[研究生入學(xué)考試]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章課件1

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 張國英教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）浙江大學(xué) 盛驟，謝式千，潘承毅編高等教育出版社前 言 概率論是研究偶然、隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)理論，產(chǎn)生于17世紀(jì)中葉。 17世紀(jì)中葉，法國宮廷貴族中間盛行擲骰子游戲。概率論發(fā)展初期，主要是從討論賭博問題開始的。 16世紀(jì)的意大利學(xué)者吉羅拉莫卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano）研究了擲骰子等賭博中的一些簡單問題。點(diǎn)數(shù)問題：對誰有利？ 兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏 n局就算贏?，F(xiàn)在一個人贏了 a（an）局，另一個人贏了b局（bn）。如果賭博提前中斷，該如何在兩賭徒間分配賭金?擲骰子問題：對誰有利 玩家連續(xù)擲 4 次

2、骰子，如果其中沒有 6 點(diǎn)出現(xiàn)，玩家贏，如果出現(xiàn)一次 6 點(diǎn)，則莊家贏。按照這一游戲規(guī)則，從長期來看，莊家扮演贏家的角色，而玩家大部分時間是輸家，因?yàn)榍f家總是要靠此為生的，因此當(dāng)時人們也就接受了這種現(xiàn)象。 后來為使游戲更刺激，游戲規(guī)則發(fā)生了變化，玩家這回用 2 個骰子連續(xù)擲 24 次，不同時出現(xiàn)2個6點(diǎn)，玩家贏，否則莊家贏。當(dāng)時人們普遍認(rèn)為，2 次出現(xiàn) 6 點(diǎn)的概率是一次出現(xiàn) 6 點(diǎn)的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一種規(guī)則的次數(shù)，也即 24 次贏或輸?shù)母怕逝c以前是相等的。然而事實(shí)卻剛好相反，從長期來看，這回莊家處于輸家的 狀態(tài)。 帕斯卡和費(fèi)馬（ Fermat）在通信中討論了點(diǎn)數(shù)問題及其

3、他問題。他們把這些日常賭博問題變成了真正的數(shù)學(xué)問題，用排列組合理論得出正確解答，并提出了數(shù)學(xué)期望的這一核心概念?，F(xiàn)在，大家公認(rèn)他們二人是概率論的共同創(chuàng)立者。 隨著18、19世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展，人們注意到在某些生物、物理和社會現(xiàn)象與游戲之間有某種相似性，從而由游戲起源的概率論被應(yīng)用到這些領(lǐng)域中；同時這也大大推動了概率論本身的發(fā)展。 真正使概率論作為一門獨(dú)立數(shù)學(xué)分支的莫基人是雅各布伯努利（Jacob Bernoulli）。他建立了概率論中第一個極限定理，即伯努利大數(shù)定律，證明了隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，某一事件出現(xiàn)的頻率會越來越接近該事件的概率。其意義在于揭示了因偶然性的作用而呈現(xiàn)的雜亂無章現(xiàn)象中的一種規(guī)律

4、性。 隨后棣莫弗和拉普拉斯又導(dǎo)出了第二個基本極限定理（中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯在系統(tǒng)總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上寫出了概率論專著，明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的分析工具，從 而將概率論推向一個新的發(fā)展階段。 如何定義概率，如何把概率論建立在嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)上，是概率理論發(fā)展的困難所在，對這一問題的探索一直持續(xù)了3個世紀(jì)。 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫1933年在他的概率論基礎(chǔ)一書中第一次給出了概率的定義和一套嚴(yán)密的公理體系。他的公理化方法成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，對概率論的迅速發(fā)展起了積極的作用。 現(xiàn)在，概率與統(tǒng)計(jì)的方法日益滲透到各個領(lǐng)域，并廣泛應(yīng)用于自

