自動(dòng)控制基本原理—根軌跡分析法

1、自動(dòng)控制基本原理根軌跡分析法 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及性能主要由閉環(huán)極點(diǎn)（特征方程根）決定的。一個(gè)較完善的閉環(huán)控制系統(tǒng)其特征方程一般為高階，直接用時(shí)域法求解困難。4.1 根軌跡的基本概念 4.2 繪制根軌跡的基本規(guī)則4.3 控制系統(tǒng)根軌跡的繪制4.4 控制系統(tǒng)的根軌跡分析1948年伊萬(wàn)斯提出求解閉環(huán)特征方程的根的圖解方法根軌跡法。考慮到開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)更易獲取，在開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布已知的情況下，可繪制閉環(huán)極點(diǎn)隨系統(tǒng)參數(shù)變化（如放大系數(shù)）而在s平面上移動(dòng)的軌跡（根軌跡）。用途： 對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析； 確定系統(tǒng)應(yīng)有的結(jié)構(gòu)、參數(shù)； 進(jìn)行設(shè)計(jì)和綜合。41 根軌跡的基本概念 一、根軌跡圖1.定義：根平面：在一個(gè)復(fù)平

2、面（s平面）上標(biāo)出開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，并根據(jù)此描述閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)，這個(gè)復(fù)平面就稱為根平面。根軌跡：指系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)（一般為Kg，根軌跡增益）變化時(shí)，閉環(huán)特征根在根平面上所走過(guò)的軌跡。2.用解析法繪制根軌跡（實(shí)例）例4-1：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：1.時(shí)間常數(shù)表示法主要用于頻率分析中；2.零極點(diǎn)表示法主要用于根軌跡分析中。開(kāi)環(huán)有兩個(gè)極點(diǎn)： p1= 0， p2=2開(kāi)環(huán)沒(méi)有零點(diǎn)。 可見(jiàn)，當(dāng)Kg 變化，兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)也隨之連續(xù)變化。當(dāng)Kg 從0變化時(shí)，直接描點(diǎn)作出兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡閉環(huán)特征方程為： D(s) = s2 +2s + Kg = 0解得閉環(huán)特征根（亦即閉環(huán)極點(diǎn)）（1）當(dāng) Kg = 0時(shí)，

3、s1 = 0、s2 = 2，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。（2）當(dāng)0Kg1時(shí)，s1、s2均為負(fù)實(shí)數(shù)，且位于負(fù)實(shí)軸的（2，0） 一段上。（3）當(dāng)Kg = 1時(shí)，s1 = s2 = 1，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)重合在一起。（4）當(dāng)1Kg時(shí)，s1，2 =1 ，兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)變?yōu)橐粚?duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。s1、s2的實(shí)部不隨Kg變化，其位于過(guò)（1，0）點(diǎn)且平行于虛袖的直線上。（5）當(dāng)Kg時(shí)， s1 = 1+ j、s2 = 1j，此時(shí)s1、s2將趨于無(wú)限遠(yuǎn)處。 可根據(jù)根軌跡形狀評(píng)價(jià)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能：（1）根軌跡增益Kg從0時(shí)，根軌跡均在s平面左半部，在所有的Kg值下系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。（2）當(dāng)0Kg1時(shí)，閉環(huán)特征根為共

4、軛復(fù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài),其階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過(guò)程。（5）有一個(gè)為0的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)為型系統(tǒng)，其階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess為零。 由上述分析過(guò)程可知，系統(tǒng)的根軌跡分析的意義在于：由較易獲取的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布分析閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)，從而，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行分析。 但是，試探法不是繪制根軌跡的最合適方法，而且也太費(fèi)時(shí)間。對(duì)于高階系統(tǒng)，用這種解析的方法繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖是很麻煩的。實(shí)際上，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根的軌跡都是根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征根的關(guān)系，以及已知的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在根平面上的分布，按照一定的規(guī)則用圖解的方法繪制出來(lái)的。 二、根軌跡方程 繪制根軌跡的實(shí)質(zhì)，在于由開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)在s平面尋

5、找閉環(huán)特征根的位置。閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為 即 m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) （根軌跡方程） Kg：根軌跡增益 在s平面上凡是滿足上式的任意一個(gè)點(diǎn)s1、s2、 s，都是閉環(huán)特征根，即閉環(huán)極點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于Kg 從0 。1、根軌跡的幅值條件方程和相角條件方程為復(fù)數(shù)，故根軌跡方程是一個(gè)向量方程。相角條件：幅值條件： 相角條件方程和kg無(wú)關(guān)，s平面上任意一點(diǎn)，只要滿足相角條件方程，則必定同時(shí)滿足幅值條件，該點(diǎn)必定在根軌跡上，即對(duì)應(yīng)不同的kg時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)，相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件。（實(shí)、虛軸選用相同的比例尺刻度）2、幅值條件和相角條件應(yīng)用 為從一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)指向s的向量為從一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)

