分析力學思考題解答

1、第五章分析力學思考題解答5.1答:作.用于質(zhì)點上的力在任意虛位移中做的功即為虛功，而虛位移是假想的、 符合約束的、無限小的.即時位置變更，故虛功也是假想的、符合約束的、無限 小的.且與過程無關的功，它與真實的功完全是兩回事.從5w=z匚&r可知:i虛功與選用的坐標系無關，這正是虛功與過程無關的反映；虛功對各虛位移中的 功是線性迭加，虛功對應于虛位移的一次變分.在虛功的計算中應注意：在任意 虛過程中假定隔離保持不變，這是虛位移無限小性的結果.虛功原理給出受約束質(zhì)點系的平衡條件，比靜力學給出的剛體平衡條件有更普遍 的意義；再者，考慮到非慣性系中慣性力的虛功，利用虛功原理還可解決動力學 問題，這是剛

2、體力學的平衡條件無法比擬的；另外，利用虛功原理解理想約束下 的質(zhì)點系的平衡問題時，由于約束反力自動消去，可簡便地球的平衡條件；最后 又有廣義坐標和廣義力的引入得到廣義虛位移原理，使之在非純力學體系也能應 用，增加了其普適性及使用過程中的靈活性.由于虛功方程中不含約束反力.故不 能求出約束反力，這是虛功原理的缺點.但利用虛功原理并不是不能求出約束反 力，一般如下兩種方法：當剛體受到的主動力為已知時，解除某約束或某一方向 的約束代之以約束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘數(shù)法，景觀比較麻煩， 但能同時求出平衡條件和約束反力.5.2答因拉格朗日方程是從虛功原理推出的，而徐公原理只適用于具有理想約 束

3、的力學體系虛功方程中不含約束反力，故拉格朗日方程也只適用于具有理想約 束下的力學體系，氣不含約束力；再者拉格朗日方程是從力學體系動能改變的 觀點討論體系的運動，而約束反作用力不能改變體系的動能，故Oa不含約束反 作用力，最后，幾何約束下的力學體系其廣義坐標數(shù)等于體系的自由度數(shù)，而幾 何約束限制力學體系的自由運動，使其自由度減小，這表明約束反作用力不對應 有獨立的廣義坐標，故Oa不含約束反作用力.這里討論的是完整系的拉格朗日方 程，對受有幾何約束的力學體系既非完整系，則必須借助拉格朗日未定乘數(shù)法對 拉格朗日方程進行修正.廣義坐標市確定質(zhì)點或質(zhì)點系完整的獨立坐標，它不一定是長度，可以是角 度或其他

4、物理量，如面積、體積、電極化強度、磁化強度等.顯然廣義坐標不一 定是長度的量綱.在完整約束下，廣義坐標數(shù)等于力學體系的自由度數(shù)；廣義力 明威力實際上不一定有力的量綱可以是力也可以是力矩或其他物理量，如壓強、 場強等等，廣義力還可以理解為；若讓廣義力對應的廣義坐標作單位值的改變， 且其余廣義坐標不變，則廣義力的數(shù)值等于外力的功由 F -5r =9 5q =8W知，6喝 有功的量綱，據(jù)此關系已知其中一個量i ia aa ai=1a =1的量綱則可得到另一個量的量綱.若qa是長度，則6a 一定是力，若6口是力矩，則 qa 一定是角度，若qa是體積，則6a 一定是壓強等.5.3答pa與qa不一定只相差

5、一個常數(shù)m，這要由問題的性質(zhì)、坐標系的選取 形式及廣義坐標的選用而定。直角坐標系中質(zhì)點的運動動能 t =1 m(x2 +頂2 + z2)，若取y為廣義坐標，則q =寧，而p =多=my = mq， TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 2yyoyy1相差一常數(shù)m，如定軸轉動的剛體的動能T = 216 2，取廣義坐標qa=6，而p =烏=I6, p與q相差一常數(shù)轉動慣量I，又如極坐標系表示質(zhì)點的運 6 0666動動能T = 1 m(r2+,262)，若取q =6 ，有q =9，而p =芻=mr26，二者2a66 06相差一

6、變數(shù)mr 2 ；若取q = r有q = r，而p =0T = mr二者相差一變數(shù)m .在 arr 0r自然坐標系中T = 1 ms2，取q = s，有q = S = v，而p = ms，二者相差一變2aSS數(shù)m .從以上各例可看出：只有在廣義坐標為長度的情況下，pa與qa才相差一 常數(shù);在廣義坐標為角量的情形下，pa與qa相差為轉動慣量的量綱.pa為何比qa更富有物理意義呢？首先，pa對應于動力學量，他建立了系 統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)T、L或H與廣義速度、廣義坐標的聯(lián)系，它的變化可直接反應 系統(tǒng)狀態(tài)的改變，而qa是對應于運動學量，不可直接反應系統(tǒng)的動力學特征；再者，系統(tǒng)地拉格朗日函數(shù) L中不含某一廣義坐

