2011年數學建模競賽獲獎作品

1、承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱?/p>

2、員（打印并簽名）：1.指導教師或指導教師組負責人（打印并簽名）：日期：年月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2011高教社杯全國大學生數學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）： 城市表層土壤重金屬污染分析摘要隨著城市工業(yè)快速發(fā)展和機動車的大量增加，重金屬這個隱形殺手已經在不知不覺中滲透到生活中的每一個環(huán)節(jié)，侵蝕著我們的軀體。近年來重金屬污染事件屢見不鮮?！俺鞘斜韺油寥乐亟饘佟睌祵W模型分析是對城市土壤環(huán)境異常的查證，以及確定重金屬污染源位

3、置，運用數學科學的理論和方法，在更好地利用自然資源的同時，深入認識重金屬污染和破壞環(huán)境的根源及危害，預防環(huán)境質量惡化，控制城市表層土壤重金屬污染污染來源，促進人類與環(huán)境協(xié)調發(fā)展，提高人類生活質量，保護人類健康，造福子孫后代，具有重要的意義。對于問題一我們采用熟悉的Matlab7.0數學軟件編程和Fisher模型解決。對問題二我們采用數學統(tǒng)計法，用MicrosoftExcle解決。對問題三我們運用科學簡化高斯擴散模型和修正的高斯模型進行解決。對問題四我們采用收集更多的重金屬污染數據對問題三所給模型做進一步修正解決。對于問題一我們根據所熟悉的Matlab7.0數學軟件編程和Fisher模型，用所給

4、數據對八種重金屬元素在城區(qū)的空間分布及不同區(qū)域的污染程度用Matlab7.0作圖，直觀清晰的展示了重金屬的空間分布，不同區(qū)域的污染程度用Matlab7.0作圖和Fisher模型做出數據進一步驗證。驚奇的發(fā)現，數據非常接近，而且比較符合實際，接下來，關于模型求解問題順理成章。對于問題二根據問題一的求得的數據，主要應用MicrosoftExcle做成的表格解釋重金屬污染的主要原因。對于問題三我們根據八種重金屬污染空間分布圖幾乎呈放射狀，可以認為主要由大氣污染造成，而且從重金屬濃度呈球型分布，科學合理的忽略風速對大氣中重金屬元素擴散的影響及河流推力對重金屬的擴散的影響，或者直接由固體廢棄物堆積擴散產

5、生影響。對高斯擴散模型進行了合理的假設和取舍，得到了比較簡便準確的高斯模型一，然后考慮海拔和不同坐標軸方向擴散系數等對簡化的模型一進行了加工和修正，建立具有實用性、高精度性、合理性的重金屬污染源的位置預測的修正的高斯模型模型。對于問題四我們分析了模型一的缺陷以及模型二的準確和理性及其應用。假設收集到重金屬元素隨時間變化數據，并且考慮河流、雨水及不同質地的土壤對重金屬污染源擴散推動和吸收等實際因素考慮進去，使模型更加貼近實際。關鍵詞：重金屬Matlab7.0軟件空間分布Fisher模型高斯模型模型一問題的提出隨著城市經濟的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質量的影響日顯突出。對城市

6、土壤地質環(huán)境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量數據資料開展城市環(huán)境質量評價，研究人類活動影響下城市地質環(huán)境的演變模式，日益成為人們關注的焦點。按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同?，F對某城市城區(qū)土壤地質環(huán)境進行調查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網格子區(qū)域，按照每平方公里1個采樣點對表層土(0-10厘米深度)進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數據。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤

7、中元素的背景值?，F要求通過數學建模來完成以下任務：給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內不同區(qū)域重金屬的污染程度。通過數據分析，說明重金屬污染的主要原因。分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。分析你所建立模型的優(yōu)缺點，為更好地研究城市地質環(huán)境的演變模式，還應收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？在自然狀態(tài)，城區(qū)中的土壤中總有不同程度的重金屬元素污染，為了探求城區(qū)表層土壤重金屬元素的污染，在采樣時，建立起數學模型找出影響城區(qū)土壤污染的重金屬元素的污染因素以及其他問題采取一種最合理最有效的方案獲取信息，解決問題。二問題的分析問題一的分析重金屬污染

