(完整word版)等比數(shù)列性質(zhì)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題(經(jīng)典版)

1、第 頁(yè)共12頁(yè)等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題1、等比數(shù)列的定義：上l=q（q豐0）（n2,且ngN*）,q稱為公比an-12、通項(xiàng)公式：a；1aianq=naamma=aqn-1=iqn=A-Bn（a-q豐0,A-B豐0），首項(xiàng)：a；公比:n1q1推廣：a=aqn-moqn-mnm3、等比中項(xiàng)：（1）如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，即：A2=ab或A=応注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（2）數(shù)列匕是等比數(shù)列nnn-1n+14、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和S公式：n（1）當(dāng)q=1時(shí)，S=nan1a（1-qn）a-aq（2）當(dāng)q豐1時(shí)，S=1=1n1-q1-q=-

2、一hqn=A一A-Bn=ABn一A（a,B,A,B為常數(shù)）1-q1-q5、等比數(shù)列的判定方法：（1）用定義：對(duì)任意的n，都有a=qa或厶卄=q（q為常數(shù)，a豐0）oa為等比數(shù)列n+1nannn（2）等比中項(xiàng)：a2=aa（aa豐0）oa為等比數(shù)列nn+1n-1n+1n-1n（3）通項(xiàng)公式：a=A-Bn（AB豐0）oa為等比數(shù)列nn6、等比數(shù)列的證明方法：依據(jù)定義：若上l=q（q豐0）（n2,且ngN*）或a=qaoa為等比數(shù)列an+1nnn-17、等比數(shù)列的性質(zhì)：（2）對(duì)任何m,ngN*，在等比數(shù)列a中，有a=aqn-m。nnm（3）若m+n=s+1（m,n,s,tgN*），則a-a=a-a。特

3、別的，當(dāng)m+n=2k時(shí)，得a-a=a2nmstnmk注：a-a=a-a=aan2n-13n-2等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義a.一a=dn+1nnl1=q(q豐0)an遞推公式a=a+d；a=a+mdnn1nmna=aq；a=aqn一mnn1nm通項(xiàng)公式a=a+(n一1)dn1a=aqn1(a,q豐0)n1J1J中項(xiàng)a+a/士、A一(n,keN,nk0丿2G=paa(aad0)(n,keN*,ndkd0)n一kn+kn一kn+k前n項(xiàng)和S=(a+a)n21nc丄n(n一1)Sna+dn12S=VnnaJq=11a1一qn丿aaq打=(q2)1q1q重要性質(zhì)a+a=a+amnpq(m,

4、n,p,qeN*,m+n=p+q)a-a=a-amnpq(m,n,p,qeN*,m+n=p+q)經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例1.等比數(shù)列a中，a-a=64,a+a=20,求a.n193711思路點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)已知條件可列出關(guān)于a和q的二元方程組，解出a和11q，可得a；或注意到下標(biāo)1+9二3+7，可以利用性質(zhì)可求出a、a，再求a.TOC o 1-5 h z113711(1)(2)解析：a-a=a-aq8=64法一：設(shè)此數(shù)列公比為q，則0.1由(1)得：(aq4)2=64,aq4=8(4)11(3)m得:1+q4q22052q45q2+2=0，解得q2=2或q2=2

5、當(dāng)q2=2時(shí)，a=2,a=a-q10=64；1111當(dāng)q2=時(shí)，a=32,a=a-q10=1.1111法二：a-a=a-a=64,又a+a=20,193737a、a為方程x2-20 x+64=0的兩實(shí)數(shù)根,a3a737=16亠la=4或3=4la=167a2a-a=a2,a=-=1或a=64.11711a113總結(jié)升華：列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)利用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；解題過(guò)程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要用除法（除式不為零）.舉一反三：【變式1】an為等比數(shù)列，a1=3，a9=768，求a6?！敬鸢浮?6法一：設(shè)公比為q,則768=a1q

6、s，qs=256，Aq=2，Aa6=96；法二：a52=a1a9na5=48nq=2，a6=96?！咀兪?】an為等比數(shù)列，an0,且a1a89=16，求a44a45a46的值。【答案】64；aa=a2=16，又a0，a=4TOC o 1-5 h z18945n45aaa=a3=64。44454645【變式3】已知等比數(shù)列a，若a+a+a=7，aaa=8，求a。n123123n【答案】a=2n-1或a=23-n；nn法一：aa=a2，aaa=a3=8，a=213212322a+a=5”、/口亠從而s13,解之得a=1，a=4或a=4，a=1laa=4131313當(dāng)a=1時(shí)，q=2；當(dāng)a=4時(shí)，

7、q=。1*12故a=2n-1或a=23-n。nn法二：由等比數(shù)列的定義知a=aq，a=aq22131代入已知得a+aq+aq2=7111a-aq-aq2=8111la(1+q+q2)=7,Ja(1+q+q2)=7,(1)a3q3=8a#=2(2)2第4頁(yè)共12頁(yè)將a=代入(1)得2q25q+2=0,1q解得q=2或q=2由得佇a=411q=-2，以下同方法類型二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例2設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比q.解析：若q=1,則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a1#0，得S3+S6#2S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q#1.由S+S=

