固體物理練習(xí)附答案

1、一、簡(jiǎn)要回答以下問(wèn)題：（每小題6分，共30分）試述晶態(tài)、非晶態(tài)、準(zhǔn)晶、多晶和單晶的特征性質(zhì)。解：晶態(tài)固體材料中的原子有規(guī)律的周期性排列，或稱為長(zhǎng)程有序。非晶態(tài)固體材料 中的原子不是長(zhǎng)程有序地排列，但在幾個(gè)原子的范圍內(nèi)保持著有序性，或稱為短程有序。 準(zhǔn)晶態(tài)是介于晶態(tài)和非晶態(tài)之間的固體材料，其特點(diǎn)是原子有序排列，但不具有平移周期 性。另外，晶體又分為單晶體和多晶體：整塊晶體內(nèi)原子排列的規(guī)律完全一致的晶體稱為 單晶體；而多晶體則是由許多取向不同的單晶體顆粒無(wú)規(guī)則堆積而成的。試述離子鍵、共價(jià)鍵、金屬鍵、范德瓦爾斯和氫鍵的基本特征。解：（1）離子鍵：無(wú)方向性，鍵能相當(dāng)強(qiáng)；（2）共價(jià)鍵：飽和性和方向性，其

2、鍵能也 非常強(qiáng)；（3）金屬鍵：有一定的方向性和飽和性，其價(jià)電子不定域于2個(gè)原子實(shí)之間，而 是在整個(gè)晶體中巡游，處于非定域狀態(tài)，為所有原子所“共有”（4）范德瓦爾斯鍵：依靠 瞬時(shí)偶極距或固有偶極距而形成，其結(jié)合力一般與r7成反比函數(shù)關(guān)系，該鍵結(jié)合能較弱；（5）氫鍵：依靠氫原子與2個(gè)電負(fù)性較大而原子半徑較小的原子（如O, F，N等）相結(jié) 合形成的。該鍵也既有方向性，也有飽和性，并且是一種較弱的鍵，其結(jié)合能約為50kJ/mol。什么叫聲子？對(duì)于一給定的晶體，它是否擁有一定種類和一定數(shù)目的聲子？解：聲子就是晶格振動(dòng)中的簡(jiǎn)諧振子的能量量子，它是一種玻色子，服從玻色一愛(ài)因 斯坦統(tǒng)計(jì)，即具有能量為叫（q）的

3、聲子平均數(shù)為n （q） =1je hwj（ q）/（ kBT） 1對(duì)于一給定的晶體，它所對(duì)應(yīng)的聲子種類和數(shù)目不是固定不變的，而是在一定的條件 下發(fā)生變化。周期性邊界條件的物理含義是什么？引入這個(gè)條件后導(dǎo)致什么結(jié)果？如果晶體是無(wú)限 大，q的取值將會(huì)怎樣？解：由于實(shí)際晶體的大小總是有限的，總存在邊界，而顯然邊界上原子所處的環(huán)境與 體內(nèi)原子的不同，從而造成邊界處原子的振動(dòng)狀態(tài)應(yīng)該和內(nèi)部原子有所差別?？紤]到邊界 對(duì)內(nèi)部原子振動(dòng)狀態(tài)的影響，波恩和卡門引入了周期性邊界條件。其具體含義是設(shè)想在一 長(zhǎng)為Na的有限晶體邊界之外，仍然有無(wú)窮多個(gè)相同的晶體，并且各塊晶體內(nèi)相對(duì)應(yīng)的原子的運(yùn)動(dòng)情況一樣，即第j個(gè)原子和第

