平穩(wěn)性與功率譜密度計算

1、1平穩(wěn)性與功率譜密度計算2問題平穩(wěn)和非平穩(wěn)的含義是什么？現(xiàn)實生活中哪些是平穩(wěn)信號或非平穩(wěn)信號？嚴格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)（或?qū)捚椒€(wěn)）有什么關(guān)系？嚴格平穩(wěn)與嚴格循環(huán)平穩(wěn)有什么關(guān)系？3目錄3.1 平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性 3.2 循環(huán)平穩(wěn)性3.3 平穩(wěn)信號的相關(guān)函數(shù) 3.4 功率譜密度與互功率譜密度3.5 白噪聲與熱噪聲3.6 應(yīng)用舉例43.1 平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性 平穩(wěn)性（Stationarity）:隨機信號的主要（或全部）統(tǒng)計特性對于參量t保持不變的特性。包括嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)。嚴平穩(wěn)又稱為狹義平穩(wěn)或強平穩(wěn)，寬平穩(wěn)又稱為廣義平穩(wěn)或弱平穩(wěn)。5嚴格平穩(wěn)信號的定義6嚴格平穩(wěn)信號的理解一個隨機信號X(t)，如果它的n維概

2、率密度（或n維分布函數(shù)）不隨時間起點選擇的不同而改變，則該隨機信號為平穩(wěn)的平穩(wěn)信號的統(tǒng)計特性與所選取的時間起點無關(guān)，或者說平穩(wěn)信號的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化7廣義平穩(wěn)信號的定義8非平穩(wěn)信號不是廣義平穩(wěn)的信號統(tǒng)計量隨時間變化的信號（時變信號）9平穩(wěn)信號和非平穩(wěn)信號舉例接收機噪聲信號：如果產(chǎn)生隨機信號的主要物理條件在時間進程中不變化，則此信號認為是平穩(wěn)的。例如，一個工作在穩(wěn)定狀態(tài)下的接收機，其內(nèi)部噪聲可以認為是隨機平穩(wěn)信號。但當剛接上電源，該接收機工作在過渡狀態(tài)下或環(huán)境溫度未達到恒定時，此時的內(nèi)部噪聲則是非平穩(wěn)隨機信號。語音信號：語音信號本身是非平穩(wěn)信號，但在10-30 ms時段內(nèi)可以看成是短

3、時平穩(wěn)的，便于用平穩(wěn)信號的分析方法去處理問題。將隨機信號劃分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)有重要的實際意義，若是平穩(wěn)的，可簡化分析。例如，測量電阻熱噪聲的統(tǒng)計特性，由于是平穩(wěn)的，在任何時間測試都可以得到相同的結(jié)果。10語音信號接收機噪聲信號11嚴格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)的關(guān)系 如果廣義平穩(wěn)信號是高斯信號，則也是嚴格平穩(wěn)信號。獨立同分布的信號必定是嚴格平穩(wěn)信號。 關(guān)于離散隨機信號（或離散序列）的平穩(wěn)性問題，只需要將連續(xù)時間變量t換為離散時間n即可。嚴格平穩(wěn)要求全部統(tǒng)計特性都具有移動不變性，而廣義平穩(wěn)只要求一、二階矩特性具有移動不變性。12嚴格平穩(wěn)信號的性質(zhì)（1）X(t)的一階分布、密度函數(shù)和均值都與時間無關(guān) F(x;t

4、)=F(x;t+u)=F(x) f(x;t)=f(x;t+u)=f(x) EX(t)=m(t)=m(t+u)=常數(shù)（2）X(t)的二維分布和密度函數(shù)與兩個時刻(t1,t2)的絕對位置無關(guān)，只與它們的相對差=t1-t2有關(guān) F(x1,x2;t1,t2)= F(x1,x2;t1+u,t2+u)= F(x1,x2;,0)= F(x1,x2;) f(x1,x2;t1,t2)= f(x1,x2;t1+u,t2+u)= f(x1,x2;,0)= f(x1,x2;) R(t1,t2)=R(t1+u,t2+u)=R(,0)= R()只關(guān)注兩個參量(t1,t2)的相對差，而絕對位置可以任意移動，其中=t1-t2

5、為核心變量，有文獻稱為時滯。13一階密度函數(shù)平穩(wěn)性示例相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)性示例14證明：如果高斯信號X(t)是廣義平穩(wěn)的，則其均值為常數(shù)m，協(xié)方差滿足平移不變性，即C(s,t)=C(s+,t+)。高斯信號的特征函數(shù)為對于任何 ，有故該信號是嚴格平穩(wěn)的。定理3.1 廣義平穩(wěn)的高斯信號必定是嚴格平穩(wěn)的。15解：由獨立性，有上式與各個參量ti本身無關(guān)，也與這組參量的平移無關(guān)，故U(t)是嚴格平穩(wěn)信號。16解：根據(jù)各個信號的均值、相關(guān)函數(shù)及概率特性，容 易得出：(1) 伯努利信號是嚴格平穩(wěn)信號，也是廣義平穩(wěn)信號；(2) 隨機正弦信號（該例條件下）是廣義平穩(wěn)信號；(3) 半隨機二進制傳輸信號與泊松信號是非平

