安全通論第6章紅客與黑客的多方對(duì)抗極限課件

1、第6章-紅客與黑客的多方對(duì)抗極限第6章 紅客與黑客的多方對(duì)抗極限在上一章中，為了簡(jiǎn)捷計(jì)算，我們做了兩個(gè)假定：1）紅客與黑客是1對(duì)1的單挑；2）紅客是紅客，黑客是黑客，彼此界線十分明確。但是，在網(wǎng)絡(luò)空間安全對(duì)抗的實(shí)際場(chǎng)景中，上述假定都有待突破。比如，多攻1的情形：幾乎任何一個(gè)重要的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，隨時(shí)都在遭受眾多黑客的攻擊，而且，這些黑客彼此之間可能根本就不認(rèn)識(shí)，甚至不知道相互的存在。1攻多的情形：每一個(gè)重要的信息系統(tǒng)，它一定有多個(gè)備份；假若黑客只是將該系統(tǒng)和其部分備份攻破了，但沒能全部攻破所有備份，那么，就不能算黑客贏。 在網(wǎng)絡(luò)空間安全的實(shí)戰(zhàn)中，其實(shí)攻與防是一體的，既沒有純粹的黑客，同時(shí)也沒有純粹的

2、紅客。1. 多攻一可達(dá)極限 2. 一攻多可達(dá)極限3. 攻防一體星狀網(wǎng)的可達(dá)極限 4. 攻防一體榕樹網(wǎng)的可達(dá)極限 5. 攻防一體麻將網(wǎng)的可達(dá)極限6. 小結(jié)與答疑第6章 紅客與黑客的多方對(duì)抗極限6.1 多攻一可達(dá)極限先考慮2個(gè)黑客攻擊1紅客的情形：設(shè)黑客X1和X2都想攻擊紅客Y，并且兩個(gè)黑客互不認(rèn)識(shí)，甚至可能不知道對(duì)方的存在，因此，作為隨機(jī)變量，可以假設(shè)X1和X2是相互獨(dú)立的。假設(shè)：攻防各方采取“回合制”，并且，每個(gè)“回合”后，各方都對(duì)本次的攻防結(jié)果，給出“真心的盲自評(píng)”，由于這些自評(píng)結(jié)果不告訴任何人，所以，有理由假設(shè)“真心的盲自評(píng)”是真實(shí)可信的，沒必要做假。6.1 多攻一可達(dá)極限黑客的真心盲自評(píng)

3、（隨機(jī)變量X1和X2代表第一個(gè)和第二個(gè)黑客）：X1盲自評(píng)為成功，則X1=1；盲自評(píng)失敗，則X1=0X2盲自評(píng)為成功，則X2=1；盲自評(píng)失敗，則X2=0紅客Y=（Y1，Y2）的真心盲自評(píng)：本回合Y自評(píng)防御X1成功，自評(píng)防御X2也成功時(shí)，記為，Y1=1，Y2=1；本回合Y自評(píng)防御X1成功，自評(píng)防御X2失敗時(shí)，記為，Y1=1，Y2=0；本回合Y自評(píng)防御X1失敗，自評(píng)防御X2成功時(shí)，記為，Y1=0，Y2=1；本回合Y自評(píng)防御X1失敗，自評(píng)防御X2也失敗時(shí)，記為，Y1=0，Y2=0；6.1 多攻一可達(dá)極限根據(jù)“頻率趨于概率”這個(gè)大數(shù)定律0Pr(X1=1)=p1； 0Pr(X1=0)=1-p1；0Pr(X

4、2=1)=q1； 0Pr(X2=0)=1-q1；0Pr(Y1=1, Y2=1)=a111；0Pr(Y1=1, Y2=0)=a101；0Pr(Y1=0, Y2=1)=a011；0Pr(Y1=0, Y2=0)=a001；這里，a00+a01+a10+a11=1造一個(gè)2維隨機(jī)變量Z=(Z1，Z2)= (1+X1+Y1)mod2, (1+X2+Y2)mod2)，即， Z1=(1+X1+Y1)mod2， Z2=(1+X2+Y2)mod2。并利用隨機(jī)變量X1、X2和Z構(gòu)造一個(gè)2-接入信道（X1,X2,p(zx1,x2),Z），并稱該信道為紅客的防御信道F。6.1 多攻一可達(dá)極限下面來考慮幾個(gè)事件恒等式：某

5、個(gè)回合紅客防御成功=紅客防御X1成功紅客防御X2成功，然而，紅客防御X1成功=黑客X1自評(píng)本回合攻擊成功，紅客自評(píng)防御X1成功黑客X1自評(píng)本回合攻擊失敗，紅客自評(píng)防御X1成功= X1=1,Y1=1X1=0,Y1=1=X1=1,Z1=1X1=0,Z1=0 同理， 紅客防御X2成功=黑客X2自評(píng)本回合攻擊成功，紅客自評(píng)防御X2成功黑客X2自評(píng)本回合攻擊失敗，紅客自評(píng)防御X2成功=X2=1,Y2=1X2=0,Y2=1= X2=1,Z2=1X2=0,Z2=06.1 多攻一可達(dá)極限所以，某個(gè)回合紅客防御成功=X1=1,Z1=1X1=0,Z1=0X2=1,Z2=1X2=0,Z2=0 =防御信道F的第一個(gè)子

