1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題：線面角（中下） 學(xué)案（Word版含答案）

1、空間向量專題8-1 線面角（中下）（7套，8頁，含答案） 知識(shí)點(diǎn)：線面角： 直線和平面所成的角有三種： （1）斜線和平面所成的角：一條直線與平面相交，但不和垂直，這條直線叫做平面的斜線斜線與的交點(diǎn)叫做斜足，過斜線上斜足以外的點(diǎn)向平面引垂線，過垂足與斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角 （2）垂線與平面所成的角：一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角。 （3）一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角為00. 線面角取值范圍：00900線面角（空間向量法）：先標(biāo)注所有坐標(biāo)點(diǎn)； 注意：x、y、z軸要兩兩互相垂直；不容易標(biāo)

2、注坐標(biāo)點(diǎn)的，可以先畫出俯視圖，標(biāo)注XY軸的坐標(biāo)，然后再在立體圖上標(biāo)注Z坐標(biāo)；畫圖幫助自己理解線面角； 圖中為兩向量夾角，為要求的線面角，；設(shè)法向量；找出平面內(nèi)的兩相交直線的向量，；令，算出以及；算出直線AB向量以及；代入夾角公式：； 角度轉(zhuǎn)換：典型例題：若平面的一個(gè)法向量n(2，1，1)，直線l的一個(gè)方向向量為a(1，2，3)，則l與所成角的正弦值為( 答案：B；解析：cosa，neq f(an,|a|n|)eq f(1，2，32，1，1,r(149)r(2211)eq f(223,r(146)eq f(r(21),6).) A.eq f(r(17),6) B.eq f(r(21),6) Ce

3、q f(r(21),6) D.eq f(r(21),3)正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值是_ 答案：eq f(r(6),3)；解析：如圖，以DA、DC、DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，取正方體的棱長為1，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，易證eq o(AC1,sup6()是平面A1BD的一個(gè)法向量eq o(AC1,sup6()(1，1，1)，eq o(BC1,sup6()(1，0，1)coseq o(AC1,sup6()，eq o(BC1,sup6()eq f(11,r(3)r(2)eq f(r(6),3).所以

4、BC1與平面A1BD所成角的正弦值為eq f(r(6),3)._如圖所示，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，點(diǎn)D，E分別在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求證：BC平面PAC；(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；(3)（ 答案：證明略，eq f(r(2),4)；解析：以A為原點(diǎn)，eq o(AB,sup6()，eq o(AP,sup6()分別為y軸、z軸的正方向，過A點(diǎn)且垂直于平面PAB的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)PAa，由已知可得：A(0，0，0)，B(0，a，0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(

5、r(3),4)a，f(3,4)a，0)，P(0，0，a)(1)證明：eq o(AP,sup6()(0，0，a)，eq o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),4)a，f(a,4)，0)，eq o(BC,sup6()eq o(AP,sup6()0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D為PB的中點(diǎn)，DEBC，E為PC的中點(diǎn)，Deq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)a，f(3,8)a，f(a,2)，由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂

6、足為點(diǎn)E.DAE是AD與平面PAC所成的角，eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)a，f(3,8)a，f(a,2)，cosDAEeq f(o(AD,sup6()o(AE,sup6(),|o(AD,sup6()|o(AE,sup6()|)eq f(r(14),4)，AD與平面PAC所成的角的正弦值為eq f(r(2),4).(3)DEBC，又由(1)知BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP為二

7、面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AEPC，這時(shí)AEP90，故存在點(diǎn)E，使得二面角ADEP是直二面角）隨堂練習(xí)：如圖，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則直線B1C與平面AB1D1所成的角的余弦值是（ 答案：B； ）(A)0 (B) (C) (D) 如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為_ 答案：，；_ 空間向量專題8-2 線面角（中下）如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；( 答案：eq

8、 f(2,3)；解析：設(shè)正方體的棱長為1，如圖所示，以eq o(AB,sup6()，eq o(AD,sup6()，eq o(AA1,sup6()為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系(1)依題意，得B(1，0，0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以eq o(BE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)，eq o(AD,sup6()(0，1，0)，在正方體ABCDA1B1C1D1中，因?yàn)锳D平面ABB1A1，所以eq o(AD,sup6()是平面ABB1A1的一個(gè)法向量，設(shè)直線BE和平面ABB