8、2S得,a(1q3)a(1q6)2a(1q9)T+T=1q1q1q整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q主0,得2q6-q3-1=0，從而(2q3+1)(q3-1)=0,因q3主1，故q3=i，所以q=。舉一反三：【變式門(mén)求等比數(shù)列1品丄的前6項(xiàng)和。答案】364243n=6S6(1)6_13丿31x11364243【變式2】已知：an為等比數(shù)列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.答案】121或121a3=27na=3，2213=Fnq=3或=3，則a1=1或a1=9135I3(1A9x1-=121或S=產(chǎn)丿51-13121第 頁(yè)共12頁(yè)【變式3】在等比數(shù)列a中，a+a二66,a-a二1

9、28,S二126，求n和q。TOC o 1-5 h zn1n2n-1n【答案】q=或2,n=6;2*.*a-a=a-a，:aa=1282n-11n1nfaa=128/口a=64亠a=2解萬(wàn)程組(1n，得(1小或11-a+a=66a=2a=641nnn將I：1:64代入【答案】216；法一：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為a，其公比為q，nn=舌，得q=苓n由a=aqn-1，解得n=6；n1將|1代入S=1上，得q=2,a=64n1-qn由a=aqn-1，解得n=6。n1類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例3.等比數(shù)列a中，若a-a=9,求loga+loga+.+loga.TOC o 1-5 h zn563132310解析

10、：*.*a是等比數(shù)列，a-a=a-a=a-a=a-a=a-a=9n11029384756loga+loga+A+loga=log(a-a-aLa)=log(a-a)5=log95=1031323103123103563舉一反三：【變式1】正項(xiàng)等比數(shù)列a中，若a1a100=100;則lga1+lga2+lga100=.【答案】100；/lga1+lga2+lga3+仗坷00=仗(齊巧Bo。)而aa100=a2a99=a3a9850也51原式=lg(aa100)5o=50lg(a1a100)=50 xlg100=100?！咀兪?】在278819a=，a=aq4=-q4，q4=，q2=1352131

11、4和27之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為=63=216。a-a-a二aq-aq2-aq3二a3-q6272341111法二：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為an，公比為q，則巴=8加入的三項(xiàng)分別為a，a，a，234827由題意a,a,a也成等比數(shù)列，：a2=x=36，故a=6,TOC o 1-5 h z1353323a-a-a=a2-a=a3=216。234333類型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4在等比數(shù)列a中，已知S=48,S=60，求S。nn2n3n思路點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前k項(xiàng)和，第2個(gè)k項(xiàng)和，第3個(gè)k項(xiàng)和，第n個(gè)k

12、項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。解析：法一：令bi=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n觀察b=a+a2+an,b2=an+l+an+2+週“=4呵1+週+如，b3=a2n+1+a2n+2+咯=42咆1+週+如易知叭4成等比數(shù)列，b3=牛1122_23，48S=b+S=3+60=63.法二：/S豐2S,q豐1，2nnTOC o 1-5 h zai(1qn)48由已知得1-qai(1-q2n)60、1-q三得1+qn，即qn44代入得164,1-qS3na(1-q3n)1-q64(1-丄)63。43法三：a為等比數(shù)列，S，S-S，S-S也成等比數(shù)列,nn2nn3n2n(S-

13、S)2=S(S-S)，2nnn3n2n+60二63。._(S-S)2(60-48)2S2nnS3nS2n48n舉一反三：【變式1】等比數(shù)列a”中，公比q=2,S4=l,則S8=答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1x(1+24)=17【變式2】已知等比數(shù)列a”的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=10,S20=40，求：S30=?【答案】130；法一-叫-q2n)=6560(2)，n1一q10,S20-S10,SZ構(gòu)成等比數(shù)列，(S2o-S1o)2=(2)三(1)得：1+qn

14、=82,qn=81(3)該數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，由(3)知q1an為遞增數(shù)列，an為最大項(xiàng)54.1o(an=a1qn-1=54,a1qn=54q,3o-81a1=54q(4)54222o)即302=10(S30-40),AS30=130.法二：.2s10弄s0，:q豐1,S-a1(1-q10)-10,S-a1(1一q20)-40,101-q.a一qq代入得q(1-81)80(1-q)，181331-q1-q101-q204q103,1-.Sa1(1q30)(-5)(1-33)130.301-q【變式3】等比數(shù)列a的項(xiàng)都是正數(shù)，若Sn=80,S2n=6560,前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為54,求nn2nn.答

15、案】S80S65602nS1q豐1(否則一a)S22nSna(1-qn)T1-q=80(1)第 頁(yè)共12頁(yè)第8頁(yè)共12頁(yè)答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),b2362易知：b2,b3成等比數(shù)列，：b3=芬=4,即a5+a6=4.1233b324561【變式5】等比數(shù)列a中，右&1+&2+&3=7,&4+&5+&6=56,求&7+&8+&9的值?！敬鸢浮?48；*an是等比數(shù)列，:(a4+a5+a6)=(a+a2+a3)q3,q3=8,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56x8=448.類型五：等差等

