溫州大學高等數(shù)學習題3

1、溫州大學高等數(shù)學習題3習題31i討論下面問題（1）舉例說明羅爾定理中導數(shù)的零點不一定唯一.（2）拉格朗日定理和羅爾定理有何區(qū)別？它們之間有什么關(guān)系？（3）舉例說明，拉格朗日定理中的條件只是充分條件而不是必要條件（舉一個少一條件結(jié)論不成立的例子，再舉一個不滿足條件但結(jié)論成立的例子）.口2.驗證X口XQXQf-在區(qū)間3,0上滿足羅爾定理的條件，并求出定理中的口3.函數(shù)25）（23-+-=XXQXQX在上是否滿足拉格朗日定理條件，若滿足，求出定理中施.函數(shù)2QQXQXQ與1）（3-=XQX在2,1上是否滿足柯西定理條件，若滿足，求出定理中的設(shè)函數(shù)）2）（1）（2）（1（）（+-=XQXQX口證明0）

2、（=X的根全為實數(shù)，并指出它們所在的區(qū)間.設(shè)）（XQ在,0n上可導，證明存在一點印使得OCOSQ）（SinQ冏蹣fQ.Q.用拉格朗日定理證明，若）（XQ在）,0口上連續(xù)，且當OXC0寸，0）（X而0）0（=,則當OXC0寸，0）（XQ.fQ.設(shè)）（XQ在）,（bQ內(nèi)可導，且CQXQKQ,其中CQ為常數(shù)，證明DQCXQXQfQ+=）19.證明下列不等式（1）iiisinQSinQibQaQ；Qa2）當叮x：0寸，eXQeQX；（3）當bQaQ時，22iarctanQarctanQiaQaQbQaQbQbQaQbQ+-4xq寸，xqxqxX+nnnn-.-aQaXQXQaQaXQ；QQ3QQ01H

3、DQXQXQXQXQXQSinQ；COSM-0lAiXXXQXQ3SinQarcs.QQTXQlimQaQXQX；QinQ）Q2lnm-fflQ8SeCQ6tanQ+-xQQ（7）Q4+0limQXQXXQ2tanQlnQ7tan;ln叭丹QlimQXQ）iln（lnQ-;呱x）qi）qinQ1（-XQx呱（10）Q1lXQ11-XQx叩（QQ）Q+XQlimQXx1)arctan2(-n;(12)+0limxxx;(13)-t2limnxxx2sin)(tan;(14)1limtx2tanxxn.)0()()1(32)1ln(132t+-+-+-=+-xxonxxxxxnnn.習題33設(shè)0)

4、(xxxf=在的鄰近有連續(xù)的二階導數(shù)，證明)()(2)()(lim020000 xfhxfhxfhxfh=-+t.2.按)4(-x的乘幕展開多項式435234+-+-Xxxx.求函數(shù)xy=在40=乂的三階泰勒展開式.求函數(shù)xytan=的二階麥克勞林公式.求函數(shù)23)(2610+-=xxxxf在10=x處的泰勒展開式的前三項，并計算)03.1(f的近似值.習題341.下面命題正確嗎？為什么？若0 x時)()(xgxf,則0 x時，)()(xgxf；若)0()0(gf且當0 x時)()(xgxf,則當0 x時)()(xgxf;(3)若0)(=bf,0)(xf)(bxa,則)(0)(bxaxf；若)

5、()(bgbf=)()(xgxf)(bxa.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)7186223-=xxxy；(2)0(82+=xxxy；xexy-=；(4)212xxy+=;(5)20(sin2n-=axaaxy.3.證明下列不等式.當0 x時，221)1ln(1xxxx+;(2)當20nxa時，)1(11-x時，1ln-xx;當0nx時，xxx+1arctan)1ln(;(6)當0 x時，6sin3xxx-.4.證明方程xx=sin只有一個實根.5.若在),(8+-8上0)0(,0)(fxf，證明xxfxF)()(=在區(qū)間)0,(-8和),0(8+上單調(diào)增加.習題351下面命題正確嗎？為什么？極值

6、點一定是函數(shù)的駐點，駐點也一定是極值點；若)(1xf和)(2xf分別是函數(shù))(xf在),(ba上的極大值和極小值，則)()(21xfxf若0)(0=xf,0)(0=xf,則)(0 xf在0 x處沒有極值.求下列函數(shù)的極值.2332xxy-=；(2)242xxy+-=；(3)1ln(xxy+-=；(4)xxyln=；(5)xxy-+=1；(6)144322+=xxxxy；(7)xeyxcos=；(8)xxeey-+=2；(9)xxy1=；(10)32)1(2-=xy；xxytan+=(12)20(cossin33n+=xxxy.設(shè)函數(shù)xbxxaxf+=2ln)(在2,121=xx取得極值，試定出

7、ba，的值，問此時)(xf在21,xx是取極大值，還是極小值？試證：如果函數(shù)dcxbxaxy+=23滿足條件032-acb，則該函數(shù)無極值.試問a為何值時，函數(shù)xxaxf3sin31sin)(+=在3n=x處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值.習題36求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值.(1)2,2523123-+-=xxy；(2)4,02xxy+=；(3),(328+-8=xy；(4)2,1)1ln(2-+=xy;(5),0(ln8+=xxy;(6)1,2112-+=xxy;(7)4,011+-=xxy;(8),(228+-8=-xexy.從一塊邊長為a的正方形鐵皮的各角上截去相