6、信道傳信成功防御信道F的第二個(gè)子信道傳信成功= 2輸入信道F的傳輸信息成功引理6.1：如果紅客在某個(gè)回合防御成功，那么，1比特信息就在2-輸入信道F（防御信道）中，被成功傳輸。反過來，如果“2-輸入信道F的傳輸信息成功”，那么，“防御信道F的第一個(gè)子信道傳輸成功”同時(shí)“防御信道F的第二個(gè)子信道傳輸成功”，即，X1=1,Z1=1X1=0,Z1=0X2=1,Z2=1X2=0,Z2=0，等價(jià)于X1=1,Y1=1X1=0,Y1=1X2=1,Y2=1X2=0,Y2=16.1 多攻一可達(dá)極限而X1=1,Y1=1X1=0,Y1=1意味著黑客X1自評(píng)本回合攻擊成功，紅客自評(píng)防御X1成功黑客X1自評(píng)本回合攻擊失

7、敗，紅客自評(píng)防御X1成功，即，紅客防御X1成功，同理，X2=1,Y2=1X2=0,Y2=1意味著黑客X2自評(píng)本回合攻擊成功，紅客自評(píng)防御X2成功黑客X2自評(píng)本回合攻擊失敗，紅客自評(píng)防御X2成功，即，紅客防御X2成功，所以，X1=1,Y1=1X1=0,Y1=1X2=1,Y2=1X2=0,Y2=1就等同于某個(gè)回合紅客防御成功引理6.2：如果1比特信息在2-輸入信道F（防御信道）中被成功傳輸，那么，紅客就在該回合中防御成功。6.1 多攻一可達(dá)極限定理6.1： 設(shè)隨機(jī)變量X1、X2和Z如上所述，防御信道F是如下2-接入信道（X1,X2,p(zx1,x2),Z），那么，“紅客在某回合中防御成功”就等價(jià)于

8、“1比特信息在防御信道F中被成功傳輸”。根據(jù)文獻(xiàn)5的定理15.3.1及其逆定理，我們知道信道F的可達(dá)容量區(qū)域?yàn)闈M足下列條件的全體(R1，R2)所組成集合的凸閉包，0R1maxXI(X1;ZX2)，0R2maxXI(X2;ZX1)，0R1+R2maxXI(X1, X2;Z).這里最大值是針對(duì)所有獨(dú)立隨機(jī)變量X1和X2的概率分布而取的；I(A,B;C)表示互信息，而I(A;BC)表示條件互信息；Z=(Z1，Z2)=(1+X1+Y1)mod2, (1+X2+Y2)mod2)。6.1 多攻一可達(dá)極限定理6.2：兩個(gè)黑客X1和X2獨(dú)立地攻擊一個(gè)紅客Y。如果，在n個(gè)攻防回合中，紅客成功防御第一個(gè)黑客r1次

9、，成功防御第二個(gè)黑客r2次，那么，一定有：0r1nmaxXI(X1;ZX2)，0r2nmaxXI(X2;ZX1)，0r1+r2nmaxXI(X1, X2;Z).而且上述的上限是可達(dá)的，即，紅客一定有某種最有效的防御方法，使得在n次攻防回合中，紅客成功防御第一個(gè)黑客r1次，成功防御第二個(gè)黑客r2次，的成功次數(shù)r1和r2達(dá)到上限：6.1 多攻一可達(dá)極限r(nóng)1=nmaxXI(X1;ZX2)，r2=nmaxXI(X2;ZX1)r1+r2=nmaxXI(X1, X2;Z)。再換一個(gè)角度，還有：如果紅客要想成功防御第一個(gè)黑客r1次，成功防御第二個(gè)黑客r2次，那么，他至少得進(jìn)行maxr1/maxXI(X1;Z

10、X2)，r2/maxXI(X2;ZX1)，maxXI(X1, X2;Z)次防御。6.1 多攻一可達(dá)極限將定理6.2推廣到任意m個(gè)黑客X1、X2、Xm，獨(dú)立地攻擊一個(gè)紅客Y=(Y1，Y2，Ym)的情況。仍然假設(shè)：攻防各方采取“回合制”，并且，每個(gè)“回合”后，各方都對(duì)本次的攻防結(jié)果，給出一個(gè)“真心的盲自評(píng)”，由于這些自評(píng)結(jié)果是不告訴任何人的，所以，有理由假設(shè)“真心的盲自評(píng)”是真實(shí)可信的，沒必要做假。對(duì)任意1im，黑客Xi按如下方式對(duì)自己每個(gè)回合的戰(zhàn)果，進(jìn)行真心盲自評(píng)：6.1 多攻一可達(dá)極限黑客Xi對(duì)本回合盲自評(píng)為成功，則Xi=1；黑客Xi對(duì)本回合盲自評(píng)為失敗，則Xi=0；每個(gè)回合中，紅客按如下方式