8、離我們并不遙遠，已影響到我們的生活環(huán)境。重金屬元素具有不可降解性，可以長期存在于環(huán)境中，人體可以通過吃吸收重金屬元素食物也可以通過呼吸將大氣中的重金屬污染物吸入體內，一旦在人體內蓄積量達到某個閾值，就會對人體產生毒害，土壤和大氣中的重金屬的長期存在可能對環(huán)境和人類構成極大的潛在危害。分析城市重金屬元素分布圖可以準確的找出污染源的位置以及人們出現重金屬中毒的原因。對開展城市環(huán)境質量評價具有重要的意義。問題一屬于統(tǒng)計學數學問題我們想對于附件所給的數據進行了分功能區(qū)的整理和Matlab7.0數學軟件編程對所給數據作圖，做出了八種重金屬元素的在五個功能區(qū)所占比例，然后用Fisher模型作進一步驗證。問

9、題二的分析城市表層土壤重金屬污染涉及諸多因素，是個復雜的大系統(tǒng)，而表層土壤重金屬污染具有長期性、隱蔽性和滯后性，城市區(qū)域的大規(guī)模、綜合性的重金屬污染問題已成為制約城市發(fā)展的重大瓶頸，為了協(xié)調城市社會經濟發(fā)展和土壤環(huán)境保護之間的關系，有效改土壤重金屬含量、控制城市重污染是當前緊迫的問題。問題二屬于分析總結問題，主要對問題得出的結論分析其原因。我們利MicrosoftExcle做成的表格解釋重金屬污染的主要原因問題三的分析分析重金屬傳播特征，確定重金屬污染源對在含重金屬工廠泄漏事故的應急救援過程中，對救援人員劃定警戒區(qū)和確定周圍居民的疏散范圍具有重要意義，并可為制定救援方案和應急決策提供科學依據。

10、對重金屬在空中遷移和擴散提供濃度的定量描述，也對可能發(fā)生的含重金屬污染源工業(yè)區(qū)周圍濃度監(jiān)測及監(jiān)測范圍提供相關信息。問題三屬于根據重金屬污染特征及重金屬元素在在城區(qū)的空間分布，我們首先建立一個簡單的高斯擴散模型，先進行合理的假設，抓住主要矛盾忽略次要矛盾，利用控制變量法即先單獨考慮對X軸的影響。把Y軸看成不變。再單獨考慮對Y軸的影響。把X軸看成不變。然后在綜合考慮X、Y軸的影響建立一個相對簡單精度稍差的模型。然后慮海拔和不同坐標軸方向擴散系數等對簡化的高斯擴散模型一進行了加工和修正，建立具有實用性、高精度性、合理性的重金屬污染源的位置預測的修正的高斯模型模型二。問題四的分析對所建立的修正的高斯模

11、型得出數據和附件所給數據的進行比較，分析模型的優(yōu)缺點，為更好的地研究城市地質環(huán)境的演變模式，通過分析重金屬污染物的傳播特征應收集主要收集大氣中重金屬含量，大氣中的重金屬主要來源于工業(yè)生產、汽車尾氣排放及汽車輪胎磨損產生的大量含重金屬的有害氣體和粉塵等。它們主要分布在工礦的周圍和公路、鐵路的兩側。大氣中的大多數重金屬是經自然沉降和雨淋沉降進入土壤的。收集降雨量城市河流流向以及河流污染程度和河流流經工業(yè)區(qū)重金屬的增加量。以及城市表層土壤重金屬元素隨時間的變化而濃度的改變。有了這些數據我們就可以對所做的模型作進一步修正?？紤]到城市表層土壤重金屬元素隨時間的變化而濃度的改變以及降雨和降霧量及地形海拔等

12、實際客觀存在的因素影響我們進一步修正所建立的模型?？紤]到風向對大氣中重金屬擴散推動力的影響（同河流流向的對重金屬擴散推動力作用原理一樣就是常系數改變）單獨建立了河流周圍重金屬擴散模型。根據采取數據分別進行單項評價和綜合評價，將評價結果基于網格進行可視化，生成評價結果，從空間上展示評價結果，結果如下：三建模過程問題一定義符號說明：Np-第p個功能區(qū)的樣本點個數X（p）-第p個功能區(qū)中第i個樣本數iq-表示各功能區(qū)點分類的類數模型建立：q=1X（p）=丄爭X（P）,X=-X（p）niqpi=1模型的求解：1.圖中所給出的是城市表層平均重金屬含量的實驗數據，反映了重金屬濃度與各區(qū)采樣點的關系.表城市

