2020_2021學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)專題強(qiáng)化練9直線與圓錐曲線的位置關(guān)系含解析選擇性必修第一冊

1、PAGE PAGE 13專題強(qiáng)化練9直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、選擇題1.(2020山東濟(jì)寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,)已知點(diǎn)(2,1)是直線l被橢圓x212+y24=1所截得的線段的中點(diǎn),則直線l的方程是()A.2x+3y-7=0B.2x-3y-1=0C.4x+3y-11=0D.4x-3y-5=02.()已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,直線x-2y+4=0與C交于A,B兩點(diǎn),則sinAFB=()A.45B.35C.34D.553.(2020山東淄博一中高二上期中,)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過點(diǎn)F的直線交l于點(diǎn)A,與拋物線的一個交點(diǎn)為B,且FA=-2FB,則|AB|=()A

2、.3B.9C.6D.124.(2020河北唐山一中高二上期中,)直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點(diǎn)F,交橢圓于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C.若FC=2CA,則該橢圓的離心率為()A.3-1B.3-12C.22-2D.2-1二、填空題5.()過雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)F作一條直線,當(dāng)直線斜率為2時,直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點(diǎn);當(dāng)直線斜率為3時,直線和雙曲線右支有兩個不同交點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍為 .6.(2020黑龍江牡丹江第一高級中學(xué)期末,)如圖,已知拋物線的方程為x2=2py(p0),過點(diǎn)A(0,-1)作直線,與拋物線相交

3、于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),連接BP,BQ,設(shè)QB,BP的延長線與x軸分別相交于M,N兩點(diǎn).如果QB的斜率與PB的斜率的乘積為-3,則MBN的大小等于.三、解答題7.(2020廣東惠州高二上期末,)已知橢圓與拋物線y2=42x有一個相同的焦點(diǎn),且該橢圓的離心率為22.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)P(0,1)的直線與該橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若AP=2PB,求AOB的面積.8.()已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0),其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1的直線l:x+my+3=0與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且橢圓的離心率e=32.(1)求橢圓C的方程;(2)若橢圓上

4、存在一點(diǎn)M,使得2OM=OA+3OB,求直線l的方程.9.(2020吉林長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,)如圖所示,斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F,與拋物線交于A,B兩點(diǎn),M為拋物線弧AB上的動點(diǎn).(1)若|AB|=8,求拋物線的方程;(2)求SABM的最大值.10.()已知動點(diǎn)P在y軸的右側(cè),且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離比它到點(diǎn)F(1,0)的距離小1.(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)設(shè)斜率為-1且不過點(diǎn)M(1,2)的直線交C于A,B兩點(diǎn),直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.11.()如圖,橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右頂點(diǎn)為A(2,0),左、右焦點(diǎn)分

5、別為F1,F2,過點(diǎn)A且斜率為12的直線與y軸交于點(diǎn)P,與橢圓交于另一點(diǎn)B,且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為點(diǎn)F1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)P的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn)(M,N不與A,B重合),若SPAM=6SPBN,求直線MN的方程.12.()在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,點(diǎn)A(-2,0),過動點(diǎn)P作直線x=-4的垂線,垂足為M,且AMAP=-4.記動點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)過點(diǎn)A的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)B,C.若B為線段AC的中點(diǎn),求直線l的方程;設(shè)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D,求ACD面積S的取值范圍.答案全解全析一、選擇題1.A設(shè)直線l與橢圓交于A(x1,y1)

6、,B(x2,y2)兩點(diǎn),由x1212+y124=1,x2212+y224=1,得(x1-x2)(x1+x2)+3(y1-y2)(y1+y2)=0.又x1+x2=4,y1+y2=2,4+3kAB2=0,解得kAB=-23.因此直線l的方程為y-1=-23(x-2),即2x+3y-7=0,故選A.2.B由拋物線方程可知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,得x-2y+4=0,x2=4y,解得x=-2,y=1或x=4,y=4,不妨令A(yù)(-2,1),B(4,4),|AB|=36+9=35,|AF|=4+0=2,|BF|=16+9=5,在ABF中,cosAFB=|AF|2+|BF|2-|A

7、B|22|AF|BF|=4+25-45225=-45,sinAFB=1-1625=35,故選B.3.B如圖所示,設(shè)E為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),過B作BB1l于B1.由FA=-2FB得,|AF|AB|=23=|EF|BB1|.又|EF|=2,|BB1|=3,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB).|BB1|=x+p2=xB+1=3,xB=2,結(jié)合圖象得B(2,22),|AB|=|xA-xB|1+kBF2=|-1-2|1+(22)2=9,故選B.4.A在x-3y+3=0中,令y=0,得x=-3,F(-3,0).令x=0,得y=1,C(0,1),設(shè)A(x1,y1),則FC=(3,1),CA=(x1,y1-1

8、),由FC=2CA得2x1=3,2(y1-1)=1,解得x1=32,y1=32.由A在橢圓上,得2a=274+94+34+94=3+3,e=ca=2c2a=233+3=3-1,故選A.二、填空題5.答案(5,10)解析由x2a2-y2b2=1(a0,b0)得,雙曲線的漸近線方程為y=bax.結(jié)合圖形(圖略)知,2ba32ab3a4a2c2-a29a25a2c210a25e2105eb0),c為橢圓的半焦距,由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為(2,0),所以c=2,因?yàn)闄E圓的離心率e=ca=22,所以a=2.又b2=a2-c2=2,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2