11、對(duì)自己防御黑客X1、X2、Xm的成果，進(jìn)行真心盲自評(píng)：任取整數(shù)集合1,2,m的一個(gè)子集S，記Sc為S的補(bǔ)集，即，Sc=1,2,m-S，再記X(S)為Xi：iS，X(Sc)為Xi：iSc，如果紅客成功地防御了X(S)中的黑客，但卻自評(píng)被X(Sc)中的黑客打敗，那么，紅客的盲自評(píng)估就為：Yi=1：iS，Yi=0：iSc。6.1 多攻一可達(dá)極限再造一個(gè)m維隨機(jī)變量Z=(Z1，Z2，Zm) =(1+X1+Y1)mod2,(1+X2+Y2)mod2, ,(1+Xm+Ym)mod2)，即，Zi=(1+Xi+Yi)mod2，1im。并利用隨機(jī)變量X1、X2、Xm和Z構(gòu)造一個(gè)m-接入信道，并稱該信道為紅客的防

12、御信道G。由于信道G的可達(dá)容量區(qū)域?yàn)闈M足下列條件的所有碼率向量所成集合的凸閉包R(S)I(X(S);ZX(Sc)對(duì)1,2,m的所有子集S。這里R(S)定義為R(S)=iSRi=iSri/n，ri/n是第i個(gè)輸入的碼率。6.1 多攻一可達(dá)極限定理6.3：m個(gè)黑客X1、X2、Xm獨(dú)立地攻擊一個(gè)紅客Y。如果，在n個(gè)攻防回合中，紅客成功防御第i個(gè)黑客ri次，1im，那么，一定有r(S)nI(X(S);ZX(Sc)，對(duì)1,2,m的所有子集S。這里r(S)=iSri。而且，該上限是可達(dá)的，即， 紅客一定有某種最有效的防御方法，使得在n次攻防回合中，紅客成功防御黑客集S的次數(shù)集合r(S)，達(dá)到上限：r(S)

13、=nI(X(S);ZX(Sc)，對(duì)1,2,m的所有子集S 。再換一個(gè)角度，還有：如果紅客要想成功防御黑客集S的次數(shù)集合為r(S)，那么，他至少得進(jìn)行maxr(S)/I(X(S);ZX(Sc)次防御。6.2 一攻多可達(dá)極限設(shè)黑客X=(X1,X2)同時(shí)攻擊兩個(gè)紅客Y1和Y2。由于這兩個(gè)紅客是兩個(gè)互為備份系統(tǒng)的守衛(wèi)者，因此，黑客必須同時(shí)把這兩個(gè)紅客打敗才能算真贏。仍然假設(shè)：攻防各方采取“回合制”，并且，每個(gè)“回合”后，各方都對(duì)本次的攻防結(jié)果，給出一個(gè)“真心的盲自評(píng)”，由于這些自評(píng)結(jié)果是不告訴任何人的，所以，有理由假設(shè)“真心的盲自評(píng)”是真實(shí)可信的，沒必要做假。分別用隨機(jī)變量Y1和Y2代表第一個(gè)和第二個(gè)

14、紅客，他們按如下方式對(duì)進(jìn)行真心盲自評(píng)：紅客Y1對(duì)本回合防御盲自評(píng)為成功，則Y1=1；紅客Y1對(duì)本回合防御盲自評(píng)為失敗，則Y1=0；紅客Y2對(duì)本回合防御盲自評(píng)為成功，則Y2=1；紅客Y2對(duì)本回合防御盲自評(píng)為失敗，則Y2=0；6.2 一攻多可達(dá)極限由于每個(gè)回合中，黑客要同時(shí)攻擊兩個(gè)紅客，所以，用2維隨機(jī)變量X=（X1，X2）代表黑客，他按如下方式對(duì)自己每個(gè)回合攻擊Y1和Y2的成果，進(jìn)行如下真心盲自評(píng)：本回合X自評(píng)攻擊Y1成功，自評(píng)攻擊Y2成功時(shí)，記為，X1=1，X2=1；本回合X自評(píng)攻擊Y1成功，自評(píng)攻擊Y2失敗時(shí)，記為，X1=1，X2=0；本回合X自評(píng)攻擊Y1失敗，自評(píng)攻擊Y2成功時(shí)，記為，X1

15、=0，X2=1；本回合X自評(píng)攻擊Y1失敗，自評(píng)攻擊Y2失敗時(shí)，記為，X1=0，X2=0；6.2 一攻多可達(dá)極限根據(jù)“頻率趨于概率”這個(gè)大數(shù)定律，就可以計(jì)算出如下概率：0Pr(Y1=1)=f1； 0Pr(Y1=0)=1-f1；0Pr(Y2=1)=g1； 0Pr(Y2=0)=1-g1；0Pr(X1=1, X2=1)=b111；0Pr(X1=1, X2=0)=b101；0Pr(X1=0, X2=1)=b011；0Pr(X1=0, X2=0)=b001；這里，b00+b01+b10+b11=1再造兩個(gè)隨機(jī)變量Z1和Z2，這里Z1=(X1+Y1)mod2， Z2=(X2+Y2)mod2。并利用隨機(jī)變量X

