人工智能(AI)1314章作業(yè)參考答案

1、不確定知識(shí)處理13.1根據(jù)基本原理證明：P(aIbaa)=1。參考解答：此處“基本原理”是指條件概率的定義，P(XIY)P(XaY)/P(Y)，以及邏輯“與”的定義。因此認(rèn)為給定了BaA成立，則必定為真是不足以完成證明的。應(yīng)從上述兩個(gè)定義出發(fā)，由AaA,A，且滿(mǎn)足交換律和結(jié)合率，則有：P(A-aA)二A二需卅二1得證。13.6給定如圖13.3所示的全聯(lián)合分布，計(jì)算下列式子toothocahceitoothocahcecatchcatchcatchcatchcavity0.1080.0120.0720.008cavity0.0160.0640.1440.576P(toothache)P(Cavi

2、ty)P(ToothacheICavity)P(CavityItoothachecatch)參考解答：本習(xí)題的主要目的在于熟練掌握一個(gè)基本的機(jī)理，即任何對(duì)該領(lǐng)域內(nèi)的問(wèn)題的答案都可以通過(guò)全聯(lián)合概率分布的某些項(xiàng)相加得到。此外，通過(guò)練習(xí)可以理解變量符號(hào)P和P即課本中的粗體、大寫(xiě)和小寫(xiě)開(kāi)頭如Cavity和cavity的具體含義和區(qū)別。即詢(xún)問(wèn)Toothocahce為真的概率P(toothache)=0.108+0.012+0.016+0.064=0.2即詢(xún)問(wèn)隨即變量Cavity的概率值向量即該隨即變量取不同的值的概率。對(duì)于Cavity，有兩個(gè)值，按照true,false)的順序給出。通過(guò)以下項(xiàng)相加得到0

3、.108+0.012+0.072+0.008=0.2，因此有：P(Cavity)=0.2,0.8即詢(xún)問(wèn)在給定Cavity為真的條件下，Toothache的概率值向量。P(ToothacheIcavity)=(0.108+0.012)/0.2,(0.072+0.008)/0.2=0.6,0.4即問(wèn)在給定Toothache或Catch為真的條件下，Cavity的概率值向量。首先計(jì)算P(toothcahe,catch)=0.108+0.012+0.016+0.064+0.072+0.144=0.416然后計(jì)算P(CavityItoothache,catch)=(0.108+0.012+0.072)/

4、0.416,(0.016+0.064+0.144)/0.41=0.46150.538令13.7證明公式(13.8)中的獨(dú)立性的3種形式是等價(jià)的，即兩個(gè)命題b和a之間的獨(dú)立性可以寫(xiě)作：P(aIb)=P(a)或者P(bIa)=P(b)或者P(ab)=P(a)P(b)參考解答：由第個(gè)式子P(aIb)=P(a)，兩邊乘上P(b)得P(aIb)P(b)=P(a)P(b)由乘法法則有P(aIb)P(b)=P(ab)因此可得第個(gè)式子P(ab)=P(a)P(b)所以第1個(gè)式子蘊(yùn)涵第3個(gè)式子；通過(guò)和上述過(guò)程相反的處理，同樣是應(yīng)用乘法法則，在第式兩邊同除以P(b)，即可證明當(dāng)P(b)不為零時(shí)，有第式蘊(yùn)涵第式(而當(dāng)

5、P(b)為零時(shí)，條件概率無(wú)定義)。所以得證第1式與第3式等價(jià)。同理按照以上方法，在過(guò)程中以P(a)代替P(b)，即可證明第式和第式等價(jià)。因此，得證三個(gè)式子等價(jià)。13.在8一年一度的體檢之后，醫(yī)生告訴你一個(gè)好消息和壞消息。壞消息是你在一種嚴(yán)重疾病的測(cè)試結(jié)果呈陽(yáng)性，而這個(gè)測(cè)試的準(zhǔn)確率為99即%當(dāng)(確實(shí)患這種病時(shí)，測(cè)試結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為0.，9同9時(shí)也是未患這種疾病時(shí)測(cè)試結(jié)果為陰性的概率)。好消息是，這是一種很罕見(jiàn)的病，在你這個(gè)年齡段大約100人0中0才有1例。為什么“這種病很罕見(jiàn)”對(duì)于你而言是一個(gè)好消息？你確實(shí)患有這種病的概率是多少？參考解答：由題意我們得到以下信息P(testIdisease)=