9、1A1所成的角為，則sin eq f(|o(BE,sup6()o(AD,sup6()|,|o(BE,sup6()|o(AD,sup6()|)eq f(1,f(3,2)1)eq f(2,3).即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為eq f(2,3).(2)依題意，得A1(0，0，1)，eq o(BA1,sup6()(1，0，1)，eq o(BE,sup6()(1，1，eq f(1,2)，設(shè)n(x，y，z)是平面A1BE的一個(gè)法向量，則由neq o(BA1,sup6()0，neq o(BE,sup6()0，得eq blcrc (avs4alco1(xz0 xyf(1,2)z0)，所以xz，

10、yeq f(1,2)z.取z2，得n(2，1，2)設(shè)F是棱C1D1上的點(diǎn)，則F(t，1，1)(0t1)又B1(1，0，1)，所以eq o(B1F,sup6()(t1，1，0)，面B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEeq o(B1F,sup6()n0(t1，1，0)(2，1，2)02(t1)10teq f(1,2)F為C1D1的中點(diǎn)這說明在棱C1D1上存在點(diǎn)F使B1F平面A1BE.)如圖，四棱錐中，AB/CD ，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，ABBC2，CDSD1.（）證明：SD平面SAB；（）求AB與平面SBC所成角的正弦值.（ 答案：； 解：方法一：空間向量法（）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線

11、為軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ，設(shè)，則 ，且， ， ，由，得 ，解得： ，由，得 由，得 解，得 ， ， ， ， ， ， ，平面 6分（）設(shè)平面的法向量，則， ，又 ， ，取 ，得， ，故與平面 所成的交的正弦值為.方法二：綜合法（） 解：如下圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則四邊形為矩形， ，側(cè)面為等邊三角形，且，又 ， ，平面.（）過點(diǎn)作于，因?yàn)椋云矫嫫矫嫠云矫嫫矫妫善矫媾c平面垂直的性質(zhì)，知平面，在中，由，得，所以.過點(diǎn)作平面于，連結(jié)，則為與平面所成角的角，因?yàn)?，平面，所以平面，所以，在中，由，求得.在中， ，所以 ，由，得 ，即，解得，所以，故與平面所成角的正弦值為.）

12、如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFBF證明：平面PEF平面ABFD；求DP與平面ABFD所成角的正弦值 答案：（1）略；（2）；解答：（1）分別為的中點(diǎn)，則，又，平面，平面，平面平面.（2），又，平面，設(shè)，則，過作交于點(diǎn)，由平面平面，平面，連結(jié)，則即為直線與平面所成的角，由，而，與平面所成角的正弦值. 空間向量專題8-3 線面角（中下）如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA14，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1的中點(diǎn)(1)求EF與平面ABCD所成的角的余弦值；(2) 答案：eq f(r(5),5)；解析

13、：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(xiàn)(0，2，2)(1)eq o(EF,sup6()(1，0，2)，易得平面ABCD的一個(gè)法向量為n(0，0，1)，設(shè)eq o(EF,sup6()與n的夾角為，則cos eq f(o(EF,sup6()n,|o(EF,sup6()|n|)eq f(2,5)eq r(5)，EF與平面ABCD所成的角的余弦值為eq f(r(5),5).(2)eq o(EF,sup6()(1，0，2)，eq o(DF,sup6()(0，2，2)，設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為m，則meq o

14、(DF,sup6()0，meq o(EF,sup6()0，可得m(2，1，1)，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(r(6),6)，二面角FDEC的余弦值為eq f(r(6),6).如圖所示，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，點(diǎn)D，E分別在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求證：BC平面PAC；(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在點(diǎn)E，使得二面角ADEP為直二面角？并說明理由（ 答案：證明略，eq f(r(2),4)，存在；解析：以A為原點(diǎn)，eq o(AB,sup6()，eq o(AP,sup6()分別為

15、y軸、z軸的正方向，過A點(diǎn)且垂直于平面PAB的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)PAa，由已知可得：A(0，0，0)，B(0，a，0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),4)a，f(3,4)a，0)，P(0，0，a)(1)證明：eq o(AP,sup6()(0，0，a)，eq o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),4)a，f(a,4)，0)，eq o(BC,sup6()eq o(AP,sup6()0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D為PB的中點(diǎn)，DEBC，E為PC的中點(diǎn)，Deq blc(rc)(a