16、（輸入）和Z1、Z2（輸出）構(gòu)造一個(gè)2-輸出廣播信道p(z1,z2x)，并稱該信道為黑客的攻擊信道G。好了，下面來考慮幾個(gè)事件恒等式：6.2 一攻多可達(dá)極限黑客X攻擊成功=黑客X攻擊Y1成功黑客X攻擊Y2成功=黑客X自評(píng)攻擊Y1成功，紅客Y1自評(píng)防御失敗黑客X自評(píng)攻擊Y1失敗，紅客Y1自評(píng)防御失敗黑客X自評(píng)攻擊Y2成功，紅客Y2自評(píng)防御失敗黑客X自評(píng)攻擊Y2失敗，紅客Y2自評(píng)防御失敗=X1=1,Y1=0X1=0, Y1=0X2=1,Y2=0X2=0, Y2=0=X1=1,Z1=1X1=0, Z1=0X2=1,Z2=0X2=0, Z2=0=1比特信息被成功從廣播信道G的第1個(gè)分支傳輸?shù)侥康牡?比

17、特信息被成功地從廣播信道G的第2個(gè)分支傳輸?shù)侥康牡?1比特信息在廣播信道G中被成功傳輸。6.2 一攻多可達(dá)極限以上推理過程，完全可以逆向進(jìn)行，所以，我們有下定理6.4：一個(gè)黑客X=(X1,X2)同時(shí)攻擊兩個(gè)紅客Y1和Y2，如果在某個(gè)回合中黑客攻擊成功，那么，1比特信息就在上述2-輸出廣播信道（攻擊信道）G中被成功傳輸，反之亦然。此定理，可以推廣到“1攻多”的情況：1個(gè)黑客X=(X1,X2,Xm)，同時(shí)攻擊任意m個(gè)紅客Y1、Y2、Ym的情況。由于這m個(gè)紅客是互為備份系統(tǒng)的守衛(wèi)者，因此，黑客必須同時(shí)把這m個(gè)紅客打敗，才能算真贏。6.2 一攻多可達(dá)極限對(duì)任意1im，紅客Yi按如下方式對(duì)自己每個(gè)回合的

18、戰(zhàn)果，進(jìn)行真心盲自評(píng)：紅客Yi對(duì)本回合防御盲自評(píng)為成功，則Yi=1；紅客Yi對(duì)本回合盲自評(píng)防御為失敗，則Yi=0；每個(gè)回合中，黑客按如下方式對(duì)自己攻擊紅客Y1、Y2、Ym的成果，進(jìn)行真心盲自評(píng)：任取整數(shù)集合1,2,m的一個(gè)子集S，記Sc為S的補(bǔ)集，即，Sc=1,2,m-S，再記Y(S)為Yi：iS，Y(Sc)為Yi：iSc，如果黑客自評(píng)成功地攻擊了Y(S)中的紅客，但卻自評(píng)被Y(Sc)中的紅客成功防御，那么，黑客X的盲自評(píng)就為：Xi=1：iS，Xi=0：iSc6.2 一攻多可達(dá)極限再造m個(gè)隨機(jī)變量Zi，這里Zi= (Xi+Yi)mod2，1im。并利用隨機(jī)變量X（輸入）和Z1、Z2、Zm（輸出

19、）構(gòu)造一個(gè)m-輸出廣播信道p(z1,z2,zmx)并稱該信道為黑客的攻擊信道H。好了，下面來考慮幾個(gè)事件恒等式：6.2 一攻多可達(dá)極限黑客X攻擊成功=1im黑客X攻擊Yi成功=1im 黑客X自評(píng)攻擊Yi成功，紅客Yi自評(píng)防御失敗黑客X自評(píng)攻擊Yi失敗，紅客Yi自評(píng)防御失敗=1im Xi=1,Yi=0Xi=0, Yi=0=1im Xi=1,Zi=1Xi=0, Zi=0=1im 1比特信息被成功地從廣播信道G的第i個(gè)分支傳輸?shù)侥康牡?=1比特信息在m-廣播信道G中被成功傳輸。以上推理過程，完全可以逆向進(jìn)行，所以，我們有如下定理：6.2 一攻多可達(dá)極限定理6.5：一個(gè)黑客X=(X1,X2,Xm)同時(shí)

20、攻擊m個(gè)紅客Y1、Y2、Ym，如果在某個(gè)回合中黑客攻擊成功，那么，1比特信息就在上述m-輸出廣播信道（攻擊信道）H中被成功傳輸，反之亦然。根據(jù)上述定理6.4和定理6.5，一個(gè)黑客同時(shí)攻擊多個(gè)紅客的問題，就完全等價(jià)于廣播信道的信息容量區(qū)域問題?？上?，到目前為止，廣播信道的信息容量區(qū)域問題還未被解決。6.2 一攻多可達(dá)極限兩個(gè)猜測(cè)：猜測(cè)1，中繼信道可用于研究黑客的跳板攻擊；猜測(cè)2，邊信息信道可用于研究有內(nèi)奸攻擊。6.1 多攻一可達(dá)極限對(duì)盲對(duì)抗的自評(píng)估輸贏進(jìn)行分類：在每個(gè)回合后，各方對(duì)自己本輪攻防的“業(yè)績”進(jìn)行“保密的自評(píng)估”（即，該評(píng)估結(jié)果不告訴任何人，因此，其客觀公正性就有保障，因?yàn)椋梢约俣?/p>

