課后答案jr ch4習(xí)題參考答案

1、 Ch4 習(xí)題參考(1-29)4.1偏好相同，可知 pix y 加總時(shí)，價(jià)格 p 可提出來(lái)，任何商品的市場(chǎng)需求只和總收入有關(guān)，獨(dú)立于收入分配。/由于偏好位似，設(shè)u(x) g ( f (x) ， g (x)0, f(kx)=kf(x)。問(wèn)題 x arg max u(x), s.t. px y 等價(jià)于 x arg max f (x), s.t. px y1x而max f (x), px y y.max f (x), p 1yyxxx進(jìn)而 y max f ( ), p 1，令 z ，則 y max f (z), pz 1yyyxi i y那么， f (kx) kf (x) x ( p, y) y x

2、 ( p,1) ，因此， 1，y xi表明市場(chǎng)需求的收入彈性等于 1。4.2可構(gòu)例說(shuō)明，市場(chǎng)需求不必然獨(dú)立于其收入分配。4.3x p, y x p, y hxp, u p, y iixi由（1.20）ppiyiix p, y x p, y hxp, yi 0 總是成立，正常商品，ii 0 。0 ，則piypi4.4對(duì)所有消費(fèi)者都互相替代時(shí)，結(jié)論成立。4.5J競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)長(zhǎng)期均衡的兩個(gè)條件： qd ( p) q j ( p) ； j ( p) 0 ， j 1, J ；j 1長(zhǎng)期中市場(chǎng)出清和零利潤(rùn)條件共同決定均衡價(jià)格和行業(yè)內(nèi)長(zhǎng)期均衡的廠商數(shù)目 J ，廠商技術(shù)規(guī)模不變時(shí)， qd ( p) qs ( p)

3、 ，長(zhǎng)期均衡中廠商數(shù)目不確定。4.6p a（a）廠商 j 實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化時(shí) p mc a 2q*2bjj因此對(duì)于不同廠商，產(chǎn)出不同。1p a（b） bj 0 ，則當(dāng) p a 時(shí),每個(gè)廠商產(chǎn)出為 0；當(dāng) p a 時(shí)，產(chǎn)出為。2bj4.7（a）p aMC a 2bq p q 2bp a qs J,由qs qd2bp 2b a J , q 2b a JJ 2bMC a q2AC a q J2 2bb(b)ba 0, b 0 時(shí)， AC MC ，廠商定價(jià)原則 p=MC，ACP，廠商虧損，沒(méi)有廠商進(jìn)入。（c）同理 a 0, b 0 時(shí)， MC p CA，廠商有超額利潤(rùn)，市場(chǎng)上可有無(wú)數(shù)個(gè)廠商。4.8J 2

4、 時(shí)， C(q1 ) c1q1 ， C(q 2 ) c 2q 2 ，其中0 c1 c 2廠商 1 利潤(rùn)： (q1 ) (a bq1 b1 c1q1廠商 2 利潤(rùn)： (q 2 ) (a bq1 b2 c 2 q 2，式分別對(duì) q1 ， q 2 求偏導(dǎo)，得(q1 ) a bq 2 c1a 2bq bq c 0 ， q1211q12b(q 2 ) a bq1 c 2a bq 2bq c 0 ， q 1222q 22ba 2c1 c 2a c1 2c 2將式代入式，得q ， q 123b3b a 2c1 c 2 a c1 2c 2 c c212，3b3b3b由已知 0 c1 c2 a，b 02，得2

5、) (a bq1) 1 c1q1 (a bq12 c2q2 ()2 a(2 ) b(2 )(2 ) c 2q 2 c1q1 (2 )(a bq1 bq 2 ) c 2q 2 c1q1c 2 c1a c1 c 2 () c q c q221 1)(b3(c c )21c qc q 2 2 1 1a 2(cc )1 23b其中，c 2c 1a c 1 c 2(c 2 c1 )a 2(c1 c 2 )()() (2) b33b (c c )21 2a (cc )1 23bq2 ) (c c ) 21 12 (c 2) a 0c3b由式，因此，較之廠商 2，廠商 1 將會(huì)在均衡中擁有更大的利潤(rùn)與更大的

