(完整)彈性力學(xué)習(xí)題(新)

1、（完整）彈性力學(xué)習(xí)題（新）3五個基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時有什么用途?答：1、連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2、完全彈性假定：引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng)力成正比的含義,亦即二者成線性的關(guān)系，符合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3、均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)顯然都是相同的.因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比|1等）就不隨位置坐標(biāo)而變化。4、各向同性假定：所謂“各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各

2、個方向上都是相同的.進(jìn)一步地說，就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化。5、小變形假定：我們研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)行計算。同時，在研究物體的變形和位移時，可以將他們的二次幕或乘積略去不計，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性微分方程。在上述假定下，彈性力學(xué)問題都化為線性問題，從而可以應(yīng)用疊加原理.1已知薄板有下列形變關(guān)系:耳=軸，片=Ey弄匚y，式中A，B，C，D皆為常數(shù)，試檢查在形變過程中是否符合連續(xù)條件，若滿足并列出應(yīng)力分量表達(dá)式。解：1、相容條件:將形變分量帶入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）其中嘰。二00學(xué)7所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條件。

3、2、在平面應(yīng)力問題中，用形變分量表示的應(yīng)力分量為TOC o 1-5 h zEe=:r（X+叵）=-1“1-/7Ee=:（S+嗎）=;（Axy+By_戸3、平衡微分方程=G7=G（C-Dy2）.込dr+L+Z=.dxdydavSt尸一+亠+人dydx其中-=0f=-2GDy.dxdy若滿足平衡微分方程，必須有PA于尹_2眄+=0,1-何分析：用形變分量表示的應(yīng)力分量，o皿亠衡微分方程條件，若要求出常數(shù)A,B,C,滿足了相容方程和平D還需應(yīng)力邊界條件。例22如圖所示為一矩形截面水r壩,其右側(cè)面受靜水壓力（水的密度為p）,頂部受集中力P作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。解:根據(jù)在邊界上應(yīng)力與面力的關(guān)系

4、左側(cè)面：/X)Qfyy)右側(cè)面：（匹）“川二（對二血：（$）“川二厶60二上下端面為小邊界面，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。上端面額面力向截面形心0簡化，得到面力的主矢量和主矩分別為PhF述二Fsin訂疋-=siri。一y=0坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢量符號與面力主矢量符號相反；應(yīng)力主矩與面力主矩的轉(zhuǎn)向相反。所以dx=Fn=PsincxdxMr,=PAsin企口2dx=Fs=Pcosa.下端面的面力向截面形心D簡化，得到主矢量和主矩為I2Fn嚴(yán)冒inG,兀=Pcosapg,2PPh.=PZcoszsinz2y=l坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢量、主矩的符號與面力主矢量、主矩的符號相同.所以dx=FN=

5、-Psintx?xdx=MD=PLca-na-l-pg.（匚）円心二FPa-pg.分析：1、與坐標(biāo)軸平行的主要邊界只能建立兩個等式，而且與邊界平行的應(yīng)力分量不會出現(xiàn)。如在左、右側(cè)面，不要加入馬-或-。2、在大邊界上必須精確滿足應(yīng)力邊界條件，當(dāng)在小邊界（次要邊界）上無法精確滿足時，可以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似滿足，使問題的求解大為簡化.應(yīng)力合成的主矢（主矩）符號的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判斷，二者方向一致時去正號，反之取負(fù)號。2-8試列出題2-8圖（a）,題28圖（b）所示問題的全部邊界條件。在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。解:畑3圖（a）圖（b）1、對

6、于圖（a）的問題在主要邊界x=ax=b上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件:（）=0二Psy.：（兀）“=-pgy.篤山=。在小邊界（次要邊界）y=上，能精確滿足下列邊界條件：（b“=_p陰;=0.在小邊界（次要邊界）覽上，有位移邊界條件：（心=嘰巧心這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替,當(dāng)板厚$=i時，丄如ps（h+%冷丄（弓）耳加二0,2、對于圖（b）所示問題y=%在主要邊界丿2上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件:（嘰吆二,譏=9丿尸咽二-乞w幣在次要邊界兀=上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件，當(dāng)板厚$=1時,旳二-倫.y-裁ydy=-M.在小邊界（次要邊界）戈=