21、個(gè)人不會(huì)“自己騙自己”）：比如，一方（X）若認(rèn)為本回合的攻防對(duì)抗中自己得勝，就自評(píng)估為X=1；若認(rèn)為本回合自己失敗，就自評(píng)估為X=0。同理，在每個(gè)回合后，另一方（Y）對(duì)自己的“業(yè)績”也進(jìn)行“保密的自評(píng)估”：若認(rèn)為本回合自己得勝，就自評(píng)估為Y=1；若認(rèn)為本回合自己失敗，就自評(píng)估為Y=0。當(dāng)然，每次對(duì)抗的勝負(fù)，決不是由攻方或守方單方面說了算，但是，基于攻守雙方的客觀自評(píng)估結(jié)果，從旁觀者角度來看，我們可以公正地確定如下一些輸贏規(guī)則。6.1 多攻一可達(dá)極限“對(duì)手服輸?shù)内A”（在上一章叫真正贏），此時(shí)雙方的自評(píng)估結(jié)果集是X=1,Y=0X=0,Y=0，即，此時(shí)對(duì)手服輸了（Y=0），那怕自己都誤以為未贏（X=

22、0）?！皩?duì)手的阿Q式贏”，此時(shí)雙方的自評(píng)估結(jié)果集是X=0,Y=1X=1,Y=1，即，此時(shí)對(duì)手永遠(yuǎn)認(rèn)為他贏了（Y=1），那怕另一方并不認(rèn)輸（X=1）?！白约盒姆诜妮敗保ㄔ谏弦徽陆姓嬲敚捍藭r(shí)雙方的自評(píng)估結(jié)果集是X=0,Y=1X=0,Y=0，即，此時(shí)自己服輸了（X=0），那怕對(duì)手以為未贏（Y=0）?！白约旱陌式贏”，此時(shí)雙方的自評(píng)估結(jié)果集是X=1,Y=0X=1,Y=1，即，此時(shí)永遠(yuǎn)都認(rèn)為自己贏了（X=1），那怕另一方并不認(rèn)輸（Y=1）。6.1 多攻一可達(dá)極限“對(duì)手服輸?shù)臒o異議贏”：此時(shí)雙方的自評(píng)估結(jié)果集是X=1,Y=0，即，攻方自評(píng)為“成功”，守方也自評(píng)為“失敗”。（從守方角度看，這等價(jià)于

23、“無異議地守方認(rèn)輸”）“對(duì)手不服的贏”：此時(shí)雙方的自評(píng)估結(jié)果集是X=1,Y=1，即，攻守雙方都咬定自己“成功”?！耙馔庵A”：此時(shí)雙方的自評(píng)估結(jié)果集是X=0,Y=0，即，攻守雙方承認(rèn)自己“失敗”?！盁o異議地自己認(rèn)輸”：此時(shí)雙方的自評(píng)估結(jié)果集是X=0,Y=1，即，攻方承認(rèn)自己“失敗”，守方自評(píng)為“成功”。（從守方的角度看，這等價(jià)于“對(duì)手無異議的守方贏”）。6.1 多攻一可達(dá)極限上面的8種自評(píng)估輸贏情況，其實(shí)可以分為兩大類：其一，叫“獨(dú)裁評(píng)估”，即，損益情況完全由自己說了算（即，前面的四種情況，根本不考慮另一方的評(píng)估結(jié)果）；其二，叫“合成評(píng)估”，即，損益情況由攻守雙方的盲自評(píng)估合成（后面的四種情況

24、）。由于“合成評(píng)估”將攻守雙方都鎖定了，所以，其變數(shù)不大，完全可以根據(jù)攻防的自評(píng)估歷史記錄，客觀地計(jì)算出來，而且，其概率極限范圍也很平凡（介于0與1之間，而且還是遍歷的），因此，只考慮“獨(dú)裁評(píng)估”的極限問題。“星狀網(wǎng)絡(luò)對(duì)抗”：對(duì)抗的一方只有一個(gè)人，比如，星狀圖的中心點(diǎn)（X）；對(duì)抗的另一方有許多人，比如，星狀圖的非中心點(diǎn)（Y1,Y2,Yn）。更形象地說，此時(shí)，一群人要圍攻一位武林高手，當(dāng)然，該武林高手也要回?fù)裟且蝗喝恕檠芯糠奖?，假設(shè)這一群人彼此之間是相互獨(dú)立的，他們只與武林高手過招，互相之間不攻擊。先考慮1個(gè)高手對(duì)抗2個(gè)戰(zhàn)士的情形6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限設(shè)高

