專題14 二項(xiàng)分布(解析版)

1、專題14二項(xiàng)分布例1.已知隨機(jī)變量XB(4,1)，那么隨機(jī)變量X的均值E(X)=(D.8OO-9A【解析】解：；隨機(jī)變量XB(4,1)14E(X)=4x=33故選：B例2.設(shè)隨機(jī)變量Y滿足YB(4,)，則函數(shù)f(x)=x2-4x+4Y無零點(diǎn)的概率是(2A1116B516C3132D【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-4x+4Y無零點(diǎn),所以=(-4)24x1x4Y1所以P(Y1)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=C2(1)2(1)2+C3(1)3(1)+C4(1)4(1)o=1142242242216故選：A例3.我們知道，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(即伯努利試驗(yàn))中，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概

2、率為p，則事件A發(fā)生的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，事實(shí)上，在無限次伯努利試驗(yàn)中，另一個(gè)隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用也很廣泛，即事件A首次發(fā)生時(shí)試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)Y，顯然P(Y=k)=p(1p)k-1，k=1，2,3,，我們稱Y服從-“幾何分布”經(jīng)計(jì)算得E(Y)=-.由此推廣，在無限次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)進(jìn)行到事件A和A都發(fā)生后停p止，此時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)記為Z，則P(Z=k)=p(1-p)k-1+(1-p)pk-1，k=2，3,.，那么E(Z)=()A.11B.丄C.1+1D.-p(1-p)p2p(1-p)(1-p)2【解析】解：P(Z=k)=p(1-p)k-1+(1-p)pk-1，k=2，3，P(Y=k

3、)=p(1-p)k-1，k=1，2,3，可得E(Y)=丄pp(Y=k)=p(1-p)k-1,k=2,3,.,E(Y)=丄pp=-p+2(1-p)p+3(1-p)p2+k(1-p)pk-i+.p設(shè)A=2p+3p2+kpk-1kpA=2p2+3p3+.+(k-1)pk-1+kpkkp(1-pk-1).(1-p)A=2p+p2+p3+pk-1一kpk=p+一kpkTOC o 1-5 h zk1-p:.kT+8時(shí)，(1-p)ATp+k1-pp1:E(Z)=-p+p+J=-1p1-pp(1-p)故選：A例4.已知隨機(jī)變量X,Y滿足X+Y=8，若XB(10,0.6)，則E(Y),D(Y)分別是()A6和2

4、.4B2和2.4C2和5.6D6和5.6【解析】解：隨機(jī)變量X,Y滿足X+Y=8,XB(10,0.6):.E(X)=10 x0.6=6D(X)=10 x0.6x0.4=2.4E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=8-6=2，D(Y)=D(8-X)=D(X)=2.4故選：BTOC o 1-5 h z例5.設(shè)隨機(jī)變量X,Y滿足：Y=3X-1,XB(2,p)，若P(X1)=5，則D(Y)=()A4B5C6D7【解析】解：隨機(jī)變量X,Y滿足：Y=3X-1,XB(2,p),P(X$1)=54.：p(X=0)=1P(X1)=C0(1-p)2=29解得p=1,：XB(2，1)114:D(X)=2xx(1-)

5、=3394:D(Y)=9D(X)=9x=4故選：A例6.已知gB(4,3)，并且耳=2g+3，則方差Dr-(工9.A167Boo-9【解析】解：1=2g+3:.Dr=4Dg又Dg=412=8，Dr=323399故選：A.例7.設(shè)X為隨機(jī)變量，X驅(qū)1),若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2，則P(X=2)等于()A.8013243B.24324313D.16【解析】解：；隨機(jī)變量X為隨機(jī)變量,其期望E(X)=np=3n=2，/.n=6p(x=2)=Cr(1)2(i-1)4=曇故選：A.例8.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p).若E(X)=2,D(X)AB.-3c.1D.14解析】解：由隨機(jī)變量