4、tN + j個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)情況一樣，其中t =1，2, 3。引入這個(gè)條件后，導(dǎo)致描寫晶格振動(dòng)狀態(tài)的波矢q只能取一些分立的不同值。如果晶體是無(wú)限大，波矢q的取值將趨于連續(xù)。金屬自由電子論作了哪些假設(shè)？得到了哪些結(jié)果？解：金屬自由論假設(shè)金屬中的價(jià)電子在一個(gè)平均勢(shì)場(chǎng)中彼此獨(dú)立，如同理想氣體中的 粒子一樣是“自由”的，每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)由薛定諤方程來(lái)描述；電子滿足泡利不相容原理，因此，電子不服從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)而服從量子的費(fèi)米一狄拉克統(tǒng)計(jì)。根據(jù)這個(gè)理論，不僅導(dǎo)出了 魏德曼一佛蘭茲定律，而且而得出電子氣對(duì)晶體比熱容的貢獻(xiàn)是很小的。6、簡(jiǎn)立方基本特征：4/3兀r3 兀晶胞常數(shù)為a，包括一個(gè)原子，半徑為r，點(diǎn)陣內(nèi)最近原子

5、距離為a，配位數(shù)為6。故a = 2,，=0.52則致密度為：a 367、面心立方基本特征：v2a晶胞常數(shù)為a，包括四個(gè)原子，半徑為r，點(diǎn)陣內(nèi)最近原子距離為2 ，配位數(shù)為12。故巨 9=0.74 6a = 2r2 ，則致密度為：8、體心立方基本特征：晶胞常數(shù)為a，包括兩個(gè)原子a = 2 r2，則致密度為：，2x (4/3)兀r3 .a點(diǎn)陣內(nèi)最近原子距離為2，配位數(shù)為8。故:互= 0.688包括六個(gè)原子R3=va半徑為r密排六方基本特征：晶胞常數(shù)為a，半徑為r，點(diǎn)陣內(nèi)最近原子距離為、2a=2r，配位數(shù)為12。6 x 兀 r 333 6 則致密度為：3 X 2 a 2 C9、米勒指數(shù))六角晶系中見(jiàn)P

6、343,0.74，1/27，晶面常用四個(gè)指數(shù)(h, k, l, m)表示，它們代表一個(gè)晶面a a a1, 2 , 一在六角形半面基矢a1, 2, %軸上的截距為h k l ；在六度軸上的截距為m，試寫出0 A A , A ABB , ABA 和AAA A A A 皿1 31 3 1 32 2 51 2 3 4 5 6 的面指數(shù)。解:0，A A的截距為1,1,-二1,面指數(shù)為(11 2 1) 1 32AABB的截距為1, 1, - !, 8面指數(shù)為(11 2 0)13 3 12ABBA的截距為1, -1, 8, 8面指數(shù)為(1 10 0)2 2 5 5AA A A A A的截距為8, 8, 8,

7、1面指數(shù)為(0 0 0 1)1 2 3 4 5 610、倒格子的實(shí)際意義是什么？ 一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢是否有一一對(duì)應(yīng)的關(guān) 系？解：倒格子的實(shí)際意義是由倒格子組成的空間實(shí)際上是狀態(tài)空間(波矢K空間)，在 晶體的X射線衍射照片上的斑點(diǎn)實(shí)際上就是倒格子所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)子。設(shè)一種晶體的正格基矢為a1、a2、a3，根據(jù)倒格子基矢的定義：b = 2兀氣X叩 TOC o 1-5 h z 。b _ 2兀吐 X a 。1 b _ 2兀ai Xa2 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 。式中。是晶格原胞的體積，即。_ ai - a2 xa3,由此可以唯一地確定相

8、應(yīng)的倒格子 空間。同樣，反過(guò)來(lái)由倒格矢也可唯一地確定正格矢。所以一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒 格矢有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。9、試證明體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。（20分） 解：我們知體心立方格子的基矢為：a1_ 計(jì)+j+k） TOC o 1-5 h z a _ -（i - j + k）（3 分）2 2a 3_ 2（i+j 一k）2兀_(j + k) a2兀_(i + k)a2兀_(i + j) a(5分)根據(jù)倒格子基矢的定義，我們很容易可求出體心立方格子的倒格子基矢為:b _ 2 兀a2 Xa3 1。b2兀虬x a】 HYPERLINK l bookmark55 o Current Doc