25、手X=(X1,X2)想同時(shí)對(duì)抗兩個(gè)戰(zhàn)士Y1和Y2。由于這兩個(gè)戰(zhàn)士是互為備份系統(tǒng)的守衛(wèi)者，因此，高手必須同時(shí)把這兩個(gè)戰(zhàn)士打敗，才能算真贏（提醒：與上章不同的是，此處每個(gè)人既是攻方也是守方，他們都是攻防一體的喲）。仍然假設(shè)：攻防各方采取“回合制”，并且，每個(gè)“回合”后，各方都對(duì)本次的攻防結(jié)果，給出一個(gè)“真心的盲自評(píng)”，由于這些自評(píng)結(jié)果是不告訴任何人的，所以，有理由假設(shè)“真心的盲自評(píng)”是真實(shí)可信的，沒必要做假。分別用隨機(jī)變量Y1和Y2代表第一個(gè)和第二個(gè)戰(zhàn)士，他們按如下方式對(duì)自己每個(gè)回合的戰(zhàn)果，進(jìn)行真心盲自評(píng)：6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限戰(zhàn)士Y1對(duì)本回合防御盲自評(píng)為成功，則Y1=1；戰(zhàn)士Y1對(duì)本回合

26、防御盲自評(píng)為失敗，則Y1=0；戰(zhàn)士Y2對(duì)本回合防御盲自評(píng)為成功，則Y2=1；戰(zhàn)士Y2對(duì)本回合防御盲自評(píng)為失敗，則Y2=0；由于每個(gè)回合中，高手要同時(shí)攻擊兩個(gè)戰(zhàn)士，所以，用2維隨機(jī)變量X=（X1，X2）代表高手。為形象計(jì)，假定高手有兩只手X1和X2，分別用來對(duì)付那兩個(gè)戰(zhàn)士。他按如下方式對(duì)自己每個(gè)回合攻擊Y1和Y2的成果，進(jìn)行真心盲自評(píng)：6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限本回合X自評(píng)攻擊Y1成功，自評(píng)攻擊Y2成功時(shí)，記為，X1=1，X2=1；本回合X自評(píng)攻擊Y1成功，自評(píng)攻擊Y2失敗時(shí)，記為，X1=1，X2=0；本回合X自評(píng)攻擊Y1失敗，自評(píng)攻擊Y2成功時(shí)，記為，X1=0，X2=1；本回合X自評(píng)攻擊Y

27、1失敗，自評(píng)攻擊Y2失敗時(shí)，記為，X1=0，X2=0。每次對(duì)抗的勝負(fù)，決不是由某個(gè)單方面說了算，但是，上述客觀自評(píng)估結(jié)果，從旁觀者角度來看，我們可以公正地確定輸贏規(guī)則。由于這時(shí)從任何一個(gè)戰(zhàn)士（Y1或Y2）的角度來看，他面臨的情況與“1對(duì)1的情況”完全相同6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限只從高手X的角度來對(duì)“獨(dú)裁評(píng)估”輸贏次數(shù)的極限問題。首先看高手“真正贏”的情況，即，高手X同時(shí)使戰(zhàn)士Y1和Y2服輸，即，Y1=0, Y2=0。由于Y1和Y2相互獨(dú)立，所以，P(Y1=0, Y2=0)=P(Y1=0)P(Y2=0)= P(X1=1,Y1=0)+ P(X1=0, Y1=0)P(X2=1,Y2=0)+P(

28、X2=0, Y2=0) = P(X1=Z1)P(X2=Z2)，其中，隨機(jī)變量Z1=(X1+Y1)mod2, Z2=(X2+Y2)mod2。6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限由于如下兩個(gè)信道：1）以X1為輸入，Z1為輸出，其信道容量記為C1；2）以X2為輸入，Z2為輸出，其信道容量記為C2。根據(jù)香農(nóng)編碼極限定理（見文獻(xiàn)5或本書第7.3節(jié)），知道：P(X1=Z1)C1和P(X2=Z2)C2，而且，這兩個(gè)不等式還是可以達(dá)到的，于是，P(Y1=0, Y2=0)C1C2。定理6.6（1攻2的攻擊能力極限定理）：在N個(gè)攻防回合中，一個(gè)高手最多能夠同時(shí)把兩個(gè)戰(zhàn)士打敗NC1C2次，而且，一定有某種技巧，可以使高手

29、達(dá)到該極限。6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限在1對(duì)2情況下，所有可能的“獨(dú)裁評(píng)估”有：X1=a、X2=b、(X1，X2)=(a,b)、Y1=a、Y2=b、(Y1，Y2)=(a,b)、(X1，Y2)=(a,b)、(X2，Y1)=(a,b)，這里a和b取值為0或1。由于X1與X2相互獨(dú)立，由于Y1與Y2相互獨(dú)立，由于X1與Y2相互獨(dú)立，由于Y1與X2相互獨(dú)立，所以，仿照定理6.6的證明過程，可以得到：定理6.7（獨(dú)裁評(píng)估的極限）：在一個(gè)高手X=(X1,X2)同時(shí)攻擊兩個(gè)戰(zhàn)士Y1和Y2的情況下，在N個(gè)攻防回合中，有如下極限，而且它們都是可以達(dá)到的極限：1）X1=a最多出現(xiàn)NC1次，其中，C1是以Y1為