13、表層土壤平均重金屬含量和污染分析采樣地點As（Pg/g）Cd（ng/g）Cr（Pg/g）Cu（Pg/g）Hg（ng/g）Ni（Pg/g）Pb（Pg/g）Zn（Pg/g）1.生活區(qū)6.27289.9669.0249.493.0418.3469.11237.012.工業(yè)區(qū)7.25393.1153.41127.54642.3619.8193.04277.933.山區(qū)4.04152.3238.9617.3240.9615.4536.5673.294.主干道路區(qū)5.71360.0158.0562.21446.8217.6265.53242.855.公園綠地區(qū)6.26280.5443.6430.19114

14、.9915.2960.71154.24各兀素平均值5.08302.453.5155.02299.7117.261.74201.2通過Matlab程序（見附錄二）的計算得出下圖八種元素濃度的空間分布圖。（1）由右圖可看出，砷的濃度空間分布很平均，各采樣點基本在5.08（”g/g）波動，土壤污染較輕，污染較為嚴重地區(qū)的坐標基本分布呻濃度的空間分布在（17000,10000）（190000,12000）由右圖可以看出，鎘濃度空間為工業(yè)區(qū)和主要干路區(qū)為主要來源，污染嚴重,土壤污染較輕，污染較為嚴重地區(qū)的坐標基本分布在(100,10000)(6000,6000)和(21000,12000)(24000,

15、13000)，污染比較分散。由右圖可以看出，鉻的濃度空間分布較平均，各采樣點基本在53.51(“g/g)波動，最為嚴重的是主干道路區(qū)土污染較為嚴重，污染較為嚴重地區(qū)的坐標基本分布在(3000,4000)(5000,4200) 420001800160014UU1200100080U6004UU200汞濃度的空間分布1200010000-I8000-Burin-)4000200000.511.522.53X4x10從右圖可以看出，銅濃度的空間分布主要集中在工業(yè)區(qū)，污染較嚴重，污染嚴重地區(qū)的坐標基本分布在(2000,2000)(3000,4000)。從右圖可以看出，汞濃度空間分布主要集中在工業(yè)區(qū)，

16、但是濃度不是很高，污染不是很嚴重，污染輕微嚴重地區(qū)的坐標基本分布在(2000,4000)(4000,2100)和(1200,2100)(1400,2000)以及(15,900)0(0106,900)，0濃0度分0布很為分散。銀濃度的空間分布00.511.522.53從右圖可以看出，鎳濃度空間分布生活區(qū)和道路主干區(qū)，濃度不是很高，污染不是很嚴重，污染地區(qū)的坐標主要集中在(2500,4200)(5000,6000)，濃度分布較為集x10 中。從右圖可以看出，鉛濃度的空間分布主要集中在工業(yè)區(qū)，濃度很高，污染很嚴重，污染地區(qū)坐標主要集中在(100,2000)(3000,2100)和(2800,6000

17、)(6000,5000)，污染很集中。從右圖可以看出，鋅濃度的空間分布主要集中在工業(yè)區(qū)和主道干路區(qū)，濃度很高，污染很嚴重，污染地區(qū)坐標主要集中在(100,2000)(6000,4000)，污染很集中。不同污染物濃度隨區(qū)的不同生活國工業(yè)應山區(qū)鑼通區(qū)公園録地區(qū)由下圖進一步驗證了模型的準確性，更驚奇地發(fā)現其結果更接近實際。從圖形可以看出，污染物濃度隨區(qū)域的不同，很明顯的成“M”型，工業(yè)區(qū)和主干道路區(qū)污染最嚴重。從圖中可以看出，山區(qū)主要集中在右上角；而幾乎公園綠地區(qū)主要集中在左下角；其他三個功能區(qū)分散在中部地區(qū)。本圖結合前面八個重金屬元素污染空間分布分布，可以看出山區(qū)和公園綠地區(qū)這兩個角落污染物濃度很

18、低，可視為無污染源；剩余三個功能區(qū)因為實際情況而錯綜復雜，混合在一起。工業(yè)區(qū)和主干道路區(qū)的大部分污染物擴散到生活區(qū)，導致其金屬濃度提高。丿1示心平均值門標淮偏差范醫(yī)kAs320.91.呂笛.如*Cd13232YOTy-lSO*211Cr321冷沖Cu(回界13.2僉:和6.Q戈0.4+Hg吟山Ni3.84.719.9小Pb、ZZM或心如19-43-Zn1如419-問題二(1)模型求解表二八種主要重金屬元素的背景值根據問題一的表一的各元素的在各功能區(qū)平均值與左圖的八種元素的平均值所在的正常范圍繪制表三如下圖可知每種元素均超過正常范圍。表三八種金屬元素的平均值的相對誤差的比較金屬元素AsCdCrC

