根軌跡的基本概念和自動(dòng)控制原理

1、根軌跡的基本概念和自動(dòng)控制原理1一、問題的提出 在前一章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析的討論中已經(jīng)知道，只要能求得系統(tǒng)微分方程的特征方程式的根即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能就可以確定。但是在高階系統(tǒng)中，求解特征根的根是一件很困難的事，在實(shí)際工作中難以應(yīng)用。 1948年伊文思根據(jù)反饋系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，提出了求解特征方程根的圖解方法根軌跡法。根軌跡法是分析、設(shè)計(jì)線性定常系統(tǒng)的一種圖解方法。二、根軌跡的概念例 已知 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，請繪出 時(shí)的根軌跡。通過對前一章/控制系統(tǒng)時(shí)域分析的討論,我們已經(jīng)知道，只要能求得/系統(tǒng)微分方程的/特征方程式的根，即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極

2、點(diǎn)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能就可以確定。解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)特征方程為若參變量K1從0變化時(shí)，特征方程根的變化情況如表根軌跡圖以系統(tǒng)增益K1為參變量，當(dāng)K1由0時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上變化的軌跡。根據(jù)此圖可分析參數(shù)K1變化對系統(tǒng)特性的影響。 穩(wěn)定性 當(dāng)K1由0 ，根軌跡不會進(jìn)入s右半邊，即系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。穩(wěn)態(tài)特性 坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，所以屬I型系統(tǒng)，根軌跡上的 K1值就是Kv。如果已知ess，則在根軌跡上可確定閉環(huán)極點(diǎn)取值范圍。動(dòng)態(tài)特性 當(dāng)0 K1時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)位于實(shí)軸上，為過阻尼狀態(tài)； 當(dāng)K1時(shí)，兩個(gè)閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)重合，為臨界阻尼系統(tǒng); 當(dāng)K1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是復(fù)極點(diǎn)，為欠阻尼狀態(tài)，單位 階

3、躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的基本特征是由閉環(huán)極點(diǎn)的位置決定的。 一般而言，繪制根軌跡時(shí)的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。但最常用的可變參量是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Kg（也稱為根軌跡增益）。 Kg常規(guī)根軌跡 Kg以外的參數(shù)參量根軌跡以上二階系統(tǒng)的根軌跡可以用解析法來求得，但對于高階系統(tǒng)來說，解析法就不適用了，工程上常采用圖解的方法來繪制。為此，需要：研究開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡之間的關(guān)系。 4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則本節(jié)重點(diǎn):掌握根軌跡的繪制方法本節(jié)難點(diǎn)：根軌跡的出射角和入射角 一、根軌跡的幅值條件和相角條件一般的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，其特征方程為其開環(huán)傳遞函數(shù)由等式兩

4、邊幅角和相角分別相等的條件可得在S平面上的任一點(diǎn)，凡能滿足以上幅角和相角條件的，就是系統(tǒng)特征方程的根，就必定在根軌跡上。開環(huán)傳遞函數(shù)通常又可以寫為其中 開環(huán)傳遞系數(shù) 開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)即其中 開環(huán)零點(diǎn)到S的矢量角 開環(huán)極點(diǎn)到S的矢量角在測量相角時(shí)，規(guī)定以逆時(shí)針方向?yàn)檎?凡滿足幅值和幅角條件的s值，都是閉環(huán)極點(diǎn)特征方程 根。這些 s 值構(gòu)成系統(tǒng)根軌跡關(guān)鍵找出這些s點(diǎn)。通常： （1）尋找滿足幅角條件的s值來繪制根軌跡曲線， （2）用幅值條件確定根軌跡曲線上各點(diǎn)所對應(yīng)的K1值。 工程上定義： （1）當(dāng) 0 K1 + 時(shí)的根軌跡稱之為主要根軌跡，簡稱根軌跡。 （2）當(dāng) K1 0 時(shí)的根軌跡稱之為輔助根軌

5、跡或補(bǔ)根軌跡。 （3）當(dāng) K1 + 時(shí)的根軌跡稱為完全根軌跡，簡稱全根軌跡。 繪制根軌跡的步驟： （1）尋找滿足幅角條件所有的s點(diǎn)，由這些點(diǎn)構(gòu)成根軌跡； （2）根據(jù)幅值條件確定對應(yīng)點(diǎn)(即特征方程根)處的K1值。例 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式，設(shè) 為該閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)極點(diǎn)， 求其對應(yīng)的傳遞系數(shù) 。式中 為開環(huán)有限零點(diǎn)； 為開環(huán) 極點(diǎn)。解：在上圖，各相角必滿足再按幅值條件求得該點(diǎn)的根軌跡傳遞系數(shù)基本思想:由相角條件確定根軌跡上的某點(diǎn)位置，根據(jù)幅值條件確定根軌跡上某一點(diǎn)對應(yīng)的增益。二、根軌跡繪制法則1.連續(xù)性：根軌跡是連續(xù)的 2.對稱性由于系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，因而特征根為實(shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，