7、標q時，對應的廣義動量P. =* =常數(shù)，存在一循環(huán)積分，給解決問題帶來方便，而此時循環(huán)坐標q對 cq i應的廣義速度q并不一定是常數(shù)，如平方反比引力場中L = 1 mG+0 2）+也， 2rL不含。，故有=章=海=常數(shù)但=。常數(shù)；最后，由哈密頓正則方程知P” qa是一組正則變量:哈密頓函數(shù)H中不含某個廣義坐標q,時，對應的廣義 動量P,=常數(shù)，不含某個廣義動量P,時，對應的廣義坐標qi =常數(shù)5.4答只有對于完整系，廣義坐標數(shù)等于自由度數(shù)，才能消去所有的約束方程，式（5.3.13）a=1(d CT_、dt cq、acT+cqa+ Q qaa7各5q才能全部相互獨立，得到式（5.3.14），故

8、拉格朗日方程只適用于完整系， a非完整力學體系，描述體系的運動需要的廣義坐標多于自由度數(shù)，各8qa不全部獨立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式結合拉格朗日方程未定乘數(shù)法可用 于非完整系。5.6答力學體系在平衡位置附近的動力學方程（5.4.4）得久期方程（本征值方 程）（5.4.6）式人2 + C弗| = 0，其中a, P= 1,2 . . S，久期方程的各根（本征值） 氣的性質(zhì)決定體系平衡位置附近的小振動性質(zhì)。因從本征方程（5.4.6）式中可求出2S個的本征值氣（l = 1,22S），每一 個氣對應一個獨立的常數(shù)故2S 2個常數(shù)中只有2S個是獨立的。5.7答多自由度體系的小振動

9、，每一廣義坐標對應于S個主頻率的諧振動的疊加。 若通過坐標間線性變換使得每一廣義坐標僅對應一個頻率的振動，則變換后的坐 標稱之為簡正坐標，對應的頻率為簡正頻率，每一簡正坐標對應一個簡正頻率， 而簡正頻率數(shù)和力學體系的自由度數(shù)相等，故簡正坐標數(shù)等于自由度數(shù)。值得說的是，每一簡正振動為整個力學體系所共有，反映的是各質(zhì)點（整體）的振動之一，其他坐標都作為簡正坐標的線性函數(shù)，由S個簡正振動疊加而成。這種方法在統(tǒng)計物理，固體物理中都有運用。5.8答對一完整的穩(wěn)定的力學體系在有阻尼的情況下，它們在平衡位置附近將作衰減運動。引入耗散函數(shù)F = 1 b q q2 ap a p a, P=1則阻力p _ 8F

10、_ Eb a-f - 一 乙 bap q pap=1力學體系的運動方程改為dTdVdFdqadq6qa a其中t = Ea q q2 apapa, P=1展開成泰勒級數(shù)V = 1 Ec q q2ap a pa, p=1F中是的函數(shù)，把在平衡位形區(qū)域Zp =bap)+(dbqr +高級項q,很小，只保留頭一項，則r=1 吃 J 0aap，。弗,cap均為常數(shù)。T, V, F代入運動方程得EG q + b q + c q )= 0, p = 1,2. Sccccap p ap p ap pp = 1=% e 代入上式得本征值方程、 ii a - 1,2 SI / Cajl = 0 p= 1,2 S

11、在V 0，F(xiàn) 2 4VT的小阻尼情況下，本征值人廣日l +部N - 1,22S)，且r廣0振動方程為q =ES e叫 A(必(f + i/ + A(g J f)eF=1,2 S ) pipl lip l ll=1顯然是按指數(shù)率的衰減振動。5.9 答：因 L = L(q ,q ,t) (x = 1,2,.s)，故dL = Zx=1 *(drdLZdq +dqx，-| 2Ldq +dt =dtZ (p dq + p dq )+ 竺 dtx x x x2tx=1所以則而p t)t )1,p P并并d ( dT ) dT _dt dq ) dq-dL + Q ,(x = 1,2.s)adL由Pa =k