16、vs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)a，f(3,8)a，f(a,2)，由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點(diǎn)E.DAE是AD與平面PAC所成的角，eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)a，f(3,8)a，f(a,2)，cosDAEeq f(o(AD,sup6()o(AE,sup6(),|o(AD,sup6()|o(AE,sup6()|)eq f(r(14)

17、,4)，AD與平面PAC所成的角的正弦值為eq f(r(2),4).(3)DEBC，又由(1)知BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP為二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AEPC，這時(shí)AEP90，故存在點(diǎn)E，使得二面角ADEP是直二面角） 如圖，多面體ABCDEF中，面ABCD為矩形，面ABFE為直角梯形，AB/EF，AEF為直角，二面角DABE為直二面角，AB2AD2AE2EF4（1）證明：平面DAF平面CBF；（2）求直線DE與面ACF所成角的正弦值 答案：； 【命題意圖】本題考查空間

18、線面關(guān)系的證明和線面角的計(jì)算，對空間想象能力和運(yùn)算能力都有一定要求，難度：中等題解：（1）二面角為直二面角且為矩形，面，又在直角梯形中易證，面，面，面面 5分（2）由（1）易知，兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示 6分 則，8分設(shè)面的法向量為，由得，令得 10分設(shè)直線與面所成角大小為，則 12分第18題圖空間向量專題8-4 線面角（中下）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn)，求BC1與平面A1EF所成角的大?。?答案：；）已知空間四個(gè)點(diǎn)A(1，1，1)，B(4，0，2)，C(3，1，0)，D(1，0，4)，則直線AD與平面ABC所成的角為( 答案：C；解

19、析：設(shè)n(x，y，1)是平面ABC的一個(gè)法向量eq o(AB,sup6()(5，1，1)，eq o(AC,sup6()(4，2，1)，eq blcrc (avs4alco1(5xy10，4x2y10，)eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)，yf(3,2)，)neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，1).又eq o(AD,sup6()(2，1，3)，設(shè)AD與平面ABC所成的角為，則sin eq f(|o(AD,sup6()n|,|o(AD,sup6()|n|)eq f(f(7,2),7)eq f(1,2)，30.故選C.) A60 B45 C30

20、 D90如圖：在五面體ABCDEF中，四邊形EDCF是正方形，ADDE，ADE90，ADCDCB120.（1）證明：平面ABCD平面EDCF；（2）求直線AF與平面BDF所成角的正弦值. 答案：證明略，；（1）證明：因?yàn)?，平面，且，所以平?又平面，故平面平面.（2）解：由已知，所以平面.又平面平面，故.所以四邊形為等腰梯形.又，所以，易得，令，如圖，以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的法向量為，由所以取，則，得，.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.空間向量專題8-5 線面角（中下）正方體ABCDA1B1C1D1中，BC1與平面BDD

21、1B1所成角的大小為( 答案：A； )(A)(B)(C)(D)如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，.側(cè)棱ACBC，D，E分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是的重心G.求與平面ABD所成角的正弦值；（ 答案：；解：(1)建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，則，取平面法向量為，則與夾角為與平面所成角的余角.所以cos， 所以與平面所成角的正弦值為.）如圖，四邊形與均為菱形，且（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值 答案：證明略，；解析：（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，且為中點(diǎn)，又，平面.5分（2）連接，四邊形為菱形，且，為等邊三角形，為中點(diǎn)，又，平面.兩兩垂直，建立空間直角

22、坐標(biāo)系，如圖所示，7分設(shè)，四邊形為菱形， ，. 為等邊三角形，.，.設(shè)平面的法向量為，則，取，得.設(shè)直線與平面所成角為，10分則. 12分注：用等體積法求線面角也可酌情給分空間向量專題8-6 線面角（中下）如圖，在棱長為的正方體中，分別在棱，上，且.（1）已知為棱上一點(diǎn)，且，求證：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值. 答案：證明略，；解：（1）過作于點(diǎn)，連，則.易證：，于是.由，知，.顯然面，而面，又，面，.連，則.又，面，.由，面.（2）在上取一點(diǎn)，使，連接.易知.對于，而，由余弦定理可知.的面積.由等體積法可知到平面之距離滿足，則，又，設(shè)與平面所成角為，.在三棱錐OABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，且OAOBOC，