9、ument V 2 _。1b _ 2 兀a1 Xa23。由此可知，體心立方格子的倒格子為一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒 格子為一體心立方格子，所以體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。（2分）三、已知由N個(gè)相同原子組成的一維單原子晶格格波的態(tài)密度可表示為（10）,、2 N、1p ()_( 2 - 2) - 2。兀 m式中是格波的最高頻率。求證它的振動(dòng)?？倲?shù)恰好等于N。 m解：由題意可知該晶格的振動(dòng)?？倲?shù)為N _（Jmp （3）d（3 分）01_啊竺土竺芯如（2分）丸亨弓-0） = N （或四、利用剛球密堆模型，求證球可能占據(jù)的最大體積與總體積之比為（20分）兀v3k潤(rùn)2兀、:2k

10、簡(jiǎn)單立方-；體心立方了 ；面心立方六角密積；.囪 金剛石節(jié)解：（1）在簡(jiǎn)立方的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a = 2R， 則簡(jiǎn)立方的致密度（即球可能占據(jù)的最大體積與總體積之比）為：,4c,4c1_kR 31_kR 333兀以=a 3(2 R)3(4分)（2）在體心立方的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a = 4R /百，則體心立方的致密度為:442 kR 32 kR 3n 33 加a =a3（4分）（3）在面心立方的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a = 22R，則面心立方的致密度為:444 kR 32 kR 3332ka = J J 一a 3

11、(2(2R )3（4分）（4）在六角密積的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a = 2R，c = （2x6/3）a =（牝6/3）R，則六角密積的致密度為:46 kR 332k,4c6 -kR 33 以=3a 23(2R)26 c 6 (4 氣 6 / 3)R（4分）（5）在金剛石的結(jié)晶學(xué)原胞中設(shè)原子半徑為R，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a = （8/y3）R ,則金剛石的致密度為:48 -兀R 33a =a 3（8/打）3 R 3t3兀16（4分）五、計(jì)算題L用鈀靶K aX射線投射到NaCl晶體上，測(cè)得其一級(jí)反射的掠射角為應(yīng)，已知NaCl晶胞中Na+與Cl-的距離為2.82X 10-i0

12、m，晶體密度為2.16g/cm3。求:（1）X射線的波長(zhǎng)；阿伏加德羅常數(shù)。（20分）解：（1）由題意可知NaCl晶胞的晶胞參數(shù)a = 2x2.82x 10-10 = 5.64x 10-10m，又應(yīng)為NaCl晶胞為面心立方結(jié)構(gòu)，根據(jù)面心立方結(jié)構(gòu)的消光規(guī)律可知，其一級(jí)反射所對(duì)應(yīng)的 晶面族的面指數(shù)為（111），而又易求得此晶面族的面間距為d .111 v12 + 12 + 125.64 x 10-10= 3.26x1010m（5 分）又根據(jù)布拉格定律可知:X = 2d sin0= 2x3.26x1010sin5.9。= 6.702x109m（5 分）111（2）由題意有以下式子成立a 3Na= P=

13、MNaCl（5分）N = MNoCl =Aa3p4x58.5=6.03&1023（5 分）（5.6410-10）3 x2.1610）2、一維晶格，晶格由兩種離子組成，間距為R0，計(jì)算晶格的Madelung常數(shù)a。N1a =乙 解：任取某一離子為原點(diǎn)，根據(jù)E aj （+代表與參考離子異號(hào)，-代表與參考離子同號(hào)）（111=2 1 + +I2 3 4a則:1 6） 尤 2 ，尤 3 X 4 ,lnU + x ） = X + +234ln 2 = 1 + + 當(dāng) x=1 時(shí)，234ji故a = 2 ln 23、寫出量子諧振子系統(tǒng)自由能，證明在經(jīng)典極限，自由能為:(hw )qKT )F q U + KT