19、uHgNiPbZn（pg/g）（ng/g）（Pg/g）（Pg/g）（ng/g）（Pg/g）（Pg/g）（Pg/g）標準平均值3.61303113.23512.33169實際平均值5.08302.453.5155.02299.7117.261.74201.2相對誤差0.411.330.733.177.560.3980.991.92通過表格數據分析，看出汞相對誤差最大，汞的濃度超出最多，其次是鋅，分析上表，可得出八種金屬元素污染的主要成因是不同的，由重金屬空間濃度圖可以推測出可能造成的原因如下：砷污染的可能主要原因：從砷空間濃度分布圖看出，土壤中的As來源可分為自然源和人類源，前前者主要是地質巖石

20、中含As礦物，后者主要來自農藥、化肥和礦山冶煉。西部地區(qū)、南部居民區(qū)及中部部分地區(qū)As元素的含量相對較高，而東部山區(qū)As元素的含量適中，在背景值范圍內。研究區(qū)的西部沿海主要是工業(yè)區(qū)的地區(qū)，西南部是居民區(qū)用煤取暖所致，中部可能是與農藥化肥的施用有關。砷的污染源主要集中在兩個地區(qū)可以看出污染相對比較集中，由在重金屬濃度高的工業(yè)區(qū)的行業(yè)產生。鎘污染的可能的主要原因：從鎘空間濃度分布圖看出，自然界中沒有單獨的鎘礦藏，鎘是鋅鉛礦、銅鋅鉛礦的伴生元素。人類對含鎘礦物的開采、冶煉是引起土壤鎘污染的重要原因之一；此外煤、原油中含有微量的鎘，在燃燒過程中可以釋放到大氣中，最后沉入土壤；電鍍、印刷、塑料、電池、電

21、學測量儀器、半導體原件、陶器、焊料和合金等制造業(yè)的廢水和煙塵也有一定的影響，但面源（全球性）污染較輕。而點源（區(qū)域性）污染很重。農業(yè)施肥所用的過磷酸鈣、混合磷肥和污泥中也含有成都不等的Cd；輪胎的磨損也會在成鎘含量的增加。西部道路密集地區(qū)Cd的含量較高，道路交通是重要來源，而東部山區(qū)和公園處Cd含量較低，基本接近背景值范圍。Cd元素在該地區(qū)的含量受交通影響較大。鉻污染可能的主要原因從鉻空間濃度分布圖及八種金屬元素的平均值的相對誤差的比較表格看出，多數區(qū)域的Cr元素含量在背景值范圍內，所以研究區(qū)內Cr元素含量受人為影響不大。Cr污染源主要集中在西南部地區(qū)。可能是這些地區(qū)附近集中了發(fā)電廠、污水處理

22、廠、紡織廠、機電廠等工業(yè)用地。由此可見，這些地區(qū)Cr元素的高含量是由工業(yè)活動引起的銅污染可能的主要原因從銅空間濃度分布圖及八種金屬元素的平均值的相對誤差的比較表格看出集中在兩個范圍之，山區(qū)以及公園處Cu元素的含量都在背景值及其附近，西部人類活動較多的地區(qū)含量值稍高。土壤中的Cu主要來源于含銅礦的開采和冶煉廠“三廢”的排放，含銅農業(yè)化學物質（含銅殺真菌劑和化肥）和有肥（污泥、豬糞、廄肥和堆肥）的施用，以及交通污染中剎車圓盤和發(fā)動機的磨損。，由此可見，Cu元素的含量受人為活動尤其是道路交通的影響汞污染的可能主要原因從汞空間濃度分布圖及八種金屬元素的平均值的相對誤差的比較表格看出主要集中在工業(yè)區(qū)的三

