的面積S的最大值.【思路引導】(1)利用正弦定理將角化為邊可得a2 b2 c2 bc ,再由余弦定理即可得A；(2)由正弦定理2R,可得a ,由基本不等式利用余弦定理可得b2 c2 bc 2bc bc bc ,從sinA1而由S - bscinA可得解.2解：(1)設內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為根據(jù)sinA sinB sinCsinCsin BsinA sinB sinC可得a b c b 222 a b c bc,c a b c,222所以 cosA b一c 2bcbc 12bc 2又因為0 A ，所以A

18、. 3(2) -a 2r a 2RsinA 2sin 73,sinA31所以 3 b c bc 2bc bc bc ,所以 S bcsinA 2-3 巫(b c時取等號) 224【典例4】【2020屆河北省保定市高三上學期期末】ur已知 ABC的三個內(nèi)角 A, B, C所對的邊分別為a,b,c,設mr(sin B,1 cosB) , n(2,0).12 / 26,2 ir , r , 一(1)若B ，求m與n的夾角 ；3(2)若|m1 1, b J3,求 ABC周長的最大值【思路引導】421rirr(1)將B代入可求得m.根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算求得mn，由數(shù)量積的定義即可求得cos3進而

19、得夾角 (2)根據(jù) m 11及向量模的坐標表示，可求得b .再由余弦定理可得b2(a c).結(jié)合基本不等式即可求得4a c的最大值，即可求得周長的最大值；或由正弦定理，用角表示出a c,結(jié)合輔助角公式及角的取值范圍，即、3 32，2r，因為 n (2,0),可求得a c的取值范圍，進而求得周長的最大值“ 2解：(1) B ，所以m3ir r m nir 又| m |232、3，|:| 2,ITm一 .U r (2)因為 |m| 1,即 |m| sin B (1 cosB)cos B 1,所以B 一,方法1.由余弦定理得b2322a c 2ac cos B .(a c)24222 a c(a c

20、) 3ac (a c) 3 2即3 (a c),即a c2向，(當且僅當a c時取等號) 4所以 ABC周長的最大值為36.a c b方法2.由正弦定理可知， 2,sin A sin C sin B13 / 26a 2sin A, c 2sin C , A C所以a c 2sinA 2sinA 3sin A,3 cos A 2 3 sin56sin A 6c （點,2石，所以當A 3時,a c取最大值2 J3.所以ABC周長的最大值為【典例5】【2020屆吉林省長春市東北師大附中等六校高三聯(lián)合模擬】如圖，在矩形 ABCD中，AB 1, BCBC、CD 上,FAE 3EAB6（1）求AE , A

21、F （用表示）；(2)求 EAF的面積S的最小值.【思路引導】(1)根據(jù)ABRtABE和Rt ADF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出 AE和AF即可;（2）由條件知1S ，AE2AFsin 一 3性質(zhì)求出s的最小值.解：（1）在 Rt ABE 中,AB在Rt ADF中，AD1 ,所以AEDAF 一22sin 2 一 3cos EAB一 EAB3,然后根據(jù) 的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和1cos14 / 26AFADcos DAF cosS(2)1AE AF sin-4cos cos 一 64cos331 .cos sin2232sin cos 2、3 cos2sin 2因為0- 二時，即當32時,

22、 12【典例.3 cos 2/32sin 232,即屈 2sin36】【2020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學()1(a b)(sin A sin B).sin 2c acsin B sin2C已知VABC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且(a c)sin C(1)求 B；(2)設b 73, VABC的面積為S,求2S sin2C的最大值.【思路引導】(1)用正弦定理化角為邊后，再用余弦定理可求得角(2)用正弦定理把邊用角表示，即 a 2sin A, c 2sin C ,這樣2s2sin A 2sin C 與 sin2C,又 sinA sin(B C) sin( C),

