平穩(wěn)性與功率譜密度計(jì)算

1、1平穩(wěn)性與功率譜密度計(jì)算2問(wèn)題平穩(wěn)和非平穩(wěn)的含義是什么？現(xiàn)實(shí)生活中哪些是平穩(wěn)信號(hào)或非平穩(wěn)信號(hào)？嚴(yán)格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)（或?qū)捚椒€(wěn)）有什么關(guān)系？嚴(yán)格平穩(wěn)與嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)有什么關(guān)系？3目錄3.1 平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性 3.2 循環(huán)平穩(wěn)性3.3 平穩(wěn)信號(hào)的相關(guān)函數(shù) 3.4 功率譜密度與互功率譜密度3.5 白噪聲與熱噪聲3.6 應(yīng)用舉例43.1 平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性 平穩(wěn)性（Stationarity）:隨機(jī)信號(hào)的主要（或全部）統(tǒng)計(jì)特性對(duì)于參量t保持不變的特性。包括嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)。嚴(yán)平穩(wěn)又稱(chēng)為狹義平穩(wěn)或強(qiáng)平穩(wěn)，寬平穩(wěn)又稱(chēng)為廣義平穩(wěn)或弱平穩(wěn)。5嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)的定義6嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)的理解一個(gè)隨機(jī)信號(hào)X(t)，如果它的n維概

2、率密度（或n維分布函數(shù)）不隨時(shí)間起點(diǎn)選擇的不同而改變，則該隨機(jī)信號(hào)為平穩(wěn)的平穩(wěn)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性與所選取的時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，或者說(shuō)平穩(wěn)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化7廣義平穩(wěn)信號(hào)的定義8非平穩(wěn)信號(hào)不是廣義平穩(wěn)的信號(hào)統(tǒng)計(jì)量隨時(shí)間變化的信號(hào)（時(shí)變信號(hào)）9平穩(wěn)信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)舉例接收機(jī)噪聲信號(hào)：如果產(chǎn)生隨機(jī)信號(hào)的主要物理?xiàng)l件在時(shí)間進(jìn)程中不變化，則此信號(hào)認(rèn)為是平穩(wěn)的。例如，一個(gè)工作在穩(wěn)定狀態(tài)下的接收機(jī)，其內(nèi)部噪聲可以認(rèn)為是隨機(jī)平穩(wěn)信號(hào)。但當(dāng)剛接上電源，該接收機(jī)工作在過(guò)渡狀態(tài)下或環(huán)境溫度未達(dá)到恒定時(shí)，此時(shí)的內(nèi)部噪聲則是非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。語(yǔ)音信號(hào)：語(yǔ)音信號(hào)本身是非平穩(wěn)信號(hào)，但在10-30 ms時(shí)段內(nèi)可以看成是短

3、時(shí)平穩(wěn)的，便于用平穩(wěn)信號(hào)的分析方法去處理問(wèn)題。將隨機(jī)信號(hào)劃分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)有重要的實(shí)際意義，若是平穩(wěn)的，可簡(jiǎn)化分析。例如，測(cè)量電阻熱噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，由于是平穩(wěn)的，在任何時(shí)間測(cè)試都可以得到相同的結(jié)果。10語(yǔ)音信號(hào)接收機(jī)噪聲信號(hào)11嚴(yán)格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)的關(guān)系 如果廣義平穩(wěn)信號(hào)是高斯信號(hào)，則也是嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)。獨(dú)立同分布的信號(hào)必定是嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)。 關(guān)于離散隨機(jī)信號(hào)（或離散序列）的平穩(wěn)性問(wèn)題，只需要將連續(xù)時(shí)間變量t換為離散時(shí)間n即可。嚴(yán)格平穩(wěn)要求全部統(tǒng)計(jì)特性都具有移動(dòng)不變性，而廣義平穩(wěn)只要求一、二階矩特性具有移動(dòng)不變性。12嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)的性質(zhì)（1）X(t)的一階分布、密度函數(shù)和均值都與時(shí)間無(wú)關(guān) F(x;t

