《現(xiàn)代數(shù)值計算》課件4.6數(shù)值微分

1、3.5數(shù)值微分3.5.3 數(shù)值微分的外推算法3.5.2 三次樣條求導(dǎo)3.5.1 插值型求導(dǎo)公式3.5 數(shù)值微分學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握幾個數(shù)值微分計算公式 。 在微分學(xué)中，求函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)通常是可以求得的，但有的f (x)比f (x)復(fù)雜得多。另外，有時f (x)僅由表格形式給出，則求f (x)也不容易。根據(jù)函數(shù)在若干個點處的函數(shù)值去求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的近似值稱為數(shù)值微分。求數(shù)值導(dǎo)數(shù)也是實際問題經(jīng)常遇到的，特別當(dāng)該函數(shù)本身未知，但又需要對其求導(dǎo)數(shù)時，數(shù)值微分方法顯得更為重要。 3.5數(shù)值微分按照數(shù)學(xué)分析的定義，導(dǎo)數(shù) 是差商 當(dāng) 時的極限。如果精度要求不高， 我們可以簡單地取差商作為導(dǎo)數(shù)的近似

2、值，這樣便建立起一種數(shù)值微分方法類似地，亦可用向后差商作近似運算 或用中心差商 后一種數(shù)值微分方法稱中點方法,它其實是前兩種方法的算術(shù)平均。上述三種數(shù)值微分方法有個共同點，它們都是將導(dǎo)數(shù)的計算歸結(jié)為計算f(x)在若干節(jié)點上的函數(shù)值的線性組合。這類數(shù)值微分方法稱作機械求導(dǎo)方法。在圖形上（參看圖3-1），上述三種導(dǎo)數(shù)的近似值分別表示弦線AB、AC和BC的低斜率，比較這三種弦線與切線AT（其斜率等于導(dǎo)數(shù)值 ）平行的程序，從圖形上可以明顯地看出，其中以BC的斜率更接近于切線AT的斜率。因此就精度而言，以中點方法更為可取。x圖3-1根據(jù)微積分中泰勒展開定下,不難推出上述三種方法的截斷誤差分別為O(h)、

3、O(h)和O(h2) .上面幾個公式是很實用的，下面我們再討論一些常用方法。3.5.1 插值型的求導(dǎo)公式對于列表函數(shù)運用插值原理，可以建立插值多項式 作為它的近似。由于多項式的求導(dǎo)比較容易，統(tǒng)稱插值型的求導(dǎo)公式。（3.5.1） 我們?nèi)?的值作為 的近似值，這樣建立的數(shù)值公式 必須指出，即使 與 的值相差不多，導(dǎo)數(shù)的近似值 與導(dǎo)數(shù)的真值 在某些點仍然可能差別很大，因而在使用求導(dǎo)公式(3.5.1)時應(yīng)特別注意誤差的分析。依據(jù)插值余項定理，求導(dǎo)公式（3.5.1）的余項為式中 在這一余項公式中，由于是x的未知函數(shù)，我們無法對它的第二項作出進(jìn)一步的說明.因此，對于區(qū)間a,b內(nèi)隨意的一點 x,誤差 是無法

4、預(yù)估的.但是，如果我們限定求某個節(jié)點上的導(dǎo)數(shù)值，那么上面的第二項因 而變?yōu)榱?，這時有余項公式 （3.5.2）1.兩點公式下面我們僅僅考察節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值。為簡化討論，假定所給的節(jié)點是等距的。 設(shè)已給出兩個節(jié)點 上面的函數(shù)值 ，作線性插值公式 對上式兩端求導(dǎo)，記 于是有下列求導(dǎo)公式：（3.5.3）（3.5.4）而利用余項公式(3.5.2)知，帶余項的兩點公式是(當(dāng)n=1時)，2.三點公式設(shè)已給出三個節(jié)點 上的函數(shù)值，作二次插值令 ，上式可表為 兩端對t 求導(dǎo)，有這里撇號表示對變量x求導(dǎo)數(shù)。上式分別取t=0，1，2，得到三種三點公式：（*）而利用余項公式(3.5.2)知,帶余項的三點求導(dǎo)公式(n=2

