賭本的公平分配

1、淺談賭博問題中賭本的公平分配1、 緒論1. 1綜述公平分配賭本問題的大意是：甲、乙兩人各拿出相同的一份賭注來賭博，賭 博形式是同擲一枚硬幣，規(guī)定：正面朝上，甲得一點；若反面朝上，乙得一點， 先積滿3點者贏取全部賭注。假定在甲得2點、乙得1點時，賭局由于某種原因 中止了，問應(yīng)該怎樣分配賭注才算公平合理？這個問題相傳是1645年法國著名數(shù)學(xué)家巴斯卡(Pascal)和費馬(P Fermae)多次書信來往中討論的一個問題。 費馬與巴斯卡進(jìn)行了幾次通信，不僅完全地解決了這個古老的賭博難題，還為解決其他機會性游戲搭起了框架，于是后人把他們建立通信聯(lián)系的這一天看作是現(xiàn) 代概率論的生日，概率論即由此而產(chǎn)生了。

2、概率論作為一門獨立的數(shù)學(xué)分支，是一門研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的學(xué)科。 從它的起源至近并沒有多長的時間，但是，在這段時期，特別是近期，概率論對 人類社會的影響卻異常重要的。它已被廣泛的應(yīng)用于物理學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、 農(nóng)業(yè)技術(shù)和軍事技術(shù)等諸多方面，近期更是有越來越多的概率論方法被引入經(jīng) 濟(jì)、金融和管理科學(xué)，概率論成為它們的有力工具。而概率論引入統(tǒng)計后，更使 統(tǒng)計方法體系越來越嚴(yán)謹(jǐn)、廣博，并形成具有自身特點的認(rèn)識模式，即以概率論 為基礎(chǔ)的統(tǒng)計思想體系，使統(tǒng)計由描述走向推斷。概率論起源于15-16世紀(jì)時對賭博問題的研究，通過對其中概率問題研究討 論，才使概率論逐漸發(fā)展成一門逐漸成型的學(xué)科。 而它真正的

3、奠基人是雅格布伯 努利(Jacob Bernoulli,1654-1705),他在遺著猜度術(shù)中首次提出了后來以“伯 努利定理”著稱的極限定理，此書成為概率論的第一本專著，在概率論發(fā)展史上 占有重要地位。由他的名字命名的伯努利試驗和伯努利概型更是成為概率論中的 經(jīng)典。之后又有棣莫弗、蒲豐、拉普拉斯、高斯、泊松、切貝謝夫和馬爾可夫等 諸多名家對概率論做出了許多工作， 使得概率論開始形成了一門嚴(yán)密、系統(tǒng)的學(xué) 科。伯努利概型是概率論中研究得最多的一種數(shù)學(xué)模型，盡管它比較簡單，卻也 概括了許多實際問題，因而很有實用價值。而巴斯卡分布又作為伯努利概型中一 個重要的分布形式，是一種非常簡單、常用的隨機模型，

4、被廣泛的應(yīng)用于產(chǎn)品檢 驗和質(zhì)量控制中。所以，我們現(xiàn)在來研究這個賭博問題， 研究巴斯卡分布是很有 必要的。那么，就讓我們從巴斯卡和費馬的方法開始，來慢慢解答這個曾經(jīng)困擾了世 界多年的問題，同時，我也將嘗試著用現(xiàn)在已學(xué)到的概率論的知識來補充當(dāng)年他們沒做完的一些事，并充分的介紹一下巴斯卡分布1. 2基礎(chǔ)知識1、巴斯卡分布：k-11 r巴斯卡分布既然是屬于伯努利概型，所以首先它便是滿足伯努利試驗中的一 些規(guī)律：在試驗中，事件域可取為0 , A, A , G,并稱出現(xiàn)A為“成功”， 出現(xiàn)A為“失敗”。這種只有兩個可能結(jié)果的試驗稱為伯努利試驗。在伯努利試 驗中，首先是要給出下面概率：P(A) = p, P

