2021-2022學(xué)年廣東省深圳市深圳中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 12 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 12 頁(yè)2021-2022學(xué)年廣東省深圳市深圳中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1（）ABCD【答案】B【分析】由的冪運(yùn)算的周期性可直接求得結(jié)果.【詳解】，其中，.故選：B.2=（）ABCD【答案】D【分析】利用兩角差的正弦可求三角函數(shù)式的值.【詳解】,故選：D.3已知，則（）ABCD【答案】B【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二倍角的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，故選：B4如圖，在中，點(diǎn)M是線段上靠近B的三等分點(diǎn)

2、，則（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】在中，點(diǎn)M是線段上靠近B的三等分點(diǎn)，則，所以.故選：B5的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，（）ABCD【答案】A【分析】結(jié)合正弦定理求得正確答案.【詳解】，由正弦定理得.故選：A6的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c滿(mǎn)足b2ac，且c2a，則cos B（）ABCD【答案】B【分析】利用余弦定理求即可.【詳解】由b2ac，又c2a，得，由余弦定理，得cos B.故選：B.7已知向量，且，則的值是（）A1BC3D【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求，再利用兩角和的正切公式，求.【詳解】，得，.故選：

3、D8在中，若，則向量在上的投影是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出，進(jìn)而求出，再利用向量投影的意義計(jì)算作答.【詳解】在中，由正弦定理得：，即有，整理得，解得，因此，所以向量在上的投影是.故選：C二、多選題9已知復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A復(fù)數(shù)z的虛部是B復(fù)數(shù)z的模為5C復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是D在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限【答案】BD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)定義、模的運(yùn)算與幾何意義即可求得答案.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為-3，A錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)的模為，B正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第四象限，D正確.故選：BD.10已知向量（1，3），（2，1），（m1，

4、m2），若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是（）A2BC1D1【答案】ABD【分析】先求與，使之共線并求出的值，則A，B，C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形，因此取共線之外的值即可【詳解】因?yàn)?，假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1（m1）2m0，即m1所以只要m1，則A，B，C三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形.故選：ABD11已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法中不正確的是（）A向量，則B若點(diǎn)G為的重心，則C若O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則D若I為的內(nèi)心，則【答案】AC【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算及模的坐標(biāo)表示計(jì)算判斷A；利用三角形重心定理計(jì)算判斷B；利用數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算判斷C；利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)推理

5、計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，則，A不正確；對(duì)于B，點(diǎn)G為的重心，如圖，延長(zhǎng)交BC于E，則E是BC中點(diǎn)，則，因此，B正確；對(duì)于C，由得：，即，點(diǎn)O在邊BC的高所在直線上，顯然，C不正確；對(duì)于D，I為的內(nèi)心，如圖，延長(zhǎng)交BC于D，顯然分別平分，則有，同理，所以，D正確.故選：AC【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積的關(guān)系等式中，不能全與代數(shù)等式的相關(guān)性質(zhì)類(lèi)比，如：不能推出.12如圖，甲船從出發(fā)以每小時(shí)25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船出發(fā)時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里當(dāng)甲船航行12分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距5海里，下面

6、正確的是（）A乙船的行駛速度與甲船相同B乙船的行駛速度是海里/小時(shí)C甲乙兩船相遇時(shí)，甲行駛了小時(shí)D甲乙兩船不可能相遇【答案】AD【分析】連接，求出，再用余弦定理求出，計(jì)算乙船速度判斷A，B；延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于O，計(jì)算甲乙到達(dá)點(diǎn)O的時(shí)間判斷C，D作答.【詳解】如圖，連接，依題意，（海里），而海里，則是正三角形，海里，在中，海里，由余弦定理得：，且有，所以乙船的行駛速度是海里/小時(shí)，A正確，B不正確；延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于O，顯然有，即，海里，海里，海里，甲船從出發(fā)到點(diǎn)O用時(shí)（小時(shí)），乙船從出發(fā)到點(diǎn)O用時(shí)（小時(shí)），即甲船先到達(dá)點(diǎn)O，所以，甲乙兩船不可能相遇，C不正確，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解

7、三角形應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型是解題的關(guān)鍵三、填空題13函數(shù)的最大值為_(kāi)【答案】2【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為2故答案為：214已知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的幾何意義即可列式計(jì)算.【詳解】，由題可知，.故答案為：.15在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則_【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，確定角A與B的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算作答.【詳解】在中，因，則，所以.故答案為：116中，M為邊上任意一點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的值為_(kāi)【答案】【分析】根據(jù)

8、即可得，進(jìn)而得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查基底表示向量，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于借助得，進(jìn)而求解.四、解答題17已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù).（1）求；（2）若是純虛數(shù)，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)即可，（2）先求出，再利用純虛數(shù)的概念列出方程組得答案.【詳解】解：（1），（2），是純虛數(shù)，.18已知為銳角，(1)求的值；(2)求的值【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）由二倍角的余弦公式，結(jié)合正余弦齊次式法計(jì)算作答.（2）由同角公式求出，再利用差角的正切公式計(jì)算作答.【詳解】(1)因

9、，所以.(2)因?yàn)殇J角，則，而，則，于是得，所以.19如圖，已知內(nèi)接于以O(shè)圓心，半徑為2的圓O中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，R表示的外接圓半徑若和是圓O的弦，且(1)求；(2)求弦的長(zhǎng)【答案】(1)30；(2).【分析】（1）由正弦定理求出，進(jìn)而根據(jù)角的范圍求得答案；（2）通過(guò)正弦定理并結(jié)合兩角和與差的正弦公式即可求得答案.【詳解】(1)由正弦定理可知，因?yàn)?，所以，則.(2)由（1）可知，于是由正弦定理可得，即弦AB的長(zhǎng)為.20己知函數(shù)，在銳角中，(1)求A的值；(2)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，求銳角面積最大值【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用給定函數(shù)及，借助同

10、角公式求出A作答.（2）利用余弦定理結(jié)合均值不等式，求出的最大值，再由三角形面積定理求解作答.【詳解】(1)依題意，則，在銳角中，于是得，解得，所以.(2)在銳角中，由余弦定理得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，于是得，所以銳角面積最大值為.21如圖，在直角梯形中，M為上靠近B的三等分點(diǎn)，交于(1)用和表示；(2)求【答案】(1)(2)【分析】（1）據(jù)給定條件及幾何圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）選定一組基向量，將由這一組基向量的唯一表示及三點(diǎn)共線即可求解.【詳解】(1)由題意可知，因?yàn)?，所?又因?yàn)镸為上靠近B的三等分點(diǎn)，所以.(2)因?yàn)榻挥?，由?）知，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，所以，即，于是有.所以.22在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量(1)若，且，求向量的坐標(biāo)；(2)若