23、個地方范圍，土壤中的汞來源于大氣沉降及工業(yè)生產廢料、城市生活垃圾的堆放、農田耕作中施用含汞肥料和農藥、污水灌溉等。東部山區(qū)以及公園處汞元素的含量都背景值及其附近，西部工業(yè)集中的地區(qū)以及南部居民區(qū)含量值高，由此可見，研究區(qū)Hg元素的含量值升高是由于居民區(qū)煤的燃燒和工業(yè)活動等人為因素的影響。鎳污染的可能主要原因從鎳空間濃度分布圖及八種金屬元素的平均值的相對誤差的比較表格看出鎳最重要的污染源主要集中在一個地方，其余地方也有污染但是不嚴重，鎳污染來源于工業(yè)污染和礦山開采。污水中含有大量的鎳，用污水灌溉也會導致鎳在表層土聚集。人類活動對Ni在土壤中的含量影響不大。少數居民區(qū)Ni含量稍高，與生活污水及工業(yè)

24、廢水有關。鉛污染的可能主要原因從鉛空間濃度分布圖及八種金屬元素的平均值的相對誤差的比較表格看出鉛污染源主要集中在工業(yè)區(qū)兩個地方，鉛污染主要來源于汽油燃燒產生的廢氣，含鉛涂料，采礦、冶煉、鑄造等工業(yè)生產活動等。土壤中的鉛主要來源于大氣沉降，含鉛汽油的使用及電池、顏料、彈藥、特殊合金和焊接等工業(yè)中的應用。從圖中可以看出，工業(yè)區(qū)的影響Pb含量較高?？梢?，Pb元素含量受工業(yè)、交通的影響。污染源是主干道路導致鉛污染相對分散。鋅污染可能的主要原因從鋅空間濃度分布圖及八種金屬元素的平均值的相對誤差的比較表格看出鋅污染源主要集中在兩個地區(qū)，土壤中的Zn主要來源于含鋅工業(yè)如電鍍、合金、橡膠工業(yè)、顏料、玻璃、塑料

25、、電池和木材防腐劑等工業(yè)“三廢”的排放、金屬腐蝕和輪胎的磨損西部主干道路區(qū)、工業(yè)區(qū)及南部居民區(qū)Zn含量相對較高?？梢?，含Zn高的地區(qū)是工業(yè)、交通密集處及人類活動頻繁處。綜上所述，重金屬污染源主要為工業(yè)區(qū)和道路主干道路區(qū)產生的污染的主要原因。對重金屬含量及其分布情況的分析，工廠的排放和人為污染均可使土壤的重金屬含量發(fā)生變化，由于在地質變化過程中重金屬沉降的程度會不盡相同，還有交通工具如汽車的尾氣排放等都造成了土壤污染。工業(yè)區(qū)產生的污染是多數的而且是集中。主干道路區(qū)產生的污染主要為汽車尾氣的排放。污染相對分散不集中。問題三：3.1模型假設1、擴散過程中濃度在y、z軸上的變化分布是高斯分布。而且忽略

26、風對重金屬的濃度分影響。2、在某個方向上擴散系數隨時間的變化速率與濃度梯度成正比。3、放射性物質的擴散看作是空間某一連續(xù)點源向四周等強度地瞬時釋放放射性物質，放射性物質在無窮空間擴散過程中不發(fā)生性質變化，且不計地形影響。4、放射性物質擴散服從擴散定律，即單位時間通過單位法向面積的流量與它的濃度梯度成正比。重金屬污染物的主要傳播特征我們根據八種重金屬污染空間分布圖幾乎呈放射狀，科學合理的忽略風速對大氣中重金屬元素擴散的影響及河流推力對重金屬的擴散的影響，通過其物理現象這可以作為我們研究的重金屬污染物的主要傳播特征。模型的建立與求解3.2.1模型一的建立與求解由假設一，對如下高斯模型穩(wěn)定污染源擴散

27、濃度模型進行合理簡化C(x，y，幾縣*exp-2x-x-ju(t)dt0 xxexp-爲2+expzz+h22c2(t)|z丿模型中，x為污染源在x方向的投影；為h污染源到地面的高度。如圖oozhO.oxx0y視場中的軸方向如果能夠確定擴散系數&C),&C),&(t)我們就能容易地進行污染源的位置。TOC o 1-5 h zxyz由假設2簡化起見，設x二0，u二0，只考慮x方向的擴散，&C)隨時間的變oxx化率與x二&Q處的濃度梯度成正比：xQ&5C, HYPERLINK l bookmark62 x0CX&；dtdxx從而我們可以將高斯擴散模型簡化為下式dCQexprx21rxdx(2吋ex