14、 ln證：經(jīng)典極限由教本P143F = U (V) + Z8h =枷棲 + KT ln(1 - e-叼 KT)q彳hw:.e hwqKT = 1 一q KTln4、一晶體原胞基矢大小a = 4 x 10-10m，b = 6 x 10-10m，c = 8 x 10-10m，基矢間夾角a = 90。，p=90。，y = 120。試求:(1)(2)(3)倒格子基矢的大?。徽?、倒格子原胞的體積； 正格子(210)晶面族的面間距。解：(1)由題意可知，該晶體的原胞基矢為:&1 = ai1.拓a 2 = b( 2 i +。j)由此可知:31、攵(i +上j)a v；3bc(i + 3 j)一 = 2兀2一

15、2aa2 x a3脫血1 2 3Tac=2兀氣 Xa1d-OL =21.jaa2 x a33 盼 b J32 aC=2兀氣Xa2 =2兀a - a x a ab k 仁q蘭k cabc2所以4兀2 = = 1.8138 x 1010 m-1 v3a=0.7854 x 1Oio m -14兀- = 1.2092 x 1010 m -1、，:3bb I = ，12 +1 a(2)正格子原胞的體積為:_，.、1Q = a - a x a = (ai) - b(-i +12322(3)根據(jù)倒格子矢量與正格子晶面族的關(guān)系可知，正格子(210)晶面族的面間距為:dh5、矢量a , b , c構(gòu)成簡(jiǎn)單正交系

16、。證明晶面族州)的面間距為j) x (ck) = - abc = 1.6628 x 10-28 m32倒格子原胞的體積為:2兀.1 .2兀 2 .2兀.16兀3Q* = b - b xb =(i + j)-(j) x (k) = 1.4918 x 1030m-3123 a頊 3b 3 c3abcdhkl)2 +(7)2 + ()2 a b c解：由題意可知該簡(jiǎn)單正交系的物理學(xué)原胞的基矢為:a1 = ai(a = bj2a = ckt 3由此可求得其倒格子基矢為:2兀._(ba) _1a - a x a abc ab2X 叩 _ (acj) _ 攵 j a - a x a abc b 辦a：Xa

17、23 _ 玉(abk) _ 竺 k a - a x a abc TOC o 1-5 h z 123根據(jù)倒格子矢量的性質(zhì)有:z2兀2兀d _hki |K |叫 + kb 2 + lb 32兀1竺h1 +竺kj +竺ikabc5、由N個(gè)原子（離子）所組成的晶體的體積可寫成 _ Nv _ Nr3。式中v為每個(gè)原子 （離子）平均所占據(jù)的體積；r為粒子間的最短距離；為與結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。試求下列 各種結(jié)構(gòu)的值：求：簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣；面心立方點(diǎn)陣；體心立方點(diǎn)陣；金剛石點(diǎn)陣；NaCl 點(diǎn)陣；解：（1）在簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積v _ a3 _ r3，故 _ 1 ；（2）在面心立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平

18、均所占據(jù)的體積v_：a3_ 1G2r）3三r3,故 =三| ； TOC o 1-5 h z 42212434（3（3）在體心立方點(diǎn)陣，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積v_a3）Jr）3 = r3，故 ；2.39911/4 、 8383（4）在金剛石點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積V _郭3 _ （ r）3 _q- r，故_ -；88 ., 39911,c、（5）在NaC l點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積v = 6 a3 =三（2r）3 _ r3 ；故 =1。886、試求質(zhì)量為m，原子間距為a/2，力常數(shù)交錯(cuò)為 1， 2的一維原子鏈振動(dòng)的色散關(guān) 兀系。當(dāng) 2 _ 10 1時(shí)，求在q _ 0和a處的 （q），并粗略畫出色散關(guān)系。解：下圖3.3給出了該一維原子鏈的示意圖m 2 . 8 1. 2 . 8 1. 2 .X2n-2X2n+1