12、解得xdqxa = n ( p t)(x = 1,2,sq = q % , P ,1 , n 1 二x x P P P= 1,2,.s)di = Z- dq + - dq +竺 dt = dL TOC o 1-5 h z 1 dqdqx) dtdidL- dL dqdL=+ Z -x。dqdq1 dqdqdq5.10答：拉格朗日方程只適用于完整系，哈密頓正則方程有保守系拉格朗日方程 推出，故只能適用于完整的，保守的力學體系，對非保守體系(5.3.18)改寫為其中Qx為非有勢力，或?qū)憺閐 ( dL) dL八()遍苛 rw=Q, s)v a 7 a即Px = Qx +苛。經(jīng)勒讓德變換后用課本上同樣

13、的方法可推得非保守系中的哈 a密頓正則方程.dHqx=dT， TOC o 1-5 h z JxP =-|H + Q ,J = 1,2.s)x dqxIa5.11答：若哈密頓函數(shù)不顯含時間t,則H = H, P=常熟；對穩(wěn)定約束下的 力學體系，動能不是速度的二次齊次函數(shù)，則H = T + V，是以哈密頓正則變量表 示的廣義總能量，因不穩(wěn)定約束的約束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含約 束力，故有此差異，此時H并不是真正的能量；對穩(wěn)定的，保守的力學體系， 若H含t則H是能量但不為常熟。5.12答：泊松括號是一種縮寫符號，它表示己同一組正則變量為自變量的二函數(shù) 之間的關系。若平=平(匕，q偵，甲=甲

14、(匕，q偵,t) G= 1,2.s)，貝y血四小絲也1 q dpdp dq ?L ,H是物理學中最常用的泊松括號，用泊松括號可表示力學體系的運動正則方 程p = p , H q = lq , H ( = 1,2.s)用泊松括號的性質(zhì)復雜微分運算問題化為簡單的括號運算，這種表示法在量子力 學，量子場論等課程中被廣泛應用。每一正則方程必對應一個運動積分，利用泊松括號從正則方程=積分平(p ,q ,t)= C ,V(p ,q ,t)= C可以推出另外一個積分b,w= C3，這一關系稱為泊松定理。5.13答：哈密頓原理是用變分的方法確定運動規(guī)律的，它是力學變分原理的積 分形式?；舅枷胧窃诿枋隽W體系

15、的S維空間中，用變分求極值的方法，從許 多條端點相同的曲線中挑選一條真是軌道確定體系的運動變化規(guī)律。因為對等時變分51 = 0，故變分符號5可置于積分號內(nèi)也可置于積分號外，而不 等時變分At。0，故全變分符號不能這樣。5.14答：力學體系的哈密頓函數(shù)H中是否有循環(huán)坐標系或循環(huán)坐標的數(shù)目與坐 標系(或參變數(shù))的選取有關，故在正則方程形式不變的前提下，通過某種變數(shù) 變換找到新的函數(shù)H*，使之多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標，此即正則變換的目的及公用。 由于每一循環(huán)坐標對應一個運動積分，正則變換后可多得到一些運動積分，給解 決問題帶來方便，正則變換的關鍵是母函數(shù)的選取，其選取的原則是使H 中多 出現(xiàn)循環(huán)坐標，但并

16、無一定的規(guī)律可循，要具體問題具體分析。5.15答：哈密頓正則方程是2s個一階微分方程的方程組，用泊松定理解之，由 而已知運動積分求出其余的運動積分往往是已知解的線性組合或橫等時，并不能 給出新的解；而用正則變換可多得到一些循環(huán)坐標是正則方程立即有解，但母函 數(shù)的選取往往很困難，哈密頓一雅可畢理論的目的既是要彌補上述缺陷，通過一 個特殊的正則變換，使得用新變量p, Q偵,（a = 1,2.s）表示的哈密頓函數(shù)H * = 0， 此時p,Q全部為常數(shù)氣,吟,（i = 1,2.s），這樣哈密頓得主函數(shù)極為母函數(shù)，從 而解決母函數(shù)難以尋找的困難。5.16答：對（5.9.8）式若為不穩(wěn)定約束，只需以h代替

17、E即可，故對（5.9.8）式 分離變量后推出的（5.9.12）中也只需以h代E即可用于不穩(wěn)定約束。正則方程 利用哈一雅理論后得到結果十分普遍，可同時得出運動規(guī)律，軌道級動量，故比 拉格朗日方程優(yōu)越。5.17答：經(jīng)典“牛頓力學”常用于幾何的觀點，運用形象化思維的方式，研究力學 體系的受力情況及運動情況，然后通過運動非常及時物體的受力與運動變化間的 相互聯(lián)系和前因后果。這種方法形象，直觀，物理意義鮮明，被廣泛應用于工程 實際。但由于它著眼于力，速度，加速度等矢量，給解決復雜的力學體系的運動 問題帶來許多不便；再者，它僅僅局限于純力學體系的運動分析，其理論與方法 難以建立與其它學科的聯(lián)系。5.18答