6、指向s的向量向量的模為長(zhǎng)度，即s平面上兩點(diǎn)之間的距離；相角為此向量指向方向與實(shí)軸之間的夾角，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)；1.可以直接計(jì)算 ；2.或在圖上直接測(cè)量S為試探點(diǎn)解： 不符合相角條件， s1不在根軌跡上。滿足相角條件， s2在根軌跡上。（1）.用相角條件求根軌跡（試探法） 例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷 是否在根軌跡上。（2）. 用幅值條件確定kg的值解：例：求上例中根軌跡上 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg 。、 也可以用直尺測(cè)量向量的長(zhǎng)度。 小結(jié)：相角條件 判斷是否閉環(huán)極點(diǎn)（根）幅值條件 確定對(duì)應(yīng)的根軌跡增益圖解法：注意坐標(biāo)、比例 但是控制系統(tǒng)的根軌跡圖不能遍歷s平面上所有的點(diǎn)來(lái)繪制。因?yàn)樵跐M足根

7、軌跡條件方程的基礎(chǔ)上，根軌跡的圖是有一些規(guī)律的。依據(jù)繪制軌跡圖的一些基本法則，就可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。42 繪制根軌跡的基本規(guī)則 由開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)當(dāng)Kg為可變參數(shù)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡。是Kg或其它參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。 當(dāng)Kg從0+連續(xù)變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)連續(xù)變化，即根軌跡是連續(xù)變化的曲線或直線。線性系統(tǒng)特征方程系數(shù)均為實(shí)數(shù)，閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)（包括一對(duì)純虛根），根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。一、連續(xù)性與對(duì)稱性二、根軌跡的分支數(shù) 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為n階，故開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)數(shù)都為n個(gè)，當(dāng)Kg從0+變化時(shí)，n個(gè)根在s平面上連續(xù)形成n條根軌跡。 一條根軌跡對(duì)應(yīng)一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)隨Kg的連續(xù)變化軌跡。 根軌跡的分支數(shù)

8、=系統(tǒng)的階數(shù)三、 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)由幅值條件有：1.起點(diǎn)：Kg=0，等式右邊= ，僅當(dāng)成立，n條根軌跡起始于系統(tǒng)的n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。另外nm條根軌跡終止于處（，相角可為任意方向）。結(jié)論： 根軌跡以n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為起點(diǎn)；以m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為終點(diǎn)，另外nm條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。 2.終點(diǎn)：kg= ，等式右邊=0當(dāng)由于nm時(shí)，只有s 處成立，m條根軌跡終止于m 個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處；四、根軌跡的漸近線 若nm，當(dāng)Kg從0+時(shí)，有(nm)條根軌跡分支沿著實(shí)軸正方向夾角，截距為 的一組漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)： 僅當(dāng)s足夠大時(shí)，根軌跡才向漸近線逐漸逼近， Kg，根軌跡才與漸近線重合。一般直接取180。-2

9、-10-2-10例4-1已知控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試確定根軌跡的支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，試確定漸近線和實(shí)軸的交點(diǎn)及漸近線的傾斜角。 解 由于n=3，所以有3條根軌跡，起點(diǎn)分別在由于m=0，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有有限值零點(diǎn)，所以三條根軌跡的終點(diǎn)都在無(wú)窮遠(yuǎn)處，其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)及傾斜角 分別為 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。根軌跡的起點(diǎn)和三條漸近線如圖所示。五、實(shí)軸上的根軌跡 、 兩向量對(duì)稱于實(shí)軸，引起的相角大小相等、方向相反； 、 兩向量也對(duì)稱于實(shí)軸，引起的相角大小相等、方向相反。 開(kāi)環(huán)復(fù)平面上的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，由于是共軛復(fù)數(shù)對(duì)，對(duì)實(shí)軸上任一點(diǎn)s1的相角影響為0，對(duì)于實(shí)軸上根軌跡的