9、,y2),則AP=(-x1,1-y1),PB=(x2,y2-1).由AP=2PB,得-x1=2x2,1-y1=2(y2-1),驗(yàn)證易知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,代入橢圓方程,整理得(2k2+1)x2+4kx-2=0,所以x1+x2=-4k2k2+1,x1x2=-22k2+1.將x1=-2x2代入上式,可得4k2k2+12=12k2+1,解得k2=114,所以AOB的面積S=12|OP|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x22=1228k2+22k2+1=3148.8.解析(1)過F1的直線l:x+my+3=0,令y=0,解得x=-3,c=3,e=ca=32,a=2

10、,b2=a2-c2=4-3=1,橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),由2OM=OA+3OB,得x3=12x1+32x2,y3=12y1+32y2,將其代入橢圓方程,可得1412x1+32x22+12y1+32y22-1=0,1414x12+y12+3414x22+y22+38(x1x2+4y1y2)=1,x1x2+4y1y2=0,聯(lián)立方程,得x+my+3=0,x24+y2=1,消去x,可得(m2+4)y2+23my-1=0,y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4,x1x2+4y1y2=(my1+3)(my2+3)+4y1y

11、2=(m2+4)y1y2+3m(y1+y2)+3=(m2+4)-1m2+4+3m-23mm2+4+3=0,即m2=2,解得m=2.故所求直線l的方程為x2y+3=0.9.解析(1)由條件知lAB:y=x-p2,與y2=2px聯(lián)立,消去y,得x2-3px+14p2=0,則x1+x2=3p.由拋物線的定義得|AB|=x1+x2+p=4p.又因?yàn)閨AB|=8,所以p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.(2)解法一:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-p2,設(shè)My022p,y0,則M到AB的距離d=y022p-y0-p22.因?yàn)辄c(diǎn)M在直線AB的上方,所以y022p-y0-p20),則p2=1,

12、解得p=2,所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程是y2=4x(x0).(2)設(shè)直線AB:y=-x+b(b3),A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,y=-x+b得y=-y24+b,即y2+4y-4b=0,所以y1+y2=-4,又=16+16b0,所以b-1,因?yàn)閤1=y124,x2=y224,所以k2+k1=y2-2y224-1+y1-2y124-1=4(y2-2)y22-4+4(y1-2)y12-4=4y2+2+4y1+2=4(y1+2+y2+2)(y2+2)(y1+2)=0.因此k1+k2=0.解法二:(1)同解法一.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是直線與C的交點(diǎn),易知x1=y

13、124,x2=y224,所以kAB=y2-y1y224-y124=4y1+y2,又直線的斜率為-1,所以4y1+y2=-1,即y1+y2=-4,所以k2+k1=y2-2y224-1+y1-2y124-1=4(y2-2)y22-4+4(y1-2)y12-4=4y2+2+4y1+2=4(y1+2+y2+2)(y2+2)(y1+2)=0.因此k1+k2=0.11.解析(1)由題意,得BF1x軸,|BF1|AF1|=12,所以點(diǎn)B-c,-b2a.又A(2,0),所以a=2,b2a(a+c)=12,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.(2)因?yàn)閍c=2

14、1,所以|PA|=2|PB|.所以SPAMSPBN=12|PA|PM|sinAPM12|PB|PN|sinBPN=2|PM|PN|=6,所以|PM|PN|=3,所以PM=-3PN.由題意知P(0,-1),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則PM=(x1,y1+1),PN=(x2,y2+1),所以x1=-3x2.當(dāng)直線MN的斜率不存在時,直線MN的方程為x=0,此時,|PM|PN|=3+13-1=2+3或|PM|PN|=3-13+1=2-3,均不符合條件,故舍去.當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)直線MN的方程為y=kx-1.由y=kx-1,x24+y23=1得(4k2+3)x2-8kx-8=0.由

15、根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2=8k4k2+3,x1x2=-84k2+3,將x1=-3x2代入,可得-2x2=8k4k2+3,3x22=84k2+3,所以3-4k4k2+32=84k2+3.所以k2=32,解得k=62.所以直線MN的方程為y=62x-1或y=-62x-1.12.解析(1)設(shè)P(x,y),則M(-4,y).因?yàn)锳(-2,0),所以AM=(-2,y),AP=(x+2,y),因?yàn)锳MAP=-4,所以-2x-4+y2=-4,即y2=2x.所以曲線E的方程為y2=2x.(2)若直線l的斜率不存在,則l與曲線E無公共點(diǎn),因此l的斜率存在;若l的斜率為0,則l與曲線E只有一個公共點(diǎn),因此l的斜率不為0.設(shè)l:y=k(x+2),k0,由y=k(x+2),y2=2x得y2-2ky+4=0,所以=4k2-160,解得-12k12且k0.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則y1+y2=2k,y1y2=4.因?yàn)锽為線段AC的中點(diǎn),所以y2=2y1.又y1+y2=2k,所以y1=23k,y2=43k,因此y1y2=89k2=4,所以k