7、2上，有位移邊界條件：嘰廣6（嘰廣-這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替,/2比（氐山旳二冰F粧罰）曰旳=一冰一盼2-17設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F,如題2-17所示，體力可以不計。根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力a和切應(yīng)力t的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力a=0，然后證明,xxyy這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明,這些表達(dá)式是否就表示正確的解答。解:Mr=-Fx1、矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的玩具方程為，橫截面對z軸（中性軸）12=6一-12hh的慣性矩為，根據(jù)材料力學(xué)公式，彎應(yīng)力；該截面上的剪巴（0_F讐應(yīng)力力為，男應(yīng)力；并取擠壓

8、應(yīng)力2、經(jīng)驗證，上述表達(dá)式能滿足平衡微分方衡也能滿足相容方程+詁+吶73）（警+知y=+/?/2再考察邊界條件：在的主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件:）嚴(yán)曠0,（A=-曠。能滿足。x=Q在次要邊界上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件:砂2婦0,：（訃訶=0.滿足應(yīng)力邊界條件。Y=在次要邊界上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：L/2dy=匸門亍lydy=0?嚴(yán)12F滿足應(yīng)力條件。因此，它們是該問題的正確解答。例31如圖所示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)Ax3y3+占巒+Cx3y+Dxy3+咬+Fxy求簡支梁的應(yīng)力分量（體力不計）.解：1、相容條件：護(hù)0決護(hù)0&xAdx20y2dyA代入

9、應(yīng)力函數(shù)，得:72生y+120月科二0由此得于是應(yīng)力函數(shù)可改寫為0=-Bxy3+遲戈了了+Cx3y+Dxy3+Fxy2、應(yīng)力分量表達(dá)式*=-y=-103+205y3+即er1ORv尹孑+6Cxy+6SxOx=空_二15Bx2y2-5By-3Cx2-3Dy2-F3、考察邊界條件：確定應(yīng)力分量中的各系數(shù)9丿尸一比=號龜?shù)胈3C7j+6E=-普;(d)TOC o 1-5 h z1ss弓(如)尸r門=Oj#(3C-A2)j:2+(Bh4+-Dh2+=0;(b)巧)$=月口=0,得一jkF、Ch+6E=0;(c)i55*9丿m皿二a得(3C-Bh2)護(hù)+(Bk4+-Dh2F)=0;若式(b)恒成立必須滿

10、足3C-Bh2=0；(e)4聯(lián)立求解以附+亦+F=0f)164上各式，得再根據(jù)簡支梁的端面條件確定常數(shù)D，F(xiàn)。由圣維南原理得山9宀燭刃Q二丑+型；”二處+魏可得再帶入式f）得4、應(yīng)力分量表達(dá)式口=LXy（2y2-j（2+F-A3）（7=衛(wèi)導(dǎo)班3血勺4，/）F2h2i=牛（甥）（3/b尸+疋）即4120例3-2圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩形，其寬度取為1,右端固定、左端自由，荷載分布在自右端上，其合力為P（不計體力），求梁的應(yīng)力分量。餌2圖解:這是一個平面應(yīng)力問題，采用半逆解法求解.（1）選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知，懸臂梁任一截面上的彎矩方程M（x）與截面位置坐標(biāo)x成正比，而該截面上某點處的正應(yīng)

11、力又與該點的坐標(biāo)y成正比，因此可設(shè)空（a）式中-的為待定常數(shù).將式（a）對y積分兩次，得%0=xyJ+yf1（x）+f2（x）&（b）式中的-11；-1，H為x的待定函數(shù)，可由相容方程確定。將式（b）代入相容方程（完整）彈性力學(xué)習(xí)題（新）（完整）彈性力學(xué)習(xí)題（新）(完整)彈性力學(xué)習(xí)題(新)740=0得d4fi(x)d4f2(x)應(yīng)y+時0上式是y的一次方程，梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿足它，可見它的系數(shù)和自由項都必須為零,即d4f!(x)d4f2(x)，(積分上二式，得fi(x)=+CI3X2+4X+旳f2(x)=a6x3+ct7x2+a9x+ctg式中位2-5為待定的積分常數(shù)。將h(X),十2(刈

