概率論與數(shù)理統(tǒng)計-5課件

1、極限定理是概率論的基本理論，在理論研究和應(yīng)用中起著重要的作用，其中最重要的為“大數(shù)定律”與“中心極限定理”。大數(shù)定律描述了隨機變量序列的前一些項的算術(shù)平均值按某種前置條件下收斂于這些項所希望的平均值；中心極限定理則是確定在什么條件下，大量隨機變量之和的概率分布近似于正態(tài)分布。本章僅就這些定理的一些最基本的內(nèi)容進行簡要介紹。序言01大數(shù)定律第一章曾講過，大量試驗證實，隨機事件A發(fā)生的頻率 當(dāng)重復(fù)試驗的次數(shù)n增大時總會穩(wěn)定在某一個常數(shù)附近。這個常數(shù)就稱為隨機事件A發(fā)生的概率。頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ)。本節(jié)對頻率的穩(wěn)定性做出理論說明。弱大數(shù)定理（辛欽大數(shù)定理） 設(shè)X1, X2, , Xn是相

2、互獨立、服從同一分布的隨機變量序列，且具有數(shù)學(xué)期望。 作前n個變量的算術(shù)平均值 ，則對于任意，有（5-1）證我們只在隨機變量的方差存在這一條件下證明上述結(jié)果。因為又由獨立性得由切比雪夫不等式得在上式中令為即得弱大數(shù)定理（辛欽大數(shù)定理） 設(shè)X1, X2, , Xn相互獨立、服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望 。則序列依概率收斂于 。 伯努利大數(shù)定理 設(shè)fA是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù) 0，有證 因為設(shè)隨機變量則由式（5-1）得上式也可表示成02中心極限定理在第二章中曾經(jīng)提過，現(xiàn)實生活中有大量的實例符合正態(tài)分布。正態(tài)分布是一種十分常見的分布那為什

3、么正態(tài)分布會具有如此特別的重要性呢？大量的實際操作經(jīng)驗表明，許許多多微小的、彼此沒有什么相依關(guān)系的偶然因素共同作用的結(jié)果必然導(dǎo)致正態(tài)分布。序言例如，影響某大學(xué)學(xué)生成績分布的因素有很多，如學(xué)生的情緒波動、學(xué)生的健康、考卷印刷清晰程度、考試當(dāng)天天氣情況等，其中每一個因素在總的影響中所起的作用都是微小的，然而學(xué)生成績的分布往往呈現(xiàn)近似地正態(tài)分布。為了說明這種現(xiàn)實結(jié)果，概率論中，把研究在什么條件下大量獨立隨機變量和的分布以正態(tài)分布為極限的這一類定理稱為中心極限定理。序言定理1（列維林德伯格中心極限定理） 設(shè)X1, X2, , Xn相互獨立、服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望 ，則隨機變量之和 的標(biāo)準(zhǔn)化變量的

4、分布函數(shù)Fn(x)對于任意x滿足（5-2）此定理還可稱為獨立同分布的中心極限定理.這就是說，均值為、方差為2 0的獨立同分布的隨機變量X1, X2, , Xn之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量，當(dāng)n充分大時，有可以表示為，當(dāng)n充分大時，將定理1應(yīng)用到n重伯努利試驗，定理2（棣莫弗拉普拉斯定理） 設(shè)隨機變量 服從服從參數(shù)為n, p (0p1)的二項分布，則對于任意x，有（5-2）定理2說明，當(dāng)n充分大時，可以用式（5-3）來近似計算二項分布的概率實際上，定理2可以寫成如下更實用的形式：當(dāng)n充分大時，對于任意ab，有例1 某大學(xué)舉行籃球三分球大賽，總共有100名男生參加，每名男生投籃若干次，其在比賽中投籃命中的次數(shù)

5、為一個隨機變量，其數(shù)學(xué)期望是2，方差是1.69，求這100名男生參加完比賽后，總共投籃命中180次到220次的概率。解 設(shè)每名男生投籃命中次數(shù)為Xi，則100名男生總共投籃命中次數(shù)為且則例2 某學(xué)生開了家淘寶店，店內(nèi)有120件相互無關(guān)的商品。若每件商品在一個小時內(nèi)平均每3分鐘就有一個顧客點擊查看，問：（1）在任一時刻至少有10名顧客點擊查看店內(nèi)商品的概率；（2）在任一時刻有8到10名顧客點擊查看店內(nèi)商品的概率解 （1）設(shè)在任一時刻，訪問店內(nèi)商品的顧客數(shù)為X，易知這里選用棣莫弗拉普拉斯定理來解題：例2 某學(xué)生開了家淘寶店，店內(nèi)有120件相互無關(guān)的商品。若每件商品在一個小時內(nèi)平均每3分鐘就有一個顧

6、客點擊查看，問：（1）在任一時刻至少有10名顧客點擊查看店內(nèi)商品的概率；（2）在任一時刻有8到10名顧客點擊查看店內(nèi)商品的概率解 （2）例3 對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05，0.8，0.15若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長人數(shù)相互獨立，且服從同一分布。（1）求參加會議的家長人數(shù)X超過450的概率；（2）求有1名家長來參加會議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率。解 （1）以Xk(k=1, 2, ，400)記第k個學(xué)生來參加會議的家長人數(shù)Xk的分布律如表所示。Xk012pk0.050.80.15例3 對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05，0.8，0.15若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長人數(shù)相互獨立，且服從同一分布。（1）求參加會議的家長人數(shù)X超過450的概率；（2）求有1名家長來參加會議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率。易知由定理1可知，隨機變量于是例3 對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05，0.8，0.15若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)