正余弦定理應用課件

1、正弦、余弦定理應用回顧（1）三角形常用公式：（2）正弦定理應用范圍： 已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角 已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。(注意解的情況)正弦定理：2R（3）、余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。（4）、余弦定理可以解決以下兩類有關三角形問題：（1）已知三邊求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。有關測量術語:a.仰角和俯角是指與目標視線在同一垂直平面內(nèi)的水平視線的夾角.其中目標視線在水平視線的目標視線上方時叫仰角,目標視線在水平視線的下方的時叫俯角.b.方向角是指從指定方向線到目標方向線的水平角

2、,如北偏東300,南偏西450.c.方位角是指從正北方向是順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角.d.坡度是坡面與水平面所成的角的度數(shù).測量距離問題如圖,設A,B兩點在河的兩岸.需要測量A,B兩點間的距離,測量者在A的同側(cè)河岸邊選定一點C.測出AC=55米,， 求A,B兩點間的距離. BAC=45 ,如圖,隔河看兩目標A、B，但不能到達，在岸邊選取相距 千米的C、D兩點，并測得ACB=750,BCD=450,ADC=300，ADB=450(A、B、C、D在同一平面)，求兩目標AB之間的距離。ABCD一ABCD一海輪以20n mile/h的速度向正東航行,它在A點測得燈塔P在船的北600東,2個小時后船

3、到達B點時,測得燈塔在船的北450東,求(1)船在B點時與燈塔P的距離.(2)已知以P為圓心,55n mile的半徑的圓形水域內(nèi)有暗礁,那么船工繼續(xù)向正東航行,有無觸礁的危險.練習二 某貨輪在A處看燈塔S在北偏東30方向.它以每小時36海里的速度向正北方向航行,經(jīng)過40分鐘航行到B處看燈塔S在北偏東75方向.求此時貨輪到燈塔S的距離.練習三練習四如圖，貨輪在海上以40n mile/h的速度由B向C航行，航行的方位角140 ，在B處測得A處有燈塔，其方位角110 ，在C處觀察燈塔A的方位角35 ，由B到C需0.5h航行，求C到燈塔A的距離。練習五某人在高出海面600m的山上P處，測得海面上的航標

4、A在正東，俯角為30，航標B在南偏東60，俯角為45 ，求這兩個航標間的距離。練習六（1）準確地理解題意；（2）正確地作出圖形；（3）把已知和要求的量盡量集中在有關三角形中，利用正弦定理和余弦定理有順序地解這些三角形；（）再根據(jù)實際意義和精確度的要求給出答案解三角形應用題的一般步驟：測量高度的問題測量兩點間距離把距離看成三角形的邊利用正余弦定理進行求解實際問題解三角形問題測量距離的方法：例1、如圖，要測底部不能到達的煙囪的高AB，從與煙囪底部在同一水平直線上的C、D兩處，測得煙囪的仰角分別是，CD間的距離是12m.已知測角儀器高1.5m,求煙囪的高。圖中給出了怎樣的一個幾何圖形？已知什么，求什

5、么？想一想AA1BCDC1D1分析：如圖，因為AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：煙囪的高為 29.9m.例2:一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時測得公路南側(cè)遠處一山頂D在東偏南15的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在東偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.分析：要測出高CD,只要測出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長。根據(jù)已知條件，可以計算出BC的長。解：在ABC中，C=25-15=10.根據(jù)正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度約為1047米。BDAC5km15258練習1.一輛汽車

6、在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)遠處一山頂D在西偏北15的方向上，行駛5km后到達B處，測得山頂D位于正東北方,且由A到B的圖中測得對山頂D的最大仰角為30 ,求山高例3 在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角5440，在塔底C處測得A處的俯角501已知鐵塔BC部分的高為27.3m，求出山高CD(精確到1m)分析：根據(jù)已知條件，應該設法計算出AB或AC的長解：在ABC中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度約為150米。練習2.測山上石油鉆井的井架BC的高，從山腳A測得AC=60m

7、，塔頂B的仰角是 45,已知山坡的傾斜角 是 30，求井架高BC。測量角度問題例1、如圖，某漁輪在航得中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該漁輪在方位角為，距離為10n mile的處，并測得漁輪正沿方位角為105 的方向，以n mile/h的速度向小島靠攏我海軍艦艇立即以n mile/h的速度前去營救求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到0.1 ,時間精確到min）北北BC105方位角：指從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角北北BC105解：設艦艇收到信號后x h在處靠攏漁輪，則21x，x，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：化簡得：解得：x=（h）=40(min)(負值舍去）由正弦定理，得所以21.8，方位角為45 +21.8 =66.8 答：艦艇應沿著方位角66.8 的方向航行，經(jīng)過min就可靠近漁輪練習一如圖.當甲船位于A處時獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救.甲船立即 前往救援.同時把消息告知在甲船的南偏西.相距10海里C處的乙船,試問已船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B