5、(A) = q。顯然p0,q0,且p+q=1 而巴斯卡分布的基本模型為：k _r，k=r, r+1,f (k;r, p)=其描述的內(nèi)容為考察在伯努利試驗中要多長時間才會出現(xiàn)第r次成功。首先，若第r次成功發(fā)生在第己次試驗，則必然有己r0我們以Ck表示第r次成功發(fā)生在第k次試驗這一事件，并以f (k； r, p)記其概率，Ck發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)前面的k-1次試驗中有r-1次成功，k-r次失敗，而第k次實驗的結(jié)果為成功,這些事件的概率分別為 一1 pr,qJ與p,于是利用試驗的獨立性，得到1rc/c、 k _1r 1 k.rk -1 r k_cP(Ck )=, p q 即=,p q即一、/k-n r J

6、, 一 f (k;r, p) = p q , k=r, r+1,D注意到0000 fk -1 .Z f(k;r, p) =Z p q kHkn 1r - 1 ,g，r +i _1、 (_ rk r 11 r l 寸1 iz l r l=p q =(-1) p q1=0r 1 y1=0 v. l =pr(1 -q) = 1 , l=k-r這里利用了推廣的二項系數(shù)公式一r =(-1)1r r -1 。證明如下:l Jl Jr、 A-r (-r -1)(-r -2)* (-r -l +1)J/=I!(-1)1 r l -1 r l -2 j i r 1 r一l!= （）=（r l -1即得所求。2、

7、巴斯卡分布的期望和方差：因為當(dāng)r=1時，該分布便成為幾何分布，所以巴斯卡分布期望方差的計算可 以依賴于幾何分布的結(jié)果，而幾何分布的期望方差又可通過對其矩母函數(shù)的求導(dǎo) 來得出。如果隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，則可以通過對其矩母函數(shù)的求 導(dǎo)得：E(X )=%(0)=qP2,Var(X1 )=乜(0)-/1(0)=現(xiàn)在由概率論的知識可知，假定 X服從參數(shù)為r和p的巴斯卡分布，則X可以表示成r個獨立隨機變量的和X1十十Xr ,且每個隨機變量均與 “是有相同的分布，則由幾何分布的結(jié)果得：E X二巴,Var X二鳥。PP顯然，當(dāng)0Vp1時，其方差大于期望。2、巴斯卡與費馬的通信2. 1如何公平分配賭

8、本對于這個問題，也許有人說：甲應(yīng)該得到全部的100法郎，因為這個賭博只 有兩種結(jié)果，而現(xiàn)在甲領(lǐng)先；又有人說：既然比分是 2: 1,那么甲應(yīng)該得到賭 金的2/3,乙得另外的1/3。但真實情況是怎樣的呢？據(jù)說對于這個賭本問題，巴斯卡和費馬共有7封來往信件，其中巴斯卡致費 馬的有三封。不管真實情況是怎樣的，總之他們都給出了自己的答案，雖然是兩 份看似不同的答案，但他們都不約而同的運用到了組合工具和遞推公式， 使得問 題能順利解決且直接推導(dǎo)出了雛形的巴斯卡分布函數(shù)。巴斯卡的做法是：可以先認(rèn)為甲、乙兩人贏得一局的概率相同，都是1/2,那么就可以從第四局開始計算了。甲有兩種情況獲勝，即直接贏了第四局獲勝，

9、它發(fā)生的概率為1/2。另一種情況是第四局輸了但第五局贏了，它發(fā)生的概率為乙贏得第四局的概率乘上甲贏得第五局的概率，為 1/2*1/2 ,則甲獲勝的概率為 1/2+1/2*1/2=3/40同理，可計算出乙獲勝的概率為 1/4,這也正是兩人公平分配 賭本的方式。費馬的做法是：也先需設(shè)雙方贏得一局的概率相同，都是 1/2。之后顯然最 多再比兩局便可分出勝負(fù)了，其中甲要獲勝，只需在這兩局中贏下一局即可。 此 時費馬想到的是二項分布，即有甲獲勝的概率為 C22+點22=3/4,乙要獲勝 則必須連贏兩局，其概率為C；2/=1/4,得到了與巴斯卡相同的答案。這兩種方法有著明顯的相同點，而且由此推出的結(jié)果的計