10、判別來(lái)說(shuō)不影響幅角條件。 判斷 s1是否落在根軌跡上，共軛零、極點(diǎn)不考慮。位于s1左邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)： 、 向量引起的相角為0 判斷 s1是否落在根軌跡上，位于s1左邊的零、極點(diǎn)不考慮。位于s1右邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)： 每個(gè)零、極點(diǎn)提供180相角。結(jié)論：s1右邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)（開(kāi)環(huán)）個(gè)數(shù)的總和為奇數(shù)，則s1位于根軌跡上。例設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試求實(shí)軸上的根軌跡。解 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為0（二重極點(diǎn)），1，4（如圖所示）。根據(jù)實(shí)軸上根軌跡的判別條件可以得到區(qū)間4，5右方的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為5，以及區(qū)間1，右方的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為3，均為奇數(shù)，故實(shí)軸上根軌跡在上述兩區(qū)間內(nèi)如圖中所

11、示。六、根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) 若兩條根軌跡在復(fù)平面上的某一點(diǎn)相遇后又分開(kāi)，稱該點(diǎn)為根軌跡的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。此點(diǎn)對(duì)應(yīng)于二重根（實(shí)根和共軛復(fù)數(shù)根）。一般多出現(xiàn)在實(shí)軸上。分析：1.如圖， ， 為實(shí)軸上的根軌跡。 兩條根軌跡分別由-p1和-p1出發(fā)，隨kg的增大，會(huì)合于a點(diǎn)繼而又分開(kāi)，離開(kāi)實(shí)軸，進(jìn)入復(fù)平面，再回到實(shí)軸，會(huì)合于b點(diǎn)再離開(kāi)，一條終止于-z1，另一趨于負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)處。2.規(guī)律： 若實(shí)軸上兩相鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間存在根軌跡，之間必有分離點(diǎn)； 若實(shí)軸上相鄰開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（一個(gè)可視為無(wú)窮遠(yuǎn)）之間存在根軌跡，之間必有會(huì)合點(diǎn)； 若實(shí)軸上開(kāi)環(huán)零點(diǎn)與極點(diǎn)之間存在根軌跡，則其間可能既有分離點(diǎn)也有會(huì)合點(diǎn)，也可能都沒(méi)有。3.

12、求分離角（會(huì)合角）：在分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）上，根軌跡切線與正實(shí)軸的夾角，l為相分離的根軌跡分支數(shù)。 4. 分離點(diǎn)的求取消Kg得： 特征方程：s 分離點(diǎn) 重根法 特征方程：A（s）=0 具有重根， 則： 極值法 牛頓余數(shù)定理的使用（二階以上）舉例：已知控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。解：（用重根法）判斷：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)有三個(gè) 在實(shí)軸上 為根軌跡 ， 則 s1滿足，為分離點(diǎn)。-2-10七、根軌跡的出射角和入射角出射角：始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角入射角：止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角 ：由其它各開(kāi)環(huán)零點(diǎn)指向 的向量的幅角 ：由其它各開(kāi)環(huán)極點(diǎn)指向 的向

13、量的幅角入射角：出射角：例設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)極、零點(diǎn)如圖所示，試確定根軌跡離開(kāi)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角。 解 利用公式（），由作圖可得考慮到幅角的周期性，取 =。同理，可得 。 八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 隨著Kg，根軌跡可能由s左半平面右半平面，系統(tǒng)會(huì)從穩(wěn)定不穩(wěn)定，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，即閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根，出現(xiàn)臨界穩(wěn)定。 求解方法（兩種方法）：勞斯判據(jù)：第一列有0元素（純虛根），代入輔助方程，此處的增益臨界根軌跡增益Kgp。 令s=j代入閉環(huán)特征方程A（s）=0 ，再令 求出、交點(diǎn)坐標(biāo)和Kg。例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)、臨界根軌跡增益kgp。解： 交點(diǎn)坐標(biāo)：得：（舍去）令s=j

14、代入有當(dāng) 時(shí)， s1 行等于0，有一對(duì)純虛根，輔助方程 1 2 3 0s3s2s1s0 解： 勞斯判據(jù)-2-10 根軌跡和虛軸交點(diǎn)相應(yīng)于系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。即K3后，系統(tǒng)不穩(wěn)定（有閉環(huán)右極點(diǎn)）。 九、閉環(huán)極點(diǎn)的和由根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和=閉環(huán)極點(diǎn)之和=常數(shù) 表明，隨著Kg，若閉環(huán)一些特征根增大時(shí)，另一些特征根必定減小，以保持其代數(shù)和為常數(shù)。即一些分支向右移動(dòng)時(shí)，另一些分支必向左移動(dòng)，保持左右平衡。 可根據(jù)部分分支走向，判斷另一些分支的走向。 對(duì)于某一Kg，若已知（n-1）個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，可求最后一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為由根與系數(shù)的關(guān)系：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 是一個(gè)n階方程，

