劉潔民微積分背景、發(fā)展與意義

1、微積分的背景、發(fā)展與意義 1微積分的背景、發(fā)展與意義微積分建立的時代背景和歷史意義函數(shù)概念的建立與發(fā)展極限與導數(shù)積分2第一節(jié) 微積分建立的時代背景和歷史意義古代至中世紀的有關工作導致微積分創(chuàng)立的幾類基本問題17世紀前期的工作牛頓創(chuàng)建微積分的工作背景和大致過程萊布尼茨創(chuàng)建微積分的工作背景和大致過程牛頓、萊布尼茨工作的歷史地位微積分的歷史意義3古代至中世紀的有關工作希臘人的有關工作中國古代的有關工作14世紀的形態(tài)幅度研究4導致微積分創(chuàng)立的幾類基本問題已知物體移動的距離表為時間的函數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度；反之，已知物體運動的加速度表為時間的函數(shù)的公式，求速度和距離。求曲線的切線。求

2、函數(shù)的最大值和最小值。求曲線長；曲線圍成的面積；曲面圍成的體積；物體的重心；一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。517世紀前期的工作開普勒 (Kepler):測定酒桶體積的新方法 (1615)羅伯瓦爾 (Roberval):不可分法論 (1634)卡瓦列利（Cavalieri）：用新的方法推進連續(xù)體的不可分量幾何學（1635）；一百道雜題（1639）；六道幾何練習題（1647）617世紀前期的工作Cavalieri 原理： (1)如果兩個平面片處于兩條平行線之間，并且平行于這兩條平行線的任何直線與這兩個平面片相交，所截二線段長度相等，則這兩個平面片的面積相等；(2)如果兩個立體處于兩個

3、平行平面之間，并且平行于這兩個平面的任何平面與這兩個立體相交，所得二截面面積相等，則這兩個立體的體積相等。717世紀前期的工作費爾馬 (Fermat):求極大值與極小值的方法 (寫于1636年以前)托里切利 (Torricelli):幾何學 (1644)圣文森特的格列戈里 (Gregory of St.Vincent)：幾何著作（1647）沃利斯 (J.Wallis)：無窮的算術（1655）817世紀前期的工作格列戈里 (James Gregory) ：論圓和雙曲線的求積 (1667)；幾何的通用部分 (1668)巴羅 (I.Barrow):幾何學講義 (1670年出版)9牛頓創(chuàng)建微積分的工作

4、背景和大致過程牛頓（I.Newton，16431727）的生平和主要科學成就牛頓制定微積分的一般過程10萊布尼茨創(chuàng)建微積分的工作背景和大致過程 萊布尼茨（G.W.Leibniz，16461716）的生平、主要學術成就與社會活動萊布尼茨制定微積分的一般過程萊布尼茨與無窮小量 11牛頓、萊布尼茨工作的歷史地位 牛頓和萊布尼茨大體上完成了微積分牛頓和萊布尼茨微積分工作的比較關于優(yōu)先權的爭議微積分的發(fā)展12微積分的歷史意義提供了定量處理與運動、變化等有關的多種現(xiàn)實問題的強有力方法。解析幾何與微積分的建立，標志著數(shù)學由初等數(shù)學（常量數(shù)學）時期向變量數(shù)學時期的重要轉變。以極限方法為主要特征的微積分方法蘊含

5、著十分基本和重要的數(shù)學思想。13微積分的歷史意義微積分的建立，開辟了全新的、廣闊的數(shù)學領域，其后數(shù)學分析大廈逐步建立。微積分的建立，使得數(shù)學的基本格局發(fā)生了變化，在這之前，數(shù)學主要有代數(shù)（包括算術）與幾何兩大領域，而微積分的建立，形成了代數(shù)、幾何與分析三足鼎立的局面。14第二節(jié) 函數(shù)概念的建立與發(fā)展 函數(shù)概念的起源函數(shù)概念的演變啟示15第二節(jié) 函數(shù)概念的建立與發(fā)展 函數(shù)概念是現(xiàn)代數(shù)學的核心概念之一，在現(xiàn)代數(shù)學教育中也是最重要的概念之一。自從17世紀它被正式引入數(shù)學中以來，對這個概念的明確化及推廣受到了極大的注意。函數(shù)概念的演變，既是數(shù)學概念起源與發(fā)展的典型例子，也在相當程度上反映了數(shù)學本身的進

6、步與發(fā)展。16函數(shù)概念的起源函數(shù)概念起源于對運動與變化的定量研究，作為一個明確的數(shù)學概念，它是17世紀的數(shù)學家們引入的，但是，與之相關的問題和方法卻至少可以追溯到中世紀后期。17函數(shù)概念的起源14世紀中葉，法國數(shù)學家奧雷姆 (N.Oresme，約1323 1382) 繼續(xù)探討了形態(tài)幅度問題，著有論均勻與非均勻的強度，論質量與運動的構型 (寫于1361年以前) ，論圖線等書，提出了圖線原理。論質量與運動的構型一書中隱含了與函數(shù)概念有關的某些基本思想。18函數(shù)概念的起源函數(shù)概念是17世紀的數(shù)學家們在對運動的研究中逐漸形成的。伽利略，巴羅，費爾馬，笛卡爾，牛頓，格列戈利，萊布尼茨 19函數(shù)概念的起源

