人工智能原理與實(shí)踐：基于Python語言和TensorFlow-第10章--偏微分方程模擬仿真課件

1、人工智能原理：基于Python語言和TensorFlow第10章 偏微分方程模擬仿真計(jì)算函數(shù)的定義偏微分方程的定義仿真簡(jiǎn)介18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德歐拉（Leonhard EuLer）在與其他數(shù)學(xué)家解決物理問題的過程中，創(chuàng)立了微分方程這門學(xué)科。常見的微分方程有常微分方程、偏微分方程等，其中，常微分方程是指解得的未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，即一個(gè)量隨一個(gè)自變量變化的規(guī)律，比如我們常見到的行駛中的車輛位置會(huì)隨著時(shí)間變化而規(guī)律運(yùn)動(dòng)；偏微分方程是指解得的未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，即一個(gè)量隨兩個(gè)或多個(gè)自變量變化的規(guī)律，它比常微分方程更復(fù)雜一些，不僅僅在于自變量的增多，還因?yàn)楦鱾€(gè)自變量之間會(huì)有耦合

2、，比如溫度會(huì)隨著時(shí)間的變化而在不同位置上有不同的數(shù)值表現(xiàn)，與此同時(shí)，溫度隨位置的變化也會(huì)因?yàn)闀r(shí)間的不同而在數(shù)值上有所變化，生活中的天氣預(yù)報(bào)，就是通過計(jì)算機(jī)來對(duì)偏微分方程進(jìn)行求解而得到的。簡(jiǎn)介偏微分方程關(guān)于純數(shù)學(xué)研究的第一篇論文是歐拉所寫的方程的積分法研究，在此之后，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（Jean Le Rond dALembert）也在他的著作動(dòng)力學(xué)和論文張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究中提出了關(guān)于偏微分方程的內(nèi)容，從而最終開創(chuàng)了偏微分方程這門學(xué)科。19世紀(jì)是偏微分方程迅速發(fā)展的時(shí)期，瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾伯努利（DanieL BernouLLi）、法國數(shù)學(xué)家約瑟夫拉格朗日（Joseph-Louis L

3、agrange）、讓巴普蒂斯約瑟夫傅里葉（Jean Baptiste Joseph Fourier）在各自研究領(lǐng)域的成果都對(duì)偏微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了不同程度的影響。簡(jiǎn)介對(duì)于偏微分方程問題的討論和解決，往往需要應(yīng)用微分幾何學(xué)、代數(shù)與拓?fù)鋵W(xué)等其他數(shù)學(xué)分支的理論和方法。偏微分方程的解有無窮多個(gè)，但是解決具體的實(shí)際問題時(shí)，則需要從中選取出所需要的最適合的解，因此，一些必備的附加條件是必不可少的。偏微分方程屬于同一類現(xiàn)象的共同規(guī)律的表示式，僅僅知道共同規(guī)律是無法掌握和了解具體問題的特殊性的，所以，針對(duì)不同的具體問題，它的特殊性就在于所處的不同環(huán)境的特定條件，即初始條件和邊界條件，又被稱為定解條件。定解條件

4、反映出具體問題的個(gè)性和具體情況，定解條件和方程式的結(jié)合被稱為定解問題。求偏微分方程的定解問題可以先求出它的通解，然后再用定解條件確定出函數(shù)。10.1 計(jì)算函數(shù)的定義首先，針對(duì)計(jì)算函數(shù)，先導(dǎo)入一些模擬仿真所必需的庫文件，代碼如下所示。*#導(dǎo)入模擬仿真需要的庫import tensorfLow as tfimport numpy as np#導(dǎo)入可視化需要的庫import PIL.Imagefrom cStringIO import StringIOfrom IPython.dispLay import cLear_output, Image, dispLay*10.1 計(jì)算函數(shù)的定義源程序代碼內(nèi)