23、2s sin 2c 就表示為 C 的三角函數(shù), 由三角函數(shù)恒等變換化為一個角的一個三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得最大值.解：(1)由正弦定理(a c)c (a b)(a2-2c b ac,22.2由余弦定理cosB ac-2ac(2)由正弦定理sinAcsinCbsin Ba 2sin A, c 2sin C ,2S sin 2C acsin B sin2C15 / 263sin C cosC sin 2C, 3_ 1 一cos2C sin 2c【典例sin 2C 1巡.當且僅當C325，鵬，時等號成立，故最大值為12.327】【福建省寧德市2019-2020學年高三上學期第一次質(zhì)量檢查（

24、期末)1ABC的內(nèi)角 A，B , C的對邊分別為a, b, c,且先b c J2a cosC,c 2V2(1)求 A;（2）若 ABC為銳角三角形， D為BC中點，求AD的取值范圍.【思路引導】（1）由正弦定理，將式子 J2b c J2a cosC中的邊化成角得到cos A 立，2從而求得A的值;（2）由（1）知A 可得C的范圍，再將b表示成關(guān)于tanC的函數(shù)，從而求得 b的取值范圍.4解：(1)因為 b c 屈 cosC,由正弦定理，得 &sinB sinC 72 sin A cosC ,又 sinB sin (A C) sin(A C),所以 sin AcosC cosAsin C) si

25、n C 衣 sinAcosC,所以 2 cos Asin C sin C 0，因為0 C ，所以sin C 0 ,所以cos A搟又0 A，所以A 4（2）由（1）知A 根據(jù)題意得42“ m解得一4c在 ABC中，由正弦定理得 sin Cbsin B所以b2 2sin(C R 2sin C 2cos Csin CsinC2 , tanC因為C（7金），所以tanC （1,），所以b (2,4).16 / 262sin A 2sin C sin2C 2.3 sin Asin C sin 2C 22 .3sin(C B)sin C sin 2C ,3sin2C3_ 3_.3cos2C -sin 2

26、C sin2C uuir 1 uuur uur 因為D為BC中點，所以AD -(AC AB), TOC o 1-5 h z uuir 21 uur uuu 21212所以 AD (AC AB) (b 4b 8) (b 2)1444因為b (2,4),所以AD的取值范圍為(8，M .【針對訓練】1.1陜西省2019年高三第三次教學質(zhì)量檢測】在 ABC中，a、b、c分別是角 A、B、C的對邊，且(a b c)(a b c) 3ab.(1)求角C的值；(2)若c 2,且 ABC為銳角三角形，求 a b的取值范圍.【思路引導】1(1)根據(jù)題意，由余弦定理求得 cosC -,即可求解C角的值；2(2)由

27、正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到a b 4sin A ,再根據(jù) ABC為銳角三角形,6利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解求得一 A 62解：(1)由題意知(ac)(a b c)由余弦定理可知,cosC2-2a b2ab(2)由正弦定理可知,sin Asin Bsin 一 34v3sin A,b -Vssin B 33a b43(sin Asin B)3、3sin Asin2 . 3sin A 2cos A4sin17 / 26又 ABC為銳角三角形,20 B A TOC o 1-5 h z 322則A ，所以2百 4sin A 4,3636綜上a b的取值范圍為(2 J3,4.2.【遼寧

28、省葫蘆島市六校協(xié)作體2019-2020學年高三上學期11月月考】a,b,c分別為VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊.已知a sin A 4sln B8sln A.(1)若 b 1,A 一，求 sin B ； 6(2)已知C ,當VABC的面積取得最大值時，求 VABC的周長. 3【思路引導】(1)根據(jù)正弦定理，將a sinA4sin B8sinA,化角為邊，即可求出a ,再利用正弦定理即可求出sin B ； TOC o 1-5 h z 1 一一 -(2)根據(jù)C 選擇S absinC ,所以當VABC的面積取得最大值時，ab最大，衛(wèi)合(1)中條32件a 4b 8,即可求出ab最大時，對應的a,b的值