6、0.99P(testIdisease)=0.99P(disease)=0.0001以及觀(guān)察test。病人所關(guān)心的是P(diseaseItest)，即測(cè)試結(jié)果為陽(yáng)性，患病的概率多大？大概來(lái)說(shuō)“這種病很罕見(jiàn)”是一個(gè)好消息，原因在于P(diseaseItest)與P(disease)是成比例的，因此disease低的先驗(yàn)概率將意味著P(diseaseItest)有個(gè)很低的值。大約來(lái)看，如果人進(jìn)行測(cè)試，將會(huì)有人確實(shí)患有該疾病，而且極有可能其測(cè)試為陽(yáng)性，然而在其余沒(méi)有患病的人里面，卻會(huì)有1(%大約10人)的測(cè)試結(jié)果為陽(yáng)性，因此P(diseaseItest)將大約為。精確的計(jì)算，依據(jù)貝葉斯定理有：P(te

7、st|disease)P(disease)P(diseaseItest)=P(testIdisease)P(disease),P(testIdisease)P(disease)0.99x0.00010.99x0.0001+0.01x0.99990.009804其中的意義在于，當(dāng)一種疾病很罕見(jiàn)，其概率遠(yuǎn)小于測(cè)試準(zhǔn)確率時(shí)，則測(cè)試結(jié)果呈陽(yáng)性并不意味著得病的可能性。對(duì)測(cè)試陽(yáng)性的錯(cuò)誤解讀會(huì)認(rèn)為得病的可能性很大，其實(shí)不然。和以上思路類(lèi)似的有另外一個(gè)例子：醫(yī)生說(shuō)當(dāng)一個(gè)嬰兒仰臥著的時(shí)候，如果它的頭更多轉(zhuǎn)向右側(cè)，則是習(xí)慣用右手；如果更多時(shí)候轉(zhuǎn)向左側(cè)的話(huà)，則是一個(gè)左撇子。寶寶小明在躺著的時(shí)候，小腦袋更多時(shí)候是轉(zhuǎn)向

8、左側(cè)；且已知有90的%人習(xí)慣用右手。那么當(dāng)以上所述的測(cè)試準(zhǔn)確率為90的%時(shí)候，寶寶小明習(xí)慣用右手的概率是多少？如果測(cè)試準(zhǔn)確率為80，%那它習(xí)慣右手的概率又是多少呢？按照同樣的推理過(guò)程，可以得到當(dāng)測(cè)試準(zhǔn)確率為90時(shí)%，寶寶小明習(xí)慣用右手的概率為50；%如果測(cè)試準(zhǔn)確率為80的%話(huà)，它習(xí)慣右手的概率為69。%假設(shè)給你一只裝有n個(gè)無(wú)偏差硬幣的袋子，并且告訴你其中n-1個(gè)硬幣是正常的，一面是正面一面是反面。不過(guò)剩余枚硬幣是偽造的，它的兩面都是正面。假設(shè)你把手伸進(jìn)口袋均勻隨即地取出一枚硬幣，把它拋出去，并發(fā)現(xiàn)硬幣落地后正面朝上。那么你拿到偽幣的(條件)概率是多少？假設(shè)你不停地拋這枚硬幣，拿到它之后一共拋了

9、k次而且看到k次正面朝上。那么現(xiàn)在你拿到偽幣的條件概率是多少？假設(shè)你希望通過(guò)把取出的硬幣拋擲k次的方法來(lái)確定它是不是偽造的。如果k次拋擲后都是正面朝上，那么決策過(guò)程返回FAKE(偽造)，否則返回NORMAL(正常)。這個(gè)過(guò)程發(fā)生錯(cuò)誤的(無(wú)條件)概率是多少？參考解答：一種典型的“計(jì)數(shù)”方法為如下的過(guò)程：取一個(gè)硬幣會(huì)有n種不同的取法(有多少個(gè)硬幣就有多少種取法)，一次拋擲有種結(jié)果(盡管對(duì)于假幣無(wú)法區(qū)分其拋擲結(jié)果的不同)，因此共有個(gè)2n原子事件。當(dāng)然其中只有2次是假幣，即有2+(n-1)次結(jié)果為正面。所以在拋擲結(jié)果為正面的條件下，假幣的概率P(fakeIheads)為2/(2+n一1)=2/(n+1