4、)=F(x;t+u)=F(x) f(x;t)=f(x;t+u)=f(x) EX(t)=m(t)=m(t+u)=常數(shù)（2）X(t)的二維分布和密度函數(shù)與兩個(gè)時(shí)刻(t1,t2)的絕對(duì)位置無(wú)關(guān)，只與它們的相對(duì)差=t1-t2有關(guān) F(x1,x2;t1,t2)= F(x1,x2;t1+u,t2+u)= F(x1,x2;,0)= F(x1,x2;) f(x1,x2;t1,t2)= f(x1,x2;t1+u,t2+u)= f(x1,x2;,0)= f(x1,x2;) R(t1,t2)=R(t1+u,t2+u)=R(,0)= R()只關(guān)注兩個(gè)參量(t1,t2)的相對(duì)差，而絕對(duì)位置可以任意移動(dòng)，其中=t1-t2

5、為核心變量，有文獻(xiàn)稱(chēng)為時(shí)滯。13一階密度函數(shù)平穩(wěn)性示例相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)性示例14證明：如果高斯信號(hào)X(t)是廣義平穩(wěn)的，則其均值為常數(shù)m，協(xié)方差滿足平移不變性，即C(s,t)=C(s+,t+)。高斯信號(hào)的特征函數(shù)為對(duì)于任何 ，有故該信號(hào)是嚴(yán)格平穩(wěn)的。定理3.1 廣義平穩(wěn)的高斯信號(hào)必定是嚴(yán)格平穩(wěn)的。15解：由獨(dú)立性，有上式與各個(gè)參量ti本身無(wú)關(guān)，也與這組參量的平移無(wú)關(guān)，故U(t)是嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)。16解：根據(jù)各個(gè)信號(hào)的均值、相關(guān)函數(shù)及概率特性，容 易得出：(1) 伯努利信號(hào)是嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)，也是廣義平穩(wěn)信號(hào)；(2) 隨機(jī)正弦信號(hào)（該例條件下）是廣義平穩(wěn)信號(hào)；(3) 半隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào)與泊松信號(hào)是非平

6、穩(wěn)的。例3.2 試說(shuō)明節(jié)各例的平穩(wěn)性。1718解：Y(t)的均值和相關(guān)函數(shù)分別為：由于Y(t)的均值為零，相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，故Y(t)是廣義平穩(wěn)的。19補(bǔ)充例1設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=At ，A為均勻分布于0,1上的隨機(jī)變量，試問(wèn)X(t) 是否平穩(wěn)？解：因?yàn)?其中a為隨機(jī)變量A的樣本,可見(jiàn)不是平穩(wěn)的。20補(bǔ)充例2解：因?yàn)樵O(shè)隨機(jī)變量Z(t)=Xcost+Ysint, -t 0。分析下面兩式是否是功率譜的表達(dá)式。由于上式可能為虛數(shù)，不是正確的功率譜表達(dá)式。又如，1-e -(w-1)2可能為負(fù)數(shù)，也不是偶函數(shù)，因此也不是正確的功率譜表達(dá)式。67RX()與SX(w)都是實(shí)偶函數(shù)，只需關(guān)心e jw的實(shí)部，相

7、關(guān)函數(shù)和功率譜的關(guān)系可以表示為：68鑒于偶函數(shù)的特點(diǎn)，應(yīng)用中經(jīng)常使用單邊功率譜，表示為：69互功率譜密度互功率譜通常是復(fù)函數(shù)，反映了兩個(gè)信號(hào)的關(guān)聯(lián)性沿w軸的密度狀況。70（1)兩種互功率譜的實(shí)部相同，而虛部反號(hào)；（2)實(shí)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)為實(shí)函數(shù)，因此，互功率譜的實(shí)部都是偶函數(shù)，虛部都是奇函數(shù)。 性質(zhì)2 互功率譜具有對(duì)稱(chēng)性。71解：由于X(t)與Z(t)獨(dú)立，且Z(t)是零均值的，因此它們正交。例3.10 討論（加性）單頻干擾。若實(shí)平穩(wěn)信號(hào)X(t)受到加性的獨(dú)立隨機(jī)正弦分量Z(t) = Acos(w0t+)的干擾。已知A, w0為常數(shù)，是在0,2)上均勻分布的隨機(jī)變量。求（1）受擾后信號(hào)Y(t)