6、市場(chǎng)產(chǎn)出份額。4.9（a）兩個(gè)生產(chǎn)者的利潤(rùn)函數(shù)分別為：qq2 = p+2 = 0q = 0 2q1q100廠商 2 是follower，所以，即22q= =114則，故令：1 =q9181（b）當(dāng)廠商 2 是 leader，廠商 1 是 follower 時(shí)，同理：215275= 46225 , = 44009*q*p1=,=,1366362（c）比較（a）和（b），兩個(gè)生產(chǎn)者都想成為 leader.2121 = 6522 = 55（d）兩個(gè)生產(chǎn)者都想成為 leader 時(shí)，31 =q12 =q23FOC.2p* = 115 , = 11050 , = 110012393此時(shí)，1 q, q =

7、 25 1 q24221在模型中，兩個(gè)廠商生產(chǎn)函數(shù)為*110*30068200*24200=, p =, =, q*=,1227774949所以，所以4.10模型中均衡時(shí)總產(chǎn)出較前面情形下少，價(jià)格則較高，廠商利潤(rùn)更高。（a）1 為 2 a b(者，2 為跟隨者* a c 0.5qq )q22212bq* a c , q* a c 1 a (q )q21122b4b 1 (a c)2 2 (a c)2,8b16b又a c，故 1 2(a c)2(a c)2比較均衡時(shí)， i=i=1，2；J=2（J+1）2b9b故成為者獲得更大利潤(rùn)，因此都愿意成為者。（b）如果兩個(gè)廠商都假設(shè)對(duì)方是 follower

8、，則2)q1q1q q1 21 =(a= a 2)221 2qqq q2 =(a= a q* a c22b4.11Jp a b q jj 1（a）解：設(shè)反市場(chǎng)需求函數(shù)為（1）這里 a0,b0,ac4JqJ ) (abj 1q j k cq jj (j則廠商 j 的利潤(rùn)是（2）如果(J ) 是一個(gè)j ， q jqkqk均衡，對(duì)于一切 k 2,-必定會(huì)在處最大化，因此對(duì)于一切 k 1,.J ，（2）式關(guān)于 q j 的導(dǎo)數(shù)必在a 2b q j b qk c 0時(shí)等于 0，即k j（3）a cq b(J 1)在均衡中一切廠商產(chǎn)量相等，由（3）式解得J (a c)JJ (a c) q jp a b(J

9、1)J 1j 1則均衡價(jià)格為均衡總產(chǎn)量為(a c)2 jk(J 1)2 b每個(gè)廠商的利潤(rùn)為(a c)2 jk(J 1)2 b（b）由上題知每一個(gè)廠商的利潤(rùn)為在進(jìn)入和退出條件下，長(zhǎng)期均衡時(shí)每一個(gè)廠商利潤(rùn)都為 0，(a c)2J a c 1 j k 0(J 1)2 bkb則有解得長(zhǎng)期均衡時(shí)廠商數(shù)目4.12(a)兩個(gè)廠商進(jìn)行價(jià)格的競(jìng)爭(zhēng)，價(jià)格低的獲得全部市場(chǎng)；價(jià)格相等時(shí)各獲得一半市場(chǎng)( p1 c)q1 F q p cq F因此廠商 1 的利潤(rùn)函數(shù)為11 11=2 q2 p2 cq2 = ( p2 c)q2廠商 2 的利潤(rùn)函數(shù)為p1 p2 c只有時(shí)才是均衡，因?yàn)樵谶@一價(jià)格上雙方都沒(méi)有改變價(jià)格的激勵(lì)，當(dāng)均

