控制工程基礎(chǔ)第三章時域瞬態(tài)響應(yīng)分析

1、 控制工程基礎(chǔ)第三章 時域瞬態(tài)響應(yīng)分析3.1 時域響應(yīng)以及典型輸入信號3.2 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)3.3 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)3.4 時域分析性能指標系統(tǒng)的時間響應(yīng)系統(tǒng)在外部作用（也就是外部輸入）的激勵下，其輸出量隨著時間變化的函數(shù)關(guān)系 3.1 時域響應(yīng)以及典型輸入信號瞬態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)在輸入信號作用下，其輸出量從初始狀態(tài) 到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)在輸入信號的作用下，其輸出量在時間趨 于無窮大的輸出狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)也稱靜態(tài)，瞬態(tài)響應(yīng)有時也稱為過渡過程。 分析瞬態(tài)響應(yīng)時，往往選擇典型信號，選擇典型信號的的好處：1）數(shù)學處理簡單，給定典型信號下的性能指標，便于分析、 綜合系統(tǒng)2）典型輸入的響應(yīng)往往可以作

2、為分析復(fù)雜輸入時系統(tǒng)性能的 基礎(chǔ)；3）便于進行系統(tǒng)辨識，確定未知環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型輸入信號1. 階躍信號數(shù)學表達式： 示意圖： 2. 斜坡信號數(shù)學表達式： 示意圖： 3. 加速度信號數(shù)學表達式： 示意圖： 4. 脈沖信號數(shù)學表達式： 示意圖： 脈沖響應(yīng)函數(shù) 初始條件為0時，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動態(tài)特性的相同信息。拉氏反變換5. 正弦函數(shù)：數(shù)學表達式： 示意圖： 節(jié)小結(jié)選擇哪種函數(shù)作為典型輸入信號，應(yīng)視不同系統(tǒng)的具體工作情況而定。時域響應(yīng)及典型輸入信號：瞬態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的概念典型輸入信號

3、 階躍函數(shù) 斜坡函數(shù) 加速度函數(shù) 脈沖函數(shù) 正弦函數(shù)3.2 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一階系統(tǒng)： 能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)。 它的典型形式是一階慣性環(huán)節(jié)。 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入象函數(shù)為則 進行拉氏反變換 特點：(1) 穩(wěn)定，無振蕩；(2) 經(jīng)過時間 T 曲線上升到 0.632 的高度；(3) 調(diào)整時間為 (34)T ；(4) 在 t = 0 處，響應(yīng)曲線的切線斜率為 1/T；(5) 故常數(shù)Lg1-xo(t)t0據(jù)此鑒別系統(tǒng)是否為一階慣性環(huán)節(jié)。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡輸入象函數(shù)為 則 進行拉氏反變換 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖輸入象函數(shù)為則 進行拉氏反變換 節(jié)小結(jié)

4、一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)：三者的關(guān)系？1. 單位斜坡響應(yīng)2. 單位階躍響應(yīng)3. 單位脈沖響應(yīng) 系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導數(shù)作業(yè)：3-2，3-30（3）、（4），3-313.3 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它的典型形式是二階振蕩環(huán)節(jié)。為阻尼比； 為無阻尼自振角頻率 形式一：形式二：典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)0(1)二階系統(tǒng)特征根的分布圖0(4)0(3)0(2)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入象函數(shù)為則 根據(jù)二階系統(tǒng)的極點分布特點,分五種情況進行討論。1. 欠阻尼 二階系統(tǒng)的極點是一對共軛復(fù)根。式中，稱為阻尼自振角頻率。進行拉氏反變換，得 特點：1.