15、設(shè)閉環(huán)極點(diǎn)（特征方程根）分別為 ，則由根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng) 時(shí)， 例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 ，試求其相應(yīng)的第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，并求交點(diǎn)處的臨界根軌跡增益Kgp解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和閉環(huán)極點(diǎn)之和：-2-10 向左，、關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，只能向右移動(dòng)。小結(jié)： 按9條規(guī)則繪制控制系統(tǒng)從Kg=0+時(shí)根軌跡的草圖直觀分析Kg變化對(duì)性能的影響； 進(jìn)一步根據(jù)幅角條件，采用試探法準(zhǔn)確確定若干點(diǎn)的位置（特別是虛軸附近或原點(diǎn)附近） 精確根軌跡。（根軌跡的重要部位，穩(wěn)定不穩(wěn)定）43 控制系統(tǒng)根軌跡的繪制例：設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解 繪制根軌跡圖的步驟如下：（1）根軌跡共有2支。起點(diǎn)在開(kāi)環(huán)極

16、點(diǎn)s=，一支根軌跡的終在s=1，另一支沿負(fù)實(shí)軸趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。（2）實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間（，1），。（3）根軌跡在實(shí)軸的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)已在例中求得：分離點(diǎn)坐標(biāo)為d1=，Kgd1；會(huì)合點(diǎn)的坐標(biāo)為d2=，Kgd2。（4）復(fù)平面上的根軌跡是圓。 一、單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡例：設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解 繪制步驟如下：（1）求得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為1j。（2）根軌跡共有4條，起點(diǎn)在開(kāi)環(huán)極點(diǎn)0，3，1j，一條根軌跡終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)2其余3條終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。（3）根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為漸進(jìn)線傾角為當(dāng)k=0，1，2時(shí)分別和傾斜角為60，180，300（4）實(shí)軸上根軌跡在區(qū)間（，3）和

17、2，0。（5）實(shí)軸上無(wú)分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。（6）根軌跡離開(kāi)復(fù)數(shù)極點(diǎn)1j的出射角已在例4-4中求得為（7）計(jì)算根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為即 列出勞斯矩陣為s4 1 8 2Kg s3 5 6+Kgs2 2Kg s1 0由于Kg0，若勞斯矩陣第一列的s1行等于零，則系統(tǒng)具有共軛虛根。即當(dāng)可解得Kg。相應(yīng)的值由s2行系數(shù)組成的輔助方程確定，即以s=j代入可得：40(6+7)s2+527=0二、參數(shù)根軌跡某些開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)、反饋比例系數(shù)等，作為可變參數(shù)所繪制的根軌跡，稱之為參數(shù)根軌跡。用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。繪制參數(shù)根軌跡的步驟如下：（1）寫(xiě)出原系統(tǒng)的特征方程

18、。（2）以特征方程中不含參數(shù)的各項(xiàng)除特征方程，得等效系統(tǒng)的根軌跡方程，該方程中原系統(tǒng)的參數(shù)即為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。（3）繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。例 控制系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)Kg=4時(shí)，試?yán)L制開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p變化時(shí)參數(shù)根軌跡。解 當(dāng)Kg=4時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為所以系統(tǒng)的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 由于所以系統(tǒng)的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 由于所以系統(tǒng)的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為由于所以系統(tǒng)的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （）GDK(s)也可以用特征方程中不含參量的各項(xiàng)去除特征方程求得。由于由于所以系統(tǒng)的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （）GDK(s)也可以用特征方程中不含參量的各項(xiàng)去除特征

19、方程求得。GDK(s)與原系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)在閉環(huán)特征方程上是等價(jià)的，因此稱為等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。GDK(s)中的參數(shù) 稱為等效根軌跡增益。按照根軌跡繪圖規(guī)則，可以繪制等效系統(tǒng)的等效根軌跡從零變化到無(wú)窮大時(shí)等效系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。 三、多回路系統(tǒng)的根軌跡實(shí)際中，許多系統(tǒng)為抑制干擾以提高系統(tǒng)的性能，除了有主反饋閉環(huán)外，還設(shè)置了內(nèi)環(huán)通道，這就是多回路系統(tǒng)。例如在機(jī)電調(diào)速系統(tǒng)中，通常是除了速度反饋外，還有電流反饋形成的內(nèi)環(huán)，亦稱雙閉環(huán)系統(tǒng)。在工業(yè)過(guò)程控制中也有類似的雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，如串級(jí)控制系統(tǒng)。這些都是多回路系統(tǒng)。多回路系統(tǒng)的根軌跡的繪制較單回路要復(fù)雜一些。四、正反饋系統(tǒng)的根軌跡我們知道