12、代入式)，得應(yīng)力函數(shù)為0=xy34-(a2x+a3x?+ax+(ccx3+a7x2+ctx+ctj6。(c)應(yīng)力分量的表達(dá)式r6X=otjxy.6y=6(,a2y+a(Jx+2(ot3y+ct7J11,?iTxy=-2aiV-考察應(yīng)力邊界條件：以確定各系數(shù)，自由端無水平力；上、下部無荷載；自由端的剪力之和為P，得邊界條件Wo=O,自然滿足；二D得丁3呼_2吋-血=0;n二柑-n_.廠一屯=0上式對x的任何值均應(yīng)滿足，因此得，即a=-lryjy=4h0得6%X+2旳二0X取任何值均應(yīng)滿足，因此得=2=,JGxy)x=()dy=J(-lay-ajdy=-p將式（e）代入上式積分，得計算得J；叩j3

13、PP1IP麗一匚，旳一尹山琵M其中，橫截面對Z軸的慣性矩。最后得應(yīng)力分量為=03試考察應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計體力），畫出題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布（在次要邊界上表示出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。解氣團(tuán)解（1）相容條件:卅0滬0臚0.+2+=0將代入相容方程，顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式12F耐幼旳=O.Txy（3）邊界條件：在.一刁d.；主要邊界上，應(yīng)精確定滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界x=o,x=l上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件叨J6)腫=0-h/2(a)r-h/2h/2】ydy=-Fl-h/2(b)h/2JMx_ojd

14、y=-1；-h/2(c)對于如圖所示矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，由應(yīng)力邊界條件式（a）（b）、（c）可知上邊、下邊無面力；而左邊界上受有鉛直力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶，和鉛直面力。所以，能解決懸臂在自由端受集中力作用的問題.36如題36圖所示的墻，高度為h，寬度為b，hb,在兩側(cè)上受到均布剪力q的作用，試用函數(shù)。仏y-*y求解應(yīng)力分量.(完整)彈性力學(xué)習(xí)題(新)（完整）彈性力學(xué)習(xí)題（新）解：（1）相容條件將應(yīng)力函數(shù)二代入相容方程U,其中滬0瀘0Ox斗，。護(hù)，ddy。很顯然滿足相容方程。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式亦0護(hù)0a20Qv=O|CFy=6BxyT収=-X_XA_3

15、Bxzdy2yax2ydxdy（3）考察邊界條件，在主要邊界x=+b/2上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件，即b=0AtxJb=q耳-2%_7在次要邊界y=上，“人小丄而的條件不可能精確滿足（否則只有A=B=0）,可用積分的應(yīng)力邊界條件代替（4）把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得2q應(yīng)力分量為云=O.Qy=X21以丿12qq,xy.Txy=-l-12r2k37設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計，1h如題3-7圖所示，試用應(yīng)力函數(shù)02旳r:y；空廠求解應(yīng)力分量。解(1)相容條件MFs(一fX1OIh/2Ih/21Z/jfa11Zz-_.ll_.-l/x(lh,y將My丨Byr廿I

16、.)xy:代入相容方程，顯然滿足.(2)應(yīng)力分量表達(dá)式5=2B+6Cy+6Dxyfaydy“dxa2二護(hù)0OjT=a=(A十3Dy(3)考察邊界條件，在主要邊界丫二+山？上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件Sy)_h=OXTyx)h=0yi2yA+?Dh2=0得斗(a)在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替。注意x=0是負(fù)x面，由此得說/、FrJ6)x=ody=-Fn,攀B二-帝-h/2gih/22MJw臥“曲亠皿彳芬亠戸h/21J(Txy)N=ody=-FgAh十Dh3=Fs(b)-h/2吆由式（a）（b）解出3FS2F,最后一個次要邊界條件

17、（x=l上），在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核.代入應(yīng)力公式，得Fn12M12FS39設(shè)題39圖中的簡支梁只受重力作用，而梁的密度為二，試用教材3-4中的應(yīng)力函數(shù)（e）求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖。q11MMlWJ兀xyly解（1）應(yīng)力函數(shù)為Ag+By2+Cy+D)+x(Ey3+Fy2+Gy)-邁y5-y4+Hy3+Ky2(a)(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式(d)(b)ax=；(6Ay+2B)+x(6Ey十2F)-2Ay3-2By2+6Hy+2K仃y=Ay3+By2+(：y十d卩gyTxy=-x(3Ay2+2By+C)-(3E+2Fy+G)這些應(yīng)力分量