6、X服從二項(xiàng)分布B(n,p)又E(X)=2D(X)=-3所以=24，np(l-p)=3解得：p=3故選：C例9某電子元件生產(chǎn)廠家新引進(jìn)一條產(chǎn)品質(zhì)量檢測線，現(xiàn)對檢測線進(jìn)行上線的檢測試驗(yàn)：從裝有5個(gè)正品和1個(gè)次品的同批次電子元件的盒子中隨機(jī)抽取出3個(gè)，再將電子元件放回重復(fù)6次這樣的試驗(yàn)，那么取出的3個(gè)電子元件中有2個(gè)正品，1個(gè)次品”的結(jié)果恰好發(fā)生3次的概率是()A.丄B.丄C.D.16161616解析】解：從裝有5個(gè)正品和1個(gè)次品的同批次電子元件的盒子中隨機(jī)抽取出3個(gè)，再將電子元件放回.取出的3個(gè)電子元件中有2個(gè)正品，1個(gè)次品的概率p=CC1=-C326重復(fù)6次這樣的試驗(yàn)，那么“取出的3個(gè)電子元件中

7、有2個(gè)正品，1個(gè)次品”的結(jié)果恰好發(fā)生3次的概率是：P（x=3）=c；（2）3（1）3516故選：B例10.我國的5G研發(fā)在世界處于領(lǐng)先地位，到2020年5月已開通5G基站超過20萬個(gè).某科技公司為基站使用的某種裝置生產(chǎn)電子元件，該裝置由元件A和元件B按如圖方式連接而成.已知元件A至少有一個(gè)正常工作，且元件B正常工作，則該裝置正常工作.據(jù)統(tǒng)計(jì)，元件A和元件B正常工作超過10000小時(shí)的概率分別為1和4.25求該裝置正常工作超過10000小時(shí)的概率；(II)某城市5G基站建設(shè)需購進(jìn)1200臺該裝置，估計(jì)該批裝置能正常工作超過10000小時(shí)的件數(shù).【解析】解：(I)元件A至少有一個(gè)正常工作超過100

8、00小時(shí)的概率1-(=這1200臺裝置能正常工作超過10000小時(shí)的約有：1200 x=840臺.10例11.設(shè)有3個(gè)投球手，其中一人命中率為q，剩下的兩人水平相當(dāng)且命中率均為p(p，qe(0,1)，每位投球手均獨(dú)立投球一次，記投球命中的總次數(shù)為隨機(jī)變量為g.(1)當(dāng)p=q=1時(shí)，求數(shù)學(xué)期望E(g)及方差V(g);2當(dāng)p+q=1時(shí)，將g的數(shù)學(xué)期望E(g)用p表示.【解析】解：(1)每位投球手均獨(dú)立投球一次，47則該裝置正常工作超過10000小時(shí)的概率為P=1-(丄)3x4=510(II)設(shè)1200臺該裝置能正常工作超過10000小時(shí)的有X臺，7則X服從二項(xiàng)分布XB(1200,)10當(dāng)p-q-2

9、時(shí)每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率相等,.弋B(3,1)，由二項(xiàng)分布的期望和方差公式得到結(jié)果213113np二3x-二2，np(l-p)二3x-x(1-乙)二才(2)g的可取值為0,1,2，3p(g二0)二(1-q)(i-p)2二pq2p(g二1)二q(1-p)2+(1-q)C1p(i-p)二q3+2p2q2P(g二2)二qC1p(1-p)+(1-q)p2二2pq2+p32P(g二3)二qp2g的分布列為g0123Ppq2q3+2p2q2pq2+p3qp2Eg二0 xpq2+1x(q3+2p2q)+2x(2pq2+p3)+3xqp2二1+p例12某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是4，求這名射手在10次射擊中