30、輸入，以(X1+Y1+a)mod2為輸出的信道容量；6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限2）X2=b最多出現(xiàn)NC2次，其中，C2是以Y2為輸入，以(X2+Y2+b)mod2為輸出的信道容量；3）(X1，X2)=(a,b)最多出現(xiàn)NC1C2次，其中C1和C2如1）和2）所述（此時(shí)，若a=b=1，則意味著“X既未被Y1打敗，也未被Y2打敗”或者說“X成功地?fù)踝×薡1和Y2的攻擊”。由于，P(X1=0X2=0)=1-P(X1=1,X2=1)1-C1C2，所以，在N回合的對(duì)抗中，X被打敗至少N(1-C1C2)次。這也是本章第1小節(jié)研究過的多攻1的特例）； 4）Y1=a最多出現(xiàn)ND1次，其中，D1是以X1為輸

31、入，以(X1+Y1+a)mod2為輸出的信道容量；5）Y2=b最多出現(xiàn)ND2次，其中，D2是以X2為輸入，以(X2+Y2+b)mod2為輸出的信道容量；6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限6）(Y1，Y2)=(a,b)最多出現(xiàn)ND1D2次，其中D1和D2如4）和5）所述（此時(shí)，若a=b=0的特殊情況，就是定理6.6中的情況）；7）(X1，Y2)=(a,b)最多出現(xiàn)NC1D2次，其中C1和D2如1）和5）所述；8）(X2，Y1)=(a,b)最多出現(xiàn)NE1E2次。其中，E1是以Y2為輸入，以(X2+Y2+a)mod2為輸出的信道容量；E2是以X1為輸入，以(X1+Y1+b)mod2為輸出的信道容量?，F(xiàn)在

32、將1對(duì)2的情況推廣到1對(duì)多的星狀網(wǎng)絡(luò)攻防情況。6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限星狀網(wǎng)絡(luò)的中心點(diǎn)是高手X=(X1,X2,Xm)，他要同時(shí)對(duì)抗m個(gè)戰(zhàn)士Y1,Y2,Ym（他們對(duì)應(yīng)于星狀網(wǎng)的非中心點(diǎn)）。每個(gè)回合后，戰(zhàn)士們對(duì)自己在本輪攻防中的表現(xiàn)，給出如下保密的不告知任何人的盲自評(píng)估：戰(zhàn)士Yi若自評(píng)估自己打敗了高手，則記Yi=1；否則，記Yi=0這里1im。每個(gè)回合后，高手X=(X1,X2,Xm)對(duì)自己在本輪攻防中的表現(xiàn)，給出如下保密的不告知任何人的盲自評(píng)估：若他在對(duì)抗Yi時(shí)得分為ai(這里ai=0時(shí)，表示自認(rèn)為輸給了Yi；否則，ai=1，即，表示自己戰(zhàn)勝了Yi)，那么，就記Xi=ai，1im。這時(shí)，也可

33、以形象地將高手看成“長了m只手：X1、X2、Xm”的大俠。6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限定理6.8（星狀網(wǎng)絡(luò)對(duì)抗的獨(dú)裁極限）：在一個(gè)高手X=(X1,X2,Xm)同時(shí)對(duì)抗m個(gè)戰(zhàn)士Y1,Y2,Ym的星狀網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中，所有的獨(dú)裁評(píng)估都可以表示為事件：iSXi=aijRYj=bj，其中S和R是數(shù)集1,2,m中的兩個(gè)不相交子集，即，SR=，ai、bj取值為0或1(1i,jm)。而且，獨(dú)裁評(píng)估的概率為：P(iSXi=aijRYj=bj)=iSP(Xi=ai)jRP(Yj=bj)iS,jRCiDj，這里，Ci是以Yi為輸入，以(Xi+Yi+ai)mod2為輸出的信道的信道容量；Dj是以Xj為輸入，以(Xj+Y

34、j+bj)mod2為輸出的信道的信道容量。而且，該極限是可達(dá)的。6.3 攻防一體星狀網(wǎng)可達(dá)極限換句話說，在星狀網(wǎng)絡(luò)的N次攻防對(duì)抗中，每個(gè)獨(dú)裁事件iSXi=aijRYj=bj最多只出現(xiàn)NiS,jRCiDj次，而且，這個(gè)極限還是可達(dá)的。該定理的證明過程與定理6.6類似，只是注意到如下事實(shí)：從隨機(jī)變量角度來看，當(dāng)ij時(shí)，Xi與Yj相互獨(dú)立；各Xi之間相互獨(dú)立；各Yj之間也相互獨(dú)立。定理6.8其實(shí)也包含了本章第1小節(jié)和第2小節(jié)考慮的“1攻多”和“多攻1”的情況。6.4 攻防一體榕樹網(wǎng)可達(dá)極限在真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)對(duì)抗中，還常常會(huì)出現(xiàn)集團(tuán)之間的對(duì)抗情況，即，由一群人（比如，北約集團(tuán)X1,X1,Xn）去對(duì)抗另一群人