7、伽利略 (Galileo ) 創(chuàng)立近代力學的著作兩門新科學一書，幾乎從頭至尾包含著這個概念。他用文字和比例的語言表達相當于我們今天的函數(shù)關系的那些內容。20函數(shù)概念的起源17世紀引入的絕大部分函數(shù)，在函數(shù)概念還沒有被充分認識以前，是被當作曲線來研究的。與此同時，數(shù)學家們越來越習慣于用運動概念來引入舊的和新的曲線。 21函數(shù)概念的起源“函數(shù)”一詞最早出現(xiàn)在萊布尼茨 （Leibniz）1673年的一篇手稿中，作為一個一般的術語，表示與曲線上的動點相應的變動的幾何量，或者更一般地，表示與曲線有聯(lián)系的任何量，例如，曲線上點的坐標，曲線的斜率，曲線的曲率半徑等。這一術語又出現(xiàn)在他1692年和1694年的

8、手稿中。1694年，雅各伯努利（Jakob Bernoulli）在同樣意義上使用了這一術語。22函數(shù)概念的演變從約翰伯努利（Johann Bernoulli，1718）到布爾巴基學派23函數(shù)概念的演變約翰伯努利（1718）：“在這里，一個變量的函數(shù)是指由這個變量和常數(shù)以任何一種方式構成的一個量?！逼渲械摹叭魏畏绞健币辉~，據(jù)他自己說是包括代數(shù)式和超越式而言，實際上就是我們所說的解析表達式。24函數(shù)概念的演變歐拉（L.Euler，微分學原理1755):“如果某些量以如下方式依賴于另一些量，即當后者變化時，前者本身也變化，則稱前一些量是后一些量的函數(shù)。這是一個很廣泛的概念，它本身包含各種方式，通過這

9、些方式，使得一些量得以由另一些量所確定。因此，若以 x記一個變量，則所有以任何方式依賴于 x的量或由 x所確定的量都稱做 x的函數(shù)。”25函數(shù)概念的演變拉克魯瓦（Lacroix，1797）: “每一個量，若其值依賴于一個或幾個別的量，就稱它為后者 (這個或這些量) 的函數(shù)，不管人們知不知道用何種必要的運算可以從后者得到前者?！?6函數(shù)概念的演變狄里希來（Dirichlet，1837）: “讓我們假定 a和 b是兩個確定的值， x是一個變量，它順序變化取遍 a和 b之間所有的值。于是，如果對于每一個 x，有唯一的一個有限的 y以如下方式同它對應，即當 x從 a連續(xù)地通過區(qū)間到達 b時，y f(x

10、) 也類似地順序變化，那么 y就稱為該區(qū)間中 x的連續(xù)函數(shù)。”27函數(shù)概念的演變“而且，完全不必要求 y在整個區(qū)間中按同一規(guī)律依賴于 x; 確實，沒有必要認為函數(shù)僅僅是可以用數(shù)學運算表示的那種關系。按幾何概念講， x和 y可以想象為橫坐標和縱坐標，一個連續(xù)函數(shù)呈現(xiàn)為一條連貫的曲線，對 a和 b之間的每個橫坐標，曲線上僅有一個點與之對應。”28函數(shù)概念的演變戴德金（R.Dedekind，1887）：“系統(tǒng) S上的一個映射蘊含了一種規(guī)則，按照這種規(guī)則， S中每一個確定的元素 s都對應著一個確定的對象，它稱為 s的映像，記作 (s) 。我們也可以說，(s) 對應于元素 s，(s) 由映射作用于 s而產生或導出；s經映射變換成(s)。”29啟示：數(shù)學概念演進的一個典型個例 1617世紀: 函數(shù)概念的起源18世紀: 大多數(shù)數(shù)學家相信一個函數(shù)必須處處都有相同的解析表達式19世紀: 數(shù)學分析嚴格化過程中的函數(shù)概念20世紀初: 由集合論改進的函數(shù)概念30第三節(jié) 極限與導數(shù) 極限思想導數(shù)概念31極限思想逼近思想的起源與發(fā)展無窮小方法牛頓極限思想的演變萊布尼茨的有關工作18世紀的狀況19世紀：極限理論的確立極限思想在近現(xiàn)代數(shù)學中的意義32逼近思想的起源與發(fā)展埃及人的圓面積計算希臘：割圓術與窮竭法阿基米德的有關工作中國：劉徽與祖沖之父子33無窮