10、，5恰有8次擊中目標(biāo)的概率；至少有8次擊中目標(biāo)的概率【解析】解：(1)；某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是-則這名射手在10次射擊中恰有8次擊中目標(biāo)的5概率為C8(4)8(1)21055(2)至少有8次擊中目標(biāo)的概率為C8()8()2+C9()9+()10105510555例13個(gè)盒子里有2個(gè)黑球和m個(gè)白球(m$2,meN*)現(xiàn)舉行摸獎(jiǎng)活動：從盒中取球，每次取2個(gè)，記錄顏色后放回若取出2球的顏色相同則為中獎(jiǎng),否則不中求每次中獎(jiǎng)的概率p(用m表示)；若m=3，求三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率；記三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為f(p)，當(dāng)m為何值時(shí)，f(p)取得最大值？【解析】解：(I)取出2球的顏色相同則

11、為中獎(jiǎng)，m2-m+2m2+3m+2C2+C2C2m+2每次中獎(jiǎng)的概率p=CmC若m=3，每次中獎(jiǎng)的概率p=|三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為cr|(1-12=藝三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為f(p)=C1p(1-p)2=3p3-6p2+3p(0p2)=1-P(X=0)-P(X=1)12131=1-C50(3)5-C5(3)(3)4=亦(3)由題意知Y=0,1,2,3,4,5,P(Y=0)=3p(y=1)=34=P(Y=2)=(2)2丄=,P(Y=3)=(2)3丄=3273381P(Y=4)=中3=16243P(Y=5)=(|)5=32243422243(II)如果市民幸福感指數(shù)達(dá)到6,則認(rèn)為他幸福.

12、據(jù)此，在該市隨機(jī)調(diào)查5對夫婦，求他們之中恰好有3Y012345P12481632392781243243.隨機(jī)變量Y的分布列:.ey=1x2+2上+3x1+4x工+5x昱=92781243243例15“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評價(jià)他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度時(shí)，給出的區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)，該數(shù)越接近10表示越滿意，為了解某大城市市民的幸福感，隨機(jī)對該城市的男、女各500人市民進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示:幸福感指數(shù)0,2)2,4)4,6)6,8)8,10)男市民人數(shù)1020220125125女市民人數(shù)1010180175125根據(jù)表格，解答下面的問題:(I)完成頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布

13、直方圖估算該城市市民幸福感指數(shù)的平均值；(參考數(shù)據(jù):2x1+3x3+40 x5+30 x7+25x9=646)【解析】解：(I)幸福感指數(shù)在4,6),6,8)內(nèi)的頻數(shù)分別為220+180=400和125+175=300因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為1000，所以，相應(yīng)的頻率一組距為：400十1000十2二0.2,300十1000十2二0.15據(jù)此可補(bǔ)全頻率分布直方圖如右圖所求的平均值為0.01x2x1+0.015x2x3+0.2x2x5+0.15x2x7+0.125x2x9二6.46（II）男市民幸福的概率是豈存=0.5女市民幸福的概率是需=06一對夫婦都幸福的概率是0.5x0.6二0.3故所求的概率為C303

14、3072=0.1323510幸福感指數(shù)例16德陽中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)共開設(shè)有初等代數(shù)、初等幾何、初等數(shù)論和微積分初步共四門課程，要求初等代數(shù)、初等幾何都要合格，且初等數(shù)論和微積分初步至少有一門合格，則能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)報(bào)名參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，每一位同學(xué)對這四門課程考試是否合格相互獨(dú)立，其合格的概率均相同，（見下表），且每一門課程是否合格相互獨(dú)立，課程初等代數(shù)初等幾何初等數(shù)論微積分初步合格的概率322143321）求甲同學(xué)取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的概率；（2）記&表示三位同學(xué)中取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的人數(shù)，求E的分布列及期望E.【解析】解：（1）分別記甲對這四門

15、課程考試合格為事件A,B,C,D且事件A,B,C,D相互獨(dú)立，“甲能能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格”的概率為：P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)3221322132115+一+3324332433212（2）由題設(shè)知g的所有可能取值為0,1,2,3,B（3,詈）7P（g0）即才343172857P(g1)%怙2_735_28P(g2)C2寺T灑P(g1251728弋的分布列為:g0123P3437355251251728172817281728弋B(3,咅)12Eg3x124例17甲、乙兩選手比賽假設(shè)每局比賽甲勝的概率是3，乙勝的概率是1，不會出現(xiàn)平局.1）如果兩人賽3局，求甲恰好勝