28、p2&2J*&2丿xxx我們可得到下面的方程；dCKdxx2式中，K為任意常數。解此方程，可以得到:C(x)+b(其中ax和b為常數)有足夠的理由認為y方向與x方向完全相同：c(y)-a+bx(其中a和b為常數)在污染物濃度高的區(qū)域，海拔低的采樣點有四個；在污染物濃度低的區(qū)域，海拔高的采樣點有五個；污染物濃度高的區(qū)域，海拔 高的點沒有，主要原因是因為山區(qū)海拔高，沒有工業(yè)區(qū)和主干道區(qū)。從圖中看出污染物濃度隨著海拔高度的升高而略有下降。但下降的幾乎可以忽略。因此可以忽略z軸對污染物濃度的擴散影響。綜上所述：考慮到想X,y軸以及污染源位置高斯擴散模型的科學合理的簡化模型*.C(x,y)=,、af亍+

29、b(其中a和b為常數)寸&-x)2+(y-y)2有模型帶入附錄As所給在污染源附近數據簡單運算即可求出的污染源位置(x,y)=6.350,2.30/與As污染源空間分布圖及附件最高污染源所給的00(x,y)=(1.2696,3.024)略有出入,但是準確度達到要求。003.2.2模型二的建立以重金屬污染源正下方的地面為坐標原點(0,0,0),水平方向為X軸,海拔高度為Z軸，水平垂直于X軸為Y軸向，建立空間坐標系，則重金屬污染源點O距有效地面的高度為H，則位重金屬污染源置坐標為(0,0,h)。o將氣體從污染源泄漏時刻記作t=0，時刻t無窮空間中任意一點坐標為(x,y,z)的濃度記為C(x,y,z

30、,t),根據假設3,單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比，則：q=-6-gradCi6(i=x,y,z)是擴散系數，grad表示梯度，負號表示由濃度高向濃度低的地i方擴散。在空間域Q，其體積為V，包圍Q的曲面為S，S為一規(guī)則的球面，S外法線向量為n=(-X，-蘭,1)。則在(t,t+At)內通過Q的流量為：zzQ=ft+Atffqqd6dt1tsQ內重金屬濃度的增量為：Q=fffC(x,y,z,t+At)-C(x,y,z,t)dV2V從重金屬源污染區(qū)擴散重金屬物質的總量為：Q=ft+AtfffpdVdt0t0根據“質量守恒定律”和“擴散連續(xù)性原理”，單位時間內通過所選曲面S的向外擴散

31、的重金屬物質的量與S曲面內物質增量之和，等于污染源源在單位時間內向外泄漏的重金屬物質。則：二Q1+Q2即：BJC(x,y,z,t+At)一C(x,y,z,t)dV+ft+AtJJq充ddt-ft+AtJJJtVspdVdtt0Q又根據曲面積分的Gauss公式：JJq-Ind6=JJJdiv孑dV(其中div是散度記號)sVJJJC(X,y,Z+At)一Cy,Z,)AtdV+Jt+AtJJJdivqdVdt=Jt+AtJJJpdVdtAttt0VVQdCC(x,y,z,t+At)-C(x,y,z,t)=limQtAtJt+Atkdiv(gradC)dtlimtAtTOAt由以上兩式得：JJJdV

32、.At+JJJdivdVAt=JJJpdVAtQtOVVQ即為：JJJQC”+JJJdivTdV=JJJpdVvvV由以上公式并利用積分中值定理得：QCQti二8div(gradC)二8，(iQx2/竺+5竺+8竺1yQy2zQz2丿,t0,gx,y,zva這是無界區(qū)域的拋物線型偏微分方程，根據假設1，初始條件為作用在坐標原點的單位強度的擴散系數函數，記作C(x,y,z,0)Q5(x,y,z)Q表示污染源的物質總量，5(x,y,z)是單位強度的擴散系數函數。oX2+y2+z2451丿iy,z)上述方程的解為：C(x,y,z)二(%exp4kot艾門i從以上分析知，任意一點重金屬濃度為污染源源擴

33、散至此點濃度的疊加。則(z-h)2實際污染源源對p點的濃度貢獻部分可用exp-來表示；因為地面污染源PI45r丿Z擴散物質完全吸收，則像污染源擴散對稱源對p點的濃度貢獻部分可用(z+h)2)exp-o來表示。于是對上式所修正完善的模型為：C力21丿zC(x,y,z,t)=(48expix2y2+48t48txy-h)2+(z+hoo48tz此精確模型模型的檢驗不僅需城市表層土壤重金屬污染物的濃度，還需要城市表從土壤重金屬濃度隨時間的變化。這樣就得到了更加準確性、合理性高斯擴散模型。由假設2：bC)隨時間的變化率與x=bC)處的濃度梯度成正比：xxdoac,x0CXO；ataxxC(x,y,z)