5、以 為角頻率衰減振蕩； 2. 隨著 的減小，振蕩幅度加大。 由圖所示，為取不同值時對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖可見，值越大， 系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，超調(diào)越小；值越小，輸出響應(yīng)振蕩越強，振蕩頻率越高。當=0時，系統(tǒng)輸出為等幅振蕩，不能正常工作，屬不穩(wěn)定。 2. 臨界阻尼二階系統(tǒng)的極點是二重負實根。進行拉氏反變換,得特點：無超調(diào)。 3. 過阻尼 二階系統(tǒng)的極點是兩個負實根。 則 特點：無超調(diào)，過渡時間長。 進行拉氏反變換，得 特點：無阻尼等幅振蕩。 4. 零阻尼 二階系統(tǒng)的極點是一對共軛虛根。進行拉氏反變換,得5. 負阻尼 二階系統(tǒng)的極點具有正實部。響應(yīng)表達式的指數(shù)項變?yōu)檎笖?shù)，隨著時間 ，其輸出 ，

6、系統(tǒng)不穩(wěn)定。 其響應(yīng)曲線有兩種形式：發(fā)散振蕩單調(diào)發(fā)散二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖輸入象函數(shù)為則 分三種情況進行討論。1. 欠阻尼二階系統(tǒng)的極點是一對共軛復(fù)根。式中，進行拉氏反變換，得 特點：1. 以 為角頻率衰減振蕩； 2. 隨著 的減小，振蕩幅度加大。 2. 臨界阻尼二階系統(tǒng)的極點是二重負實根。進行拉氏反變換,得 3. 過阻尼根據(jù)：線性系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)的導數(shù)，可得：3.3.3 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡輸入象函數(shù)為 則 分三種情況進行討論。1. 欠阻尼當t時，輸入與輸出間的偏差為2. 臨界阻尼當t時，輸入與輸出間的偏差為3. 過阻尼當t時，輸入與輸出間的偏

7、差為節(jié)小結(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)：1. 單位脈沖響應(yīng)2. 單位階躍響應(yīng)3. 單位斜坡響應(yīng)欠阻尼臨界阻尼過阻尼零阻尼負阻尼3.4 時域分析性能指標時域分析性能指標是以系統(tǒng)對單位階躍輸入的瞬態(tài)響應(yīng)形式給出的。1. 上升時間響應(yīng)曲線從零時刻首次到達穩(wěn)態(tài)值的時間。或從穩(wěn)態(tài)值的 10% 上升到穩(wěn)態(tài)值的90 所需的時間。 2. 峰值時間響應(yīng)曲線從零時刻上升到第一個峰值點所需要的時間。3. 最大超調(diào)量 響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比；單位階躍輸入時，即是響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差。通常用百分數(shù)表示。4. 調(diào)整時間響應(yīng)曲線達到并一直保持在允許誤差范圍內(nèi)的最短時間。允許誤差55. 延遲時間響應(yīng)曲線從

8、零上升到穩(wěn)態(tài)值的 50% 所需要的時間。6. 振蕩次數(shù)在調(diào)整時間 內(nèi)響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。 允許誤差5以欠阻尼二階系統(tǒng)為重點。時域性能指標的求取該系統(tǒng)的極點是一對共軛復(fù)根。由式(3.5)知，該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為將 代入，得1. 求取上升時間 由于上升時間是輸出響應(yīng)首次達到穩(wěn)態(tài)值的時間，故因為所以峰值點為極值點，令 ， 得2. 求取峰值時間因為所以 將上式代入到單位階躍響應(yīng)表達式中，得 3. 求取最大超調(diào)量4. 求取調(diào)整時間以進入5%的誤差范圍為例，解得同理可證，進入2%的誤差范圍，則有當阻尼比 較小時，有當阻尼比 一定時，無阻尼自振角頻率 越大，則調(diào)整時間 越短，系統(tǒng)響應(yīng)越快。當 較大時，前面兩式的近似度降低。當允許有一定超調(diào)時，工程上一般選擇二階系統(tǒng)阻尼比在0.51之間。當變小時，愈小，則調(diào)整時間 愈長；而當變大時，愈大，調(diào)整時間也愈長。例 下圖所示系統(tǒng)，施加 N 階躍力后，記錄其時間響應(yīng)如圖，試求該系統(tǒng)的質(zhì)量 M、彈性剛度 k 和粘性阻尼系數(shù) D 的數(shù)值。解：根據(jù)牛頓第二定律拉氏變換，并整理得由有由有例子： 例3.3 如圖（a）所示系統(tǒng)的單位階躍