隨機過程試題

1、隨機過程例題例1求正態(tài)隨機變量 X N(0,O2)的特征函數(shù)和各階矩。解：X N(0,仃2)的概率密度函數(shù)為2X.,、122f (x) ： e 、-,-二：二 x ：二 二.2 二二y22 26 (缶)=rf (x) ejcX dx =-=OE(Xn)=(.j)ndd：1 二 二一e 20 e dx = e 2-二.2 ：二；0, n為奇數(shù)1父3M5M父(n1)仃n, n為偶數(shù)例2設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0, 1),定義隨機變量 Y = X2,求Y的概率密度函數(shù)和數(shù)學(xué)期望。解：X的概率密度為:y = g(x) = x2, x = h(y), x = V, x = - yY的概率密度函

2、數(shù)為:-(y) = f (x)dxdyf (v y) f (- . y)-y-2, y2 . y1_v一2三 e2, y一y的數(shù)學(xué)期望為:_ye 2 dyE(Y) = _.y- (y)dy =x22 dx = 1:- ： x2E(Y) = Eg(X) = 一g(x)f(x)dx：eTj；2 二例3已知隨機相位正弦波X=acos(t +0),其中a 0, 為常數(shù)，0為在(0,2冗)內(nèi)均勻分布的隨機變量。求隨機過程 X (t), t w (0,電)的均值函數(shù) mX (t)和相關(guān)函數(shù)Rx(s, t)解： HYPERLINK l bookmark2 o Current Document mx (t)

3、=0 22c ,、 a r ,a,、Rx(s,t)cos (t -s) cos , ( =t-s) HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 22例4設(shè)X (t)為信號過程，Y (t)為噪聲過程，令 W (t) = X (t) + Y, 則W (t)的均值函數(shù)為：mw(t) = mx(t)mY(t)Rw(s,t) =Rx(s,t) RxY(s,t) RYx(s,t) Ry (s,t)例5求在0, 1區(qū)間均勻分布的獨立隨機序列的均值向量、自相關(guān)陣和協(xié)方差陣，設(shè)解：Xi的一維概率密度函數(shù)為：1 0 x=0 的均值函數(shù) mz(t)和相關(guān)函數(shù)Rz (s, t)。

4、mz(t) =0nRz(s, t)b ;修)kd例7設(shè)有隨機相位過程 X=asin(以+ O) , a,為為常數(shù)，O為(0,2兀)上服從均勻分布的隨機變量，試討論隨機過程X的平穩(wěn)性。解：2 二EX(t) -Easin( t 0) = asin( t i)f (Reb2 二Qsin( t 1)d【-0Rx(t,t) = EX(t)X(t ) TOC o 1-5 h z 2222二 a. a=sin( t i)sin (t .) 1d =cos-.0 22因此X是平穩(wěn)隨機過程例8設(shè)Xn，n = 0,1,2,.是實的互不相關(guān)隨機變量序列，且 EXn = 0, DXn=o2,試討論隨機序列的平穩(wěn)性。解

5、：因為：(1) EXn = 0仃2, T =0(2) RX(n,n+T) = EXnXnM=30, 丁#0故隨機序列的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅與 T有關(guān)，因此它是平穩(wěn)隨機序列。例9已知隨機相位正弦波X (t) = acos(ot +。)，其中a,8為常數(shù)，日為在(0,2n)內(nèi)均勻分布的隨機變量。試問 X (t)是否為各態(tài)歷經(jīng)過程。解： TOC o 1-5 h z 2 二1EX(t) = acos( t -1)dr - 002 二、，、,.1 T ,、，-X (t) = lim a cos( t O)dt = 0t j 二二 2T 2Rx( ) =acos()= X(t)X(t .)故X (t)是