29、，再根據(jù)余弦定理求出邊 c ,進而彳#到VABC的周長.解：(1)由 a sin A 4sin B 8sin A,得 a a 4b 8a ,即a 4b 8.因為b 1,所以a 4.上一1由 cin sin B ,得 sin B -.sin86(2)因為 a 4b 8 2,4ab 4Vab ,所以ab 4,當且僅當a 4b 4時，等號成立.1因為 VABC 的面積 S absin C 4 sin 石.23所以當a 4b 4時，VABC的面積取得最大值，此時 c2 42 12 2 4 1 cos- 13,則 c 而，所以VABC的周長為5 而.18 / 263.【2019年云南省師范大學附屬中學高

30、三上學期第一次月考】在 ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足bsin A acos B 一 6(1)求角B的大??；(2)若D為AC的中點，且BD 1 ,求S abc的最大值.【思路引導】(1)利用正弦定理邊角互化思想得出sinB cos B ,再利用兩角差的余弦公式可得出tanB的值,6結(jié)合角B的范圍可得出角 B的大小; uuu ULT uuu(2)由中線向量得出2BD BA BC，將等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律和定義，并結(jié)合解：(1)由正弦定理及ABC面積的最大值.sin Acos B 一 ,6基本不等式得出ac的最大值，再利用三角形的面積公式可得出bsin A

31、 acos B 一 得sin Bsin A6由 A 0,知 sin A0,則 sin B cos B-JcosB21-sin B ,化間得 sin B 23 3cosB , tan B 3 .又B 0,因此,1.一acsin B2(2)如下圖，由S ABCABCuuu又D為AC的中點，則2BDuiTBAuiuBC，等式兩邊平方得4buD2 BuC2uuu uiT2BC BAUU2BA ,3ac，22 uuuuujr22所以 4 a2c22BABCa2c2ac19 / 26則ac 4,當且僅當a c時取等號，因此，ABC的面積最大值為 近 3 由34334.12020屆湖南省常德市高三上學期期末

32、】aABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知ccosB bcosC 2cos A(1)求 A;(2)若aJ3,求b c的最大值.【思路引導】A.，即可求得b c的最大值.(1)根據(jù)正弦定理即正弦的和角公式，將表達式化為角的表達式.即可求得(2)利用正弦定理，表示出b c,結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式及角的取值范圍a解：(1) ; ccosB bcosC 2cos A由正弦定理得sin C cosB sin BcosC從而有sin B C sin A 2cos A1 一sin A 0 , cosA 一，. 0 2a(2)由正弦定理得：sin Asin Absin Bsin A2cos A

33、sin A,2cos A，.二 A 一32 sinCb 2sin B,c 2sin C，則 bc 2 sin B sinC八.-八22sin B 2sin 33sin B x3cosB 2、.3sin B 一 6 八一2-5- 0 B ，一一 B 3666，當B 一時,b c取得最大值2百;35.【2020屆江西省吉安市高三上學期期末】ABC中，a, b, c分別是角A, B, C的對邊,，一 rr已知向量 m (2cos C, b), n (1,acosC ccosA),r r m/ n.(1)求角C的大小;(2)若c 石，求 ABC的周長的取值范圍.20 / 26【思路引導】(1)根據(jù)向量

34、平行列出方程，再利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，然后求出角C的大小;(2)根據(jù)余弦定理求出 a b的取值范圍，再根據(jù)三角形邊的幾何性質(zhì)求出周長的取值范圍r rzn斛：(1)由 m n倚 2acos C 2ccos AcosCb,由正弦定理asin Absin Bcsin C得 2cosC(sin AcosC sinC cos A)即 2cosCsin(A C) sin B ,因為在三角形中sin(A C) sin B 0 ,則cosC 1,又 22o(2)在 ABC中，因c J3,C ，由余弦定理得c1 23C (0,),故 C22a2 b2 ab 3,2即(a b)2 3 ab 3 b ,當且僅當