8、等的方塊，把四邊折起來做成一個無蓋的方盒，為了使這個方盒的容積最大，問應該截去多少？塊半徑為R的圓扇形鐵皮，做一個錐形漏斗，問圓心角?取多大時，做成的漏斗容積最大？用圍墻圍成面積為216平方米的一塊矩形土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最??？求內(nèi)接與橢圓12222=+byax而面積最大的矩形的各邊長.6.求內(nèi)接與半徑為R的球內(nèi)且體積最大的圓柱體的高.輪船甲位于輪船乙以東75海里處，以每小時12海里的速度向西行駛，而輪船乙以每小時6海里的速度向北行駛，問經(jīng)過多少時間兩船相距最近？對物體的長度進行了n次測量，得n個數(shù),21xx.nx,.現(xiàn)在要確

9、定一個量x使得它與測得的數(shù)值之差的平方和為最小，x應是多少？生產(chǎn)某種商品x個單位的利潤是200001.05000)(xxxL-+=(單位：元).問生產(chǎn)多少個單位商品時，獲得的利潤最大，最大利潤是多少？習題37.求下列函數(shù)的拐點及凸凹間.(1)32xxy-=;(2)3553xxy-=;(3)xexy+=4)1(;(4)1ln(3+=xy;xeyarccot=;(6)3xy=.2.試證明曲線112+-=xxy有三個拐點位于同一直線上.3.a及b為何值時，點)3,1(是曲線23bxaxy+=的拐點？試確定22)3(-=xky中k的值，使曲線的拐點處的法線通過原點.求下列曲線的漸近線.(1)xyln=

10、;(2)xey11+=;(3)23)1(-=xxy;(4)2)21(1xxy-+=.作出下列函數(shù)的圖形.2332xxy-=;(2)xexy-=2;(3)22-=xxy;(4)xxyarccot2-=.習題381.某產(chǎn)品生產(chǎn)x單位的總成本C為x的函數(shù)2120011100)(xxCC+=，求(1)生產(chǎn)900單位時的總成本和平均單位成本;生產(chǎn)900到1000單位時總成本的平均變化率;生產(chǎn)900和1000單位時的邊際成本;2.設(shè)某商品的需求函數(shù)為4145QP-=，總成本函數(shù)為QC30200+=，試求(1)當100=Q時，總收益、平均收益和邊際收益;(2)當100=Q時，總利潤、平均利潤和邊際利潤；求函

11、數(shù)xey4120=和&xy=(a為常數(shù))的彈性函數(shù).4.設(shè)某商品需求函數(shù)為4PeQ-=，求需求彈性函數(shù)及5,4,3=PPP時的需求彈性.自測題一、選擇題(每題2分，共30分)1在下列函數(shù)中，在1,1-上滿足羅爾定理條件的函數(shù)是().(A)xe;(B)xln;(C)21x-;(D)211x-2.設(shè))(xf在,ba上連續(xù)，在),(ba內(nèi)可導，21,xx是),(ba內(nèi)任意兩點，且)()(21xfxf右則在),(21xx內(nèi)至少有一點E，使得()(A)0)(=Ef；(B)1212)()()(xxxfxff-=E；(C)()()(12Efxfxf=；-(D)2112)()()(xxxfxff-=E.3.函

12、數(shù)xxfarctan)(=在1,0上，使拉格朗日中值定理成立的是().(A)4arccosn；(B)n4arccos-;(C)nn-4;(D)nn-4.如果ba，是方程0)(=xf的兩個根，)(xf在,ba上連續(xù)，在),(ba內(nèi)可導，那么方程0)(=xf在),(ba內(nèi)().(A)只有一個根；(B)至少有一個根；(C)沒有根；(D)以上結(jié)論都不對.5若)(xf在),(ba內(nèi)滿足0)(xf，則曲線)(xf在),(ba內(nèi)是().(A)單調(diào)上升且是凹的；(B)單調(diào)下降且是凹的；(C)單調(diào)上升且是凸的；(D)單調(diào)下降且是凸的.設(shè))(xf在),(ba內(nèi)可導,),(0bax巳若0 xx時，0)(xf；0 xx時，0)(xf是函數(shù))(xf遞增的條件.若)(),(xgxf在點b左連續(xù)且)()(bgbf=,)()(xgxf)(bxa+=CxCxF在=乂點處取得極值，其值為.9.函數(shù)xxxfIn)(=當=乂時取得極小值，且極小值為.10.函數(shù)221)(xxxf-=在1,3-上的最大值為，最小值為三、求下列各題(每題5分，共25分)1設(shè)=H-=1,01,1)1()(xxxxgxF且0)0()0(=gg,)(xg連續(xù)，2)0(=g；求)1(F.2設(shè))()2)(1()(nxxxxxf-=求)0(f.3已知)(xf三次可微，且0)0(=