10、)。上述“計(jì)數(shù)”的解題方法常常會(huì)在事件變得復(fù)雜時(shí)陷入混亂。所以最好使用以下公式:P(FakeIheads)=aP(headsFake)P(Fake)=a1.0,0.5(1/n,(n-1)/n)=a1/n,(n-1)/2n)2/(n,1),(n-1)/(n,1)此時(shí)有2kn個(gè)原子事件，其中2k次取的是假幣，及有2k,(n-1)次拋擲結(jié)果為正面。因此在k次正面的條件下，假幣的概率P(fakeIheadsk)為2k/(2k,(n-1)。注意當(dāng)k增加時(shí)，結(jié)果會(huì)向逼近。例如kn12時(shí)，P(fakeIheadsk)=0.9973。以公式描述如下:P(Fakeheads)=aP(headkIFake)P(F

11、ake)=a1.0,0.5k1/n,(n一1)/n)=al/n,(n一1)/2k)=2k/(2k+n，1),(n，1)/(2k+n，1)過(guò)程發(fā)生錯(cuò)誤當(dāng)且僅當(dāng)一枚真幣被選中且拋擲k次都為正面。其概率如下：P(headskfake)P(-fake)=(n1)/2kn13.假1設(shè)5你時(shí)雅典一次夜間出租車(chē)肇事逃逸的交通事故的目擊者。雅典所有的出租車(chē)都是藍(lán)色或者綠色的。而你發(fā)誓所看見(jiàn)的肇事出租車(chē)時(shí)藍(lán)色的。大量的實(shí)驗(yàn)表明，在昏暗的燈光條件下，對(duì)于藍(lán)色和綠色的區(qū)分的可靠度為75。%有可能據(jù)此計(jì)算出肇事出租車(chē)最可能是什么顏色的嗎？(提示：請(qǐng)仔細(xì)區(qū)分命題“肇事車(chē)是藍(lán)色的”和命題“肇事車(chē)看起來(lái)是藍(lán)色的”?，F(xiàn)在，如

12、果已經(jīng)雅典的出租車(chē)10輛有9輛是綠色的呢？參考解答：題意所述問(wèn)題相關(guān)方面可由兩個(gè)隨機(jī)變量：令B表示“的士是藍(lán)色的”LB表示“的士看起來(lái)是藍(lán)色的”。則有關(guān)顏色的判斷的可靠性有：P(LBB)=0.75P(LBB)=0.75我們是要求出在看起來(lái)是藍(lán)色的情況下，的士確實(shí)為藍(lán)色的概率：P(BILB)gP(LBIB)P(B)g0.75P(B)P(BILB)gP(LBIB)P(B)g0.25(1-P(B)因此如若沒(méi)有關(guān)于藍(lán)色的士的先驗(yàn)概率的信息，是無(wú)法求出上式所述概率。例如，如果知道所有的士都是藍(lán)色的，即P(B)=1，則顯然有P(BILB)=1；另一方面，如果在缺乏信息的情況下，往往認(rèn)為各種可能是機(jī)會(huì)均等的

13、，即認(rèn)為的士為綠色或藍(lán)色的概率是均等的，有P(B)=0.5，則P(BILB)=0.75。通常會(huì)知道一些相關(guān)的差異信息(例如題目給出綠色和藍(lán)色的士為9:，1即P(B)=0.1)，則有：P(BILB)g0.75x0.1g0.075P(BILB)g0.25x0.9g0.225所以P(BILB)=0.075=0.250.075+0.2250.225P(BILB)=0225=0.750.075+0.225文1本8分類(lèi)是在文檔所包含的文本基礎(chǔ)上，把給定的文檔分配到固定類(lèi)別集合中某一個(gè)類(lèi)別。這個(gè)任務(wù)常常用到樸素貝葉斯模型。在這些模型中，查詢(xún)變量是文檔類(lèi)別，“結(jié)果”變量是語(yǔ)言中每個(gè)詞是否出現(xiàn)。我們假設(shè)文檔中的