16、比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，右前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32，則成等差數(shù)列.右再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4，則又成等比數(shù)列.求原來(lái)的三個(gè)數(shù).思路點(diǎn)撥：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提.考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式.解析：法一：設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為a-d,a,a+d.則a-d,a,a+d+32成等比數(shù)列，a-d,a-4,a+d成等比數(shù)列.TOC o 1-5 h zJa2=(ad)(a+d+32)(1)(a4)2=(ad)(a+d)(2)由(2)得a=8由(1)得32a=d2+32d(4)(3)代(4)消a,解得d=8或d=8.:當(dāng)d=時(shí),a=；當(dāng)d=8時(shí),a=

17、109原來(lái)三個(gè)數(shù)為2,逆,竺或2,10,50. HYPERLINK l bookmark18 999法二：設(shè)原來(lái)三個(gè)數(shù)為a,aq,aq2，則a,aq,aq2-32成等差數(shù)列，a,aq-4,aq2-32成等比數(shù)列2aq=a+aq232(1)(aq4)2=a(aq232)(2)2由(2)得a=，代入(1)解得q=5或q=13q42當(dāng)q=5時(shí)a=2；當(dāng)q=13時(shí)a=9.原來(lái)三個(gè)數(shù)為2,10,50或-,26,338.999總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡(jiǎn)單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d,a,a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為-,x,xy。但還要就問(wèn)題而言，這里解法二中采用y首項(xiàng)

18、a,公比q來(lái)解決問(wèn)題反而簡(jiǎn)便。舉一反三：【變式1】一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來(lái)的等比數(shù)列.【答案】為2,6,18或I，-罟；設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；貝U2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；2解得a=2,q=3或a=9,q=-5；故所求的等比數(shù)列為2,6,18或2,-巴,50.999【變式2】已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,它們的積為27,它們的平方和為91,求這三個(gè)數(shù)?！敬鸢浮?、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為-

19、,a,aq,q由已知得=Va2ni+a2+a2q2=91、q2a=3a2(丄+q2+1)=91q2得9q4-82q2+9=0，所以q2=9或q2=9,即q=3或q=1故所求三個(gè)數(shù)為：1、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1。【變式3】有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12,求這四個(gè)數(shù).【答案】0,4,8,16或15,9,3,1；設(shè)四個(gè)數(shù)分別是x,y,12-y,16-x2y=x+12-y(1)(12-y)2=y(16-x)由得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12).144

20、-24y+y2=-3y2+28y,.4y2-52y+144=0,y2-13y+36=0,y=4或9,x=0或15，四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1.類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：log5(Sn+1)=n(nGN+),求出數(shù)列aj的通項(xiàng)公式，并判斷an是何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥：由數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)通項(xiàng)公式判斷an類型.解析：log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1(nGN+),a1=S1=51-1=4,當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4x5n-1而

21、n=1時(shí)，4x5n-1=4x51-1=4=a1?nEN+時(shí)，an=4x5n-1由上述通項(xiàng)公式，可知an為首項(xiàng)為4,公比為5的等比數(shù)列.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列Cn，其中Cn=2n+3n，且數(shù)列Cn+1-pCn為等比數(shù)列，求常數(shù)P。【答案】p=2或p=3；Cn+1-pCn是等比數(shù)列，對(duì)任意nN且n2,有(9+1皿丿2=(9+2-卩51)(5卩01)Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3

22、-p)3n-1整理得：丄(2-p)(3-p)-2n-3n=0,解得：p=2或p=3,6顯然Cn+1-pCn丸，故p=2或p=3為所求.【變式2】設(shè)an、bn是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，Cn=an+bn,證明數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.【證明】設(shè)數(shù)列an、bn的公比分別為p,q，且p#q為證Cn不是等比數(shù)列，只需證CC豐C2.n132C2=(ap+bq)2=a2p2+b2q2+2abpq,2111111CC=(a+b)(ap2+bq2)=a2p2+b2q2+ab(p2+q2)1311111111:CC一C2=ab(p一q)2,13211又Tp定q,a1#0,b1#0,CC-C2豐0即CC豐C2132132數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.【變式3】判斷正誤：an為等比數(shù)列na7=a3a4；若b2=ac，則a,b,c為等比數(shù)列;(3)an,bn均為等比數(shù)列，貝Vanbn為等比數(shù)列;an是公比為q的等比數(shù)列，則a2、n若a,b,c成等比，則logma,logmb,logmc成等差.【答案】(1)錯(cuò)；a7=a1q6,a3a4=a1q2a1q3=a12q5，等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)要求項(xiàng)數(shù)相同;錯(cuò)；反例：02=0 x0,不能說(shuō)0,0,0成等比；對(duì)；anbn首項(xiàng)為a1b