6、穩(wěn)的。例3.2 試說明節(jié)各例的平穩(wěn)性。1718解：Y(t)的均值和相關(guān)函數(shù)分別為：由于Y(t)的均值為零，相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，故Y(t)是廣義平穩(wěn)的。19補充例1設(shè)隨機過程X(t)=At ，A為均勻分布于0,1上的隨機變量，試問X(t) 是否平穩(wěn)？解：因為 其中a為隨機變量A的樣本,可見不是平穩(wěn)的。20補充例2解：因為設(shè)隨機變量Z(t)=Xcost+Ysint, -t 0。分析下面兩式是否是功率譜的表達式。由于上式可能為虛數(shù)，不是正確的功率譜表達式。又如，1-e -(w-1)2可能為負數(shù)，也不是偶函數(shù)，因此也不是正確的功率譜表達式。67RX()與SX(w)都是實偶函數(shù)，只需關(guān)心e jw的實部，相

7、關(guān)函數(shù)和功率譜的關(guān)系可以表示為：68鑒于偶函數(shù)的特點，應(yīng)用中經(jīng)常使用單邊功率譜，表示為：69互功率譜密度互功率譜通常是復函數(shù)，反映了兩個信號的關(guān)聯(lián)性沿w軸的密度狀況。70（1)兩種互功率譜的實部相同，而虛部反號；（2)實信號的互相關(guān)函數(shù)為實函數(shù)，因此，互功率譜的實部都是偶函數(shù)，虛部都是奇函數(shù)。 性質(zhì)2 互功率譜具有對稱性。71解：由于X(t)與Z(t)獨立，且Z(t)是零均值的，因此它們正交。例3.10 討論（加性）單頻干擾。若實平穩(wěn)信號X(t)受到加性的獨立隨機正弦分量Z(t) = Acos(w0t+)的干擾。已知A, w0為常數(shù)，是在0,2)上均勻分布的隨機變量。求（1）受擾后信號Y(t)

8、的相關(guān)函數(shù)；（2）信號X(t)與Y(t)是否聯(lián)合平穩(wěn)？若是，進一步求功率譜SY(w)與互功率譜SXY(w)。72對于Y(t)=X(t)+Z(t), EY(t)=mX正交項使得交叉項為0故X(t)和Y(t)為聯(lián)合平穩(wěn)信號。73通過傅里葉變換得到從Y(t) 的功率譜中可以看到單頻干擾成分w0。743.5 白噪聲與熱噪聲 75白噪聲通常均值為零，因此C()=R()。相關(guān)系數(shù)為：白噪聲有時也通俗地稱為“純隨機的”： （1）無限帶寬的理想隨機信號 （2）功率（即方差）為無窮大 （3）而不同時刻上彼此不相關(guān) 76若白噪聲的每個隨機變量都服從高斯分布，則稱其為高斯白噪聲（信號）（WGN, White Gau

9、ssian Noise）。它是無關(guān)信號，也是獨立信號，代表信號“隨機性”的一種極限。如果平穩(wěn)序列對所有m滿足或者則該序列是白噪聲序列。高斯白噪聲序列是獨立序列。77例3.11 若N(n)是方差為2的零均值高斯白噪聲序列，試求：（1）它的相關(guān)函數(shù)Rn1,n2與協(xié)方差函數(shù)Cn1,n2；（2）它的n維概率密度函數(shù)。解：相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)為因為N(n)是獨立同分布的，其n維概率密度函數(shù)為783.6 應(yīng)用舉例 解：由歐拉公式，有當且僅當(1)=0時，EX(t)=0 (常數(shù))。例3.13 討論隨機相位正弦信號的廣義平穩(wěn)條件。正弦隨機信號X(t)=Acos(w0t+)，其中隨機變量A的均值為mA，方差為A

10、2，的特征函數(shù)為(v)，與A統(tǒng)計獨立。討論X(t)的廣義平穩(wěn)性。79當且僅當(2)=0時，上式為0。80隨機相位正弦信號廣義平穩(wěn)的充要條件是：此時當有81解：Y(t)是廣義平穩(wěn)信號，有82調(diào)制使得信號的頻譜發(fā)生搬移。83例 討論隨機二元（二進制）傳輸信號的平穩(wěn)性與功率譜。8485解：Y(t)的均值為Y(t)的相關(guān)函數(shù)為(1)假定|t1-t2|T ，兩時刻上獨立，則86(2) 假定|t1-t2|T, 則獨立的概率為： |t1-t2|/T不獨立的概率為：1- |t1-t2|/T87于是88功率譜為：注意：而PT(t)為中心在原點、寬度為T、高度為1的方波脈沖。89注意：該信號的直流成分，主瓣帶寬 (F=1/T Hz)，F(xiàn)是正數(shù)據(jù)率。90定理3.5 假定an為平穩(wěn)序列，均值為ma，自相關(guān)函數(shù)為Rak。設(shè)g(t)為中心在原點、寬度為T、高度為1的方波脈沖，傅氏變換為G(jw)。 ， ，則Y(t)=X(t-D)是平穩(wěn)信號，并且均值為自相關(guān)函數(shù)為功率譜為91 隨機電報過程X(t)的典型