14、詞的出現(xiàn)都是獨(dú)立的，其出現(xiàn)頻率由文檔類(lèi)別確定。準(zhǔn)確地解釋當(dāng)給定一組類(lèi)別已經(jīng)確定的文檔作為“訓(xùn)練數(shù)據(jù)”時(shí)，這樣的模型時(shí)如何構(gòu)造的。準(zhǔn)確解釋如何對(duì)新文檔進(jìn)行分類(lèi)這里獨(dú)立性假設(shè)合理嗎？請(qǐng)討論。參考解答：本題提出的問(wèn)題是課本第23章相關(guān)內(nèi)容的一個(gè)預(yù)覽版，不過(guò)更直接的說(shuō)，本題是為了理解掌握從完整的數(shù)據(jù)中如何對(duì)條件概率進(jìn)行估計(jì)。模型由先驗(yàn)概率P(Category)和條件概率P(WordICategory)構(gòu)成，其中的Word為真，當(dāng)且ii僅當(dāng)所查詢(xún)的文檔包含有詞匯表里的第i個(gè)單詞。對(duì)于每一個(gè)文檔類(lèi)別c,P(Category=c)表示基于文檔的部分片段估計(jì)其屬于文檔類(lèi)別c。類(lèi)似的，P(Word=trueIC

15、ategory=c)表示文檔類(lèi)別屬于ci類(lèi)的，其中包含有單詞i。利用樸素貝葉斯模型的條件獨(dú)立來(lái)計(jì)算新文檔的類(lèi)別概率分布:P(CategoryIword,word)1n,P(Category,word,word),P(Category)P(wordICategory)ii”其在這樣的獨(dú)立性假設(shè)其實(shí)是完全有違實(shí)際的。例如，一個(gè)詞組“給定的某個(gè)文檔類(lèi)別中出現(xiàn)的概率其實(shí)大于上述模型所得出的兩個(gè)詞“”和“的出現(xiàn)概率的乘積。比如“”在計(jì)算機(jī)學(xué)科學(xué)術(shù)類(lèi)型的文檔中大約篇會(huì)出現(xiàn)次，即“”的概率大約為；而貝葉斯樸素模型給出的概率卻是“”的概率和“”的概率的乘積，即；所以說(shuō)基于條件獨(dú)立性假設(shè)的樸素貝葉斯模型給出的估

16、計(jì)是與實(shí)際不相符的。這意味著對(duì)于詞組(單詞的組合)來(lái)說(shuō)，其真是的概率大多是比模型給出的估計(jì)要高；當(dāng)詞組越長(zhǎng)(即組成詞組的單詞數(shù)越多)時(shí)，模型得到的結(jié)果會(huì)越壞。2附加題：你被聘任構(gòu)建一個(gè)質(zhì)量監(jiān)控系統(tǒng)，對(duì)組裝線(xiàn)上傳送過(guò)來(lái)的汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，給出檢測(cè)結(jié)果：bad或ok。系統(tǒng)決策的依據(jù)假設(shè)僅基于對(duì)三個(gè)布爾隨機(jī)變量的觀(guān)察：發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)可能有搖擺(wobbly由運(yùn)動(dòng)傳感器檢測(cè))，可能發(fā)出異常的隆隆聲(rumbly,由聲音傳感器檢測(cè))，又可能過(guò)熱(hot,由溫度傳感器檢測(cè))。每一個(gè)傳感器會(huì)給出一個(gè)布爾型的觀(guān)察結(jié)果：true或false。上述問(wèn)題領(lǐng)域如下進(jìn)行描述：Cause(原因)：Bebad,okEv

17、idence(證據(jù))：W,R,Hetrue,false你經(jīng)過(guò)推理分析，認(rèn)為貝葉斯方法是解決這個(gè)問(wèn)題的好方法，據(jù)此建立了預(yù)測(cè)P(BIW,R,H)。a.基于上述問(wèn)題的簡(jiǎn)化假設(shè)，試用P(b),P(wIb),P(rIb),P(hIb)表示P(bIw,r,h)。b.假設(shè)項(xiàng)目開(kāi)始時(shí)，已有公司提供的試產(chǎn)記錄，如下表所示。你能否根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算出決策（見(jiàn)a.）所需的條件概率？BWRHokfalsefalsetrueokfalsetruefalseokfalsetruefalseoktruefalsefalse.okfalsefalsefalsebadtruefalsefalsebadtruetruefalsebadfalsetruet