[理學(xué)]線(xiàn)性代數(shù)課件2-1矩陣的定義與運(yùn)算

1、1 矩陣的定義與運(yùn)算目的要求（1）理解矩陣的定義；（2）掌握矩陣的基本運(yùn)算及性質(zhì).一、矩陣概念的引入1. 線(xiàn)性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)對(duì)線(xiàn)性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究.線(xiàn)性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為2. 某航空公司在A,B,C,D四城市之間開(kāi)辟了若干航線(xiàn) ,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線(xiàn)連接 A 與B.四城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示:發(fā)站到站其中 表示有航班.把表中的 改成1,空白地方填上0,就得到一個(gè)數(shù)表:二、矩陣的定義 由 個(gè)數(shù)稱(chēng)為 矩陣.簡(jiǎn)稱(chēng) 矩陣.記作排成的 m行n列的數(shù)表簡(jiǎn)記為這個(gè)數(shù)叫做矩陣A的元素，簡(jiǎn)稱(chēng)為元 .表示第i行第j

2、列的元素，稱(chēng)為（i，j）元.一對(duì)圓括弧元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱(chēng)為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱(chēng)為復(fù)矩陣.例如是一個(gè) 實(shí)矩陣,是一個(gè) 復(fù)矩陣,是一個(gè) 矩陣,是一個(gè) 矩陣,是一個(gè) 矩陣.默認(rèn)為實(shí)矩陣三、幾種特殊矩陣?yán)缡且粋€(gè)3 階方陣.(2)只有一行的矩陣行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣 ，稱(chēng)為 階方陣.也可記作稱(chēng)為只有一列的矩陣稱(chēng)為列矩陣(或列向量). （3）形如 的方陣,稱(chēng)為不全為0對(duì)角矩陣(或?qū)顷嚕?（4）元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣，注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.記作零矩陣記作或例如(5)方陣稱(chēng)為單位矩陣（或單位陣）.全為1四、同型矩陣與矩陣相等的概念 1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等

3、時(shí),稱(chēng)為 2.兩個(gè)矩陣 為同型矩陣,并且則稱(chēng)矩陣 相等,記作例如為同型矩陣.同型矩陣.對(duì)應(yīng)元素相等,即五、線(xiàn)性變換關(guān)系式的線(xiàn)性變換.表示一個(gè)由變量到變量系數(shù)矩陣線(xiàn)性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系線(xiàn)性變換稱(chēng)之為恒等變換. 單位陣.對(duì)應(yīng)線(xiàn)性變換對(duì)應(yīng) 這是一個(gè)以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換.六、矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算、定義（一）、矩陣的加法設(shè)有兩個(gè) 矩陣 那末矩陣A與B 的和記作A+B ，規(guī)定為說(shuō)明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例12、 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律稱(chēng)為A的負(fù)矩陣.（二）、數(shù)與矩陣相乘1、定義若求：（1）；（2）；（3）例22、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的

4、線(xiàn)性運(yùn)算.（設(shè) 為 矩陣， 為數(shù)）七、矩陣與矩陣相乘、定義稱(chēng)C為A與B的乘積.設(shè) , 規(guī)定 , 其中例3，求解：注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例如不存在.例4說(shuō)明1：一般來(lái)說(shuō)， 即矩陣乘法無(wú)交換律.或滿(mǎn)足，未必有說(shuō)明2：若矩陣.例5說(shuō)明3：例6 對(duì)角元乘相應(yīng)行；對(duì)角元乘相應(yīng)列.例7 已知線(xiàn)性方程組于是 那么上述線(xiàn)性方程組可記成、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律（其中 為數(shù)）; 若A是 階矩陣，則 為A的 次冪，即 并且 矩陣乘法的應(yīng)用-生產(chǎn)成本 某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品. 每種產(chǎn)品的原料費(fèi)、工資支付每季度生產(chǎn)每種產(chǎn)品的數(shù)量見(jiàn)表2.、管理費(fèi)等見(jiàn)表1.（1）每一季度中每一類(lèi)成本的

5、數(shù)量；（2）每一季度三類(lèi)成本的總數(shù)量；（3）四個(gè)季度每類(lèi)成本的總數(shù)量.該公司希望在股東會(huì)議上用一個(gè)表格展示出解我們用矩陣的方法考慮這個(gè)問(wèn)題. 這兩個(gè)表格中的每一個(gè)均可表示為一個(gè)矩陣.的第一列表示夏季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本的第二列表示秋季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本的第三列表示冬季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本的第四列表示春季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本計(jì)算得：的第一行元素表示四個(gè)季度中每一季度原料的總成本的第二行元素表示四個(gè)季度中每一季度工資的總成本的第三行元素表示四個(gè)季度中每一季度管理的總成本每一類(lèi)成本的年度總成本由矩陣的每一行元素相加得到每一季度的總成本可由每一列相加得到表3匯總了總成本八、轉(zhuǎn)置矩陣將矩陣A的各行變成

6、同序數(shù)的列得到的矩陣稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置矩陣, 記為 性質(zhì)證明：例9 解法1解法2對(duì)稱(chēng)陣矩陣 A 稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣，如果 AT = A .是對(duì)稱(chēng)矩陣的充要條件是容易知道,對(duì)稱(chēng)陣的元素以主對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等.說(shuō)明九、方陣的行列式由n階矩陣A的元素（按原來(lái)的位置）構(gòu)成或的行列式，稱(chēng)為方陣 A 的行列式,記作 例10 3階方陣，求.性質(zhì)十、方陣的伴隨矩陣 設(shè) A 是 n 階矩陣，由行列式 |A| 的各元素的稱(chēng)為矩陣A的伴隨矩陣.代數(shù)余子式 Aij 所構(gòu)成的矩陣性質(zhì)證明則故例11求伴隨矩陣.伴隨矩陣.例12 求思考題1、矩陣與行列式的有何區(qū)別? 矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算