10、衡價(jià)格高于c 時(shí)，雙方都有可能將價(jià)格降低一個(gè)無(wú)窮小量而獲得整個(gè)市場(chǎng)，從而增加利潤(rùn)。在均衡時(shí)( p1 c)q1 F q p cq F（b）廠商 1 的利潤(rùn)函數(shù)為11 11=2 q2 p2 cq2 = ( p2 c)q2 -F廠商 2 的利潤(rùn)函數(shù)為p1 p2 c只有時(shí)才是均衡，因?yàn)樵谶@一價(jià)格上雙方都沒(méi)有改變價(jià)格的激勵(lì)，而5當(dāng)均衡價(jià)格高于c 時(shí)，雙方都有可能將價(jià)格降低一個(gè)無(wú)窮小量而獲得整個(gè)市場(chǎng)，從而增加利潤(rùn)。在均衡時(shí)(C)廠商 1 的利潤(rùn)函數(shù)為1 q1 p1 c1q1廠商 2 的利潤(rùn)函數(shù)為2 q2 p2 c2q2因?yàn)閏2 c1 0 ，只有價(jià)格為c2 時(shí)才是均衡。當(dāng)均衡價(jià)格高于c2 時(shí)，雙方都有可能將

11、價(jià)格降低一個(gè)無(wú)窮小量而獲得整個(gè)市場(chǎng)，從而增加利潤(rùn)，低于c2 時(shí)，廠商 2 退出市場(chǎng)，廠商 1 完全，從而可以提高價(jià)格。Q, q2 0在均衡時(shí)4.13參考模型，這里改為對(duì)價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)即可， p1 80 / 3q1 20 / 3 pq 80 / 3 20 / 3 2， 24.1410q* 31 J由對(duì)稱性，可求出4.15J ( p ) (p21/ 2 2q j)jii1 i jj 1, J(a)因?yàn)?。?）q jJ31/ 2 2 2( p j ) (pi) 0i1 i jpj（2）則：所以每個(gè)廠商的需求是斜率為負(fù)的。J31/ 2 22( p ) (p) pjijpi1 i jq jj 2pq jJ i

12、21/ 2 2( p j ) (p)ji1 i j價(jià)格彈性為-2。q jpJJ)2 ( p1/2 )3 p3 / 2 ( p )2 ( p1/2 )3 p3/2 0, (2)(1/ 2)( pi jjiijiiii1 i j1ii j.所以人們對(duì)物品 q j 的需求隨著物品 qi 的價(jià)格 pi 上升而增加。（ i j ）。說(shuō)明一6切物品相互替代。假設(shè)廠商把價(jià)格從( p1, p2 , pJ ) 提高到(kp1, kp2 , kpJ ) 。這里 k 1 。那么，廠(b)JJq j (kp ) (kp )21/ 2 221/ 2 2q j ( p ) (p)jijii1 ji1 jq jj商的需求函

13、數(shù)從J變到?；?jiǎn)q j k 1( p ) ( p )21/ 2 2)jii1 jq j。由于 k 1，得到。說(shuō)明當(dāng)所有廠商成比例提價(jià)格，既定物品需求下降。（c）令廠商長(zhǎng)期利潤(rùn)為零并求解，12k 。4.16（a）（1）證明u(q, m) 嚴(yán)格遞增：先固定 m m ，設(shè)q2 ，A XP X m則： u (q1 , m) max u(q1 , X )X A u(q , X )(X為解，X A)1 u(q , X )（ u(q, X ) 嚴(yán)格遞增）2 max u(q2 , X )A XP X mX A u(q2 , m)，并設(shè) m1 m2 ，再固定則： u(q, m1 ) max u(q, X )A

14、X P X m1X A u(q, X )（ X A, X 為解） max u(q, X )X B（ B X P X m2 ， m1 m2 A B ） u(q, m2 )由、： u (q, m) 嚴(yán)格遞增。（2）證明u(q, m) 嚴(yán)格擬凹：A XP X m1 u (q1 , m1 ) max u(q1 , X )X A7 u(q , X )(X 為解，X A)1111B X X P m2u (q2 , m2x ) ( a,u mq2X )X B )(X 為解，X B) u(q , X2222下面令：X t tX (1 t) X，qt tq (1 t)q ，mt tm (1 t)m ，t (0,