34、x2expy2-h484848其中5-，5-5分別為想，X軸Y軸Z軸方向擴散系數。xyz問題四：4.1模型的評價4.1.1模型優(yōu)點第一：模型一，先對收到數據應用Fasher法進行初步分析。然后再對高斯擴散模型運用控制變量法進行科學合理的簡化。對擴散系數進行了簡化。首先單獨考慮重金屬擴散對X軸的影響，將X軸方向的擴散系數合理的簡化，再單獨考慮重金屬擴散對Y軸的影響；建立的濃度預測模型具有準確性、實用性、合理性。第二：模型二是再建立了連續(xù)點源穩(wěn)定高斯擴散模型，并考慮海拔高度，得到了更優(yōu)化的連續(xù)點源高斯擴散模型。此模型能較好的求出重金屬污染源物質濃度，給出重金屬污染源物質周邊重金屬物質濃度的變化情況

35、。第三：模型最大的優(yōu)點在于對原始數據擬合時采用多種方法，具有很高的擬合精度和適度性基礎上，對模型進行進一步討論便可得到一系列可靠而且使用的信息所得結論與客觀實際和好地吻合，從而進一步說明了該模型的合理性。建立的模型在重金屬工廠泄漏事故的應急救援過程中，對救援人員劃定警戒區(qū)和確定周圍居民的疏散范圍具有重要意義，并可為制定救援方案和應急決策提供科學依據。對重金屬污染源物質遷移和擴散提供濃度的定量描述，也對可能發(fā)生的泄漏事件的重金屬物質濃度監(jiān)測及監(jiān)測時間范圍提供相關信息。4.1.2模型缺點第一：模型一理想化模型只考慮了平面，沒有考慮不利于擴散參數因素。對地形復雜多變，高度準確公式對其進行分析。第二：

36、模型缺乏對河流、大氣、土壤質的具體現實因素影響。也相關數據和標準用于模型的檢驗而且所給的數據有一定的局限性。模型的改進還應收集具體城市河流流向以及河流污染程度和河流流經工業(yè)區(qū)重金屬的增加量，大氣沉降作用，大氣中的重金屬主要來源于工業(yè)生產、汽車尾氣排放及汽車輪胎磨損產生的大量含重金屬的有害氣體和粉塵等。它們主要分布在工礦的周圍和公路、鐵路的兩側。大氣中的大多數重金屬是經自然沉降和雨淋沉降進入土壤的。降水量的多少和空氣濕度，道路交通車輛的年排放尾氣含重金屬量。公路、鐵路兩側土壤中的重金屬污染，主要是Pb、Zn、Cd、Cr、Co、Cu的污染為主。它們來自于含鉛汽油的燃燒，汽車輪胎磨損產生的含鋅粉塵等

37、。它們成條帶狀分布，以公路、鐵路為軸向兩側重金屬污染強度逐漸減弱；隨著時間的推移，公路、鐵路土壤重金屬污染具有很強的疊加性。不同質的土壤對重金屬擴散的阻礙作用。含重金屬廢棄物堆積含重金屬廢棄物種類繁多，不同種類其危害方式和污染程度都不一樣。污染的范圍一般以廢棄堆為中心向四周擴散。應當加入適當的修飾因子加以校正。以下為針對降雨和霧對重金屬沉降的影響，主要對河流流動動力重金屬擴散的影響。4.2.1風速和風向及重金屬自身重力在大氣沉降作用對模型的修正重金屬的沉降速度取決于河流阻力和自身重力，利用斯托克斯公式表示沉降速度g：P:重金屬物質粒子密度，kg/m3；重力加速度，9.8N/kgCm/s2)；v

38、=Pd218ad：重金屬離子直徑，m；a:空氣的動力粘性系數，可1.8x10-5kg/(m-s)；V：沉降速度，m/s；s在空氣中的擴散過程中重力沉降作用在風向上，使空氣中重金屬濃度下降重金屬則相當于在下傾的空氣流上擴散，重金屬的擴散與沉降的疊加可認為是污V-染源源以V的速度向下移動。在-處向下移動的垂直距離為-t=-s-，即重金屬ssa污染源的有效高度h下降了Vt=-s-，重金屬污染源的有效高度成為saVxh-Vt=h-s-，認為土壤表層的全吸收作用。則修正后的重金屬在含風速和風sa向的高斯擴散模型為：V-z+hs22c2zV-q2zh+sC(-,y,z,h)=:exp(y)exp+exp2

