高考數(shù)列壓軸題的“分形數(shù)列”式解法

1、 高考數(shù)列壓軸題的“分形數(shù)列”式解法南昌外國(guó)語(yǔ)學(xué)校梁懿濤高考真題(2013 年江蘇 23):設(shè)數(shù)列an ： 1,/,/,3,3,3, _4,/, _4,_4，,(_1)kk,(_1)kk ,，即當(dāng) 世 1) ；:：n 乞坐 H(kN*)時(shí)，an=(-1)kJ1k，記 & =印a2亠 亠an(nN*).對(duì)于丨 N*，定義2 2集合R =n|Sn是an的整數(shù)倍，nN*且1豈nl.R1中元素的個(gè)數(shù)；P2ooo中元素的個(gè)數(shù).求集合求集合對(duì)于以上數(shù)列耳 : 1, 2 23,3,3, -4, -4, -4,-4, ；( -1)kk, ,( -1)kk ,我們可把它叫做分形數(shù)列.比如數(shù)列“ 1,1,2, 2

2、, 2, 2,2, - ，,n, n”,.n,，”以及“ 1,1,12,3,3,3, 4,5,5,5,6, ”之類(lèi)，都是典型的分型數(shù)列.分3 n形數(shù)列的特點(diǎn)是數(shù)列可化分為具有明顯特征的數(shù)列段.以上數(shù)列第 3 段為3,3,3,，第 k 段為(_1)kS, ,(-1)kk,對(duì)于分形數(shù)列，一般要求我們求出數(shù)列的通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和& .例1 : (2010年浙江省預(yù)賽題)設(shè)數(shù)列 1 1 - 1 -.T21 ,3,2,T這個(gè)數(shù)列第2010項(xiàng)的值是多少？在這個(gè)數(shù)列中，第 2010個(gè)值為1的項(xiàng)的序號(hào)是多少？【解析】：(1)將數(shù)列分段：! 1 - 2 3!an的第1段為1，第2段為 -22,2k -1k,(k

3、-1)kk(k 1)2010，解得，假設(shè)數(shù)列的第2010項(xiàng)位于第T21321kk-1k段1, , ，-k中，一-前k段共有1 2亠 亠k二k(k 3項(xiàng)，k k -11222k =63，且前63段共有2016項(xiàng)，所以第2010項(xiàng)位于第63組倒數(shù)第7項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，得第201057項(xiàng)為57 .7(2)由以上分段可以知道，只有每個(gè)奇數(shù)段中最中間的項(xiàng)為1，所以第2010個(gè)1出現(xiàn)在第4019段，而第4019組中的1位于該段中最中間的位置， 即第2010位.所以第2010個(gè)值為1的項(xiàng)的序號(hào)為(1+2+3+, +4018) +2010=809428.【評(píng)注】求分形數(shù)列的某一項(xiàng)an的值，關(guān)鍵是確定 4位于

4、哪一段中的第幾位數(shù)這可以先假定其位于第k段，通過(guò)項(xiàng)數(shù)n與段數(shù)k的關(guān)系來(lái)確定.如本例就是毬：2010空 汕 B .值得提醒得是，2 2此不等式無(wú)需解，只要先估計(jì)，再驗(yàn)證確定即可.例2 : (2013年南昌外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一競(jìng)賽題)數(shù)列 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,，其相鄰的兩個(gè)1被2隔開(kāi)，第n對(duì)1之間有n個(gè)2，求此數(shù)列的前 2013項(xiàng)的和.【解析】：將數(shù)列分段:1,2, 1,2,2 , , , 1,律尸2k個(gè)前k段共有迴上衛(wèi)=込色項(xiàng).假2 2設(shè)第2013項(xiàng)位于第k段，則有_哋_：2013 肚.因?yàn)?952 = 61 64 ：: 2013乞62 65 =2015，所

5、以2 2 2 2k =62 .從而此數(shù)列的前 2013項(xiàng)中只有62個(gè)1,其它全為2，即前2013項(xiàng)的和為2013 2-62 =3964.【評(píng)注】求分形數(shù)列的前n項(xiàng)的和$的值，關(guān)鍵同樣是確定an位于哪一段中的第幾位數(shù).再根據(jù)分形數(shù)列的特點(diǎn)求和即可.例3. (2005年上海交通大學(xué)保送、推優(yōu)生試題改編)對(duì)于數(shù)列an : 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5,即正奇數(shù)k有k個(gè)，試求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)的和Sn .【解析】：將數(shù)列分段：1 , 3,3,3 , 5,5,5,5,5 , , ,2 k _1,2k _1, ,2 k _1 , , 因?yàn)榍?k 段共有1 3亠2k _1=

6、k2項(xiàng)，所以an=2k-1的充要條件是(k_1)2仁n空k2，即.遼k乞1 . 廠(chǎng) ._ n =1_ 10,1) ,. k是1川扌喬的整數(shù)部分，即k =1 從而荷 _ J n _1an =2.L . 1又因?yàn)榍?k 段內(nèi)各數(shù)之和為_(kāi)1)2=4i2 _4 i k =4k(k 1)(2kT)_4k(kT) k(W1)，所i 仝i _1623以前 n 項(xiàng)的和 yZ嘗Z n -(k-1)2(2k -123； 2)，其中 kT 【評(píng)注】從此例可看出，只有深刻理解數(shù)列an中項(xiàng)數(shù)n的雙重作用，即項(xiàng)數(shù)n既確定數(shù)列an中各項(xiàng) 的值，又決定著它的段數(shù)，才能正確解答此類(lèi)問(wèn)題另外，利用高斯函數(shù)x求解決某些難度大的數(shù)列

7、的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的問(wèn)題時(shí)，往往能起到常規(guī)方法無(wú)能為力的作用.最后我們運(yùn)用以上方法來(lái)解本文之初的高考題：設(shè)數(shù)列an的前k段的和為T(mén)k，則Tk =12 -22 32 -42 (_1)kk2，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，Tk=(12-22)(32-42)”(k-1)2-k2-(37 11 訐：昇 2k1) = -k(k 1) ; 當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí),2(k -1)kk2k(k 1)2所以 Tk =(-1)2k(k 1)2因?yàn)?Sn 燈心n - k(k _1)(-1)kJk，所以 Sn 十1)2 k(k -1).山 一 k(k-1)1)k J k 二2 2 2Ok坐 衛(wèi)(_1)knk，從而1 顯然只有當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，為整數(shù)，色才是整2an22an攵也即只有位于奇數(shù)段中的an ,才滿(mǎn)足Sn是an的整數(shù)倍.由以上分析，當(dāng)I =11 , %位于第5段中第1項(xiàng)，前11項(xiàng)中位于奇數(shù)段的，第1段中1項(xiàng)，第3段中3項(xiàng)，第5段中1項(xiàng)，1 +3+1 =5 ,所以