15、1)121212則： P X t P tX P (1 t) X 12 tm (1 t)m（ X A, X B ）1212 mt X t C X P X m t u (qt , mt x)( au, mqt X ) u(qt , X t )X C（ X t C ）min(u(q1 , X 1 ), u(q2 , X 2 )min(u (q1, m1 ), u (q2 , m2 )( u(q, X )嚴(yán)格擬凹)即u(q, m) 是嚴(yán)格擬凹的。X X ( p , P, y) ，qm P X ( pq , P, y) ,（b）令最大化問(wèn)題： max u(q, m) ， s.tpq q m yq,m等價(jià)

16、于： max u(q, m) ， s.tpq q m yq,m因?yàn)閡(q, m) 滿足一般的正則條件，所以滿足一階條件的 q, m 就是該問(wèn)題的解。日函數(shù)為： L u(q, m) ( y pq q m)而u故一階條件為： p ，qququmq,m ， pqumq,my pq q m 08如果 q , m 滿足、，則問(wèn)題得證。u下面證明 qq,my p q m 0 p ，umqqq,ms.tP X m因?yàn)椋?u(q, m) max u(q, X )Xs.tP X mmax u(q, X )X日函數(shù)： L u(q, X ) (m P X )構(gòu)造u由包絡(luò)定理得：q L uq,m, X (q,m)q,

17、m, X (q,m)q,m, X (q,m)qqumLm q,m, X ( q,m)q,m, X (q,m)u pi同樣， X (q, m) 滿足一階條件 xq,m, X ( q,m)iuu1q,m, X (q,m) pm將代入得q,m, X (q,m)xiiuquqq,m, X (q,m) pi由、可知：uxiumq,m, X (q,m)因?yàn)?q , X 為下面最大化問(wèn)題的解：max u(q, X ) ，q, Xpq q P X ys.ts.tpq q P X ymax u(q, X ) ，q, Xupqpq一階條件：uxiq , X i接下來(lái)證 X (q, m ) X X (q, m )

18、arg max u(q, X )9pqq P X ys.t. P X m P X 因?yàn)閡(q, X ) u(q, X ) ， q P X yp q所以 X 為 max u(q, X )由式P X m的解，即 X X (q, m )s.t. u q u q u qp i q , X p i u x i u x i u mq , X ( q , m )q , X ( q , m )pq= pi pq(代入式)pi即 q , m 滿足一階條件，顯然它滿足一階條件所以 q , m 為max u(q, m) ， s.tp q P X y 的解。qq,m 即： u(q, m ) max u(q, X )s

19、.tP X P X m u(q, X ) v( pq , p, y)4.17考慮商品 q 價(jià)格下降引起對(duì) q 支出的減少以及對(duì)其它商品的替代效應(yīng)。4.18（a）當(dāng)收入彈性 不變但不等于 1 時(shí)，有0CS CV y exp( d )dy0 y0 CV y exp( ln )d0y0y00 CV y exp( ln ln y0 )dy00 CV y ( y0 ) dy0111 CV y0y0 ( y )0 ( y0 ) 1 (CV y0 )1 ( y0 )1 11/(1 )CS(1) 1CV y0 y0y0化簡(jiǎn)整理后：得證。10（b）當(dāng)需求獨(dú)立于收入時(shí)，有 0 ，代入（a）中等式，有CS CV所以

20、消費(fèi)者剩余可被用于獲得對(duì)價(jià)格變動(dòng)的福利效應(yīng)的一個(gè)精確度量。（c）當(dāng)收入彈性為 1 時(shí)，即 1，有，CS CV y0 exp( 1 d )dy0 y0 CV y0 exp( ln )dy0y00 CV y exp( ln ln y0 )dy00y0 CV ydy0CV y0y0 y0 ln y0 ln(CV y0 ) ln y0 0 CSCV y exp() 1y0化簡(jiǎn)整理得：（d）根據(jù)（a），當(dāng)收入彈性 不變但不等于 1 時(shí)，有1/(1 )CS y0 (1) 1y0CVy0CS1/(1 )(1) 1CV y0 y0 y0所以：x CS (1)，所以CV y0 y0 (x 1)1/(1 )y0令