35、（比如，華約集團(tuán)Y1,Y2,Ym）。這里，北約集團(tuán)的成員（X1,X1,Xn）之間不會(huì)相互攻擊；同樣，華約集團(tuán)的成員（Y1,Y2,Ym）之間也不會(huì)相互攻擊；北約（華約）的每一個(gè)成員，都有可能會(huì)攻擊華約（北約）的每一個(gè)成員。因此，對(duì)抗的兩個(gè)陣營，其實(shí)就形成了一個(gè)榕樹網(wǎng)絡(luò)（Banyan）。為研究簡(jiǎn)便，假定同一集團(tuán)成員之間都是獨(dú)立行事（即，各Xi之間相互獨(dú)立；各Yi之間也相互獨(dú)立），因?yàn)?，如果某兩個(gè)集團(tuán)成員之間是協(xié)同工作的，那么，就可以將它們視為同一個(gè)（融合）成員。6.4 攻防一體榕樹網(wǎng)可達(dá)極限假定在每個(gè)回合后，各成員都對(duì)自己在本輪對(duì)抗中的表現(xiàn)，給出一個(gè)真心的盲評(píng)價(jià)。具體地說：每個(gè)北約成員Xi(1in

36、)都長了m只手，即，Xi=(Xi1,Xi2,Xim)，當(dāng)他自認(rèn)為在本輪對(duì)抗中打敗了華約成員Yj(1jm)時(shí)，就記Xij=1；否則，當(dāng)他自認(rèn)為在本輪對(duì)抗中輸給了華約成員Yj(1jm)時(shí)，就記Xij=0。同樣，每個(gè)華約成員Yj(1jm)也都長了n只手，即，Yj=(Yj1,Yj2,Yjn)，當(dāng)他自認(rèn)為在本輪對(duì)抗中打敗了北約成員Xi(1in)時(shí)，就記Yji=1；否則，當(dāng)他自認(rèn)為在本輪對(duì)抗中輸給了北約成員Xi(1in)時(shí)，就記Yji=0。6.4 攻防一體榕樹網(wǎng)可達(dá)極限定理6.9（榕樹網(wǎng)絡(luò)對(duì)抗的獨(dú)裁極限）：在該榕樹網(wǎng)絡(luò)攻防環(huán)境中，所有的獨(dú)裁評(píng)估事件都可表示為：(i,j)SXij=aij(j,i)RYji=

37、bji。這里S和R是集合(i,j):1in,1jm中的這樣兩個(gè)子集：當(dāng)(i,j)S時(shí)，一定有“(j,i)不屬于R；同時(shí)，當(dāng)(i,j)R時(shí)，一定有“(j,i)不屬于S。而且，獨(dú)裁評(píng)估的概率為P(i,j)SXij=aij(j,i)RYji=bji)=(i,j)SPXij=aij.(j,i)RPYji=bji (i,j)S,(p,q)RCijDpq，這里，Cij（(i,j)S）是以Yji為輸入，以(Xij+Yji+aij)mod2為輸出的信道的信道容量；Dpq（(p,q)R）是以Xqp為輸入，以(Xpq+Ypq+bpq)mod2為輸出的信道的信道容量。而且，該極限是可達(dá)的。6.4 攻防一體榕樹網(wǎng)可達(dá)

38、極限換句話說，在榕樹網(wǎng)絡(luò)的N次攻防對(duì)抗中，每個(gè)獨(dú)裁事件 (i,j)SXij=aij(j,i)RYji=bji最多只出現(xiàn)：N(i,j)S,(p,q)RCijDpq次，而且，這個(gè)極限還是可達(dá)到的。6.5 攻防一體麻將網(wǎng)可達(dá)極限一個(gè)有n個(gè)用戶的網(wǎng)絡(luò)中，如果所有這些用戶之間都相互攻擊，就像打麻將時(shí)每個(gè)人都“盯上家，卡對(duì)家，打下家”一樣，那么，這樣的攻防場(chǎng)景就稱之為麻將網(wǎng)絡(luò)攻防，或者，更學(xué)術(shù)一些，叫做“全連通網(wǎng)絡(luò)攻防”。在麻將網(wǎng)絡(luò)中的n個(gè)戰(zhàn)士，用X1,X2,Xn來表示。每個(gè)戰(zhàn)士Xi(1in)都有n只手Xi=(Xi1,Xi2,Xin)，其中，他的第j(1jn)只手(Xij)是用來對(duì)付第j個(gè)戰(zhàn)士Xj的，而Xii這只手是用來保護(hù)自己的。6.5 攻防一體麻將網(wǎng)可達(dá)極限假設(shè)他們?cè)诿總€(gè)回合后，都對(duì)本輪攻防的效果進(jìn)行一次只有自己知道的評(píng)估，即：如果戰(zhàn)士Xi自認(rèn)為在本回合中打敗了戰(zhàn)士Xj(1ijn)，那么，他就記Xij=1；否則，如果他認(rèn)為輸給了戰(zhàn)士Xj，那么，他就記Xij=0定理6.10（麻將網(wǎng)絡(luò)對(duì)抗的獨(dú)裁極限）：在麻將網(wǎng)絡(luò)攻防環(huán)