6、根軌跡必然對稱于實(shí)軸3、根軌跡的條數(shù)為系統(tǒng)的階數(shù)-即系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。也為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)3. 起點(diǎn) （Kg =0）和終點(diǎn)（Kg = ） 根軌跡的起點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，此時(shí)Kg =0 。 根軌跡的終點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，此時(shí)Kg = 若起點(diǎn)數(shù)n大于零點(diǎn)數(shù)m,則有m條根軌跡終于零點(diǎn)，有n- m條終于無窮遠(yuǎn)處（相當(dāng)于有n- m個(gè)零點(diǎn)隱藏在無窮遠(yuǎn)處）根據(jù)幅值條件當(dāng) 時(shí)， -起點(diǎn)： 說明根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。終點(diǎn)：（1）有 m 條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的m個(gè)有限零點(diǎn)。 當(dāng) 時(shí)， 把這 m 個(gè)零點(diǎn)稱之為系統(tǒng)的有限零點(diǎn)。（2）有（n-m）條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的（n-m）個(gè)無限

7、 零點(diǎn)。 當(dāng) 時(shí)， 上式表明：有n-m條根軌跡的終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。我們把無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)稱之為無限零點(diǎn)。 舉例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。試確定下面閉環(huán)特征方程根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。5.實(shí)軸上的根軌跡 在S平面實(shí)軸上的線段存在根軌跡的條件是：線段右側(cè)開環(huán)零點(diǎn)（有限零點(diǎn)）和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)。 例4-26.分離點(diǎn)和會合點(diǎn)j閉環(huán)特征方程式1、求出S值（即可能的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)）2、3、s對應(yīng)的Kg值為正時(shí)，才是實(shí)際的分離或會合點(diǎn)。例4-3 P84例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請求出根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。解：系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)為-1，有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別為和。 根據(jù)根軌

8、跡繪制原則可知，根軌跡與實(shí)軸相重合的區(qū)間為 -0.1-0.5,-1。 求根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)：求對應(yīng)分離點(diǎn)、會合點(diǎn)的Kg：jS1=-0.33Kg1=0.06S1=-1.67Kg1=2.74例4-3 四重分離點(diǎn) 復(fù)數(shù)分離點(diǎn)7.漸近線（1）漸近線條數(shù)： n-m條，根軌跡沿漸近線傾角方向趨向無窮遠(yuǎn)（2）漸近線交點(diǎn)： 與實(shí)軸交于一點(diǎn) 坐標(biāo)為（-，j0）k為0,1,2,n-m-1幅角條件：當(dāng) 時(shí)，零點(diǎn) 、極點(diǎn) 與 矢量復(fù)角可近似看成相等得到所以漸近線的傾角： 共有(n-m)條漸近線，所以只要取(n-m)個(gè)不同的傾角即可。根軌跡漸近線的傾角例4-4： 已知：試畫出根軌跡的大致圖形。解：按根軌跡繪制的規(guī)則

9、：（1）起點(diǎn)：0，-1，-5； 終點(diǎn)：，。（2）分支數(shù)： n=3（3）根軌跡對稱于實(shí)軸。（4）漸近線：因?yàn)楸鞠到y(tǒng)中， ，所以漸近線共 有3條。漸近線的傾角： 取k0，1，2，得到： 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：（5）根軌跡在實(shí)軸上的分布： 0-1，-5-之間。-5-2例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請求出根軌跡的漸近線。解：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)，有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別為0，-2和-4。 方法二：勞斯判據(jù) 若勞斯表第一列中有一為零項(xiàng)，且其余各項(xiàng)都具有正號，則系統(tǒng)為臨界狀態(tài)，即有零根或虛根。8.與虛軸的交點(diǎn) 方法一：代數(shù)法 將s=jw代入系統(tǒng)特征方程，令實(shí)部和虛部分別等于零，求出w和對應(yīng)的K值。例 已知系統(tǒng)的

10、特征方程為:方法一：將 代入特征方程經(jīng)整理得例4-5方法二：由特征方程可知，該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，系統(tǒng)型別為一型。列勞斯表若根軌跡與虛軸相交，則表示系統(tǒng)存在純虛根，該點(diǎn)對應(yīng)的Kg使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此又因?yàn)橐粚兲摳貫閿?shù)值相同，符號相反的根，所以用勞斯表s2行的系數(shù)可以構(gòu)成輔助方程。9.出射角與入射角 出射角：根軌跡從復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)后的走向。 入射角：根軌跡從復(fù)數(shù)進(jìn)入零點(diǎn)的走向。 - 除被測終點(diǎn)外，所有開環(huán)有限零點(diǎn)到該點(diǎn)矢量的相角。 -除被測起點(diǎn)外，所有開環(huán)極點(diǎn)到被測極點(diǎn)矢量的相角。根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角稱根軌跡的出射角，根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向夾