21、 0 處進(jìn)行展開，有：對(duì)CV y0 在 x0 x ) 1 ff (x) f (x )2fx000221CS1CS1CV y0 y0 y0 (1) (1)y0 1 21 1 y0y021 2CV CSy0化簡(jiǎn)整理得：CV CS / CS CS / 2 y0所以有：4.19（a） max(ln x m)s.t. px m y11CSx 1/ pm y 1（b）v(p,y)=u(1/p,y-1)=ln(1/p)+y-1x(p, m, y) 0y(c) 由 x(p,m,y)=1/pxh x(p, m, y) 1ppp2方程，有：由于 x 的需求與收入無(wú)關(guān)，因而收入效應(yīng)為零，替代效應(yīng)為-1/p2。（d）

22、x=1/p 獨(dú)立于收入，由 4.18（b），有 CS CV ，即 p0 與p1 之間的消費(fèi)者剩余給出了價(jià)格變動(dòng)對(duì)消費(fèi)者福利影響的精確度量。4.20 x(p, y) y 1 y 1yx(p, y)py / p因此需求的收入彈性為 1。由 4.18（c），當(dāng)(y) 1時(shí)，有：0 CSCV y exp() 1y0p0p1CS CS(p ,y )-CS(p ,y ) x(p,y )dp所以有100001 y01 7CS 4dp dp 7 lnp | 7(ln1 ln4) 7ln414pp4所以 7ln4 7CV 7 e 7 7eln4 7 214.2112q(p, y0)MCqh(p, v0)EP1A

23、BP0q1q0考慮消費(fèi)者需求曲線上的價(jià)格產(chǎn)量組(p0, q0)。把價(jià)格從p 0提高到p 1，為了是消費(fèi)者效用保持不變，需要給他補(bǔ)償A+B表示的收入；價(jià)格產(chǎn)量變動(dòng)將對(duì)生產(chǎn)者的利潤(rùn)受到影響。在價(jià)格低于競(jìng)爭(zhēng)性價(jià)格產(chǎn)量組合的情況下，生產(chǎn)者獲得利潤(rùn)。廠商利潤(rùn)變動(dòng)為：q 0( p1 q1 mcdq) ( p 0 q0 mcdq) ( p 1 q1 p 0 q0 ) mcdq00q1 A A E C因此，在上述變動(dòng)情況下，如果將廠商增加的收益A+B+C中拿出A+B給消費(fèi)者，廠商仍然能獲得E的新增收益，而消費(fèi)者的效用也保持不變。結(jié)果，由(p0, q0)開始，經(jīng)過(guò)再分配可利用的資源，廠商獲得了嚴(yán)格的改善，并且消

24、費(fèi)者并未因此受損，實(shí)現(xiàn)了改進(jìn)。因此，初始情形不是4.22有效的。q2 。市場(chǎng)上，者的產(chǎn)出即市場(chǎng)總產(chǎn)出， TR = p（a）在最大化利潤(rùn)時(shí)需要 MR = MC ，即 2q = c 。(ac)2 4F c + c* *所以q =, p = pq C =, *242 c（b）在競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中， p = MC = c, q =，所以13CD(c)22 22q*沉沒(méi)損失= q= 08（c）最大化消費(fèi)者和生產(chǎn)者的剩余，得。也就是說(shuō)廠商應(yīng)索價(jià) p = c ，那么 = p * q-C =F 0 。利潤(rùn)為負(fù)，長(zhǎng)期來(lái)看廠商是不會(huì)進(jìn)行生產(chǎn)的。4.23qmax W=( p(q) c)dq0st (q) pcq F 0qL

25、 ( p(q) c)dq ( pcq F )0F.O.C. (1 ) p(q*) (1 )c p* 0p(q*) c * p10(1 ) * *p(q*)(1 )p*4.24在完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng):P=MCqW CS PS ( p( ) mc( )d0W 02W p(q) mc(q)qq需求曲線右下傾斜, p(q) 0qMC曲線向上傾斜, mc(q) 0q 0, 滿足最大化問(wèn)題的二階條件. 2Wq2144.25（1） p x c ( p 1)( 2 6 7 p ) 5 1 10 7 7 p p2 ;211 111111p88 08 4)p11 7 78217 0 p 4) 0 p 4( 6 )811172 10 7p p2 5;1118p1 p x c ( p 1)xp2p22 22