高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：運(yùn)用向量方法解決軌跡方程

1、高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：運(yùn)用向量方法解決軌跡方程天津市第四十二中學(xué) 李艷杰二、運(yùn)用兩非零向量共線的充要條件求軌跡方程。例1：定點(diǎn)A2,0，點(diǎn)P在曲線x2+y2=1x1上運(yùn)動(dòng)，AOP的平分線交PA于Q，其中O為原點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程。解: 設(shè)Qx,y,Px1,y1-=x-2,y-= x1-x,y1-y又-=-=- -=2-即：x-2,y=2x1-x,y1-y解得：-代入x12+y12=1x1有：-3x-22+-y2=1x-即所求軌跡方程為：x-2+y2=-x-【點(diǎn)撥】用該方法解此類問題簡(jiǎn)單明了，假設(shè)將Q視為線段AP的定比分點(diǎn)，運(yùn)用定比分點(diǎn)公式解此題，那么計(jì)算過程既繁瑣又容易出錯(cuò)。例2：設(shè)過點(diǎn)Px,y的直

2、線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)-=2-,且-=1,求P點(diǎn)的軌跡方程。解：-=2-P分有向線段-所成的比為2由Px,y可得B0,3y,A-x,0- =-x,3yQ與P關(guān)于y軸對(duì)稱, Q-x,y,-且 =-x,y由-=1可得-x2+3y2=1x0即所求點(diǎn)P的軌跡方程為-x2+3y2=1x0【點(diǎn)撥】求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)應(yīng)注意它的完備性與純粹性。化簡(jiǎn)過程破壞了方程的同解性，要注意補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)或者挖去多余的點(diǎn)。三、運(yùn)用兩非零向量垂直的充要條件是求軌跡方程。例1：如圖，過定點(diǎn)Aa,b任意作互相垂直的直線l1與l2，且l1與x軸相交于M點(diǎn)，l2與y軸

3、相交于N點(diǎn)，求線段MN中點(diǎn)P的軌跡方程。解：設(shè)Px,y，那么M2x,0，N0,2y-=2x-a ,-b-=-a,2y-b由-知-=02x-a-a+-b2y-b=0即所求點(diǎn)P的軌跡方程為2ax+2by=a2+b2【點(diǎn)撥】用勾股定理解此題，運(yùn)算繁瑣，假設(shè)用斜率解此題，又必須分類討論，用向量的方法防止了上述兩種方法的缺陷，使解題優(yōu)化。例2：過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O作OMAB，垂足M，求點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè)Mx,y, OMAB，F(xiàn)2,0-=0且-=x,y,-=2-x,-yx2-x-y2=0，即：x2+y2-2x=0點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-2x=0由以上幾例可

4、以看出：軌跡方程的很多題目都可以用向量來探求思路。用向量解決求軌跡問題，最理想的情形是題設(shè)中有“向量的數(shù)量積“平行“垂直，或結(jié)論與“垂直有關(guān)。重要的是在學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中培養(yǎng)向量意識(shí)，使向量成為我們處理問題的根本工具。要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級(jí)程度的語言。我在教學(xué)中，注意聽說結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語言，我對(duì)幼兒說話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表揚(yáng)那些靜聽的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說過的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專心聽，用心記。平時(shí)我還

5、通過各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說的才能，如聽詞對(duì)詞，聽詞句說意思，聽句子辯正誤，聽故事講述故事，聽謎語猜謎底，聽智力故事，動(dòng)腦筋，出主意，聽兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動(dòng)活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽的才能，強(qiáng)化了記憶，又開展了思維，為說打下了根底。老師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學(xué)習(xí)、模擬。如領(lǐng)讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學(xué)邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復(fù)傾聽，在反復(fù)傾聽中體驗(yàn)、品味。責(zé)任編輯:moninfu要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級(jí)程度的語言。我在教學(xué)中，注意聽說結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語言，我對(duì)幼兒說話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表揚(yáng)那些靜聽的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說過的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專心聽，用心記。平時(shí)我還通過各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說的才能，如聽詞對(duì)詞，聽詞句說意思，聽句子辯正