18、是滿足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能夠選擇適當(dāng)?shù)某?shù)A,B,K,使所有的邊界條件都滿足，則應(yīng)力分量式(b)，(c),(d)就是正確的解答.(3)考慮對稱性.因為yz面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對稱于yz面。這樣是樂C氓是X的偶函數(shù)，而是X的奇函數(shù)，于是由式(b)和(d)可見e=f=g=o考察邊界條件：在主要邊界h/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件Sy)_h=OATyxJyi2h=0y-2，可見這些邊界條件要求將應(yīng)力分量式(c)和(d)代入，并注意到前面已有E=F=G=h3h2hpgh-8-A+TB+2C+D_T=0h3h?hpgh-yA+4B-2c+D+=0+HB+C=01-hB

19、+C=0-hB+C=0+hB+C=0聯(lián)立求解得到A=_(B=O1C=D=Ohz將以上已確定的常數(shù)代入式（b）,式（c）和（d）,得6pg?2pg4pgy3+6Hy+2Kh2PSy+Yy(g)6pg73pg訂yp（h）考慮左右兩邊的次要邊界條件。由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊，例如右邊。梁的右邊沒有水平面力，x=l時，不論y取任何值（-h/2乞y乞h/2）,都有=。由式（f）可見，這是不可能滿足的，除非是均為零。因此，用多項式求解，只能要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，也就是要求M2JMx.Ldy=o-11/2h/2J（x）x-Lydy=o-h/2將式（f）代入式（i）,得/6p

20、g4pgJ一TTXy+6Hy+2K-h/八hzh2積分以后得(0(j)將式（f）代入式（j），得積分以后得/I21K=Pgt10；將K，H的值代入式（f），得(完整)彈性力學(xué)習(xí)題(新)(完整)彈性力學(xué)習(xí)題(新)護(hù)+6pg另一方面，梁右邊的切應(yīng)力應(yīng)當(dāng)合成為反力卩rpg23-pglh積分以后，可見這一條件是滿足的。將式(g)，(h)，(k)略加整理，得應(yīng)力分量的最后解答6pg74pgq=-p-xy+-p-r+6pg2pg(1)h3I=12_h2y282。根據(jù)材料力注意梁截面的寬度取為一個單位，可見慣性矩是.，靜矩是學(xué)應(yīng)用截面法求橫截面的內(nèi)力，可求得梁任意截面上的彎矩方程和剪力方程分別為M(x)=p

21、gh,Fs(x)二-pghx.。式(I)可以寫成M(x)x=y231ry十卩嘰-JFs(x)S隔=一El-3-10如題310圖所示的懸臂梁，長度為丨，高度為h,1h,在上邊界受均布荷載q,試檢驗應(yīng)力函數(shù)$=+RLy加+忘+能否成為此問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量。3-ioaf解(1)相容條件將0八【用I卜乂y代入相容方程，得I2D%I24By=0,若滿足相容方程，有1A=-B(a)(2)應(yīng)力分量表達(dá)式滬0ax=一-=20AyJ-30Axzy+6Cydyzay=-=-10Ay+2D+2Eyd，0c二=30Axy，2Exdxdy(3)考察邊界條件；主要邊界$二+h/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（

22、勿）h=0,y-2810.Ah3+2D-Eh=-q（b）（0（d）10Ah3+2D+Eh=0（勿）h=6%y-j8（琢）h=0,得E-y-Ah2=0y土乏4在次要邊界上x=0上，主矢和主矩為零，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替-ody=,（完整）彈性力學(xué)習(xí)題（新）（完整）彈性力學(xué)習(xí)題（新）r（譏=西“得竽七一-h/2z(e)-11/2Mx_ody=OJ;.ijJ-聯(lián)立求解式（a）,（b）,（c）,（d）和（e），得qq3q101/D=4jE=4h將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得1-4312為什么在主要邊界（占邊界絕大部分）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件，教材中式（215），而在次要邊界

23、（占邊界很小部分）上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替教材中式（215），將會發(fā)生什么問題？解：彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要邊界條件完全得到滿足，往往遇到很大的困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個應(yīng)力邊界條件來代替精確的邊界條件。教材中式（2-15），就會影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會使問題的解

