線性代數(shù)第一章-行列式課件

1、線性代數(shù) 本課程主要是介紹線性代數(shù)理論的經(jīng)典內(nèi)容，包括行列式、矩陣、線性空間、線性方程組、線性變換、特征值和特征向量、二次型等，并以附錄形式簡單介紹了歐氏空間 線性代數(shù)是高等院校理工和經(jīng)管各專業(yè)本科生的一門必修的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，它既是其它數(shù)學(xué)課程的必備基礎(chǔ)，也是解決實(shí)際問題的重要工具第一章 行列式第一節(jié) 行列式的基本概念一、行列式的定義. 排列及逆序數(shù)定義1 將 個(gè)不同的自然數(shù) 組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè) 級(jí)排列.定義1 將自然數(shù) 組成的一個(gè)有序數(shù)組稱級(jí)排列 為一個(gè)例1試寫出所有的 3 級(jí)排列定義 2在一個(gè) 級(jí)排列中，如果某兩個(gè)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么就稱它們?yōu)橐?/p>

2、個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù) 通常，將 的逆序數(shù)記成 ，并且我們將逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，將逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列設(shè) 是一個(gè) 級(jí)排列，如果把排在 （ ）前面且比 大的數(shù)的個(gè)數(shù)記為 ，則 的逆序數(shù)為級(jí)排列的逆序數(shù)：一般地，可利用如下方法計(jì)算例如意兩個(gè)數(shù) 和 交換一下位置，而其余的數(shù)保持不符號(hào) 表示級(jí)排列中，如果把這個(gè)排列里的任定義3在一個(gè)動(dòng)，那么就得到了一個(gè)新的級(jí)排列對(duì)排列施行級(jí)排列的一次對(duì)換，并且用這樣的一個(gè)變化稱為定理 1任何一個(gè)對(duì)換都可以改變排列的奇偶性，也就是說，經(jīng)過一次對(duì)換，偶排列變成奇排列，奇排列變成偶排列 級(jí)排列，則定理2設(shè)是任意一個(gè)與可以經(jīng)過一系

3、列對(duì)換互變，的奇偶性與逆序并且所作對(duì)換的個(gè)數(shù)的奇偶性相同，數(shù)即. 行列式的定義定義4將由個(gè)數(shù)組成的算式稱為階行列式， 算式定義為所有取自不同行的代數(shù)和， 個(gè)數(shù)的乘積不同列的（1）（2）當(dāng) 是奇排列時(shí)，（）式帶負(fù)號(hào) 對(duì)每一個(gè)乘積項(xiàng)（）式冠以正負(fù)號(hào)，規(guī)定：當(dāng) 是偶排列時(shí)，（）式帶正號(hào)；其中是的一個(gè)級(jí)排列，并且于是其中表示對(duì)所有級(jí)排列的求和 （3）定義5在（）式中，將所在的那條對(duì)所在的對(duì)角線當(dāng) 時(shí)， ；將主對(duì)角線以上都是0的行列式稱為下三角行列式，角線稱為行列式的主對(duì)角線;副對(duì)角線，即列式稱為對(duì)角行列式；式稱為上三角行列式，而另外一條對(duì)角線稱為將除了主對(duì)角線以外元素全為 0 的行將主對(duì)角線以下都是

4、0 的行列即即當(dāng) 時(shí)， 低階行列式的計(jì)算）一階行列式 注意：這個(gè)符號(hào)不要與絕對(duì)值的符號(hào)相混淆）二階行列式 主對(duì)角線上的兩個(gè)元素的乘積減去副對(duì)角線上兩個(gè)元素的乘積對(duì)角線法則）三階行列式 注意 實(shí)線上三元素的乘積冠以正號(hào)，虛線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)對(duì)角線法則例2計(jì)算三階行列式解 由對(duì)角線法則，有階上三角行列式例3證明例4證明階行列式二、行列式的基本性質(zhì)是一個(gè)階行列式，如果把行列式 的行列互換（行變?yōu)榱校凶優(yōu)樾校?，就得到一個(gè)新的行列式將行列式稱為的轉(zhuǎn)置行列式定義6設(shè)提示：此性質(zhì)說明，行列式中的行與列是對(duì)稱的，即行和列具有同等的地位對(duì)行成立的性質(zhì)，對(duì)列也成立；對(duì)列成立的性質(zhì)，對(duì)行也成立 性質(zhì)1 行列