20、，負(fù)反饋是自動(dòng)控制系統(tǒng)的一個(gè)重要特點(diǎn)。但在有些系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)是一個(gè)正反饋回路（如圖所示）。這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對(duì)象本身的特性，也可能是為滿足系統(tǒng)的某種性能要求在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)加進(jìn)的。因此，在利用根軌跡法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析或綜合時(shí)，有時(shí)需繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。這時(shí)，繪制根軌跡的條件和規(guī)則與上述有所區(qū)別。在繪制正反饋回路的根軌跡時(shí)，需對(duì)表中的一些規(guī)則，作如下修改。規(guī)則4 n-m條漸進(jìn)線與實(shí)軸的夾角的計(jì)算公式為： 規(guī)則5 在實(shí)軸的線段上存在根軌跡的條件是：其右邊的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。 規(guī)則7 根軌跡的出射角和入射角的計(jì)算公式為 除了上述3項(xiàng)規(guī)則修改外，其他規(guī)則均不變。例設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開(kāi)

21、環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 解 繪制步驟如下：（1）根軌跡起點(diǎn)在0，1，5。共有三支，終點(diǎn)均在無(wú)窮遠(yuǎn)處。 （2）趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處的根軌跡的漸近線與實(shí)軸相交于2，夾角由（4-53）計(jì)算，結(jié)果為0，120，240 （3）實(shí)軸上根軌跡的區(qū)間：5，1和0，。 （4）根軌跡的分離點(diǎn)按下式計(jì)算 即 解得 s=，由于不在根軌跡上，所以根軌跡分離點(diǎn)為，分離角為90系統(tǒng)的零度根軌跡如圖所示。 五、 滯后系統(tǒng)的根軌跡 包含時(shí)間滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為純時(shí)間滯后系統(tǒng)，或簡(jiǎn)稱為滯后系統(tǒng)。滯后環(huán)節(jié)的存在使根軌跡具有一定的特殊性，并往往對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)不利的影響。滯后系統(tǒng)的根軌跡方程為相應(yīng)的幅值方程為幅角方程為 當(dāng)=0時(shí)幅

22、值方程和幅角方程與一般系統(tǒng)的幅值方程和幅角方程相同。當(dāng)0時(shí)，特征根s=+j的實(shí)部將影響幅值方程，而幅角方程也不是180，他是的函數(shù)，且和k值有關(guān)，當(dāng)k=0時(shí)，幅角方程為當(dāng)k=1時(shí)，幅角方程變?yōu)轱@然，當(dāng)k值從0，1，2變到時(shí)，幅角條件公式的右邊也有無(wú)窮多個(gè)數(shù)值。因此，對(duì)應(yīng)于一定的Kg值，同時(shí)滿足幅值條件和幅角條件的復(fù)平面上的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，即滯后系統(tǒng)的根軌跡有無(wú)窮多支?？梢?jiàn)，繪制一般系統(tǒng)的根軌跡的基本法則，用于滯后系統(tǒng)均應(yīng)作相應(yīng)的更改。 44 控制系統(tǒng)的根軌跡分析 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布密切相關(guān)。 根據(jù)根軌跡求已知參數(shù)（一般為%、 tS）下的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)分析系統(tǒng)性能。 分析可包括：1.

23、 由給定參數(shù)確定閉環(huán)零、極點(diǎn)；2. 分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；3. 計(jì)算系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)；4. 根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)。一、求取閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的方法： 例：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ，求具有阻尼比的共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和其它閉環(huán)極點(diǎn)，并估算此時(shí)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解： 繪制根軌跡 分離點(diǎn)： 與虛軸的交點(diǎn)：穩(wěn)定范圍 作圖求時(shí)三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)非主導(dǎo)極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部之比 性能分析 模之比-s1、 -s2 在系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程中起著主導(dǎo)性作用，是閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)?？筛鶕?jù)由-s1、 -s2 所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來(lái)估算三階系統(tǒng)。單位斜坡給定作用下穩(wěn)態(tài)誤差：型系統(tǒng)：二、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系：1.系統(tǒng)要穩(wěn)定：閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s左半平面，與閉環(huán)零點(diǎn)無(wú)關(guān)；2.快速性好：閉環(huán)極點(diǎn)均遠(yuǎn)離虛軸，以使每個(gè)分量衰減更快；3.平穩(wěn)性好：主導(dǎo)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于=45等阻尼線上，其對(duì)應(yīng)最佳阻尼系數(shù)為