6、為各態(tài)歷經(jīng)過程。例10已知隨機相位正弦波X (t) = a cos(t + O), Y (t) = bsin(ot + 0)其中a ,b,c為常數(shù)，G為在(0,2兀)內(nèi)均勻分布的隨機變量。分析 X和Y (t)是否聯(lián)合平穩(wěn)。解：EX(t) =EY(t) =02一，、b2i,、RX(t,t+ D =當(dāng)cos=Rx。) RY(t,t+ 7)=5cos” = RyO )故X和Y (t)均是平穩(wěn)過程。RXY(t,t ) = EX(t)Y(t )=Eacos( t O)bsin (t ) O ab=Rxy ()所以X和Y (t)是聯(lián)合平穩(wěn)的。例11已知隨機相位正弦波X(t) = acos30t +。)，其

7、中a ,b,o0為常數(shù)，在下列情況下,求X(t)的平均功率：Q為在(0,2k)內(nèi)均勻分布的隨機變量。Q為在(0, n / 2)上均勻分布的隨機變量。解：(1)(如前例所證)隨機過程X (t)是平穩(wěn)過程，2aRx ()二cos( 0 )2P = Rx (0) = a2 . 2(2)22_2_22a a 一EX2(t)=Ea2cos2( 0t o):sin(2 0t)2 二X (t)是非平穩(wěn)過程P = lim T； 2TTEX2(t)dt =a2/2 - I例12已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為.aRx ( ) = e cos( 0.)其中a 0,6。為常數(shù)，求譜密度Gx(。).解:Gx9)=2。e co

8、soDcost ) d700=0 e*cos(60 +切)7 +cos0 6)Ed TOC o 1-5 h z aa=2222a (；： -；o) a(；o)例13設(shè)隨機序列 X(n) = W(n) +W(n-1),其中W(n)是高斯隨機序列，RW(m)25(m),mw =0,求X(n)的均值、自相關(guān)函數(shù)和譜密度Gx).mX(n)-EX(n)-EW(n) W(n-1)-0Rx(m) = EX(n m)X(n)=E W(n m) W(n m -1)W(n) W(n -1)=c-22、(m) 、(m 1) 、(m-1)Gx()= ,Rx(m)eamm 二二= o2(2 + eja + ea) =

9、2(1 +cose)例14如圖所示X (t)是平穩(wěn)過程，過程Y (t尸X (t)+ X (t T)也是平穩(wěn)的，求Y (t)的功率譜。&(t,t ,) =EY(t)Y(t 一)= E X(t) X(t -T)X(t - ) X(t if延一-2Rx( ) Rx(. -T) Rx(. T)Gy( ,) = R( .)ed .=J2Rx(.) Rx(. -T) Rx(. T)ed .= 2Gx( ) Gx( )ej T Gx( )eT =2Gx( )1 cos( T)例15色噪聲的一個例子：如圖所示N (t)為平穩(wěn)過程，其自相關(guān)函數(shù)為2Rn( ) =We/求功率譜密度。Gn( ) = .：W A-e

10、 e-j d0 e%. 4W4 2例16設(shè)線性系統(tǒng)輸入一個白噪聲過程X (t),其自相關(guān)函數(shù)為RX H) = N06 (T)解:N0 ( - u)h(u)du = N0h() -rd1h() :瓦 ryx()假定過程 X (t)和Y (t)是各態(tài)歷經(jīng)的,h()卡 Y(t)X(t -)通過測量互相關(guān)函數(shù)，可以估計線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(t)。例17如圖RC電路，若輸入白噪聲電壓X (t),其相關(guān)函數(shù)為 Rx(e) = N06(t),求輸出電壓Y (t)的相關(guān)函數(shù)和平均功率。01_|oRXC， Y(t_-L(t解：1H )=；-,其中 ot =工：i，RCh(t) = eu(t)Gx( ) =FT Rx( ) = No20( 2Gy(6)=H(e) Gx() = rNoa + co_ _ 二 n ；Ry( )= IFT Gy( ) =e 12= Ry(0)=-No2例18如圖有兩個LTI系統(tǒng)H1(C0)和H2(C0),若輸入同一個均值為零的平穩(wěn)過程X(t),它們的輸出分別為Y1(t)和Y2(t)。如何設(shè)計H1(s )和H2(o )才能使Y1(t)和Y2(t)互不相關(guān)？解：互不相關(guān)U協(xié)方差為零Y(t) =X(t) h(