24、答具有的近似性。315試分析簡支梁受均布荷載時，平面截面假設(shè)是否成立？解：彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差別，是由于各自解法不同。簡言之，彈性力學(xué)的解法,是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，幾何方程和物理方程，以及邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答是比較精確的。而在材料力學(xué)中沒有嚴(yán)格考慮上述條件，因而得出的是近似解答.例如，材料力學(xué)中引用了平面假設(shè)而簡化了幾何關(guān)系，但這個假設(shè)對一般的梁是近似的。所以，嚴(yán)格來說，不成立.例4一2如圖所示楔形體右側(cè)面受均布荷載q作用，試求應(yīng)力分量?！窘狻浚?）楔形體內(nèi)任一點的應(yīng)力分量決定于q、P、a，P其中q的量綱為NL-2,與應(yīng)力的量綱相同.因此，各應(yīng)力分量的表

25、達(dá)式只可能取Kq的形式，而K是以a，申表示的無量綱函數(shù)，亦即應(yīng)力表達(dá)式中能出現(xiàn)P,再由o二豊知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)是申的9dp2數(shù)乘以p2,可設(shè)二P2f（9）鋼42開(a)將式（a）代入雙調(diào)和方程(dp21d+Pdp1d2)+P2d2丿2二0(完整)彈性力學(xué)習(xí)題(新)(完整)彈性力學(xué)習(xí)題(新)d4f仲)*4d2f仲)dp4dpd4f(P)*4d2f(p)=0,dp4dp上式的通解為f(p)二Acos2p+Bsin2p+Cp+D,b)將上式代入式(a),得應(yīng)力函數(shù)為二p2(Acos2p+Bsin2p+Cp*D)-應(yīng)力表達(dá)式為1。1d2.=+=2(Acos2pBsin2p+Cp+D),pp3pp2Qp2d

26、2=2(Acos2p+Bsin2p+Cp+D),Qp21。1Q2=-=2Asin2p-2Bcos2p-C。p2QppQpQp應(yīng)力邊界條件c)pp(3)9)=qpp=0(b)=0,pp=a(t)=0p=0，得2(A+D)二一q;得Acos2a+Bsin2a+Ca+D=0,得一2BC=0,d)()=o,2Asin2a2Bcos2aC=0p=a(e)(f)(g)聯(lián)立求解式(d)(g),得各系數(shù)qtana4(tanaa)q4(tanaa)q2(tanaa)q(tana2a)4(tanaa)將系數(shù)代入(c),得應(yīng)力分量（完整）彈性力學(xué)習(xí)題（新）（完整）彈性力學(xué)習(xí)題（新）tana(1+cos2申)-(2申

27、+sin2申)TOC o 1-5 h z廠o=-q+,p2(tana-a)h）tana(1-cos2)-(2-sin2)o=-q+q,2(tana-a)(1-cos2)-tanasin2、t=q。p2(tana-a)分析：應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式（a）中不出現(xiàn)a,這是因為f（）中包含了a角（在應(yīng)用應(yīng)力邊界條件時，=a處（o）二0,（t）二0中體現(xiàn)）。=ap=aTOC o 1-5 h z43在軸對稱位移問題中，試導(dǎo)出按位移求解的基本方程，并證明u=Ap+B,u=0pp可以滿足此基本方程?！窘狻浚?）設(shè)u=u（p）,u=0,代入幾何方程，教材中式（4-2）得形變分量ppQuu8=p,Qp8=p5，Yp=0)

28、TOC o 1-5 h z將式（a）代入物理方程，教材中式（43）得用位移表示的應(yīng)力分量EQuu/o=(亠+u亠),p1-u2Qppb)EQuu=(u+-),1-u2pt=0p將式（b）代入平衡微分方程，教材中式（41），在軸對稱問題中，平衡方程為Qo1Qt亠+QppQ1QoQt+p+pQQpo-op二0,p2tp二0pc)式（c）中的第二式自然滿足，第一式為d2u1dud+pdp2pdpu亠二0p2d)(完整)彈性力學(xué)習(xí)題(新)(完整)彈性力學(xué)習(xí)題(新)（完整）彈性力學(xué)習(xí)題（新）上式即為求u的基本方程。P將u=AP+B,u=0將代入式（d），很顯然滿足方程。pp申4-7實心圓盤在p=r的周界