11、角稱入射角其等效傳遞函數(shù)為其漸近線為其出射角為j例 求以下特征方程的根軌跡。4.3 系統(tǒng)根軌跡的繪制和開環(huán)零、極點(diǎn)對根軌跡的影響1、求出S值（即可能的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)）2、3、s對應(yīng)的Kg值為正時(shí)，才是實(shí)際的分離或會合點(diǎn)。 若勞斯表第一列中有一為零項(xiàng)，且其余各項(xiàng)都具有正號，則系統(tǒng)為臨界狀態(tài)，即有零根或虛根。 - 除被測終點(diǎn)外，所有開環(huán)有限零點(diǎn)到該點(diǎn)矢量的相角。 -除被測起點(diǎn)外，所有開環(huán)極點(diǎn)到被測極點(diǎn)矢量的相角。例4-6 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出其根軌跡。解：（1）系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（起點(diǎn)）：（2）實(shí)軸上有根軌跡的區(qū)間為0，-1，-4，-。（3）根軌跡的分離點(diǎn)可按以下公式計(jì)算解此方

12、程得因?yàn)樵?1，-4區(qū)間不可能有根軌跡，所以分離點(diǎn)應(yīng)為（4）根軌跡的漸近線（5）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)令 ，得解之得增加零點(diǎn)對根軌跡形狀的影響 例4-7增加開環(huán)零點(diǎn)的影響開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對根軌跡的影響1.增加開環(huán)零點(diǎn)，使根軌跡往左移。例 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。R(s)Y(s)R(s)Y(s)jj-1/2.增加開環(huán)極點(diǎn)，使根軌跡往右移。例 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。R(s)Y(s)R(s)Y(s)jj根軌跡的繪制不必太準(zhǔn)確，主要是一些關(guān)鍵點(diǎn)需要準(zhǔn)確，例如：實(shí)軸上的根軌跡、分離點(diǎn)、與虛軸的交點(diǎn)等，這樣才能很好確定根軌跡的大致走向。在根據(jù)開環(huán)零、極點(diǎn)的分布初步確定出根軌跡的圖形后，特別要認(rèn)真檢查和計(jì)算

13、，是否存在分離點(diǎn)，否則可能導(dǎo)極完全錯(cuò)誤的結(jié)論。例：沒有分離點(diǎn)分離點(diǎn)為：-3沒有分離點(diǎn)分離點(diǎn)為：；-4第四節(jié) 參量根軌跡 選擇除Kg以外其他參量作為可變參量繪制的根軌跡，稱為參量根軌跡，由稱為廣義根軌跡。當(dāng)選擇Kg為可變參量時(shí)，特征方程為：當(dāng)選擇系統(tǒng)其它參量為可變參量時(shí)，并以所選可變參量a代替Kg的位置：取等效開環(huán)傳遞函數(shù) 則前面所介紹的相角、幅值條件和繪制根軌跡的各種規(guī)則都依然適用。例4-8 試?yán)L制圖所示,試?yán)L制以為參變量的根軌跡圖4-13 根軌跡圖解： 特征方程式例4-8一般系統(tǒng)參量根軌跡的繪制步驟：1、求出原系統(tǒng)的特征方程2、以特征方程中不含該參量的各項(xiàng)除特征方程，得等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

14、。3、根據(jù)上一節(jié)介紹的根軌跡繪制規(guī)則，繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即得原系統(tǒng)的參量根軌跡。第五節(jié) 系統(tǒng)性能的根軌跡分析繪制根軌跡的目的，主要在于根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。一個(gè)性能良好的系統(tǒng)，對閉環(huán)零、極點(diǎn)有如下要求：1、穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)位于s平面的左半平面。2、快速性：各閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)盡量遠(yuǎn)離虛軸。3、平穩(wěn)性：4、合理配置主導(dǎo)極點(diǎn)及閉環(huán)零點(diǎn)的位置： 復(fù)數(shù)極點(diǎn)最好設(shè)置在 附近，系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性都較好。主導(dǎo)極點(diǎn)一般選為一對復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)，以便按二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來分折。偶極子：一對靠得很近的閉環(huán)零極點(diǎn)。故在綜合設(shè)計(jì)中，加入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)去抵消對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程影響較大的不利極點(diǎn)。利用根軌跡分析法對系統(tǒng)進(jìn)行性能分析主要包括以下幾個(gè)方面：1、參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響2、計(jì)算系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能3、根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參量一、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析例4-9 設(shè)某開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制根軌跡并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。 我們把參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。對于條件穩(wěn)定系統(tǒng)可由根軌跡圖確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。P89 圖14-14二、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定 利用根軌跡法可清楚地看到開環(huán)增益和其他參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置及其瞬態(tài)性能的改變情況?，F(xiàn)以典型的二階系統(tǒng)為例，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn) 因而