10、算式子都是一樣 的，這多少讓人看的有些眼花繚亂。 其實這是再正常不過的了，因為他們只是從 不同的角度出發(fā)，最終推出的都是解決此類問題的巴斯卡分布概率。那么巴斯卡和費馬的推導(dǎo)又到底有那些不同，這個賭本問題就只是這樣簡單嗎？顯然兩位學(xué) 者并不想就此放棄向深處探討的機會，否則他們也就成為不了偉大的學(xué)者。2. 2巴斯卡與費馬的通信現(xiàn)在讓我們再回到那個分賭本的問題，在給定輸贏局?jǐn)?shù)的情況下，巴斯卡和 費馬都解出了相同的答案，但他們并不僅僅滿足于此，他們分別用自己的方法將 此問題推廣開來，使問題在輸贏局?jǐn)?shù)不給定的情況下也有了它的解法，這才是他們真正偉大和有區(qū)別之處了。首先，我們可以把問題假設(shè)為：甲、乙兩人各

11、拿出相同的一份賭注來賭博， 賭博形式是同擲一枚硬幣，規(guī)定：正面朝上，甲得一點；若反面朝上，乙得一點， 先積滿t點者贏取全部賭注。假定在甲得r點、乙得s點(rt, s01(2)kk1/2(3)1211/23/4(4)1313/47/8(5)1417/815/16(6)237/81/211/16通過細(xì)心觀察，巴斯卡很快發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并認(rèn)為對一般情況也成立，即:(1-1)1/1,e n,m = - e n -1,m +- e n, m -1邊界條件為:e 0,k =1,e k,k =1/2,e n,0 =0上式是一個簡單的偏微分方程，也是一個遞歸方程。它非常類似算術(shù)三角形的一個性質(zhì)：ClC* C：

12、巴斯卡對算術(shù)三角形的這個性質(zhì)當(dāng)然非常熟悉，于是他令便猜出e( n m=C： =Cmm ,(1-2)mJe n,m = c(力，k=02并且證明了他的猜想。實際上，式1-1是一個全概率公式的簡單應(yīng)用，即如果賭 博不被打斷，雙方再賭一局，則 A以1/2的概率或勝或敗，因此式1-1成立。費馬考慮了一個簡單的情況，（n,m尸（2, 3）。雖然賭博最多需進(jìn)行2+3-1=4 局才結(jié)束，但也可能在這之前就結(jié)束。不過費馬認(rèn)為想象賭博共進(jìn)行4局并不影 響賭本的分配結(jié)果，這一點可從下表中看出：第一局結(jié)果AAAAAAAAAAAAAAAA第二局結(jié)果AAAAAAAAAAAAAAAA第三局結(jié)果AAAAAAAAAAAAAA

13、AA第四局結(jié)果AAAAAAAAAAAAAAAA最終結(jié)果AAAAAAAAAAAAAAAA從表中可以看出，在總共16種結(jié)果中，有4種甲在第二局勝出；有4種甲 在第三局中勝出；有3種甲在第四局勝出。據(jù)此費馬得出結(jié)論：4 4 3 11e（ 2,3 ）= o1616推廣到一般情況，不妨設(shè)nm,則甲可能在第n局取得最終勝利，也可能在 第n+1, , , n+i, , , n+m-1局取得最終勝利。利用加法公式和負(fù)二項公式不難 得出結(jié)論：(1-3)心 n 1 e n,m =、C：k=02費馬并未直接給出式1-3,但他在信中明顯認(rèn)為（n,m尸（2, 3）時的結(jié)論對 一般情況也成立。至此，巴斯卡與費馬終于聯(lián)手解

14、決了賭本分配問題， 同時也為 最終建立概率原理邁出了偉大的一步。不難證明，兩人給出的結(jié)論是一致的。不 過費馬明顯使用的是負(fù)二項式，而現(xiàn)代人卻稱之為巴斯卡分布。故此時的分賭本問題的解決方案為m 1m 1m人= C：；/： i,k=9I2，-1- p甲= C：g(1 產(chǎn)：1- C：/W嚴(yán)k z02k 02m-J1-Z C：；k=0巴斯卡和費馬的通信除了正確解決了一些問題和概念之外， 還創(chuàng)造了一種研 究的傳統(tǒng)一一用數(shù)學(xué)方法（主要是組合數(shù)學(xué)的方法）研究和思考機會性游戲。這 種傳統(tǒng)統(tǒng)治這個領(lǐng)域達(dá)半個多世紀(jì)的時間。 所以，綜合考慮所有這些因素，這個 事件贏得它在數(shù)學(xué)概率論的歷史中的標(biāo)志性地位是當(dāng)之無愧的。

