高等數(shù)學(xué)(上冊)第四章課件

1、第四章不定積分 微分法:積分法:互逆運算第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì)第二節(jié) 換元積分法第三節(jié) 分部積分法第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì)不定積分的概念原函數(shù)：的原函數(shù).原函數(shù)的性質(zhì):1)稱為是奇函數(shù)是偶函數(shù)2)是偶函數(shù)是奇函數(shù)3)是周期函數(shù)是周期函數(shù)第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì)是被積表達式是積分變量是積分號不定積分:4) 設(shè)則故即設(shè)則稱為的不定積分:記為第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì)常用基本積分公式:第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì)注:例第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì)不定積分的性質(zhì)例 求解 原式 =第二節(jié) 換元積分法 求不定積分湊微分恒等變形求不定積分的

2、方法 1.觀察法（即湊微分法）： 2.換元法第二節(jié) 換元積分法第二節(jié) 換元積分法 例 求 解 原式 例 求 解 原式第二節(jié) 換元積分法 例 求解 令則例 求解 第二節(jié) 換元積分法例 求解 原式 =第二節(jié) 換元積分法例 求解 類似第二節(jié) 換元積分法例 求解原式=例 求 解 原式第二節(jié) 換元積分法 例 求 解 解 原式 故原式例 求例 求第二節(jié) 換元積分法解 同樣可證或例 求解 原式 =第二節(jié) 換元積分法第二節(jié) 換元積分法例 求解 令則 原式 原式例 求解 令則 原式第二節(jié) 換元積分法第二節(jié) 換元積分法例 求解 令則 原式令于是例 求解 令第二節(jié) 換元積分法第二節(jié) 換元積分法 常用基本積分公式的補

3、充 分部積分法第三節(jié) 分部積分法例 求解 令則原式例 求解 令則原式 例 求解 令則原式第三節(jié) 分部積分法注：反對冪三指第三節(jié) 分部積分法例 求解 令, 則原式故 原式 =注: 分部積分法可循環(huán)使用, 每次使用都按“反對冪三指”第三節(jié) 分部積分法例 求解 令, 則原式 =注：一個函數(shù)的分部積分例 例 求解 令則原式第三節(jié) 分部積分法注：分部積分法與換元法結(jié)合練習(xí):(先分部 , 再換元)第三節(jié) 分部積分法例 求解 注：分部積分法可推得遞推公式說明:已知利用遞推公式可求得如：第三節(jié) 分部積分法得遞推公式第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用有理函數(shù)有理函數(shù)假分式相除多項式 + 真分 式分解若干部分分

4、式之和部分分式的形式為第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用例 將下列真分式分解為部分分式 :解 (1) 用拼湊法(2) 用賦值法故第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用(3) 混合法原式 =第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用四種典型部分分式的積分: 變分子為 再分項積分 第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用例 求解 原式思考: 如何求提示:變形方法同前例, 并利用 第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用例 求解 原式注意尋找解題技巧按常規(guī)方法較繁.第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用三角函數(shù)有理式的不定積分設(shè)表示三角函數(shù)有理式 ,令t 的有理函數(shù)的積分則萬能置換第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使

5、用例 求解 令則 原式(用萬能置換)第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用萬能置換不一定是最佳方法, 故三角函數(shù)有理式的計算中先考慮其它手段, 不得已才用萬能置換.例 求解 第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用三角函數(shù)有理式的積分1.恒等變形2.關(guān)于的奇函數(shù)，令的奇函數(shù),令關(guān)于的奇偶次冪相等5. 萬能置換3.4.令第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用 簡單無理函數(shù)的積分令令令第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用例 求解 令則原式第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用例 求則有原式解 令第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用例 求解則原式原式令先化為 的形式 .第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 積分表的使用補充 1.已知 求不定積分 ,求 令 2.已知 求 則3.分段函數(shù)的不定積分1）求因2）4. 在 處連續(xù)，故方法:將分子變成分母+分母的導(dǎo)數(shù)的形式.