16、2局的概率和乙至少勝1局的概率；2）如果采用五局三勝制（若甲、乙任何一方先勝3局，則比賽結(jié)束，結(jié)果為先勝3局者獲勝），求甲獲勝的概率【解析】解：甲恰好勝2局的概率p-即討3-4乙至少勝1局的概率P2-1-（3）3-27（2）打3局：282128()3；打4局：C2x()2xx-327333327打五局：C2x,2、J、24816)2X()2X一一33334381因此甲獲勝的概率為64例18為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物甲一次種植了4株沙柳，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)人種植沙柳時(shí)每種植3株就有2株成活，且各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的（I）寫出成活沙柳的株數(shù)的分布列，并求其

17、期望值；（II）為了有效地防止風(fēng)沙危害，該地至少需要種植24000株成活沙柳.如果參加種植沙柳的人每人種植4株沙柳，問至少需要具有甲的種植水平的多少人來參加種植沙柳，才能保證有效防止風(fēng)沙危害【解析】解：（I）設(shè)成活沙柳的株數(shù)為X,則X=0,1,2,3,4,且有4分)值7分）P(X=k)=Ckpk(1p)4-k(k=0,l,2,3,4)4據(jù)題意，每種植3株就有2株成活，p=3.株數(shù)X的分布列為X01234P1_8_8_32西8181278181.X的期望EX=0 x丄+1x+2X+3x32+4x16=-81812781813（II）設(shè)參加種植沙柳且具有甲的種植水平的人數(shù)為x，則這當(dāng)中的每一個(gè)人都

18、種植了4株沙柳.據(jù)（I）的結(jié)果，這些人每人都能種植成活的沙柳8株，因此，共種植成活的沙柳-x33株.（10分）據(jù)題意，需x24000，解得90003所以，估計(jì)至少需要具有甲的種植水平的9000人來參加種植沙柳，才能保證有效防止風(fēng)沙危害例19.袋中裝有13個(gè)紅球和n個(gè)白球，這些紅球和白球除了顏色不同之外，其余都相同，若從袋中同時(shí)取兩個(gè)球，取出的是2個(gè)紅球的概率等于取出的是一紅一白兩個(gè)球的概率的3倍1）試求n的值；2）某公司的某部門有21位職員，公司將進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動，規(guī)定：每個(gè)職員都從袋中同時(shí)取兩個(gè)球，然后放回袋中，搖勻再給別人抽獎(jiǎng)，若某人取出的兩個(gè)球是一紅一白時(shí)，則中獎(jiǎng)（獎(jiǎng)金1000元）；否則，不

19、中獎(jiǎng)（也發(fā)鼓勵(lì)獎(jiǎng)金100元）試求此公司在這次抽獎(jiǎng)活動中所發(fā)獎(jiǎng)金總額的期望值【解析】解：（1）記“取出兩個(gè)紅球”和“取出一紅一白兩球”分別為事件A和B根據(jù)題意，得：P(A)=占,P(B)C213+n令P(A)=3P(B),ClCl=13n,C213+nkeN*C2cC1C1即一L=3一TTC2C213+n13+n解得n=2(2)設(shè)中獎(jiǎng)人數(shù)為耳，不中獎(jiǎng)人數(shù)為21-n，獎(jiǎng)金為g則g=i000n+100(21-n)即g=900n+2100每人中獎(jiǎng)的概率為P(B)C1C126=2=C210513+2En26105Eg=900 x26+2100=6780故此公司在這次抽獎(jiǎng)活動中所發(fā)獎(jiǎng)金總額的期望值為6780元例20為備戰(zhàn)2012年倫敦奧運(yùn)會，兩家籃球隊(duì)分輪次進(jìn)行分項(xiàng)冬訓(xùn)訓(xùn)練分為甲、乙兩組，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在冬訓(xùn)期間甲、乙兩組完成各項(xiàng)訓(xùn)練任務(wù)的概