5、式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即性質(zhì)2交換行列式兩行（列）的位置得到的新行列式與原行列式相差一個(gè)負(fù)號(hào)推論 如果一個(gè)行列式的兩行（列）對(duì)應(yīng)的數(shù)分別相等，則這個(gè)行列式等于0性質(zhì)3用一個(gè)數(shù) k 乘以行列式的某一行（列）得到的新行列式等于這個(gè)數(shù)乘以原行列式， 即推論1行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式外面 推論2行列式的某兩行（列）對(duì)應(yīng)成比例，則這個(gè)行列式的值為 0 推論3行列式的某一行（列）全為零，則這個(gè)行列式的值為 0 性質(zhì)4行列式某一行（列）的所有元素都可以寫成兩項(xiàng)的和，則這個(gè)行列式可以拆成兩個(gè)行列式之和， 即性質(zhì)5將行列式的某一行（列）的所有元素同乘以一個(gè)數(shù) k 加到另外一行（列）上

6、，行列式不變， 即例5計(jì)算行列式 例6計(jì)算 n 階行列式 第二節(jié) 行列式的計(jì)算一、化三角形法計(jì)算行列式 對(duì)行列式進(jìn)行如下三類變換，仍然能夠確定它們的值： ）用一個(gè)非零數(shù) k 乘以行列式的某一行（列），行列式變?yōu)樵辛惺降?k 倍；）用任意數(shù) k 乘以行列式的某一行（列）加到另外一行（列）上，行列式的值不變； ）交換行列式中兩行（列）的位置，此時(shí)行列式改變符號(hào) 定理3 任意一個(gè)行列式經(jīng)過一系列上述的三類變換，總能化成上三角或下三角行列式進(jìn)行求值例 7計(jì)算 n 階行列式 例8 證明 二、按行（列）展開計(jì)算行列式定義7設(shè)是一個(gè) n 階行列式，其中 i 和 j 表示第 i 行和第 j 列在 D 中劃去

7、元素 所在的第 i 行和第 j 列，將剩下的 個(gè)元素按照原來的順序構(gòu)成一個(gè)新的 n-1階 行列式稱為元素 的余子式，記為 并且將 稱為元素 的代數(shù)余子式 引理1其中等號(hào)左端的行列式是一個(gè) n 階行列式；等號(hào)右端 的行列式是左端 n 階行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元素所組成的 n-1 階行列式，即左端行列式第 n 行第 n列元素 1 的余子式 引理2定理4設(shè)是一個(gè) n 階行列式，為 D 的第 i 行第 j 列元素的代數(shù)余子式，則有如果使用連加號(hào)和Kronecker符號(hào)則結(jié)果可以簡寫成例9計(jì)算 4 階行列式三、遞推法計(jì)算行列式例10 將 n 階行列式 稱為 n 階的范德蒙（Vandermonde）行列式 證明：對(duì)于任意的正整數(shù) n ( )， n 階范德蒙行列式例11設(shè) ，計(jì)算 n 階行列式 第三節(jié) 克萊姆法則定理5設(shè) 是以 為未知數(shù)，含有 n 個(gè)線性方程的方 程組按照在方程中的位置關(guān)系所構(gòu)成的行列式） 如果方程組的系數(shù)行列式（即方程組的系數(shù)(25)則線性方程組（25）有唯一的解，并且解可以如下表示 其中 為常數(shù)項(xiàng) 替換 D 中第 j 列后所得到 的行列式這個(gè)定理通常稱為克萊姆法則