5、容中，通過使用import tensorfLow as tf和import numpy as np將模擬仿真中所需要的TensorFlow模塊和NumPy模塊進(jìn)行導(dǎo)入；import PIL.Image代碼中的圖像處理類庫（Python Imaging Library Python，PIL）提供了關(guān)于圖像的最基本的處理及功能操作，如圖像的旋轉(zhuǎn)、裁剪、縮放、顏色的變化等。利用免費(fèi)的圖像處理類庫中的各類函數(shù)，我們可以將數(shù)據(jù)從圖像格式的文件中提取出來進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，然后再將處理之后的數(shù)據(jù)寫入到指定的圖像格式中，在圖像處理類庫的眾多函數(shù)中，最重要的一個(gè)函數(shù)是Image函數(shù)。在代碼內(nèi)容中，from cStr

6、ingIO import StringIO代碼語句中的cStringIO和StringIO所代表的是兩個(gè)不同功能的模塊，這兩個(gè)模塊具有相似的功能操作。10.1 計(jì)算函數(shù)的定義其中，StringIO模塊的功能和文件具有很高的相似性，它算是存在于內(nèi)存中的一個(gè)文件，對(duì)StringIO模塊進(jìn)行操作的方法與我們對(duì)磁盤文件進(jìn)行操作的方法相類似，即通過StringIO模塊對(duì)內(nèi)存文件進(jìn)行讀取和寫入的操作；而cStringIO模塊則與StringIO模塊相類似，但是它又比StringIO模塊更高效一些。原因是因?yàn)镻ython語言是一種動(dòng)態(tài)的計(jì)算機(jī)編程語言，它可以進(jìn)行解釋性執(zhí)行，如果想要針對(duì)Python程序代碼的

7、運(yùn)行速度進(jìn)行提高，可以通過使用C語言來對(duì)某些關(guān)鍵函數(shù)進(jìn)行重寫，通過這種方式可以提高整個(gè)Python程序代碼的執(zhí)行速度，而具體到cStringIO和StringIO這兩個(gè)模塊來講，StringIO模塊是使用純Python代碼編寫的模塊內(nèi)容，而cStringIO模塊中的部分函數(shù)則是使用C語言編寫的，因此cStringIO模塊運(yùn)行速度會(huì)更高效。10.1 計(jì)算函數(shù)的定義針對(duì)池塘的表面狀態(tài)，我們通過一些程序代碼來進(jìn)行相應(yīng)操作的函數(shù)設(shè)定，代碼如下所示。*def DispLayArray(a, fmt=jpeg, rng=0,1): DispLay an array as a picture. a = (a

8、 - rng0)/fLoat(rng1 - rng0)*255 a = np.uint8(np.cLip(a, 0, 255) f = StringIO() PIL.Image.fromarray(a).save(f, fmt) dispLay(Image(data=f.getvaLue()*10.1 計(jì)算函數(shù)的定義接下來，需要打開一個(gè)TensorFLow的交互式會(huì)話內(nèi)容，來進(jìn)行更加方便的效果演示。此外，將相關(guān)代碼內(nèi)容寫入到Python編程語言的可執(zhí)行文件中，這樣能夠在以后的操作中更加方便地進(jìn)行調(diào)用，代碼如下所示。*sess = tf.InteractiveSession()*10.1 計(jì)算函

9、數(shù)的定義經(jīng)過前面知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了TensorFLow是基于圖的計(jì)算系統(tǒng)，圖的節(jié)點(diǎn)是由操作來構(gòu)成的，而圖的各個(gè)節(jié)點(diǎn)是由張量作為邊來進(jìn)行連接的，TensorFLow的圖必須在一個(gè)Session操作中來進(jìn)行計(jì)算，Session操作提供了代碼執(zhí)行和張量求值的環(huán)境。TensorFLow中的變量和操作定義好以后，由Session對(duì)象合成圖形才會(huì)得到最終的結(jié)果圖像，我們一般使用tf.Session()對(duì)象來進(jìn)行相應(yīng)的操作，但是Session的運(yùn)行會(huì)涉及運(yùn)算，比較消耗資源，因此在Session的運(yùn)行操作結(jié)束以后，我們需要通過使用sess.cLose()語句來手動(dòng)關(guān)閉Session操作。另外，對(duì)于P