5、)如下： 其中的公式(3.5.6)是我們所熟悉的中點公式。在三點公式中，它由于少用了一個函數(shù)值 而引人注目。 （3.5.5）（3.5.6）（3.5.7）設(shè)已給出五個節(jié)點 上的函數(shù)值，重復(fù)同樣的手續(xù)，不難導(dǎo)出下列五點公式： 式中 代表一階導(dǎo)數(shù) 的近似值，讀者不難導(dǎo)出這些求導(dǎo)公式的余項。 3.五點公式當(dāng)這里給出其中常用五點公式（3.5.8）例3.5.1 設(shè)f(x)=e x ,對h=0.01,計算f (1.8)的近似值。解 由（3.5.5）式有由（3.5.6）有由（3.5.7）式有由（3.5.8）式有精確值 。計算結(jié)果顯然與它們的余項相一致，由（3.5.8）式計算所得的結(jié)果最精確。然而，對于用插值法

6、建立的數(shù)值求導(dǎo)公式通常導(dǎo)數(shù)值的精確度比用插值公式求得的函數(shù)值的精確度差，高階導(dǎo)數(shù)值的精度比低階導(dǎo)數(shù)值的精度差。所以，不宜用此方法建立高階數(shù)值求導(dǎo)公式。用插值多項式 作為 的近似函數(shù)，還可以建立高階數(shù)值微分公式3.5.2 三次樣條求導(dǎo)我們知道，三次樣條函數(shù)S(x)作為f（x）的近似函數(shù)，不但彼此的函數(shù)值很接近，導(dǎo)數(shù)值也很接近。因此用樣條函數(shù)建立數(shù)值微分公式是很自然的。設(shè)在區(qū)間a,b上，給定一種劃分及相應(yīng)的函數(shù)值 再給定適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，按三次樣條函數(shù)的算法，建立關(guān)于節(jié)點上的一階導(dǎo)數(shù) 或二階導(dǎo)數(shù) 的樣條方程組。求得 或 從而得到三次樣條插值函數(shù)S(x)的表達(dá)式。這樣，可得數(shù)值微分的公式 與前面插值型

7、數(shù)值微分公式不同，樣條數(shù)值微分公式（3.5.9）可以用來計算插值范圍內(nèi)任何一點（不僅是節(jié)點）上的導(dǎo)數(shù)值。誤差估計由（2.3.21）給出。對節(jié)點上的導(dǎo)數(shù)值，若求得的是則由S(x)的表達(dá)式有若求得的是則由S(x)的表達(dá)式有3.5.3 數(shù)值微分的外推算法 由此看見，僅有兩位有效數(shù)字。利用Richardson外推法可以提高計算精度。先看一個簡單的例子。求 在x=0.004出的一階導(dǎo)數(shù)值。采用中點微分公式（3.5.6），即取h=0.0016，那么得而對于中心差商，記由Taylor級數(shù)展開有利用Richardson外推公式，取 則有外推公式（3.5.9）的終止標(biāo)準(zhǔn)是 是預(yù)先給定的誤差小量。例 3.10 設(shè) 設(shè)h分別取0.1,0.05,0.025時求出x=0.5出的一階導(dǎo)數(shù)的中心差商,進(jìn)行外推,并與精確值進(jìn)行比較。解 先分別取h=0.1,0.05,0.025,求出節(jié)點x=0.5處的中心差商值，見表3-6，再按（3.5.9）式進(jìn)行外推，外推兩次，結(jié)果列于表3-6中。從表3-6可見，h=0.025時的中心差商值只有3位有效數(shù)字，外推一次達(dá)到5