15、3、 會對公平分配賭本產(chǎn)生影響的因子前面的章節(jié)我們已經(jīng)對分賭本問題的模型進(jìn)行了初步了解，那么，現(xiàn)在我們就要接著開始分析在這個問題中參數(shù)對最后分賭本的影響。畢竟，在實際問題中，各個參數(shù)是很難有其確切的數(shù)字來讓我們計算的， 在這個時候，我們便只能對結(jié) 果進(jìn)行估計，而正確或者說與實際情況能相差不遠(yuǎn)的估計， 則必須要進(jìn)行科學(xué)的 計算和估計，才能最終做出有效合理的判斷。即分析出各參數(shù)對模型的影響， 從 中掌握規(guī)律，此后便可由此對相類似的問題做出快速的判斷了。就像巴斯卡所想的一樣：公平地分配賭本的原則只與雙方為獲勝所需贏得的 局?jǐn)?shù)n, m有關(guān)。但顯然，我們不能只憑直觀的判斷就說所需贏得的局?jǐn)?shù)越多， 則所能

16、分到的賭本越少，這需要做出科學(xué)的運算才能下定論， 這就需要我們對巴 斯卡分布有更深入的了解。3. 1 p對n的影響首先，我們可以從p、q對分賭本問題的影響開始。因為在原問題中，這兩個概率都被假設(shè)為1/2,即在兩人輸贏概率相同的情況下進(jìn)行的，那么，當(dāng)pwq的時候呢，它們對n, m,對分配賭本的影響會怎樣？顯然，此時的分配形式只需將1-1式中的因子1/2改成p、q就可以了。即：e n, m = p e n -1,m +q e n, m -1同樣的，根據(jù)巴斯卡的猜想和證明及費馬的證明可以得出m _1m_1k k n -m_1 _kk n ke(n,m)乙 Cn巾/p q=乙 Cn#P qk =0k=

17、Q由于p=1-q,而兩個概率分別影響著甲、乙兩個賭徒，所以只需要考慮其 中一人即可，另一人的情形可同理推出，本文選甲作為考察對象，則分配概率比 可化為：m-1p 甲：1-國二.：k =0n + k 1kJp 71-p)mn + k-11 n/、1- Zp (1 p)k=0 Ik /首先我們可以先了解巴斯卡分布中r的極大似然估計因為巴斯卡分布的期望和方差分別為 E： = rq/p, D：rq / p2。因此，由中心極X .四限定理可得:l i nZn = l i m p - N 0 , 1 x = k- rx x rq,np2由上式可得:如果p已知，未知參數(shù)r的置信度為1-口的置信區(qū)間可由如下不

18、等式確定 為：px - rqn-Z：./2 -假設(shè)g = px,a =、rq ,b =1/nZ./2 TOC o 1-5 h z -2.則有2 g ,解不等式，得1(Vb2+4g-b)01(2)kk1/2(3)1211/23/4(4)1313/47/8(5)1417/815/16(6)237/81/211/16這個表及其推廣形式有如下性質(zhì)可體現(xiàn)出n對對公平分配賭本的影響:大于等于后兩項中的較小項，即 e(n,m-1)e(n,m)e(n-1, m)0由此可得:111當(dāng)p至即e(k,k)至萬時，e(n, m)也將永遠(yuǎn)的大于-,即右甲每一場的勝 率大于乙，且他獲勝所需贏下的局?jǐn)?shù)小于乙時，他必然可以分