10、ython原生編輯器或類似于Jupyter這樣的基于瀏覽器的Python編輯器來講，運(yùn)行時(shí)需要將程序代碼一段一段地輸入，于是，就出現(xiàn)了tf.InteractiveSession()這樣的交互式Session。用來完成在圖的運(yùn)行過程中實(shí)現(xiàn)一些計(jì)算圖的插入，這些計(jì)算圖可以由某些操作構(gòu)成。通過此種方式，可以提高交互式環(huán)境中工作的便利性，在構(gòu)建交互式會(huì)話時(shí)，可以先構(gòu)建一個(gè)Session，然后再定義一個(gè)操作，其目的是為了實(shí)現(xiàn)交互式環(huán)境下，手動(dòng)設(shè)定當(dāng)前Session為默認(rèn)Session，從而避免掉了每次都要針對(duì)sess進(jìn)行說明的繁瑣過程，10.1 計(jì)算函數(shù)的定義代碼如下所示。*def make_kerne

11、L(a): Transform a 2D array into a convoLution kerneL a = np.asarray(a) a = a.reshape(List(a.shape) + 1,1) return tf.constant(a, dtype=1)def simpLe_conv(x, k): A simpLified 2D convoLution operation x = tf.expand_dims(tf.expand_dims(x, 0), -1) y = tf.nn.depthwise_conv2d(x, k, 1, 1, 1, 1, padding=SAME)

12、 return y0, :, :, 0def LapLace(x): Compute the 2D LapLacian of an array LapLace_k = make_kerneL(0.5, 1.0, 0.5, 1.0, -6., 1.0, 0.5, 1.0, 0.5)return simpLe_conv(x, LapLace_k)*第10章 偏微分方程模擬仿真計(jì)算函數(shù)的定義偏微分方程的定義仿真10.2 偏微分方程的定義我們首先創(chuàng)建一個(gè)500500的方形池塘以及若干滴即將落入池塘中的雨滴，代碼如下所示。*N = 500#初始條件-一些雨滴落入池塘#設(shè)置變量為零u_init = np.

13、zeros(N, N, dtype=fLoat32)ut_init = np.zeros(N, N, dtype=fLoat32)#一些雨滴隨機(jī)落入池塘中for n in range(40): a,b = np.random.randint(0, N, 2) u_inita,b = np.random.uniform()DispLayArray(u_init, rng=-0.1, 0.1)*10.2 偏微分方程的定義運(yùn)行后，模擬圖片如圖所示。10.2 偏微分方程的定義下一步，針對(duì)微分方程的一些詳細(xì)參數(shù)，進(jìn)行制定，代碼如下所示。*#參數(shù)：#eps 時(shí)間分辨率#damping 波阻尼eps = t

14、f.pLacehoLder(tf.fLoat32, shape=()damping = tf.pLacehoLder(tf.fLoat32, shape=()#為模擬狀態(tài)創(chuàng)建變量U = tf.VariabLe(u_init)Ut = tf.VariabLe(ut_init)#離散PDE更新規(guī)則U_ = U + eps * UtUt_ = Ut + eps * (LapLace(U) - damping * Ut)#更新狀態(tài)的操作step = tf.group( U.assign(U_), Ut.assign(Ut_)*第10章 偏微分方程模擬仿真計(jì)算函數(shù)的定義偏微分方程的定義仿真10.3 仿真仿真過程中，加入for循環(huán)代碼部分，來實(shí)現(xiàn)仿真效果的清晰化，代碼如下所示。*#初始化狀態(tài)到初始條件tf.initiaLize_aLL_variabL