5、然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)、金融保險甚至人文科學(xué)中 。 為什么要學(xué)習(xí)這門課？ 理論嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛、發(fā)展迅速。目前,不僅高等學(xué)校各專業(yè)都開設(shè)了這門課程, 而且從上世紀(jì)末開始, 這門課程特意被國家教委定為本科生考研的數(shù)學(xué)課程之一 概率論應(yīng)用非常廣泛，幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報、股市預(yù)測、地震預(yù)報、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查；在通訊工程中可用以提高信號的抗干擾性、分辨率等等第一章 概率論的基本概念 隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件頻率與概率等可能概型（古典概型）條件概率獨(dú)立性 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象 “太陽總是從東邊升起”,1. 確定性現(xiàn)象 “同性電荷互斥”“水往低處流”,實(shí)例確定性現(xiàn)象與隨機(jī)

6、現(xiàn)象自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象 我們事先知道每次試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。但每次 的結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中，其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象2. 隨機(jī)現(xiàn)象 實(shí)例1 “在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”。結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面。結(jié)果有可能為:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”。 實(shí)例3 “拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”。 實(shí)例2 “用同一門炮向同 一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多 發(fā), 觀察彈落點(diǎn)的情況”。結(jié)果: “彈落點(diǎn)會各不相同”。 在我們所生活的世界上，充滿了不確定性 隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的。問題：什么是隨機(jī)試驗(yàn)

7、？ 試驗(yàn)（Experiment）：是一個廣泛的術(shù)語，包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn)，也包括對客觀事物的“觀察”、“測量”等。如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?1.1 隨機(jī)試驗(yàn)例1.1E1: 拋一枚硬幣， 觀察出現(xiàn)正面H和反面T的情況；E2: 將一枚硬幣連拋三次，觀察出現(xiàn)正反面的情況；E3: 將一枚硬幣連拋三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；E4: 擲一顆骰子，察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E5: 記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù)；E6: 在一批燈泡中任取一只，測其壽命；E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。 上述實(shí)驗(yàn)有共同的特點(diǎn)： （1）可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行; （2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗(yàn)的

8、所有可能結(jié)果; （3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。具有以上三個特征的試驗(yàn)成為隨機(jī)試驗(yàn)（E，Random experiment） 。樣本空間（Sample space）: 隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能的結(jié)果組成的集合。記為S。樣本點(diǎn)（Sample, Outcome）：樣本空間中的每個元素，即試驗(yàn)的每個結(jié)果。記為e。 EX ：給出例1.1的樣本空間。1.2 樣本空間、隨機(jī)事件 隨機(jī)事件（簡稱事件）：試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件。注意 ：每次試驗(yàn)，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生，如： 事件A發(fā)生（Event occurrence）當(dāng)且僅當(dāng)A中的一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)。

9、基本事件（Elementary event） 由一個樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集，如E 1有兩個基本事件H,T.E4有6個基本事件1,2,3,4,5,6. 必然事件（Certain event） S 樣本空間S包含所有的樣本點(diǎn)，它是S自身的子集，在每次實(shí)驗(yàn)中它總是發(fā)生的，S稱為必然事件。 不可能事件 （Impossible event） 空集不包括任何樣本點(diǎn)，也是樣本空間的子集，每次實(shí)驗(yàn)中都不發(fā)生，空集稱不可能事件。E2: 將一枚硬幣連拋三次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；A=HHH,HHT,HTH,HTT對于試驗(yàn)E2 ， A，B為以下隨機(jī)事件B=HHH,TTT A: 第一次出現(xiàn)正面; B: 三次出現(xiàn)同一面;在

10、E6中:事件A3：“壽命小于100小時”，即 A3=t|0t0)個樣本點(diǎn)，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率（Conditional probability）。 一般地，設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)0，則 條件概率的定義條件概率的性質(zhì) 設(shè)B是一事件，且P(A) 0，則對任意事件B, 0P(B|A) 1 ;P(S|A) =1 ;3. 設(shè)B1,B2,是兩兩互不相容事件，則而且，前面對于概率所證明的一些重要性質(zhì)都適用于條件概率。 比如對任意事件設(shè)A、B是隨機(jī)事件，P(A) 0，則 P(AB) P(B|A) P(A) 稱為事件A、B的乘法公式。二、乘法公式 乘法公式還有一種對稱形式： 若P