19、到一半以上的 賭本；而當(dāng)p1時呢？ e(n,m)的取值范圍即為p,1，也就是說，此時的甲 只要獲勝所需贏下的局?jǐn)?shù)小于乙，仍然有希望拿到一半以上的賭本，例如：當(dāng) n =1,m = 2 時，若要 e(n, m )=；,則有 p +(1 _ p )p =：,解得 p =1-2 ,即此時只要p 1,甲便可獲得一半以上的賭本了。該性質(zhì)便表明了賭2本的公平分配不能只由p,q或以往的勝負(fù)情況來決定。5)最后，當(dāng)n增大時，來看看甲所分配到的賭本做何變化，此時需保證 m不變。我們可以假設(shè)n增加了 a個量，則有p甲變?yōu)閑(n + a,m),由上述性質(zhì)可 得：e(n +a,m ) = pe(n + a 1,m )+

20、qe(n + a,m 1),其中 e n a-1,m：i，e n a,m -1即得e(n +a,m )e(n +a -1, m ),依次類推下去則有：e(n +a,m )e(n,m ),當(dāng)且僅當(dāng)p=1時等號成立從中可以看出，除非甲贏一局的概率為1,否則當(dāng)他所需獲勝的局?jǐn)?shù)增加時， 他所能分到的賭本必然減小。從中我們應(yīng)該還能獲取到更多的信息，就像概率論本身也正在發(fā)展中一樣， 以后我們應(yīng)該還能對分賭本問題做出更多的分析，得出更新的結(jié)論。4、推廣一一當(dāng)賭博者大于兩人時4. 1解決方案的提出作為導(dǎo)致概率論誕生的賭博問題，當(dāng)然不可能僅僅只有巴斯卡和費馬兩個人 研究，也不可能只研究到這個地步，隨著概率論的發(fā)

21、展，對賭博問題的深入也在 一步一步的前行著。惠更斯的論賭博中的計算一書便是其中的一部優(yōu)秀的代表。 該書最大的 貢獻(xiàn)莫過于創(chuàng)立了數(shù)學(xué)期望，給其下了定義為：贏取某物的機會或期望(Chance or Expectation)等于這樣一個和，即是在一個公平賭博中他將以同樣的機會和期 望會獲得的那些。雖然措辭有點晦澀，但正是有了這一步的邁出才會有以后概率每個公平博弈的參與者愿意即賭徒愿意押的賭注不大論的迅猛發(fā)展?；莞咕瓦@個期望提出了一個公理： 拿出經(jīng)過計算的公平賭注冒險而不愿拿出更多的數(shù)量 于其獲得賭金的數(shù)學(xué)期望數(shù)?；莞箤Ψ峙滟€本問題的解題思路為：賭徒分得賭本的比例等于其獲勝的概 率。他假設(shè)賭徒在每

22、局獲勝的概率不變， 且各局間相互獨立。這樣就可以將所有 問題歸結(jié)為一般問題：設(shè)隨機試驗中某隨機事件每次成功的概率為p,重復(fù)獨立進(jìn)行該試驗若干次，求在b次失敗前取得a次成功的概率。既然思路是一樣的，那么解題過程當(dāng)然也就大同小異了。 例如對有三個賭徒mn（甲、乙、丙）在分賭本時，他們獲勝概率則為：底=工c C；：書cAxlyk1 0j01(2)k00j00(3)k0j000(4)kkk1/3以上為此種情況下的一些邊界條件， 此時認(rèn)為三人贏下一局的概率相同， 都為1/3。而其中e(l,m,n)表示的即為甲所能分配到賭本的比例1mne(1 -1,m,n )e(1 ,m-1,n)e(1,m,n1)e(

23、1,m,n)(5)112101/34/9(6)12111/304/9113104/913/27(8)13114/9013/27由上可看出只是n, m兩個值相互交換時，e(n,m,l)值不變，e(n,m-1,1 )和 e(n,m,1 -1)值則是相互交換。其實這也正表明在計算一個人的分配概率時，另兩 個人所還需贏下的局?jǐn)?shù)便并不重要了， 只需要知道具體數(shù)字，卻并不需將這些數(shù) 字具體到個人了。1mne(1 -1,m,n)e(1 ,m-1,n)e(1,m,n1)e( 1,m,n)(9)12214/94/917/27(10)123113/2717/2757/81(11)132117/2713/2713/27(12)2111/3001/9(13)2214/91/905/27(14)3215/271/2702/27綜上可 看出：1、當(dāng) n=m 時 e(1,m -1, n )= e(1, m,n -1)；當(dāng) nm 時， e( 1,