29、上受有均布壓力q的作用，試導(dǎo)出其解答.【解】實心圓盤是軸對稱的，可引用軸對稱應(yīng)力解答，教材中式（4-11），即A=+B（1+2lnp）+2C,Pp2仏=_+B（3+2lnp）+2C,（a）申p2It=tpp首先，在圓盤的周界（p=r）上，有邊界條件）=-q，由此得pp=r+B（1+2lnr）+2C=q，（b）r2其次,在圓盤的圓心，當(dāng)pt0時式（a）中QQ的第一、第二項均趨于無限大,這是不p可能的.按照有限值條件（即，除了應(yīng)力集中點以外，彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。）,當(dāng)p=0時，必須有A二B=0。把上述條件代入（b）式中，得所以，得應(yīng)力的解答為tp4-9半平面體表面上受有均布水平力q,試用應(yīng)力

30、函二p2(Bsin2p+Cp)求解應(yīng)力分量，如題49圖所示?！窘狻?1)相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程0二0，顯然滿足.(2)由求應(yīng)力分量表達(dá)式re=-2Bsin2p+2Cp,pJa=2Bsin2p+2Cp,p=2Bcos2pCpp考慮邊界條件：注意本題有兩個p面，即p=殳，分別為土p面，在p面上，應(yīng)力2符號以正面正向、負(fù)面負(fù)向為正。因此，有C)=兀/2二o,得c二0pp-2C)=兀芻=q,得B-ppp-22將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式,得a=qsin2p,pa=qsin2p,pt=qcos2ppp12楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q,如題412圖所示，試求其應(yīng)力分量。n【解】應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)二P2

31、(Acos2p+Bsin2p+Cp+D)，進(jìn)行求解。由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量=2(Acos2申+Bsin2申一C申一D),2=2(Acos2申+Bsin2申+C申+D),申6p261。侖=()=2Asin2申2Bcos2申Cp6pp6申(2)考察邊界條件：根據(jù)對稱性，得同式(a)得同式(b)得同式(c)得同式(d)得2Acos+2Bsin+C+2D=0;2Asin一2Bcos一C=q;2Acos一2Bsin一C+2D=0;2Asin2BcosC=q;(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)式(e)、(f)、(g)、(h)聯(lián)立求解，得A=,B=C=0,D=cota2sina2將以上各系數(shù)代入

32、應(yīng)力分量，得（完整）彈性力學(xué)習(xí)題（新）(完整)彈性力學(xué)習(xí)題(新)(cos2=q+cotexIsinx(cos2o=qcotxIsinxsin2T=q:psinx414設(shè)有一剛體，具有半徑為R的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置外半徑為R而內(nèi)半徑為r的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力為q,試求圓筒的應(yīng)力。【解】本題為軸對稱問題，故環(huán)向位移u二0，另外還要考慮位移的單值條件.(1)應(yīng)力分量引用軸對稱應(yīng)力解答，教材中式(4-11)，取圓筒解答中的系數(shù)為A，B，C，剛體解答中的系數(shù)為A,B,C由多連體中的位移單值條件，有B=0，(a)B=0(b)現(xiàn)在，取圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為AAo=+2C,o=+2CPp2p2剛體的應(yīng)力表達(dá)式AA

33、o=+2C,o=+2CPp2p2c)考慮邊界條件和接觸條件來求解常數(shù)A，A,C,C和相應(yīng)的位移解答.首先，在圓筒的內(nèi)面，有邊界條件(o)=q，由此得pp=rA+2C二q(e)r2其次，在遠(yuǎn)離圓孔處，應(yīng)當(dāng)幾乎沒有應(yīng)力，于是有(o)=0,(o)=0由此得2C=0f)再次，圓筒和剛體的接觸面上,應(yīng)當(dāng)有C）丄）Pp=rpp=r于是有式（c）及式（d）得AA+2C二+2CR2R2（g）（2）平面應(yīng)變問題的位移分量1+UEh)應(yīng)用教材中式（4-12）的第一式，稍加簡化可以寫出圓筒和剛體的徑向位移表達(dá)式2(12u)Cp+1cosQ+KsinQ,Pi)剛體的徑向位移為零，在接觸面上，圓筒與剛體的位移相同且都為零,即(U)pp=Rpp=R1+uE將式（h）和式（i）代入，得2(12