39、兀ucc2c22c2yzyy降雨和霧對大氣中的重金屬的富集模型的修正降雨和降霧對污染源傳播濃度有一定的降低作用，可對源強進行修正：RQ()=Qexp(-)a則進一步修正的連續(xù)點源高斯擴散模型為：TOC o 1-5 h zVVQ()y2(Zh+0)2(Z+h一莎)2 HYPERLINK l bookmark123 C(,y,z,h)=exp()exp-+exp- HYPERLINK l bookmark125 2兀Ucc2c22c22c2yzyyz降雨和霧對大氣中的重金屬具有一定的吸附及沉降作用。對表層土壤重金屬的含量有一定影響。以吸附系數R來表示降雨和霧對重金屬的吸附作用大小，R與降雨強度的關

40、系為：R=alb，式中I為降雨強度，a,b為經驗系數(a二1.2x10-5,b二0.5)o降雨和霧的吸附作用使污染源大氣中重金屬濃度含量降低，對重金屬污染源強修正：RxQ(x)二Qexp(-匕-)a更加精確高斯擴散模型為：C(x,y,z,h)綜上所述：VxVx(z一h+-)2(z+h一一)2)exp-+exp-2c2z=2Q(x)exP(-2C-)exp一2兀ucc2c22c2yzyy修正的穩(wěn)定的污染源長時間內的源高斯擴散模型為Q(x)(y2)Xccexp(-肓)exP2兀ucc2c2yzyRxQ(x)=Qexp(1),卩=albaC(x,y,z,h)=(z-h+VSx)2(z+h-a+exp

41、a2c22c2yzv=gd218a543211500-4246810121430002500鳳流對重金屬擴散影響圖200015001000四參考文獻潘大志，張焱，馮世強，張自全土壤污染評價Fisher模型的建立與應用，第26卷第六期：1-4頁，2007。熊偉，方勇華.基于高斯擴散模式的污染氣體云團紅外光譜實時仿真，第37卷第七期：2-4頁，2007。孔祥宇，成都市中心城區(qū)大氣重金屬污染特征分析與區(qū)域擴散預測，2010。付亞寧，寧夏火電廠周圍土壤重金屬空間分布與污染評價，污染生態(tài)學，2001。劉曉雙，基于GIS的云浮硫鐵礦周邊土壤中重金屬污染空間分布與研究評價研究，環(huán)境工程，2010。孫梅，青島

42、城區(qū)土壤金屬環(huán)境重金屬環(huán)境地球化學研究，25-35頁，2008五附錄一)、鉛污染物隨濃度的變化圖；不同污染物濃度隨區(qū)的不同圖；各功能區(qū)的采樣點的分布圖clearloadAl.txt;loadA2.txt;loadA3.txt;ww=y,m,c,r,g,b,k,k%顏色mental=砷，鎘，鉻，銅，汞，鎳，鉛，鋅;%金屬名稱DataN二size(Al,l);%取得樣本個數sectionloop(l:5)=l;%sectionloop數組存放每個區(qū)樣本數,初值為1for(index=l:DataN)%所有樣本查找一遍，將數據放入section(區(qū)號;每個區(qū)樣本號/個數;種污染物濃度/x/y/高度)

43、sectionindex二Al(index,5);%每個樣本中的區(qū)號section(sectionindex,sectionloop(sectionindex),l:8)=A2(index,2:9);%8種污染物濃度section(sectionindex,sectionloop(sectionindex),9)=A1(index,2);%xsection(sectionindex,sectionloop(sectionindex),10)=A1(index,3);%ysection(sectionindex,sectionloop(sectionindex),ll)=Al(index,4);%高度sectionloop(sectionindex)=sectionloop(sectionindex)+1;%每個區(qū)樣本序號/個數增加1end%例;section(l,2,3,)代表第一區(qū)的第二個樣本中鉻/Cr的濃度for(sectionindex=1:5)%區(qū)循環(huán)sectionloop(sectionindex)=sectionloop(sectionindex)-1;%每個區(qū)樣本修正e