三角函數(shù)公式及圖像

1、銳角三角函數(shù)公式sina=Za的對邊/斜邊cosa=Za的鄰邊/斜邊tana=Za的對邊/Za的鄰邊cota二Za的鄰邊/Za的對邊倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A二CosA2-SinA2=l-2SinA2=2CosA2-ltan2A=(2tanA)/(1-tanA2)(注：SinA2是sinA的平方sin2(A)三倍角公式sin3a=4sinasin(n/3+a)sin(n/3-a)cos3a=4cosacos(n/3+a)cos(n/3-a)tan3a=tanatan(n/3+a)tan(n/3-a)三倍角公式推導sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos

2、2asina輔助角公式Asina+Bcosa=(A“2+B“2廠(l/2)sin(a+1),其中sint二B/(A2+B辺廠(1/2)cost二A/(A2+B辺廠(1/2)tant=B/AAsina+Bcosa=(A“2+B“2廠(1/2)cos(a-t),tant二A/B降冪公式sin2(a)=(l-cos(2a)/2二versin(2a)/2cos2(a)=(l+cos(2a)/2二covers(2a)/2tan2(a)=(lcos(2a)/(l+cos(2a)推導公式tana+cota=2/sin2atanacota=2cot2al+cos2a=2cos2al-cos2a=2sin2al

3、+sina=(sina/2+cosa/2廠2=2sina(1sina)+(12sina)sina=3sina4sinacos3a=cos(2a+a)=cos2acosasin2asina=(2cosa1)cosa2(1sina)cosa=4cosa3cosasin3a=3sina4sina=4sina(3/4sina)=4sina(V3/2)sina=4sina(sin60sina)=4sina(sin60+sina)(sin60sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60a)/2*2sin(60a)/2cos(60a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos

4、3a=4cosa-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosacosa-(M3/2)=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)半角公式tan

5、(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(l-cos(a)/2cos2(a/2)=(l+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)三角和sin(a+B+Y)二sinacosBcosY+cosasinBcosY+cosacosBsinysinasinBsinYcos(a+B+Y)二cosacosBcos丫-cosasinBsiny-sinacosBsinysinasinBcosYtan(a+B+Y)=(tana+tan

6、B+tany-tanatanBtany)/(I-tanatanB-tanBtanY-tanYtana)兩角和差cos(a+B)二cosacosB-sinasinBcos(a-B)二cosacosB+sinasinBsin(a土B)二sinacosB土cosasinBtan(a+B)=(tana+tanB)/(l-tanatanB)tan(a-B)=(tana-tanB)/(1+tanatanB)和差化積sinG+sin=2sin(9+)/2cos(9-)/2sine-sin=2cos(G+)/2sin(9-)/2cosG+cos=2cos(G+)/2cos(G-)/2cose-cos=-2si

7、n(e+)/2sin(e-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差sinasinBcos(a-B)-cos(a+B)/2cosacosBcos(a+B)+cos(a-B)/2sinacosBsin(a+B)+sin(a-B)/2cosasinBsin(a+B)-sin(a-B)/2誘導公式sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(a)=-tanasin(n/2-a)=cosacos(n/2-a)=sinasin(n

8、/2+a)=cosacos(n/2+a)=-sinasin(n-a)=sinacos(n-a)=-cosasin(n+a)=-sinacos(n+a)=-cosatanA=sinA/cosAtan(n/2+a)=cotatan(n/2a)=cotatan(na)=tanatan(n+a)=tana誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限萬能公式sina=2tan(a/2)/1+tan人(a/2)cosa二1tan人(a/2)/1+tan人(a/2)tana=2tan(a/2)/1-tan人(a/2)其它公式(1)(sina廠2+(cosa廠2=1(2)1+(tana廠2=(seca廠2l+(c

9、ota廠2=(csca廠2證明下面兩式，只需將一式，左右同除(sina廠2,第二個除(cosa廠2即可對于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證:A+B二nCtan(A+B)二tan(n-C)(tanA+tanB)/(l-tanAtanB)二(tann-tanC)/(l+tanntanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證，當x+y+z二nn(nZ)時,該關(guān)系式也成立由tanA+tanB+tanC二tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1cot(A/2)+c

10、ot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(cosA)”2+(cosB)”2+(cosC)2=l-2cosAcosBcosC(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosCsina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2n*3/n)+sina+2n*(n-l)/n=0cosa+cos(a+2n/n)+cos(a+2n*2/n)+cos(a+2n*3/n)+cosa+2n*(n-1)/n=0以及sin2(a)+sin2(a-2n/3)+sin2(a+2n/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)

11、+tanA+tanB-tan(A+B)=0六個三角函數(shù)值在每個象限的符號sinacscacosasecatanacota三角函數(shù)的圖像和性質(zhì):y=tanx1Jj/yI1i/y=cotxI13/冗/-兀-0兀3x-兀升0_x兀X、2兀x221I22/22211111111函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定義域RRx1xWR且兀、x/kn,kZx1xR且x/kn,kwZ值域冗r-1,1x=2kn+時ymax=1兀tx=2kn時y.=-12mm-1,1x=2kn時y=1Jmaxx=2kn+n時y.=-1JminR無取大值無取小值R無取大值無取小值周期性周期為2n周期為2n周期為n

12、周期為n奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在2kn-,2kn+上都是增函數(shù)；在2n2kn+,2kn+3n厶J上都是減函數(shù)(kwZ)在2kn-n,2kn上都是增函數(shù)；在2kn,2kn+n上都是減函數(shù)(kWZ)在(kn-,kn+)內(nèi)都是增函數(shù)(kwZ)在(kn,kn+n)內(nèi)都是減函數(shù)(kWZ).反三角函數(shù):arctanxarccotx名稱反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)定義y=sinx(x丘,，一-=，K的反函22數(shù)，叫做反正弦函數(shù)，記作x=arsinyy=cosx(x丘0,n)的反函數(shù)，叫做反余弦函數(shù)，記作x=arccosyy=tanx(xw(-/-)的反函數(shù)，叫做反正切函數(shù)，記作x=

13、arctanyy=cotx(x丘(0,n)的反函數(shù)，叫做反余切函數(shù)，記作x=arccoty理解arcsinx表示屬于邁z2且正弦值等于x的角arccosx表示屬于0,n,且余弦值等于x的角arctanx表示屬于,，亠(-,)，且正切值等于x的角arccotx表示屬于(0,n)且余切值等于x的角性質(zhì)定義域-1,1-1,1(-8,+s)(-8,+8)值域-2，20，n(-2，2)(0，n)單調(diào)性在-1,1上是增函數(shù)在-1,1上是減函數(shù)在(-8,+g)上是增數(shù)在(-8,+8)上是減函數(shù)奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=n-arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=n-arccotx周期性都不是同期函數(shù)恒等式sin(arcsi