35、a b時取等號，解得a b 2,2又由三角形性質(zhì)得abcQ,故J3 a b 2 ,則2J3 a b c 2 J3,即 ABC的周長的取值范圍為273,2 百6.12020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(二 )如圖，在四邊形 ABCD中，A為銳角，2cos Asin( A C) J3sin C 6(1)求 A C ;1 m ,一 二三恒成立，求實數(shù)r2 DBm的最小值.21 / 26sinA (A C) sinA (A C)sin(2A C) sinCsinC _3cosC,即 22sin(2AC)1sinC 213 coscsin(2 AC)sin C，因為2A C C .故32A C一

36、.所以 32A C(2) mBD BD2sin2sin Cc A c .22sin A 2sin 32sin A 2 cosA 221 sin A23sin A , 3 cos A273 sin A ，因為 A60, ，故當A 時 2，3sin A 626有最大值2.3所以m 2照,即實數(shù)m的最小值為2萬7.在AABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知 2(tanA +tanB)=tan AcosBtan BcosA(1)證明：a+b=2c;(2)求cos C的最小值.【思路引導】(1)根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可化簡得2(sin AcosB sin B cosA)sin A

37、sin B ,再根據(jù)ABC ，即可得到sin A sinB 2sinC ,利用正弦定理，可作出證明；a b . 、一 一,一 一(2)由(1) c ，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得 cosC的最小值. 2sin A sin B、 sin A sin B解：(1)由題意知，2(),cosA cosBcos A cos B cos A cos B化簡彳導:2(sin AcosB sin BcosA) sin A sin B即 2sin( A B)sin A sin B ,因為 ABC22 / 26所以 sin(A B) sin( C) sin C ,從而sin A sin B 2si

38、n C ,由正弦定理得 a b 2c.a b(2)由(1)知，c ,222 a b、22 ,22 a b ()所以cosCa b c23 b a 11 ,2ab 2ab 8(a b) 4 2當且僅當ab時，等號成立，故 cosC的最小值為1.28.【重慶市西南大學附屬中學校2019屆高三上學期第三次月考】在4ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b, c,已知b acosC(1)求角A；uur uuuu(2)若 AB AC 3 ，求a的最小值.【思路引導】(I)利用正弦定理、誘導公式、兩角和差的三角公式求出cosA的值,可得A的值.c解：(1) VABC 中，b acosC 21，由正弦te

39、理知，sinB sinAcosC -sinC, A B2 . sinB sinA C sinAcosC cosAsinC ,sinAcosCcosAsinC sinAcosC1 -sinC , 2cosAsinC1.八-sinC , 2 cosA -7t2 uuu uuur(2)由及AB AC 3得bc 6 ,所以 a2 b2 c2 2bccosA b26- - 2bc 6 6當且僅當b c時取等號，所以a的最小值為 展0.9.【吉林省吉林市普通中學2019-2020學年度高三第二次調(diào)研測】已知 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, A -,且滿足bcsin 2A 20co

40、s B C 2(1)求ABC的面積Sb一的最大值.c【思路引導】23 / 26(1)由誘導公式和二倍角公式可得bcsin A,從而得三角形面積;(2)由余弦定理得b2c2 2bccosA a2. 一一一，c2bcsin A ,從而可把一 b22-用角A表示出來,由三bc角函數(shù)性質(zhì)求得最大值.解：(1)在ABC中,bcsin 2A 20cos B C0 2bcsin A cos A20cos A 01 A ,cos A21-bcsin A 5 2 a4Sb22bccosA2bcsin A b22bcsin A2bccosA,22b cbc2sin A 2cos A 2 .2 sin A10.A 一時，4 b【湖南省長沙市瀏陽市第一中學2019-2020學年高三上學期第六次月考】A. C . A.已知BC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,且tan(asin 2bcos) 222C acos.2(1)求角B的值;(2)若 小BC的面積為3由，設D為邊AC的中點，求線段 BD長的最小值.【思路引導】A, . C _ A、C(1)根據(jù) tan (asin 2bcos) acos一,化簡可得2222A C .一.,a cos