18、：十九世紀發(fā)展起來的“分析力學方法彌補了上述缺陷，它用純數(shù)學分析 的方法用更具有概括性的抽象思維方式，從力學體系的一切可能的運動中挑選出 實際運動的規(guī)律。這種方法盡管物理意義不如牛頓力學方法鮮明，但它給人們解 決復雜力學體系的運動問題提供了有一方法；再者，由于廣義坐標，廣義力的引 入使其理論在其它學科中也能廣泛的應用。建立了經(jīng)典物理學向近代物理學過渡 的橋梁。下面通過分析力學與牛頓力學理論及方法的比較扼要闡述分析力學的優(yōu)越 性。牛頓力學的著眼點是力，實際力學體系除受到促使其運動狀態(tài)改變的主動 力，往往還存在很多限制其運動的約束條件體現(xiàn)這些約束的約束反作用力都要作 為未知數(shù)出現(xiàn)于運動微分方程，使

19、未知量增加給解算帶來許多麻煩；分析力學著 眼于功和能在一定條件下，常?？梢圆豢紤]約束反作用力。如在理想條件下，用 虛位移原理解決力學體系的平衡問題可撇開眾多的未知未知約束力，直接得出平 衡條件，比用牛頓力學中剛體受力的平衡方程方便得多；達朗伯虛位移原理 解決力學體系的動力學問題，由于虛功的概念、廣義坐標的引入，也可撇開約束 力得解，比用牛頓方程即由此推出的動量定理，動量矩定理方便;拉格朗日方程、 哈密頓原理即由此得到的分析力學一系列方程均具這一優(yōu)點。從一分為二的觀點 來看，這也是分析力學的缺點不能求出約束反作用力。當把待求的約束反力 或做功的約束反力作為主動力來看，分析力學的理論修改后仍能應用

20、。牛頓力學用矢量的方法研究力學體系的運動，著眼于力、加速度、速度等 矢量，而矢量具有方向性、相對性，在坐標變換中很費事，故牛頓力學的動力學 方程都與參考系極坐標系的選取有關；分析力學用標量描述力學體系的運動及變 化規(guī)律，著眼于功和能廣義坐標和廣義速度等一系列標量，標量便于變換及疊加， 標量形式的運動方程也是便于寫出的，且由于廣義坐標和廣義力的引入，是指超 出立憲的范圍也能應用，給參變量的選用也帶來了許多方便，提高了靈活性。如 用拉格朗日方程，哈密頓原理或哈密頓正則方程推證極坐標系，球坐標系的質(zhì)點 運動方程，比用牛頓力學的方法簡便，但分析力學不如牛頓力學方法直觀物理意 義也不如牛頓力學方法清晰。

21、牛頓力學的動量守恒定律動量矩守恒定律總是以牛頓第三定律為先決條件 的；而分析力學中循環(huán)坐標對應的廣義動量守恒原理并不以牛頓第三定律為先決 條件，其先決條件是拉格朗日函數(shù)或哈密頓函數(shù)中不含某廣義坐標。若拉格朗日 函數(shù)中不含某廣義坐標，則對應于拉格朗日動力學的廣義動量守恒；若哈密頓函 數(shù)中不含某廣義坐標，則對應于哈密頓動力學的廣義動量守恒。牛頓動力學的動 量守恒定律，動量矩守恒定律都是廣義動量守恒原理對應的某循環(huán)坐標下的特例。 恩西力學的理論更具有概括性，廣義動量守恒原理具有更普遍的意義。牛頓力學研究力學問題也用到共和能的概念，但其功能關系動能定理，功 能原理，機械能守恒定律等，只不過提供了力學體

22、系運動的某一方面特征，它的 注意力集中于實際實現(xiàn)，而在實際實現(xiàn)的運動中，功能關系只能給出一個獨立的 方程不能提供完全的解；分析力學則不然，它不只是注意實際實現(xiàn)的運動，而是 以力學體系的一切可能存在的運動中挑選出真實的運動，故分析力學中的功能關 系指的是一切可能出現(xiàn)的運動中的功能關系，比實際實現(xiàn)的運動中的功能關系要 豐富的多，它可以給出一組與力學體系自由度數(shù)相等的運動方程，足以確定體系 的運動。如用牛頓力學中的功能關系機械能守恒定律研究拋體運動（不計空 氣阻力），只能給出一個獨立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程則 可以給出與自由度數(shù)相等的兩個獨立的運動方程，足以解決其運動。牛頓力學機械能守恒定律中的勢能對應于所有的勢力，包括主