11、(B) 0，則P(AB) P(A|B) P(B)。 利用乘法公式可計(jì)算幾個事件同時發(fā)生的概率。推廣： P(ABC) P(C|AB) P(B|A) P(A). P(A1A2An)P (An|A1An1) . P(A2|A1) P (A1) 定義 事件組B 1，B2，Bn （n可為），稱為樣本空間S的一個劃分，若滿足：B1B2BnA三、全概率公式和貝葉斯公式 定理1、 設(shè)B1，, Bn 是 S 的一個劃分，且P(Bi)0，(i1，n)，則對任何事件A有 上式就稱為全概率公式。則稱B 1，B2，Bn 是樣本空間S的一個劃分。事件B 1，B2，Bn中必有一個且僅有一個發(fā)生。 因?yàn)?A = AS = A

12、(B1B2 Bn) = AB1AB2ABn 由假設(shè)，P(Bi)0，(i1n), 且 (ABi)(ABj)=F，ij 那么, P(A) = P(AB1 ) + P(AB2 ) + P(ABn ) = P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn) P(Bn) 證明：定理2 設(shè)A1, , An是S的一個劃分，且P(Ai) 0，（i1, , n），則對任何事件B，有 上式就稱為貝葉斯公式。該公式于1763年由貝葉斯（Bayes）給出。它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率。1.6 獨(dú)立性一、兩個事件的獨(dú)立性先看例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)A=第一次擲

13、出6點(diǎn)， B=第二次擲出6點(diǎn), 求 P(B|A)，P(B)。這就是說：已知事件A發(fā)生，并不影響事件B發(fā)生的概率, 即 P(B|A) = P(B), 這時稱事件A、B獨(dú)立。 由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時，有 P(AB)=P(A) P(B)。P(AB)=P(A)P(B|A)用 P(AB)=P(A) P(B) 刻劃獨(dú)立性，比用P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好，它不受P(B)0或P(A)0的制約。兩事件獨(dú)立定義： 若兩事件A、B滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1)則稱A、B獨(dú)立, 或稱A、B相互獨(dú)立（Independent）。若P(A)0, P(B)0,

14、“A 與 B 相互獨(dú)立” 和 “A 與 B 互斥” 不能同時成立。定理一 A ，B兩事件， P(A)0，若A ，B相互獨(dú)立，則P(B|A) = P(B) ，反之亦然。即若P(A)0, 則A 與 B 相互獨(dú)立的充分必要條是P(B|A) = P(B) 。若P(B)0, 則A 與 B 相互獨(dú)立的充分必要條件是P(A|B) = P(A)。 問：能否在樣本空間S中找兩個事件，它們既相互獨(dú)立又互斥?任意事件A與F獨(dú)立且互斥。因?yàn)椋?AF= F,P(A F)= P(F)= 0 = P(A)P(F)，所以, 任意事件A與F獨(dú)立且互斥。 設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)0, P(B)0,下面四個結(jié)論中，正確的是：

15、前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)，3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。 設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)0, P(B)0,下面四個結(jié)論中，正確的是：1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)，3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)。 再來做個小練習(xí)。= P(A)- P(AB)P(A )= P(A - A B)A、B獨(dú)立故A與 獨(dú)立。= P(A)- P(A) P(B)證明: 僅證A與 獨(dú)立。定理二：若兩事件A、B獨(dú)立，則 也相互獨(dú)立。=P(A)1-P(B)=P(A)P( ),二、多個事件的獨(dú)立性定義 若三個事件A、B、C滿足：（1）P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；若在此基礎(chǔ)上還滿足：（2）P(ABC)P(A)P(B)P(C), 則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。 一般地，設(shè)A1,A2, ,An是 n個事件，如果對任意k( 1kn ), 任意 1i1 i2 2)個事件兩兩獨(dú)立與事件相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立/常由實(shí)際問題的意義判斷事件的獨(dú)立性。事件獨(dú)立性的判斷由于“甲命中”并不影響“