8、的相關(guān)函數(shù)；（2）信號(hào)X(t)與Y(t)是否聯(lián)合平穩(wěn)？若是，進(jìn)一步求功率譜SY(w)與互功率譜SXY(w)。72對(duì)于Y(t)=X(t)+Z(t), EY(t)=mX正交項(xiàng)使得交叉項(xiàng)為0故X(t)和Y(t)為聯(lián)合平穩(wěn)信號(hào)。73通過(guò)傅里葉變換得到從Y(t) 的功率譜中可以看到單頻干擾成分w0。743.5 白噪聲與熱噪聲 75白噪聲通常均值為零，因此C()=R()。相關(guān)系數(shù)為：白噪聲有時(shí)也通俗地稱(chēng)為“純隨機(jī)的”： （1）無(wú)限帶寬的理想隨機(jī)信號(hào) （2）功率（即方差）為無(wú)窮大 （3）而不同時(shí)刻上彼此不相關(guān) 76若白噪聲的每個(gè)隨機(jī)變量都服從高斯分布，則稱(chēng)其為高斯白噪聲（信號(hào)）（WGN, White Gau

9、ssian Noise）。它是無(wú)關(guān)信號(hào)，也是獨(dú)立信號(hào)，代表信號(hào)“隨機(jī)性”的一種極限。如果平穩(wěn)序列對(duì)所有m滿足或者則該序列是白噪聲序列。高斯白噪聲序列是獨(dú)立序列。77例3.11 若N(n)是方差為2的零均值高斯白噪聲序列，試求：（1）它的相關(guān)函數(shù)Rn1,n2與協(xié)方差函數(shù)Cn1,n2；（2）它的n維概率密度函數(shù)。解：相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)為因?yàn)镹(n)是獨(dú)立同分布的，其n維概率密度函數(shù)為783.6 應(yīng)用舉例 解：由歐拉公式，有當(dāng)且僅當(dāng)(1)=0時(shí)，EX(t)=0 (常數(shù))。例3.13 討論隨機(jī)相位正弦信號(hào)的廣義平穩(wěn)條件。正弦隨機(jī)信號(hào)X(t)=Acos(w0t+)，其中隨機(jī)變量A的均值為mA，方差為A

10、2，的特征函數(shù)為(v)，與A統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。討論X(t)的廣義平穩(wěn)性。79當(dāng)且僅當(dāng)(2)=0時(shí)，上式為0。80隨機(jī)相位正弦信號(hào)廣義平穩(wěn)的充要條件是：此時(shí)當(dāng)有81解：Y(t)是廣義平穩(wěn)信號(hào)，有82調(diào)制使得信號(hào)的頻譜發(fā)生搬移。83例 討論隨機(jī)二元（二進(jìn)制）傳輸信號(hào)的平穩(wěn)性與功率譜。8485解：Y(t)的均值為Y(t)的相關(guān)函數(shù)為(1)假定|t1-t2|T ，兩時(shí)刻上獨(dú)立，則86(2) 假定|t1-t2|T, 則獨(dú)立的概率為： |t1-t2|/T不獨(dú)立的概率為：1- |t1-t2|/T87于是88功率譜為：注意：而PT(t)為中心在原點(diǎn)、寬度為T(mén)、高度為1的方波脈沖。89注意：該信號(hào)的直流成分，主瓣帶寬 (F=1/T Hz)，F(xiàn)是正數(shù)據(jù)率。90定理3.5 假定an為平穩(wěn)序列，均值為ma，自相關(guān)函數(shù)為Rak。設(shè)g(t)為中心在原點(diǎn)、寬度為T(mén)、高度為1的方波脈沖，傅氏變換為G(jw)。 ， ，則Y(t)=X(t-D)是平穩(wěn)信號(hào)，并且均值為自相關(guān)函數(shù)為功率譜為91 隨機(jī)電報(bào)過(guò)程X(t)的典型